bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Kolera merupakan infeksi usus oleh bakteri Vibrio cholerae yang menyebabkan seorang individu menderita diare akut, dehidrasi tinggi dan dapat menyebabkan shock. Kolera termasuk jenis penyakit yang menyebar dengan cepat dan
jangkauan yang luas. Bahkan wabah yang paling besar pernah terjadi hingga melintasi beberapa benua (Stine dan Morris, 2014). Di antara wabah yang paling dikenal
dunia berdasarkan area dan tahun terjadinya, antara lain Orissa 1999, Dhaka 2006,
Zimbabwe 2008, Haiti 2010 dan Kenya 2010.
Kolera menarik perhatian dunia secara global karena berpotensi epidemik
dan bahkan pandemik (epidemik yang mendunia). Pandemik ketujuh, atau pandemik terakhir, bermula di Indonesia pada tahun 1961 kemudian menyebar ke Asia,
Afrika, Eropa dan Amerika Latin hingga tahun 2010 (Harris dkk., 2012). Durasi
dan periode pandemik kolera yang pertama hingga ke tujuh disajikan dalam diagram di bawah ini.
Gambar 1.1 Durasi dan periode pandemik kolera (Mandal dkk., 2011)
1
2
Setiap tahun WHO mencatat angka kasus kolera yang terjadi di sejumlah
negara. Berikut data angka kasus kolera yang tercatat di sejumlah negara dari tahun
2000 hingga 2013.
Gambar 1.2 Data angka kasus kolera dari beberapa negara tahun 2000-2013 (WHO, 2014)
Data di atas hanya diambil di sebagian negara di dunia dan dari penderita
yang melaporkan kasusnya. WHO memperkirakan angka kasus kolera dari seluruh
penjuru dunia dapat mencapai 1,4 hingga 4,3 juta kasus per tahun. Sack dkk. (2011)
menyatakan masih terdapat kemungkinan muncul pandemik kolera yang baru.
Berdasarkan jumlah kasus yang tidak sedikit, perlu dipelajari bagaimana
penularan kolera dapat dengan mudah menginfeksi penduduk. Diketahui bahwa
patogen penyebab kolera, Vibrio cholerae, memiliki dua siklus kehidupan, yaitu di
dalam tubuh inang (manusia) dan di dalam air. Oleh karena itu, penyakit kolera
memiliki mekanisme penularan yang cukup kompleks.
3
Perpindahan penyakit kolera dapat melalui dua jalur, yaitu individu ke individu dan air ke individu. Penularan dari individu ke individu sering terjadi terutama
melalui kontak langsung dengan tangan yang terkontaminasi patogen (Lamond dan
Kinyanjui, 2012). Sementara penularan dari air ke individu dapat terjadi melalui
hal-hal berikut: individu meminum air terkontaminasi patogen, individu mengonsumsi makanan laut mentah atau tidak dimasak dengan sempurna, serta individu
yang mengonsumsi buah dan sayuran yang dicuci dengan air terkontaminasi (WHO,
2004).
Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa jumlah kasus kolera tidak sedikit, kolera dapat menyebar dengan cepat dan jangkauan yang luas, serta mekanisme
penularannya melalui beberapa jalur. Selain itu untuk kondisi saat ini, kolera masih
dalam kekhawatiran menimbulkan pandemik yang baru. Dari uraian tersebut maka
dalam penelitian ini akan dibentuk dan dianalisa model matematika penyakit kolera
sehingga dapat diketahui dinamika penyakit dan kemungkinan penyebaran penyakit.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang masalah di atas, rumusan masalah dalam
penelitian ini adalah:
1. Bagaimanakah model matematika untuk penyakit kolera?
2. Bagaimana analisa model tersebut terkait perilaku solusi di sekitar titik ekuilibrium?
3. Bagaimana analisa dalam menentukan bilangan reproduksi dasar model tersebut?
4. Bagaimana simulasi model penyakit kolera?
4
1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah:
1. Membentuk model matematika penyakit kolera
2. Menganalisa model dengan menyelidiki perilaku solusi disekitar titik ekuilibrium.
3. Mengetahui tingkat penyebaran penyakit kolera dan parameter-parameter yang
menyebabkan epidemik dengan cara menentukan bilangan bilangan reproduksi dasar.
4. Melakukan simulasi model matematika penyakit kolera
Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini antara lain:
1. Memberikan gambaran secara umum dinamika penyakit kolera yang terjadi
di suatu area. Hasil tersebut dapat digunakan sebagai acuan dalam merespon wabah kolera yang terjadi, baik yang tertular karena individu terinfeksi
maupun dari air yang terkontaminasi patogen.
