DERET

BARISAN DAN DERET
Tujuan Pembelajaran Umum
• Mahasiswa mampu memahami
konsep matematika yang dapat
digunakan pada penerapan ekonomi
sehingga dapat diaplikasikan untuk
memecahkan persoalan-persoalan
ekonomi.
Tujuan Pembelajaran Khusus
• Mampu menjelaskan mengenai
pengertian deret.
• Mampu memahami barisan dan deret
hitung (aritmatika)
• Mampu memahami barisan dan deret
ukur (geometrika)
Pengantar
• Deret = rangkaian bilangan yang tersusun secara
teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.
• Suku = bilangan-bilangan yang merupakan
unsur dan pembentuk sebuah deret
• Pola perubahan = keteraturan rangkaian
bilangan-bilangan dari sebuah deret, mulai dari
satu suku ke suku berikutnya.
Pengantar
• Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya, deret
dibedakan menjadi:
▫ Deret berhingga  deret yang jumlah sukunya
tertentu
▫ Deret tak berhingga  deret yang jumlah sukunya tak
terbatas
• Dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada
suku-sukunya, deret bisa dibedakan menjadi deret
hitung, deret ukur, dan deret harmoni.
Barisan Hitung (Aritmatika)
• Barisan hitung adalah suatu barisan bilangan
yang selisih setiap dua suku berurutan selalu
merupakan bilangan tetap.
• Bilangan yang tetap tersebut disebut dengan
istilah “beda” dan dilambangkan dengan b.
• Perhatikan juga barisan-barisan bilangan
berikut ini:
a) 1, 4, 7, 9, 11, 13, …..
b) 2, 8, 14, 20, ….
c) 30, 25, 20, 15, ….
Contoh Barisan Hitung (Aritmatika)
a.
1, 4, 7, 10, 13, ...
+3 +3 +3 +3
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku
sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda
sukunya 3 atau b =3.
b. 2, 8, 14, 20, ...
+6 +6 +6
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku
sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda
sukunya 6 atau b = 6.
Contoh Barisan Hitung (Aritmatika)
c. 30, 25, 20, 15, ......
–5
–5
–5
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku
sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda
sukunya –5 atau b = –5.
Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut:
Jika Sn adalah suku ke-n dari suatu
barisan aritmetika maka berlaku b = Sn
– Sn – 1.
Rumus Barisan Hitung (Aritmatika)
• Pembentuk rumus/formulasi umum suku ke-n
barisan aritmetika adalah:
▫ suku pertama (U ) dilambangkan dengan a
▫ beda dilambangkan dengan b
Barisan Hitung (Aritmatika)
S1 = a
S 2 = S1 + b = a + b
S3 = S2 + b = (a + b) + b = a + 2b
S4 = S3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
S5 = S4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
.
.
.
Sn = Sn-1 + b = a + (n – 1)b
Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah
Keterangan: Sn = suku ke-n
a = suku pertama
b = beda
n
n = banyak suku
S = a + (n – 1)b
Contoh 1
• Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan:
[ –3, 2, 7, 12, .... ]
• Langkah 1: Suku pertama adalah a = –3
• Langkah 2: Bedanya adalah b = 2 – (–3) = 5
• Langkah 3: Subtitusikan a dan b, maka akan
diperoleh rumusnya  Sn = –3 + (n – 1)5.
Suku ke-8 : S8 = –3 + (8 – 1)5 = 32
Suku ke-20 : S20 = –3 + (20 – 1)5 = 92
Contoh 2
• Diketahui barisan aritmetika [ –2, 1, 4, 7, ..., 40 ]
• Tentukan banyak suku barisan tersebut.
Jawab:
• Langkah 1 dan 2  a = –2 dan b = 1 – (–2) = 3
• Langkah 3  Sn = 40
• Langkah 4  Rumus suku ke-n adalah Sn = a + (n – 1)b, sehingga
40 = –2 + (n – 1)3
40 = 3n – 5
3n = 45
• Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.
• Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.
Deret Hitung (Aritmatika)
• Deret hitung adalah jumlah n suku pertama dari
barisan hitungnya.
