kata pengantar

MODUL III
RUANG VEKTOR
3.1. Ruang Vektor
Ruang vektor merupakan materi yang sangat penting dalam Matematika dan
Statistika. Untuk membangun ruang vektor, diperlukan pengetahuan tentang sistem
bilangan seperti, bilangan real atau bilangan Kompleks, beserta operasi penjumlahan
dan perkalian dari bilangan tersebut. Walaupun namanya ruang vektor, tidak berarti
obyek-obyek dari ruang tersebut berupa vektor dalam arti yang sebenarnya, tetapi
obyek tersebut dapat berperan sebagai vektor asalkan memenuhi sifat dari ruang
vektor. Berikut diberikan definisi ruang vektor atas bilangan real R.
Definisi 3.1 ( Ruang Vektor )
Diberikan ruang V yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.)
dengan skalar atas bilangan real R. Selanjutnya misalkan u, v, w  V dan , 
merupakan skalar-skalar dalam R. Ruang V disebut ruang vektor atas bilangan real
R, jika memenuhi :
A. Terhadap operasi penjumlahan, bersifat :
A1. u + v  V. ( Tertutup terhadap penjumlahan )
A2. u + v = v + u. ( Komutatif terhadap penjumlahan )
A3. ( u + v ) + w = u + ( v + w ). ( Assosiatif dengan penjumlahan )
A4. Untuk setiap u  V terdapat 0  V, sehingga :
0 + u = u + 0. ( Ada elemen netral )
A5. Untuk setiap u  V terdapat -u  V, sehingga :
u + (-u) = (-u) + u = 0. ( Ada invest )
B. Terhadap operasi Perkalian dengan skalar, bersifat :
B1. u  V. ( Tertutup terhadap perkalian dengan skalar)
B2. (u + v ) = u + v.
B3. ( + ) u = u + u.
B4. (u) = ()u.
B5. 1u = u.
Berikut ini diberikan contoh-contoh ruang vektor atas bilangan real R.
Contoh 3.1
Diberikan vektor-vektor u, v  R2 = RxR = { (a,b) ; a  R dan b  R }.
Penjumlahan dan perkalian dengan skalar didefinisikan sebagai berikut :
u + v = (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d), dan
u = (a, b),  R.
Perlihatkan bahwa R2 dengan operasi di atas merupakan ruang vektor atas bilangan
real R.
Jawab :
Untuk memperlihatkan R2 merupakan ruang vektor, diselidiki semua sifat A1–A5
dan B1–B5. Ambil sembarang u, v, w  R2 dan skalar ,   R, maka u, v, w dapat
disajikan menjadi :
u = (a, b), v = (c, d), dan w = (e, f),
dengan a, b, c, d, e, f  R.
A. Terhadap operasi penjumlahan, bersifat :
A1. u + v = (a+c, b+d)  R2.
Sebab a, b, c, d  R maka a + c  R, dan b + d  R.
A2. u + v = (a+c, b+d)
= (c+a, d+b). ( penjumlahan bilangan real komutatif )
= (c, d) + (a, b)
= v + u.
A3. ( u + v ) + w = (a+c, b+d) + (e, f)
= ((a+c)+e, (b+d)+f)
= (a+(c+e),b+(d+f)). (penjumlahan assosiatif)
= (a,b) + (c+e, d+f)
= u + ( v + w ).
A4. Untuk setiap u  R2 terdapat 0 = (0,0)  R2, sehingga :
0 + u = (0,0) + (a, b) = (a,b) = u
u + 0 = (a, b) + (0,0) = (a,b) = u
A5. Untuk setiap u  R2 terdapat -u = (-a, -b)  R2, sehingga :
u + (-u) = (a,b) + (-a,-b)
= (a+(-a), b+(-b))
= (0, 0)
44
= 0  R2 .
(-u) + u = (-a, -b) + (a, b)
= (-a+a, -b+b)
= (0, 0)
= 0  R2 .
B. Terhadap operasi Perkalian dengan skalar, bersifat :
B1. u = (a, b) = (a, b)  R2.
Sebab :   R, dan a,b  R maka a  R, dan b  R.
B2. (u + v ) =  (a+c, b+d)
= (a+c, b+d)
= (a, b) + ( c, d)
=  (a,b) + (c,d)
= u + v.
B3. ( + ) u = ( + ) (a, b)
= (( + )a, ( + )b)
= (a + a, b + b)
