aljabar linier - Blog Dosen ITATS

08/11/2015
ALJABAR LINIER
Anita T. Kurniawati,M.Si.
APA ALJABAR LINIER?




Berkembang dari ide untuk menyelesaikan dan
menganalisa sistem persamaan linier
Teori dari matriks dan determinan
Konsep abstrak dari Ruang vektor
Akan kita lihat transformasi linier, nilai eigen,….
1
08/11/2015
Mengapa Aljabar Linier sangat
menarik?
 Banyak
aplikasinya diberbagai bidang (komputer
grafik, kimia, persamaan diferensial, ekonomi, bisnis,
dll)
 Hubungannya antara teori dan komputasi
 Dapat menggunakan Matlab atau Maple
Apa Persamaan Linier?
Persamaan Linier adalah suatu persamaan yang disajikan dalam
bentuk:
a1 x1  a2 x2  ...  an xn  b
Suatu penyelesaian dari persamaan linier adalah sederetan n
angka s1 , s2 ,..., sn sedemikian sehingga persamaan tersebut
terpenuhi jika kita mensubstitusikan x1  s1 , x2  s2 ,..., xn  sn
2
08/11/2015
Apa sistem dari persamaan Linier?


Sistem Persamaan Linier (SPL) adalah himpunan
dari persamaan linier.
Secara umum bentuknya:
 a1,1 x1  a1, 2 x2  ...  a1,n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
2,n n
2
 2,1 1 2, 2 2

.

.


.

am ,1 x1  am , 2 x2  ...  am ,n xn  bm

Penyelesaian dari SPL adalah nilai dari variabel yang
memenuhi semua persamaan linier tersebut.

Jika SPL tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai
tak konsisten.

Jika paling tidak ada satu penyelesaian, maka SPL
tersebut disebut konsisten.
3
08/11/2015
Sistem Homogen

Jika dari persamaan, nilai b=0, maka
homogin
Selalu konsisten
Penyelesaian trivial/tunggal jika

Selain itu disebut non trivial /tidak tunggal


dinamakan Spl
CONTOH:
x  3y  4
2x  y  1
SPL ini konsisten, karena
mempunyai penyelesaian
x=1, y=1.
xy2
xy4
SPL ini tidak konsisten,
MENGAPA?
4
08/11/2015
Dapatkan penyelesaian dari SPL berikut:
x  3y  4
2x  6y  8
Berapa banyak penyelesaian dari SPL?




Kita lihat grafik dari Matlab
Kita lihat, SPL dapat tidak mempunyai penyelesaian, satu
penyelesaian, atau tak terhingga penyelesaian.
Kita dapat menemukan penyelesaian dari SPL dengan
melihat grafik
Hal ini sulit dilakukan jika variabelnya lebih dari tiga.
5
08/11/2015
Grafik:
Penyelesaian SPL secara aljabar, dengan
prosedur matematis:
2x  3y  z  5
y  z  1
z3
Penyelesaiannya?
6
08/11/2015
SPL tersebut dalam bentuk eselon baris.
 Dua SPL (persamaan) ekivalen jika keduanya mempunyai
penyelesaian sama.
 Metode penyelesaian SPL, antara lain:
1. Eliminasi Gauss-Jordan
baris eselon tereduksi
2. Eliminasi Gaussian
baris eselon

Sebuah matriks harus mempunyai sifat-sifat sbb:
1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka
angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah angka 1
(utama 1)
2. Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol,
maka baris ini dikelompokkan bersama dibagian bawah
matriks
3. Jika sebarang dua baris yang berurutan yang tidak
seluruhnya terdiri dari nol, utama 1 dalam baris yang lebih
bawah terletak disebelah kanan utama 1 dalam baris yang
lebih atas
4. Masing-masing kolom yang berisi sebuah utama 1
mempunyai nol ditempat lain.
Jika 4 tidak terpenuhi, maka matriks tersebut disebut
mempunyai bentuk eselon baris
7
08/11/2015
Contoh 1:
Selesaikan SPL berikut dengan Eliminasi Gaussian:
Penyelesaian:
8
08/11/2015
Latihan soal:
1
1I
IV
III
Review : MATRIKS

Definisi
Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan
real yang tersusun atas baris dan kolom
 a11 a12  a1n 
a
a22  a2 n 
A   21
 



am1 am 2  amn 
m baris
n kolom
di katakan matriks A berukuran m x n
9
08/11/2015

Baris ke-i dari A adalah :
ai1
ai 2  ain  (1  i  m)
• Kolom ke-j dari A adalah :
 a1 j 
a 
 2 j  (1  j  n)
  


amj 
• Matriks A dapat juga ditulis :
A = [aij]
• Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar
(b.s), dan bilangan a11, a22, …, ann disebut dengan
diagonal utama
Jenis – jenis Matriks
1. Matriks Diagonal
 Matriks b.s. dengan elemen diluar
diagonal utama adalah nol, yaitu
aij = 0 untuk i  j
2. Matriks Skalar
 Matriks diagonal dengan elemen pada
diagonal utama adalah sama, yaitu
aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i  j
3. Matriks Segitiga Atas
 Matriks b.s. dengan elemen dibawah
diagonal utama adalah nol
10
08/11/2015
Jenis – Jenis Matriks
4. Matriks Segitiga Bawah
 Matriks b.s. dengan elemen diatas
diagonal utama adalah nol
5. Matriks Identitas
 Matriks diagonal dengan elemen pada
diagonal utama adalah 1 , yaitu
aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i  j
6. Matriks Nol
 Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.
Operasi Matriks





