bab-v-keprimaan

BAB V
KEPRIMAAN
Definisi 5.1
Misal p adalah suatu bilangan bulat positip lebih dari 1 yang hanya mempunyai
pembagi 1 dan p, maka p disebut bilangan prima. Jika suatu bilangan bulat q lebih
dari 1 dan bukan bilangan prima maka q disebut bilangan komposit.
Contoh
1. 2, 3, dan 5 adalah bilangan prima karena:
a. 2 hanya mempunyai pembagi 1 dan 2
b. 3 hanya mempunyai pembagi 1 dan 3
c. 5 hanya mempunyai pembagi 1 dan 5
2. 4, 6, dan 15 adalah bilangan-bilangan komposit karena:
a. Pembagi 4 adalah 1, 2, dan 4 (tidak hanya 1 dan 4)
b. Pembagi 6 juga bukan hanya 1 dan 6
c. Pembagi 15 juga bukan hanya 1 dan 15.
3. Didalam sejarah matematika terdapat beberapa “rumus” untuk menentukan
bilangan prima. Rumus-rumus tersebut menggambarkan adanya usaha para
ilmuwan matematika untuk mencari bilangan prima.
a. Erastosthenes, seorang ahli matematika Yunani telah membuat klasifikasi
bilangan pada tahun 300 SM yang dikenal dengan istilah saringan Erastosthenes
(the sieve Erastosthenes). Adapun proses menentukan bilangan prima  100
adalah sebagai berikut:

Bilangan 1 dicoret

Bilangan 2 diberi tanda dan semua kelipatannya dicoret

Bilangan 3 diberi tanda dan semua kelipatannya dicoret

Bilangan 5 diberi tanda dan semua kelipatannya dicoret

Demikian seterusnya untuk kelipatan-kelipatan bilangan prima berikutnya
sehingga diperoleh bilangan-bilangan 2, 3, 5, 7, 11, 13, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, dan 97