= (a, b) + (a, b)
= (a, b) + (a, b)
= u + u.
B4. (u) =  (a, b) = ((a), (b))
= (()a, ()b)= ()(a, b)
= ()u.
B5. 1u = 1(a,b) = (1a, 1b) = (a,b) = u.
Karena syarat A1–A5 dan B1–B5 dipenuhi maka ruang R2 merupakan ruang
vektor atas bilangan real R.
Contoh 3.2
Diberikan vektor u, v  Rn = { (a1,a2,…,an) ; aj  R, j=1,2,…,n }.
Didefinisikan penjumlahan dan perkalian dengan skalar sebagai berikut :
u + v = (a1,a2,…,an) + (b1,b2,…,bn)
= (a1+b1, a2+b2,…, an+bn), aj  R, bj  R, j=1,2,…,n dan
u = (a1, a2,…,an),  R.
45
Perlihatkan bahwa Rn dengan operasi-operasi di atas merupakan ruang vektor atas
bilangan real R.
Jawab :
Soal ini merupakan generalisasi dari Contoh 3.1, sehingga penyelesaiannya serupa
dengan contoh tersebut. Coba anda selesaikan sebagai latihan.
Contoh 3.3
Diberikan ruang R(f) yang menyatakan himpunan semua fungsi f pada garis real R.
Untuk setiap f, g  R(f) dan skalar   R, operasi penjumlahan dan perkalian dengan
skalar, mengikuti :
f+g = (f+g)(x) = f(x)+g(x), dan
f = (f)(x) = f(x), x R.
Apakah R(f) merupakan ruang vektor atas bilangan real R ?.
Jawab :
Untuk memperlihatkan R(f) merupakan ruang vektor, haruslah memenuhi semua
sifat A1-A5 dan B1-B5. Ambil sembarang f,g,h R(f), dan skalar ,   R maka
f, g, h dapat dinyatakan menjadi :
f = f(x)  R, g = g(x)  R, dan h = h(x)  R, x R.
A. Terhadap operasi penjumlahan, bersifat :
A1. f + g = (f+g)(x) = f(x)+ g(x)  R(f).
Sebab f(x)  R, dan g(x)  R, maka f(x) + g(x)  R.
B2. f + g = (f+g)(x)
= f(x)+ g(x)
= g(x)+ f(x) ( penjumlahan bilangan real komutatif )
= (g+f)(x)
= g + f.
B3. (f + g) + h = ((f+g) + h )(x)
= (f+g)(x) + h(x)
= (f(x)+g(x)) + h(x)
= f(x)+ (g(x)+ h(x)) (penjumlahan bilangan real assosiatif)
= (f + (g+h))(x)
= f + (g + h)
A4. Untuk setiap f  R(f) terdapat 0 = 0(x)  R(f), sehingga :
46
0 + f = (0+f)(x) = 0(x)+ f(x) = f(x) = f.
f + 0 = (f+0)(x) = f(x)+ 0(x) = f(x) = f.
A5. Untuk setiap f  R(f) terdapat -f = -f(x)  R(f), sehingga :
f + (-f) = (f +(-f))(x)
= f(x) + -f(x)
= 0(x)  R(f).
(-f) + f = ((-f) + f)(x)
= -f(x) + f(x)
= 0(x)  R(f).
B. Terhadap operasi Perkalian dengan skalar, bersifat :
B1. f = (f)(x) = f(x)  R(f). Sebab , f(x)  R maka f(x) R
B2. (f + g ) = ((f+g))(x)
= (f+g)(x)
=  (f(x) + g(x))
= f(x) + g(x)
= (f)(x) + (g)(x)
= (f + g)(x)
= f + g.
B3. ( + ) f = (( + ) f)(x)
= ( + )f(x)
= f(x) + f(x)
= (f)(x) + (f)(x)
= (f + f)(x)
= f + f.
B4. (f) = ((f))(x)
= ((f)(x))
= (f(x))
= ()f(x)
= ()f.
B5. 1u = (1f)(x) = 1f(x) = f(x) = f.
47
Karena syarat A1–A5 dan B1–B5 dipenuhi maka ruang R(f) merupakan ruang
vektor atas bilangan real R.
Contoh 3.4
Diberikan ruang M2x2(D) dengan :
 a 0
M2x2(D) = { Matriks berukuran 2x2, berbentuk 
 , dengan a, b  R}.
0 b
Operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar mengikuti operasi penjumlahan
dan perkalian dengan skalar pada matriks. Apakah M2x2(D) merupakan ruang vektor
atas bilangan real R?
Jawab :
Untuk memperlihatkan M2x2(D) merupakan ruang vektor, diselidiki semua sifat dari
ruang vektor. Ambil sembarang u, v, w  M2x2(D) dan skalar ,   R maka u, v,
w dapat ditulis menjadi :
 a 0
u= 
, v =
0
b