Persamaan Dua Matriks
Penjumlahan Matriks
Perkalian Skalar dan Matriks
Transpose Matriks
Perkalian Matriks
11
08/11/2015
Persamaan Dua Matriks
Definisi
Dua matriks A = [aij] dan B = [bij]
dikatakan sama jika :
aij = bij, 1  i  m, 1  j  n
yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua
matriks tersebut adalah sama.
• Contoh :

1
A  2
0
2
3
4
 1
4 
 5
dan
1
B   2
 y
2
x
4
w
4 
z 
Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3,
y = 0, dan z = -5
Penjumlahan Matriks

Definisi
Jika A = [aij] dan B = [bij] adalah matriks ukuran m x n, maka
jumlahan A dan B adalah matriks C = [cij] ukuran m x n
dengan
cij = aij + bij
Contoh
Diberikan Matriks A dan B adalah
1  2 4 
A

maka
 2  1 3
1 2  4
B

1 3 1 
1 0 0
A B  

3 2 4
12
08/11/2015
Perkalian Skalar & Matriks
Definisi
Jika A = [aij] ukuran m x n dan r adalah sebarang
skalar real, maka perkalian skalar rA adalah
matriks B = [bij] ukuran m x n dengan
bij = r aij
• Contoh
Jika r = -3 dan
maka

A  1  2 4
rA   3 6 12
Transpose Matriks
Definisi
Jika A = [aij] adalah matriks ukuran m x n, maka transpose
dari A adalah matriks
At = [aijt] ukuran n x m dengan
aijt = aji
• Contoh

maka
4  2 3 
A

0 5  2
0
4

A   2 5 
 3  2
t
13
08/11/2015
Perkalian Matriks

Definisi
Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka
perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah matriks C = [cij]
ukuran m x n dimana
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj
Ilustrasi
Colj(B)
 a11
a
 21
 
rowi(A)  a
 i1
 

 am1

a12
a22


ai 2

am 2

a1 p 
a2 p 



aip 


amp 

 b11 b12  b1 j  b1n 
b

 21 b22  b2 j  b2 n 
 



b
b

b

b
p2
pj
pn 
 p1
 c11 c12
c
c22
  21
 


cm1 cm 2
c1n 
c2n 
cij
 

 cmn 


rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij
Latihan Soal
1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:
1 2  3 
A

 4 0  2
 1 0  3
E   2 1  5
 3 4 2 
 3 1
B   2 4
 1 5
1
2 3

C  3  4 5 
1  1  2
3
2
D

  1  2
2  3
F 

4 1 
Jika mungkin, maka hitunglah
a. AB
d. CB + D
b. BA
e. AB + DF
c. A(C + E)
f. (D + F)A
g. BA + FD
h. A(BD)
14
08/11/2015
INVERS MATRIKS
Definisi
Matriks A berukuran n x n disebut invertible jika
ada matriks B berukuran n x n sedemikian hingga :
AB = BA = In
Jika tidak demikian, maka dikatakan A tidak
invertible.
Matriks B disebut invers dari A, dinotasikan A-1
Contoh :
 2 3
A

 2 2
 1 3 
2
B
1

1

Sifat invers matriks
1. Jika A invertible maka A-1 juga invertible, dan
(A-1)-1 = A
2. Jika A dan B invertible, maka AB juga invertible
dan (AB)-1 = B-1 A-1
3. Jika A invertible, maka
(At)-1 = (A-1)t
4. Jika A1,A2,…,Ak adalah matriks – matriks invertible,
maka A1A2…Ak juga invertible dan
(A1 A2…Ak)-1 = Ak-1 Ak-1-1…A1-1
15
08/11/2015
Bagaimana mendapatkan Invers
Matriks?
1.
A. A1  I
2. Operasi baris Elementer (OBE)
3.
A1 
1
adj ( A)
A
DETERMINAN
Cara mendapatkan determinan:
1. Determinan tingkat dua
2. Determinan tingkat tiga Ekspansi Laplace (Perluasan
Kofaktor) atau Sarrus.
3. Determinan tingkat empat, dstEkspansi Laplace
(Perluasan Kofaktor).
16
08/11/2015
Sifat-Sifat Determinan () :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Nilai T = nilai 
Jika baris ke i = 0 (kolom ke-i = 0) maka nilai  = 0.
Jika baris ke i ditukar dengan baris ke-j (kolom i ditukar
dengan kolom ke j) diperoleh det. Baru dengan nilai

baru= -.
Jika baris ke i = baris ke j (kolom ke i = kolom ke j) maka
nilai  = 0
Nilai det menjadi k kali jika semua elemen pada sebuah baris
(kolom) digandakan dengan k≠0.
jika ada 2 baris (2 kolom) yang sebanding maka nilai  = 0.
Nilai sebuah det. tetap tidak berubah, jika setelah semua
elemen-elemen sebuah baris (kolom) di gandakan dengan
kemudian ditambahkan (dikurangkan) pada elemen-elemen
yang bersesuaian dari baris (kolom) lainnya.
Contoh 2:
17
08/11/2015
Contoh 3:
Contoh 4:
18