Definisi Bilangan Asli adalah himpunan bilangan

Bilangan
Bilangan Asli (ℕ)
Bilangan Nol
Bilangan Negatif
(1,2,3, ⋯ )
(0)
(⋯ , −3, −2, −1)
Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat (ℤ )
1
5
( ; 3 ; 5%; 6,82; ⋯ )
2
7
A. Bilangan Asli (ℕ)
Definisi
Bilangan Asli adalah himpunan bilangan bulat positif (nol tidak termasuk). Nama
lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif. Contoh:
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ⋯ }.
B. Bilangan Nol
Definisi
Bilangan nol adalah bilangan yang hanya terdiri dari nol. Contoh : {0}.
C. Bilangan Cacah
1) Pengertian Bilangan Cacah
Definisi
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli dan nol termasuk di dalamnya.
Contoh: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ⋯ }.
2) Bilangan Cacah dan Bilangan Romawi
Bilangan
Cacah
Bilangan
Romawi
1
5
10
50
100
500
1000
𝐼
𝑉
𝑋
𝐿
𝐶
𝐷
𝑀
3) Bilangan Cacah, Bilangan Biner, dan Bilangan Arab
Bilangan
Cacah
Bilangan
Biner
Bilangan
Arab
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
10
11
100
101
110
111
٠
١
٢
٣
٤
٥
٦
٧
1
8
9
٨
٩
1000
1001
D. Operasi Aritmatika
1) Penjumlahan
Definisi
Penjumlahan adalah dasar dari operasi hitung pada sistem bilangan. Contoh: 2 + 3 = 5
2) Pengurangan
Definisi
Pengurangan adalah menambahkan dengan lawan dari bilangan itu. Untuk setiap
bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏). Contoh: 2 − 3 = 2 + (−3) = −1
3) Perkalian
Definisi
Perkalian adalah penjumlahan berulang. Maksudnya adalah 3 𝑥 5 sama artinya
dengan 5 + 5 + 5 atau
ditulis 3 𝑥 5 = 5 + 5 + 5. Untuk setiap
bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎𝑏. Contoh: 2 ⋅ 3 = 6
4) Pembagian
Definisi
Pembagian adalah ada sekumpulan benda sebanyak 𝑎 dibagi rata (sama banyak)
𝑎
dalam
𝑏
kelompok.
Jika 𝑏 = 𝑐 maka 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑐
Untuk
setiap
𝑎
1
2
1
bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku 𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑏. Contoh: 3 = 2 ⋅ 3
5) Perpangkatan
Definisi
Perpangkatan yaitu perkalian bilangan yang sama sebanyak 𝑛.
𝑛
𝑎 = 𝑎 ×𝑎 ×𝑎 ×⋯×𝑎
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
, Dimana 𝑎, 𝑛 ∈ ℝ .
3
Contoh: 2 = 2 ⋅ 2 ×⋅2
6) Akar
Definisi
𝑛
1
Akar merupakan kebalikan dari pangkat. √𝑎 = 𝑎𝑛 , 𝐷𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑎, 𝑛 ∈ ℝ . Contoh:
3
3
1
√2 = √21 = 23
E. Bilangan Genap
Definisi
Bilangan Genap adalah suatu bilangan yang habis dibagi dua. Dengan demikian, 0
termasuk bilangan genap. Karena 0 habis dibagi dua. Bilangan Genap dituliskan dengan
bentuk 𝐴 = {2𝑛 | 𝑛 ∈ ℕ}. Contoh: {0, 2, 4, 6, 8, 10, ⋯ }.
F. Bilangan Ganjil
Definisi
Bilangan Ganjil adalah suatu bilangan yang jika dibagi dua maka bersisa 1. Bilangan
Ganjil dituliskan dengan bentuk 𝐴 = {2𝑛 + 1 | 𝑛 ∈ ℕ}. Contoh: {1, 3, 5, 7, ⋯ }.
2
G. Bilangan Prima
Definisi
Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah
1 dan bilangan itu sendiri. Contoh: {2,3,5,7,11,13, ⋯ }. Faktorisasi prima adalah bilangan
yang dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor prima berpangkat.
H. Bilangan Komposit
Definisi
Bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 dan bukan merupakan
bilangan prima atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.
Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian
dua bilangan prima atau lebih. Contoh: {4,6,8,9,10,12, ⋯ }.
I.
Bilangan Negatif
Definisi
Bilangan Negatif adalah bilangan yang lebih kecil atau kurang dari nol. Atau juga
bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan. Contoh:
{⋯ , −5 − 4, −3, −2, −1}.
J.
Bilangan Bulat
1) Pengertian Bilangan Bulat
Definisi
Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli atau bilangan
bulat
positif,
bilangan
nol
dan
bilangan
bulat
negatif.
Contoh:
{⋯ , −5 − 4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5,6,7, ⋯ }.
2) Sifat-sifat Bilangan Bulat
a) Tertutup
Penjumlahan
Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 + 𝑏 ∈ ℤ.
Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 + 3 ∈ ℤ atau 5 ∈ ℤ.
Perkalian
Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 𝑏 ∈ ℤ.
Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 ⋅ 3 ∈ ℤ atau 6 ∈ ℤ.
b) Komutatif (Pertukaran)
Penjumlahan (A1)
Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.
Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 + 3 = 3 + 2.