• Misalkan S1, S2, S3, ..., Sn merupakan suku-suku dari
suatu barisan aritmetika.
• Maka Jn = S1 + S2 + S3 + ... + Sn disebut deret
aritmetika
• Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan
dinotasikan sebagai J.
Deret Hitung (Aritmatika)
• Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku
tertentu tak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak
suku pertama (S1, atau bisa juga ditulis a) sampai dengan
suku ke-n (Sn) dapat ditulis demikian:
• 𝐽n =
𝑛
𝑖=1 𝑆i
= S1 + S2 + S3 + … … … + Sn
• 𝐽4 =
• 𝐽5 =
• 𝐽6 =
4
𝑖=1 𝑆i
5
𝑖=1 𝑆i
6
𝑖=1 𝑆i
= S1 + S2 + S3 + S4
= S1 + S2 + S3 + S4 + 𝑆5
= S1 + S2 + S3 + S4 + 𝑆5 + 𝑆6
Deret Hitung (Aritmatika)
• Dengan menguraikan setiap suku maka 𝐽4 , 𝐽5 , dan 𝐽6
akan menjadi seperti di bawah ini:
• 𝐽4
• 𝐽5
• 𝐽6
= a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b)
= 4a + 6b
= a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b)
= 5a + 10b
= a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + (a+5b)
= 6a + 15b
Deret Hitung (Aritmatika)
• Masih ingat dengan rumus  Sn = a + (n – 1)b ?? Masingmasing Ji tersebut dapat pula ditulis ulang dalam bentuk sebagai
berikut:
• 𝐽4 = 4𝑎 + 6𝑏 = 4𝑎 +
4
2
5
2
6
+
2
4−1 𝑏
• 𝐽5 = 5𝑎 + 10𝑏 = 5𝑎 +
5−1 𝑏
• 𝐽6 = 6𝑎 + 15𝑏 = 6𝑎
6−1 𝑏
𝑛
2
• Rumus umum  𝐽𝑛 = 𝑛. 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏
𝑛
atau  𝐽𝑛 = {2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏}
2
𝑛
2
atau  𝐽𝑛 = {𝑎 + 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏}
𝑛
2
atau  𝐽𝑛 = (𝑎 + 𝑆𝑛}
Contoh Deret Hitung (Aritmatika)
• Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret
[2 + 4 + 6 + 8 +....]
• Jawab:
Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.
J100
100
=
{2 . (2) + (100 – 1) . 2}
2
= 50 {4 + 198}
= 50 (202)
= 10.100
Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah
10.100
Contoh Deret Hitung (Aritmatika)
• Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari
100.
• Jawab:
Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ...,
99 sehingga diperoleh  a = 3, b = 3, dan Sn = 99.
Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;
Sn = a + (n – 1)b
99 = 3 + (n – 1)3
3n = 99
n = 33
Contoh Deret Hitung (Aritmatika)
• Jumlah dari deret tersebut adalah
Jn =
𝑛
2
J33 =
33
2
(a + Sn )
(3 + 99)
= 1.683
Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari
100 adalah 1.683
TUGAS MANDIRI 2
1.
Carilah suku ke – 20 dari barisan hitung (aritmatika)
3, 8, 13, 18, …
2.
Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan hitung (aritmatika) berikut ini :
a. 3, 7, 11, …
b. 15, 13, 11, 9, …
c. -8, -4, 0, 4, …
d. -6, -1, 4, 9, …
3.
Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan hitung (aritmatika) adalah 13 dan
78. Tentukanlah suku pertama dan bedanya. Berapakah S30 dan J30
4.
Carilah jumlah dari:
a.
b.
c.
40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama
25 bilangan bulat positif genap yang pertama
60 bilangan bulat positif yang pertama
Barisan Ukur (Geometri)
• Barisan Ukur (Geometri) adalah susunan bilangan
yang dibentuk menurut urutan tertentu, di mana
susunan bilangan di antara dua suku yang
berurutan mempunyai rasio yang tetap
(dilambangkan dengan huruf r).