2. Secara umum manfaat penelitian ini adalah dapat memberikan sumbangan
terhadap perkembangan ilmu pengetahuan serta untuk menambah wawasan
pengetahuan dalam bidang matematika terapan.
1.4. Tinjauan Pustaka
Terdapat beberapa penelitian sebelumnya yang memodelkan penyebaran penyakit kolera. Sebagian di antaranya langsung meneliti kolera itu sendiri, sementara
sebagian lainnya meneliti model waterborne diseases (penyakit yang menular melalui air) dan kolera termasuk di dalamnya.
Codeco (2001) membentuk model matematika kolera berbentuk SIB. S mewakili subpopulasi rentan, I mewakili subpopulasi terinfeksi dan B mewakili konsentrasi patogen dalam air. Dalam penelitiannya, Codeco hanya memperhatikan
5
penularan penyakit dari air terkontaminasi ke individu. Dengan mengkombinasikan
semua jenis infeksi menjadi single kompartemen, Codeco mengasumsikan penyakit
tidak fatal dan semua jenis infeksi memiliki dinamika yang sama. Selain itu, Codeco juga menggunakan asumsi ukuran inokulum (patogen atau bagian dari patogen
yang menyebabkan infeksi) hanya mempengaruhi kemungkinan terjadinya kolonisasi usus kecil dan tidak mempengaruhi virulensi patogen (drajat kemampuan suatu
patogen untuk menyebabkan penyakit). Penelitian kali ini juga akan mengadopsi
beberapa asumsi tersebut.
Tien dan David (2010) mengkonstruksi model untuk waterborne diseases
berbentuk SIW R, dengan W mewakili konsentrasi patogen di dalam air. Disebutkan bahwa kolera termasuk ke dalam waterborne diseases yang dimaksud sehingga
model dapat digunakan untuk kolera. Dalam penelitian ini selain dari air ke individu, model juga memperhatikan penularan kolera dari individu ke individu. Setelah
menganalisa model SIW R, Tien dan David lebih banyak membahas perbandingan
model SIW R dengan model SIR.
Pada tahun 2011, Shuai dan Driessche menganalisa kestabilan global model
matematika penyakit kolera dengan memperhatikan tingkat infeksi penyakit yang
berbeda. Oleh karena itu dalam penelitian ini mulai terbentuk model kolera dengan
multiple kompartemen terinfeksi. Akan tetapi model dibentuk secara umum dengan
mengasumsikan terdapat n tingkat infeksi. Simulasi diberikan dengan mengambil
kasus jika n sama dengan 1 dan 2.
Selanjutnya, Wang dan Jinde (2014) menganalisa model untuk waterborne
diseases. Dalam penelitian tersebut, model juga memperhatikan dua jalur perpindahan penyakit serta jumlah tahapan infeksi. Model berbentuk SI n W R yang dapat
digunakan untuk mengetahui dinamika penyebaran penyakit yang menular melalui
air seperti kolera, giardia dan rotavirus.
Untuk penelitian dalam tesis ini merupakan penyempurnaan dan penerapan model waterborne diseases dari Tien dan David (2010), serta Wang dan Jinde
(2014) jika diaplikasikan untuk penyakit kolera. Oleh karena itu dalam peneliti-
6
an ini diawali dengan penyelidikan terkait penyakit kolera, seperti tahapan infeksi
dan hal-hal lain yang berpengaruh selama infeksi. Penyelidikan dilakukan dengan
mengkaji jurnal penelitian maupun buku medis.
Angka kasus kolera di sejumlah negara diambil dari WHO (2013). Penjelasan seputar penyakit kolera merujuk pada Marteau (1999), Kusnadi (2003), Sack
(2004), Puspandari (2008), Waldor dan Keusch (2010), Symington (2011), Harris
(2012), serta Stine dan Morris (2014). Penelitian oleh Watanabe dkk. (1970) khusus
untuk mengetahui tahapan kolera. Penelitian oleh Bourgeois (2014) dan Vaz (2012)
untuk mengetahui masa inkubasi kolera. Sementara bagaimana cara penularan kolera, di ambil dari WHO (2004), serta Lamond dan Kinyanjui (2012).
Untuk mengetahui karakteristik bakteri V.cholerae, peneliti menggunakan
sumber dari Hunter (1997), Amelia (2005), Abrams (2013) dan Budd (2013). Untuk
mendiskripsikan biotype kolera digunakan Clark (1998) dan Mandal (2011).
Respon immun di dalam tubuh merujuk pada McCutcheon (1957), Bellanti (1993), Subowo (1993), Stephenson (2001), Ryan dan Projan (2003), Parham
(2005), serta Abbas dan Andrew (2009). Kent dan Hart (1987) serta Dorland (2004)
untuk mendifinisikan beberapa istilah medis. Sementara Rampatige (2014) untuk
menjelaskan keakuratan dari data autopsi.