c 0 
0 d  , dan w =


e
0

0
, dengan a, b, c, d, e, f  R.
f 
A. Terhadap operasi penjumlahan :
0 
 a 0  c 0  a  c
A1. u + v = 
+
= 
 M2x2(D).


b  d 
 0 b  0 d   0
Sebab a, b, c, d  R maka a + c  R, dan b + d  R.
0 
a  c
A2. u + v = 
b  d 
 0
0 
c  a
= 
( penjumlahan bilangan real komutatif )
d  b
 0
 c 0   a 0
= 
 + 

0 d   0 b 
= v + u.
0  e
a  c
A3. ( u + v ) + w = 
+
b  d  0
 0
0
(a  c)  e
= 
0
(b  d ) 

0
f 

f 
48
0
a  (c  e)

= 
(penjumlahan assosiatif)
0
b  (d  f )

0
 a 0  c  e
= 
+ 

d
0 b  0

f 
= u + ( v + w ).
0 0 
A4. Untuk setiap u  M2x2(D) terdapat 0 = 
  M2x2(D), sehingga
0 0 
0 0   a 0   a 0 
0+u= 
 + 
 = 
 = u.
0 0   0 b   0 b 
 a 0  0 0   a 0 
u+0= 
 + 
 = 
 = u.
 0 b  0 0   0 b 
 a 0 
A5. Untuk u  M2x2(D), terdapat -u = 
  M2x2(D), sehingga :
 0  b
 a 0  a 0 
u + (-u) = 
 + 

0 b  0  b
0 
a  ( a )
= 
b  (b)
 0
0 0 
= 

0 0 
= 0  M2x2(D).
 a 0   a 0
(-u) + u = 
+ 

 0  b 0 b
0 
(a)  a
= 
(b)  b
 0
0 0 
= 

0 0 
= 0  M2x2(D).
B. Terhadap operasi perkalian dengan skalar, bersifat :
a 0 a 0 
B1. u =  
 = 
  M2x2(D).
 0 b   0 b
Sebab :   R, dan a,b  R maka a  R, dan b  R.
49
0 
a  c
b2. (u + v ) =  
b  d 
 0
0 
 (a  c)
= 
 (b  d )
 0
0 
a  c
= 
b  d 
 0
a 0  c 0 
= 
 + 

 0 b  0 d 
 a 0
= 
 +
0 b
c 0 
0 d 


= u + v.
 a 0
B3. ( + ) u = ( + ) 

0 b
0
(   )a

= 
0
(   )b

0 
a  a
= 
b  b
 0
a 0   a 0 
= 
 + 

 0 b  0 b
 a 0
 a 0
= 
+ 


0 b
0 b
= u + u.
 a 0 
B4. (u) =  

 0 b
0 
 ( a)
= 
 ( b)
 0
0 
( )a
= 
( )b
 0
 a 0
= () 