• Jika a1 adalah suku pertama dan r adalah rasio yang
tetap, maka suku ke 2 dan seterusnya adalah
a2 = a1r
a3 = a2r = a1r . r = a1r2
a4 = a3r = a1r2 . r = a1r3
Barisan Ukur (Geometri)
• Sehingga bentuk umum dari barisan geometri
untuk suku ke-n adalah
an = a1rn-1 atau Sn = a1rn-1
Di mana,
an = Sn = suku ke – n
a1 = suku pertama
r = rasio yang tetap
n = banyaknya suku
Contoh 1
• Carilah suku kedelapan dari barisan ukur di
mana suku pertamanya adalah 16 dan rasionya
(r) adalah 2
• Jawab:
Diketahui : a1 atau S1 = 16 , r = 2, n=8
Ditanyakan: S8 = …?
S8 = a1r8-1= a1r7 = 16(2)7 = 2.048
Contoh 2
• Carilah suku kesebelas dari barisan ukur di mana
suku keempat adalah 24 dan suku kesembilan
adalah 768.
• Jawab:
a4 = a1r3 = 24
&
a7 = a1r8 = 768
Maka,
𝑎1𝑟 8
𝑎1𝑟 3
Karena,
Sehinga,
=
768
24
= 32 = 𝑟5  r = 2
a1r3 = 24 dan r = 2  a1 = 3
a11 = S11 = a1r10 = 3 x (2)10 = 3.072
Deret Ukur
• Adalah jumlah suku – suku atau bilangan –
bilangan dalam suatu barisan ukur
• Bentuk deret ukur
Dn = a1 + a1r + a1r2 +…..+ a1rn-1
• Atau dapat ditulis secara singkat:
Dn = 𝑛1=1 a1rn−1
Rumus Deret Ukur
• Jika rasionya l r l kurang dari 1,
𝑎1 (1 − 𝑟𝑛)
𝐷𝑛 =
(1 − 𝑟)
• Jika rasionya l r l lebih dari 1,
𝑎1 (𝑟𝑛 − 1)
𝐷𝑛 =
(𝑟 − 1)
• Jika rasionya l r l sama dengan 1,
Dn = a1 + a1 +……….+ a1
Dn = n.a1
Contoh
• Carilah jumlah suku ke-8 yang pertama dari
barisan ukur berikut ini:
3, 6, 12, 24, ….
• Jawab:
Diketahui: a1 = 3 ; r = 2 ; n = 8
Maka,
𝐷8 =
3(28 −1)
(2−1)
= 𝟕𝟔𝟓
Tugas Mandiri 3.1
1. Carilah jumlah suku ke-8 yang pertama dari
setiap deret ukur dengan a dan r diketahui di
bawah ini
a. a = 4; r =1/4
b. a = 10; r = -2/3
c. a = 15 3/4 ; r = 1
Model Perkembangan Usaha
• Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam
kegiatan usaha—misalnya produksi, biaya,
pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau
penanaman modal—berpola seperti deret hitung,
maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan
untuk menganalisis perkembangan variabel
tersebut.
• Berpola deret hitung di sini maksudnya adalah
bahwa variabel yang bersangkutan bertambah
secara konstan dari satu periode ke periode
berikutnya
Model Perkembangan Usaha: Contoh
• Besarnya penjualan PT. Cemerlang adalah Rp
720 juta pada tahun kelima dan Rp 980 juta
pada tahun ketujuh. Apabila pola perkembangan
penjualannya seperti deret hitung, maka:
▫ Berapakah jumlah perkembangan penerimaannya
per tahun?
▫ Berapa besar penerimaan pada tahun pertama
dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar
Rp 460 juta?
Model Perkembangan Usaha: Contoh
• Asumsi angka dalam jutaan.
S7 = 980  a + 6b = 980
S5 = 720  a + 4b = 720
2b = 260  b = 130
• Penerimaan pada tahun pertama:
a + 4b = 720  a = 720 – 4(130) = 200
• Penerimaan sebesar 460 juta pada tahun ke??
Sn = a + (n-1)b  460 = 200 + (n-1).130
460 = 200 + 130.n – 130
130n = 390
n=3
Model Bunga Majemuk
• Merupakan penerapan deret ukur dalam kasus
simpan-pinjam dan investasi. Dengan model ini,
dapat dihitung besarnya pengembalian kredit di
masa datang berdasarkan tingkat bunganya.