Dalam penentuan bilangan reproduksi dasar, peneliti merujuk pada Driessche dan Watmough (2008). Sementara pembahasan teori reaktivitas spesies kimia,
peneliti merujuk pada Hidayati (2007). Untuk pengambilan nilai parameter pada
Bab IV, referensi yang digunakan adalah Mwasa dan Tchuenche (2011), Shuai dan
Driessche (2011), Misra dan Singh (2012), serta Posny (2015).
Selanjutnya terkait landasan teori matematika berikut digunakan beberapa
buku. Teori suputar fungsi di ambil dari Arya (1979) dan Trench (2013). Teori mengenai matriks merujuk pada Berman (1994), Meyer (2000), Szidarovszky
(2002) dan Zhang (2010). Teori kekonvekan merujuk pada Hadley (1963), Bazaraa (2006) dan Boyd (2009). Kestabilan titik ekuilibrium merujuk pada Luenberger (1979), Verhulst (1985), Khalil (1992), Arrowsmith (1992), Perko (2001) dan
7
Aryati (2013). Sementara determinan Hurwitz merujuk pada Pease (1965).
1.5. Metode Penelitian
Penelitian dilakukan berdasarkan studi literatur yakni mempelajari jurnal
maupun buku yang berkaitan dengan penyakit kolera dan model matematikanya.
Sebelum membentuk model, berbagai informasi dan fakta terkait kolera dikumpulkan sehingga dapat ditentukan parameter serta asumsi untuk menyederhanakan
model. Kolera dipelajari dari berbagai sumber seperti jurnal penelitian, buku medis
dan hasil konsultasi dengan seorang ahli kesehatan (dokter).
Setelah terkumpul asumsi dan parameter yang diperlukan, mulai dibentuk
model. Sistem persamaan diferensial yang diperoleh dalam pemodelan diilutrasikan dalam bentuk diagram transfer lalu dilakukan analisis. Dalam melakukan analisis terhadap sistem, karena diperlukan landasan teori sebagai alat untuk mencapai
tujuan penelitian maka dikumpulkan terlebih dahulu definisi maupun teorema yang
diperlukan. Setelah landasan teori terkumpul, analisis dapat dilakukan.
Sistematika dalam menganalisis model mengacu pada rumusan masalah yang
telah disusun. Diawali dengan menentukan titik ekuilibrium bebas penyakit maupun endemik, lalu penyelidikan sifat kestabilan masing-masing titik ekuilibrium. Di
tengah proses pembahasan tersebut, ditentukan pula bilangan reproduksi dasar untuk mengetahui ambang batas terjadinya wabah penyakit. Pada akhir pembahasan
diberikan simulasi dan penarikan kesimpulan hasil penelitian.
1.6. Sistematika Penulisan
Penyusunan tesis ini dibagi menjadi empat bab yaitu Pendahuluan, Dasar
Teori, Pembahasan, Simulasi dan Penutup.
Bab I (Pendahuluan) terdiri dari enam bagian yaitu Latar Belakang Masalah, Rumusan Masalah, Tujuan dan Manfaat Penelitian, Tinjauan Pustaka, Metode
penelitian dan Sistematika Penulisan.
8
Bab II (Dasar Teori) terdiri dari sejumlah definisi, teorema dan contoh. Dasar Teori dibagi menjadi tujuh subbab yaitu Fungsi Diferensiabel Kontinu, Sistem Persamaan Diferensial, Titik Ekuilibrium, Kestabilan Titik Ekuilibrium, Fungsi
Konveks, M-Matriks dan Bilangan Reproduksi Dasar. Bagian teorema tidak turut
dicantumkan pembuktian karena dapat ditemukan pada sumber rujukan yang tertera.
Bab III (Hasil dan Pembahasan) memuat suatu analisis dari model penyakit
kolera. Bab ini terdiri dari tiga subbab yaitu Penyakit Kolera, Model dengan Single Kompartemen Terinfeksi dan Model dengan Multiple Kompartemen Terinfeksi. Pembahasan pada masing-masing model diawali dengan pembentukan model,
keterbatasan solusi, eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dan bilangan reproduksi dasar, eksistensi titik ekuilibrium endemik, dan diakhiri dengan kestabilan
titik ekuilibrium.
Bab IV (Simulasi) memuat simulasi dari model penyakit kolera baik dengan
single maupun multiple kompartemen terinfeksi. Sementara Bab terakhir, yaitu Bab
V (Penutup), memuat kesimpulan dari hasil penelitian yang diperoleh dan saran
untuk penelitian selanjutnya.