Matriks1 - stmik el rahma

ALJABAR LINEAR
MATERI :
1. PENDAHULUAN
2. MATRIKS
3. DETERMINAN
4. INVERS
5. PERSAMAAN LINIER
6. VEKTOR
7. RUANG VEKTOR
MATRIKS
• Definisi
Susunan segiempat yang terdiri atas
bilangan – bilangan real yang tersusun atas
baris dan kolom
 a11 a12  a1n 
a

a

a
22
2n 
A   21
 



a
a

a
mn 
 m1 m 2
m baris
n kolom
di katakan matriks A berukuran m x n
• Baris ke-i dari A adalah :
ai1
ai 2  ain  (1  i  m)
• Kolom ke-j dari A adalah :
 a1 j 
a 
 2 j  (1  j  n)
  


amj 
• Matriks A dapat juga ditulis :
A = [aij]
• Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur
sangkar, dan bilangan a11, a22, …, ann disebut
dengan diagonal utama
Jenis – jenis Matriks
1. Matriks Diagonal
 Matriks b.s. dengan elemen diluar
diagonal utama adalah nol, yaitu
aij = 0 untuk i  j
2. Matriks Skalar
 Matriks diagonal dengan elemen pada
diagonal utama adalah sama, yaitu
aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i  j
3. Matriks Segitiga Atas
 Matriks b.s. dengan elemen dibawah
diagonal utama adalah nol
Jenis – Jenis Matriks
4. Matriks Segitiga Bawah
 Matriks b.s. dengan elemen diatas
diagonal utama adalah nol
5. Matriks Identitas
 Matriks diagonal dengan elemen pada
diagonal utama adalah 1 , yaitu
aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i  j
6. Matriks Nol
 Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.
Operasi Matriks
•
•
•
•
•
Persamaan Dua Matriks
Penjumlahan Matriks
Perkalian Skalar dan Matriks
Transpose Matriks
Perkalian Matriks
Persamaan Dua Matriks
• Definisi
Dua matriks A = [aij] dan B = [bij]
dikatakan sama jika :
aij = bij, 1  i  m, 1  j  n
yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua
matriks tersebut adalah sama.
• Contoh :
1 2  1
A  2  3 4 
0  4  5
dan
1
B   2
 y
2
x
4
w
4 
z 
Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3,
y = 0, dan z = -5
Penjumlahan Matriks
• Definisi
Jika A = [aij] dan B = [bij] adalah matriks ukuran
m x n, maka jumlahan A dan B adalah matriks
C = [cij] ukuran m x n dengan
cij = aij + bij
Contoh
Diberikan Matriks A dan B adalah
1  2 4 
A

2

1
3


1 2  4
B

1
3
1


2 0 0

maka A  B  

3
2
4


Perkalian Skalar & Matriks
• Definisi
Jika A = [aij] ukuran m x n dan r
adalah sebarang skalar real, maka
perkalian
skalar rA adalah
matriks B = [bij] ukuran m x n dengan
bij = r aij
• Contoh
Jika r = -3 dan A  1  2 4
maka rA   3 6 12
Transpose Matriks
• Definisi
Jika A = [aij] adalah matriks ukuran m x n,
maka transpose dari A adalah matriks
At = [aijt] ukuran n x m dengan
aijt = aji
• Contoh
4  2 3 
A
0
maka
5
0
4
At   2 5 
 3  2
 2
Perkalian Matriks
• Definisi
Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka
perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah matriks C = [cij]
ukuran m x n dimana
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj
Ilustrasi
Colj(B)
 a11
a
 21
 
rowi(A)  a
 i1
 

 am1

a12

a22

ai 2

am 2

a1 p 
a2 p 



aip 


amp 

 b11 b12  b1 j  b1n 
b

 21 b22  b2 j  b2n 
 



b p1 b p 2  b pj  b pn 
rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij
 c11 c12
c
c22
  21
 


cm1 cm 2
c1n 
 c2n 
cij
 

 cmn 

Latihan Soal
1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:
1 2  3 
A

4
0

2


 1 0  3
E   2 1  5
 3 4 2 
 3 1
B   2 4
 1 5
1
2 3
C  3  4 5 
1  1  2
3
2
D


1

2


2  3
F 

4
1


Jika mungkin, maka hitunglah
a. AB
d. CB + D
b. BA
e. AB + DF
c. A(C + E)
f. (D + F)A
g. BA + FD
h. A(BD)
2. Sebuah perusahaan membuat dua macam
product, P dan Q, dari setiap dua tanaman, X dan Y.
Polutan sulfur dioxide, nitric oxide, dan materi
khusus juga dihasilkan dalam proses pembuatan
product tersebut. Jumlah polutan – polutan yang
dihasilkan tersebut diberikan (dalam kg) dalam
bentuk matriks berikut :
Sulfur
dioxide
Nitric
oxide
Materi
khusus
300 100 150 
A

200 250 400
Product P
Product Q
Pemerintah setempat mensyaratkan polutan – polutan
tersebut harus didaur ulang. Biaya untuk itu per kg adalah
(dalam dollar) diberikan dalam matriks B berikut :
Tanaman X
Tanaman Y
 8 12


B7
9
15 10
Sulfur dioxide
Nitric oxide
Materi khusus
apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi perusahaan ?