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
99
100
98
b. Rumus yang lain pernah muncul untuk menentukan bilangan prima dan rumus
tersebut dinyatakan dengan f(n) = n2 – n + 41.
Dengan pengecekan secara tabel diperoleh bilangan prima sebagai berikut
N
f(n)
n
f(n)
n
f(n)
N
F(n)
1
41
11
151
21
461
31
971
2
43
12
173
22
503
32
1033
3
47
13
197
23
547
33
1097
4
53
14
223
24
593
34
1163
5
61
15
252
25
641
35
1231
6
71
16
281
26
691
36
1301
7
83
17
313
27
743
37
1373
Teori Bilangan-113
8
97
18
347
28
797
38
1447
9
113
19
383
29
853
39
1523
10
131
21
421
30
911
40
1601
Jika diteruskan untuk n = 41 diperoleh f(n) 1681. Ternyata 1681 habis dibagi 1,
41, dan 1681. Maka 1681 bukan bilangan prima. Sehingga rumus tersebut di
atas gagal untuk menentukan bilangan prima karena tidak berlaku untuk setiap
n.
c. Terdapat rumus lain untuk menentukan bilangan prima yaitu
f(n) = n2 – 79 + 1601.
Teryata rumus ini gagal untuk n = 81 karena
f(81) = 812 -79.81 + 1601
= 1763
= 41.43 (bukan prima)
d. Rumus lain adalah
f(n) = 2 2 + 1
n
Rumus ini juga gagal untuk menentukan bilangan prima karena untuk
n = 5 diperoleh
f(5) = 4194967297 (habis dibagi 641)
Rumus ini dikenal dengan rumus Fermat
e. Salah satu bilangan prima besar yang pernah diketahu adalah
211213 – 1
Peristiwa ini ditemukan di University of Illinois pada tahun 1913. Karena
menjadi kebanggaan pada waktu itu maka monumentalnya menjadi gambar dari
salah satu perangko di Amerika Serikat.
211213 - 1
Teori Bilangan-114
Bilangan di atas mempunyai 3376 angka
f. Pada tahun 1971, bilangan 219937 – 1 diketahui sebagai bilangan prima yang
terdiri dari 6002 angka.
Dalil 5.1
Jika p adalah bilangan prima dan p │ ab, maka p │a, atau p │ b
Bukti:
Anggaplah p ┼ a, karena p adalah suatu bilangan prima, maka p hanya mempunyai
factor 1 dan p sehingga (a,p) = 1
Menurut dalil sebelumnya p │ ab dan (a,p) = 1 berakibat p │ b.
Dengan cara yang sama, jika dianggap p ┼ b maka dapat dibuktikan bahwa p │a.
Dalil 5.2
Jika p adalah bilangan prima dan p │a1 a2 a3 … an, maka paling sedikit membagi
satu faktor ai (1  i  n ).
Bukti:
Karena p │a1 a2 a3 … an, maka p │a1 (a2 a3 … an,).
Menurut dalil sebelumnya maka p │a1 atau p │a2 a3 … an,
Jika p │a1 maka terbukti p paling sedikit membagi satu faktor ai
Jika p ┼ a1, maka p │a1 (a2 a3 … an,) atau p │a2 (a3 … an,). Hal ini berarti
p │a2 atau p │a3 … an,. Demikian seterusnya diperoleh p │an-1 an
Sehingga p membagi paling sedikit membagi satu faktor ai.
Teori Bilangan-115
Dalil 5.3 (Teorema Dasar Aritmatika)
Jika n adalah sebarang bilangan bulat positip lebih dari 1, maka n dapat dinyatakan
secara tunggal sebagai hasil kali faktor-faktor prima.
Bukti
Misal n  Z+ dan n > 1, maka n adalah suatu bilangan prima atau n suatu bilangan
komposit.
Jika n adalah prima, maka terbukti n mempunyai faktor prima n.
Jika n bilangan komposit, maka terdapat bilangan-bilangan bulat n1, n2 dengan
(1<n1,n2<n) sehingga n = n1n2.
Jika n1 dan n2 keduanya bilangan prima maka terbukti n mempunyai faktor prima.
Dalah hal yang lain ada bilangan bulat n1, n2, n3 dengan (1<n1,n2,n3<n) sehingga n
= n1 . n 2 . n 3 .
Demikian seterusnya sehingga diperoleh n = n1. n2. n3. … .nk dengan syarat
(1<n1,n2,n3, … ,nk<n)
dan n1, n2, n3, n4, … ,nk adalah bilangan prima.
Untuk menunjukkan ketunggalan faktor prima, dimisalkan pemafktorannya tidak
prima (bukti negasi) yaitu:
n = p1, p2, p3, p4, … ,pk dan
n = q,, q2, q3, q4, … ,qm dengan pi dan qi adalah bilangan prima.
p1 │n berati p1 │ q1, q2, q3, q4, … ,qk
Karena pi adalah bilangan prima, maka menurut dalil sebelumnya berlaku p1 │ qi
untuk beberapa i. Selanjutnya karena qi juga suatu bilangan prima yaitu bilangan
yang faktornya 1 dan qi, maka jelaslah bahwa p1 = qi.
n = p1, p2, p3, p4, … ,pk dan n = q,, q2, q3, q4, … ,qm
hal ini berarti n = p1, p2, p3, p4, … ,pk = q,, q2, q3, q4, … ,qm
Misal tempat qi di qi maka p1 = q1 sehingga diperoleh
p2, p3, p4, … ,pk = q2, q3, q4, … ,qm
Jika proses sama dilakukan maka diperolah
p2 = q2, p3 = q3, p4 = q4 dan seterusnya.
Jika k < m, diperolah
1 = qk+1qk+2 ... qm.
Teori Bilangan-116
Hal ini tidak mungkin terjadi, sebab tidak ada bilangan-bilangan prima yang hasil
kalinya 1 sehingga terjadi hal yang bertentangan (kontradiksi).
Jika k > m juga deemikian. Berdasarkan hal tersebut haruslah k = m yaitu
pemfaktorannya adalah tunggal.
Dalil 5.4
Terdapat tak hingga banyaknya bilangan prima
Bukti
Anggaplah banyaknya bilangan prima adalah hingga yaitu p1, p2, p3, p4, … ,pk
selanjutnya p1, p2, p3, p4, … ,pk+1
Maka ada dua kemungkinan nilai dari n
1. Jika N adalah suatu bilangan komposit, maka menurut dalil sebelumnya N dapat
dinyatakan sebagai hasil kali faktor-faktor prima. Faktor-faktor prima ini terdapat
dalam p1, p2, p3, p4, … ,pk. Misal pi adalah faktor prima dari N, maka
pi │n atau pi │ p1, p2, p3, p4, … ,pk maka dan pi │1. Hal ini terjadi kontradiksi.
Jadi banyaknya bilangan prima adalah tak hingga.
2. Jika N adalah suatu bilangan prima, maka
N = pj (j = 1,2,3, ... ,k)
N │N berarti
pj │ (p1, p2, p3, p4, … ,pk ) + 1
pj │ p1, p2, p3, p4, … ,pk dan pj │ (p1, p2, p3, p4, … ,pk ) + 1
Maka pj │1. Hal ini terjadi kontradiksi.
Jadi banyaknya bilangan prima adalah
tak hingga.
Teori Bilangan-117
Selanjutnya dalil-dalil yang berkaitan dengan keprimaan dapat digunakan
untuk menentukan faktor-faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan dengan
lebih sederhana.
Contoh.
1. Carilah (24,80)
Jawab
24 = 2 (12) = 2(2.6) = 2 (2.2.3)
= 23.3
80 = 2 (40) = 2 (2.20) = 2 (2.2.10) = 2(2.2.2.5)
= 24.10
Karena (24,80) tidak dapat memuat faktor 2 lebih dari 3, maka (24,80) = 23 = 8
2. Carilah (2700,9000)
Jawab
2700 = 23.33.52
9000 = 23.32.53
Karena (2700,9000) tidak dapat mempunyai faktor 2 lebih dari 2 kali, faktor 3
lebih dari dua kali, faktor 5 lebih dari dua kali maka
(2700,9000) = 22.32.52 = 900.
3. Carilah (54,72,84).
Jawab
Dengan cara yang sama diperoleh
Teori Bilangan-118
(54,72) = 2.32 = 18
(72,84) = 22.3 = 12
Sehingga (54,72,84) = (18,12) = 6
Soal-soal
1. Carilah banyaknya bilangan-bilangan:
a. antara 50 dan 500 yang habis dibagi 3
b. antara 75 dan 750 yang habis dibagi 7
c. antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 3 dan 5
d. antara 100 dan 2000 yang habis dibagi 3 dan 4
e. antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 3,4, dan 5.
2. Tunjukkan bahwa
a. Perkalian tiga bilangan bulat yang berurutan habis dibagi 6.
b. Perkalian empat bilangan bulan berurutan habis dibagi 24.
3. Carilah
a. (60,75) b. (107,91) c. (18,78,144) d. (180,125)
e. (629,357) f. (44239,140299) g. (5321,544)
4. Carilah
a. [12,15] b. [9,21], c.[2,5,11] d. [3,4,6] e.[4,5,9]
5. Carilah (n,n+1) dan [n,n+1] untuk sebarang n bilangan bulat.
Teori Bilangan-119
Teori Bilangan-120