Perkalian (M1)
Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎.
Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2.
c) Asosiatif (Pengelompokkan)
Penjumlahan (A2)
3
Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐).
Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ , maka (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) atau 5 + 4 = 2 + 7.
Perkalian (M2)
Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐).
Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ , maka (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) atau 6 ⋅ 4 = 2 ⋅ 12.
d) Identitas
Penjumlahan (A3)
Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada 0 ∈ ℤ maka 𝑎 + 0 = 𝑎 atau 0 + 𝑎 = 𝑎.
Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 0 ∈ ℤ maka 2 + 0 = 2 atau 0 + 2 = 2.
Perkalian (M3)
Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada 1 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎.
Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 1 ∈ ℤ maka 2 ⋅ 1 = 2 atau 1 ⋅ 2 = 2.
e) Invers
Penjumlahan (A4)
Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada − 𝑎 ∈ ℤ maka 𝑎 + (−𝑎) = 0 atau (−𝑎) + 𝑎 = 0.
Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada − 2 ∈ ℤ maka 2 + (−2) = 0 atau (−2) + 2 = 0.
Perkalian (M4)
Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada
1
1
1
∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 𝑎 = 1 atau 𝑎 ⋅ 𝑎 = 1.
𝑎
Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada
1
1
1
∈ ℤ maka 2 ⋅ 2 = 1 atau 2 ⋅ 2 = 1.
2
e) Distributif (Penyebaran)
Distributif Kiri (D1)
Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ⋅ 𝑏) + (𝑎 ⋅ 𝑐).
Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ, maka 2 ⋅ (3 + 4) = (2 ⋅ 3) + (2 ⋅ 4) atau 2 ⋅ 7 = 6 + 8.
Distributif Kanan (D2)
Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 + 𝑏) ⋅ 𝑐 = (𝑎 ⋅ 𝑐) + (𝑏 ⋅ 𝑐).
Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ, maka (2 + 3) ⋅ 4 = (2 ⋅ 4) + (3 ⋅ 4) atau 5 ⋅ 4 = 8 + 12.
K. Bilangan Pecahan
1) Pengertian Bilangan Pecahan
Definisi
Bilangan Pecahan adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk
𝑎
; dimana 𝑎= pembilang dan b = penyebut serta 𝑎,b ∈ ℤ dan b ≠ 0.
Contoh:
𝑏
1
2
,
3
4
,
9
17
, dll.
2) Macam-macam Bilangan Pecahan
a) Pecahan Biasa
Pecahan Biasa adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk
𝑎
1 3
9
;
𝑎,b
∈
ℤ
dan
b
≠
0.
Contoh:
,
,
, dll.
𝑏
2 4 17
4
b) Pecahan Campuran
Pecahan Campuran adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam
𝑎
1
3
9
bentuk c 𝑏 ; 𝑎,b,c ∈ ℤ dan b ≠ 0. Contoh: 1 2 , 4 4 , 7 17 , 𝑑𝑙𝑙.
c) Pecahan Desimal
Pecahan Desimal adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam
bentuk 𝑎, 𝑏 ; 𝑎,b ∈ ℤ. Contoh:1,5; 4,7; 9,3; dll.
d) Persen
Persen adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk
𝑎%; 𝑎 ∈ ℤ. Contoh: 1%, 9%, 50%, dll.
3) Sifat-sifat Bilangan Pecahan
𝑎
𝑐
𝑎𝑑+𝑏𝑐
a) 𝑏 + 𝑑 = 𝑏𝑑 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0
2
4
Contoh: 3 + 5 =
b)
𝑎
𝑐
−𝑑 =
𝑏
𝑎𝑑−𝑏𝑐
2
𝑏𝑑
𝑏
𝑎𝑏
𝑐
𝑐
4
𝑎
𝑐
(2⋅5)−(3⋅4)
3⋅5
, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, serta 𝑐 ≠ 0
3
Contoh: 2 ⋅ 4 =
d)
3⋅5
, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0
Contoh: 3 − 5 =
c) 𝑎 ⋅ =
(2⋅5)+(3⋅4)
2⋅3
4
𝑎𝑐
⋅ = 𝑏𝑑 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0
𝑏 𝑑
2
4
2⋅4
Contoh: 3 ⋅ 5 = 3⋅5
e)
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑑
∶𝑑=𝑏⋅𝑐 =
2
4
𝑎𝑑
, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0
𝑏𝑐
2 5
2⋅5
Contoh: 3 ∶ 5 = 3 ⋅ 4 = 3⋅4
f)
Setiap Pecahan dikalikan dengan kebalikannya adalah 1.
2
3
Contoh: 3 × 2 = 1
g) Setiap Pecahan dibagi dengan 1 hasilnya adalah Pecahan itu sendiri.
2
Contoh: 1 = 2 ;
2
3
1
2
=3
h) Hasil bagi bilangan 1 dengan sebuah Pecahan, maka hasilnya adalah kebalikan
Pecahan itu.
1
3
3
Contoh: 2 = 1 × 2 = 2
3
5
l)
Setiap Pecahan memiliki invers (kebalikan).
2
3
Contoh: 3 × 2 = 1
m) Setiap 1 dapat dibentuk bilangan Pecahan berangka sama.
2
3
4
Contoh: 1 = 2 = 3 = 4 = 𝑑𝑠𝑡
6