• Bisa juga untuk mengukur nilai sekarang dari
suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima
di masa depan.
Rumus Model Bunga Majemuk
• Fn = P.(1+i)n  bila bunga dibayarkan per tahun
𝑖
• Fn = P.(1+ )m.n  bila bunga dibayarkan beberapa kali dalam
setahun
Dimana,
𝑚
Fn = Jumlah akumulatif modal di masa depan
P = Nilai saat ini
i = tingkat bunga per tahun
m = frekuensi pembayaran bunga dalam
setahun
n = jumlah tahun
Rumus ini identik dengan rumus deret ukur Sn+1
Rumus Model Bunga Majemuk
•𝑃=
1
1+𝑖
𝑛
.𝐹
dan/atau 𝑃 =
1
𝑖
1+𝑚 𝑚𝑛
.𝐹
𝑖
)
𝑚
• Suku (1 + i) dan (1 +
dalam dunia bisnis dinamakan
“faktor bunga majemuk” (compounding interest factor)
• Suku
1
(1 + 𝑖)
dan
1
𝑖
(1 + 𝑚)
dalam dunia bisnis dinamakan
“faktor diskonto” (discount factor)
Model Bunga Majemuk: Contoh
• Seorang nasabah meminjam uang di bank Rp 10
juta, dengan masa pinjamannya 3 tahun dan
tingkat bunga 10% per tahun.
▫ Berapa total uang yang harus dikembalikannya
pada saat pelunasan? (petunjuk: pokok & bunga)
▫ Seandainya pembayaran bunganya dilakukan
setiap bulan, berapa jumlah yang ia harus
kembalikan?
Model Bunga Majemuk: Contoh
• Jawab:
P = 10.000.000
N=3
i = 10% = 0,1
Fn = P.(1+i)n
F3 = 10.000.000 (1+0,1)3
F3 = 13.310.000
• Bunga yang dibayarkan setiap bulan = 10% / 12 = 0,83%
Fn = P.(1+i/m)m.n  F3 = 10.000.000 (1+0,0083)12.3
F3 = 13.465.783
Model Bunga Majemuk: Contoh
• Diperkirakan tabungan milik seorang
mahasiswa akan menjadi Rp 10.000.000 pada
masa 5 tahun mendatang jika menabung di Bank
Joker. Jika tingkat bunga Bank Joker adalah 5%
per tahun, maka berapa jumlah uang yang harus
disiapkan mahasiswa tersebut saat mulai
menabung?
Model Bunga Majemuk: Contoh
• Jawab:
1
𝑛.𝐹
1+𝑖
1
. 10.000.000
1+0,05 5
F = 10.000.000
𝑃=
n=5
𝑃=
i = 5% = 0,05
𝑷 = 𝟕. 𝟖𝟑𝟓. 𝟐𝟔𝟏
Tugas Mandiri 3.2
1. Besarnya penjualan PT. Sentosa adalah Rp 520
juta pada tahun keempat dan Rp 970 juta pada
tahun ketujuh. Apabila pola perkembangan
penjualannya seperti deret hitung, maka:
▫ Berapakah jumlah perkembangan penerimaannya
per tahun?
▫ Berapa besar penerimaan pada tahun pertama
dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar
Rp 1 Miliar 420 juta?
Tugas Mandiri 3.2
2. Seorang nasabah meminjam uang di bank Rp 5
juta, dengan masa pinjamannya 3 tahun dan
tingkat bunga 8% per tahun.
▫ Berapa total uang yang harus dikembalikannya
pada saat pelunasan? (petunjuk: pokok & bunga)
▫ Seandainya pembayaran bunganya dilakukan
setiap bulan, berapa jumlah yang ia harus
kembalikan?
Tugas Mandiri 3.3
3. Diperkirakan tabungan milik seorang salesman
akan menjadi Rp 20.000.000 pada masa 10
tahun mendatang jika menabung di Bank BNI.
Jika tingkat bunga BNI Syariah adalah 2% per
tahun, maka berapa jumlah uang salesman
tersebut di tabungannya saat ini?