0 b
50
= ()u.
a 0 1.a 0  a 0
B5. 1u = 1 
 = 
 = 
 = u.
 0 b   0 1.b  0 b 
Karena syarat A1–A5 dan B1–B5 dipenuhi maka ruang :
 a 0
M2x2(D) = { Matriks berukuran 2x2, berbentuk 
 , dengan a, b  R }
0 b
Dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang berlaku pada matriks
merupakan ruang vektor atas bilangan real R.
Jika anda perhatikan Contoh 3.1 sampai dengan Contoh 3.4, anda akan melihat
bahwa ruang-ruang vektor tersebut, semuanya merupakan ruang vektor atas bilangan
real R. Pada dasarnya, ruang vektor tidak selalu atas bilangan real R, tetapi ada juga
ruang vektor atas bilangan Kompleks C. Namun tidak akan disajikan pada modul ini.
Mungkin anda bertanya bahwa, apakah semua ruang dengan operasi
penjumlahan dan perkalian dengan skalar merupakan ruang vektor?. Jawabannya
adalah tidak. Apabila ruang yang diberikan dengan operasi penjumlahan dan
perkalian dengan skalar, tidak memenuhi salah satu dari sifat A1–A5 atau B1–B5,
maka ruang tersebut bukanlah ruang vektor. Berikut diberikan beberapa contoh ruang
yang bukan ruang vektor atas bilangan real R.
Contoh 3.5
Diberikan ruang R2+ dengan :
R2+ = { (x,y)  R2 ; x  0, y  0, x R, y R },
yaitu himpunan semua pasangan berurutan (x,y) yang terletak pada kuadran pertama.
Selanjutnya operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar mengikuti operasi
penjumlahan dan perkalian pada ruang R2. Apakah R2+ ruang vektor atas bilangan
real R?.
Jawab :
Ruang R2+ bukan ruang vektor atas bilangan real R, karena syarat B-1 tidak dipenuhi.
Ambil sembarang u  R2+, maka u dapat dinyatakan menjadi :
u = (x,y)  R2, dengan x  R, y  R dan x  0, y  0.
Diberikan skalar -  R,  >0, maka :
-u = (-x, -y)  R2+,
51
sebab -x  0, dan -y  0, untuk x  0, y  0.
Contoh 3.6
Diberikan ruang M2x2(D*) dengan :
a 1
M2x2(D*) = { Matriks berukuran 2x2, berbentuk 
 , dengan a,b R}.
1 b 
Operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar mengikuti operasi penjumlahan
dan perkalian dengan skalar yang ada pada matriks. Apakah M2x2(D*) merupakan
ruang vektor atas bilangan real R?
Jawab :
Ruang M2x2(D*) bukan ruang vektor atas bilangan real R, karena syarat A1 tidak
dipenuhi. Ambil sembarang u, v  M2x2(D*), maka u dapat dinyatakan menjadi :
a 1
c 1 
u= 
, v= 

 , dengan a, b, c, d  R.
1 b 
1 d 
2 
 a 1  c 1   a  c
u+v= 
+ 
= 
 M2x2(D*).


c  d 
1 b  1 d   2
Dalam banyak persoalan praktis yang menyangkut ruang vektor, sering
diperhatikan ruang-ruang lain yang merupakan bagian dari ruang vektor tersebut,
yaitu subruang (ruang bagian). Himpunan W yang merupakan himpunan bagian dari
ruang vektor V dikatakan subruang V jika W adalah ruang vektor atas operasi
penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang didefinisikan pada ruang vektor V.
Anda telah mengetahui dengan baik bahwa untuk memperlihatkan suatu ruang
merupakan ruang vektor, haruslah memenuhi syarat A1-A5 dan B1-B5. Jika anda
ikuti prosedur tersebut secara detail satu persatu, maka akan melibatkan pekerjaan
yang cukup panjang dan kurang praktis. Berikut diberikan suatu teorema untuk
memperlihatkan ruang W merupakan subruang dari ruang vektor V atas bilangan real
R.
Teorema 3.1 ( Subruang )
Jika V ruang vektor dan W himpunan bagian dari V, maka ruang W merupakan
subruang dari V, jika berlaku :
(i). (u,v  W)  ( u+v  W ). ( tertutup terhadap penjumlahan ).
52
(ii). (  R, u  W)  (u  W ). (tertutup terhadap perkalian skalar).
Contoh 3.7
Diberikan ruang R(f[a,b]), dengan :
R(f[a,b]) = { f ; f fungsi bernilai real pada interval [a,b], a,b R }.
Operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar diberikan oleh :
f + g = (f+g)(x) = f(x) + g(x), dan
f = (f)(x) =  f(x), x  R.
Selanjutnya diberikan ruang :
C[a,b] = { f ; f fungsi kontinu pada interval [a,b], a,b R }.
Apakan ruang C[a,b] merupakan subruang dari ruang vektor R(f[a,b]).?
Jawab :
Kita telah menunjukkan R(f[a,b]) dengan operasi-operasi yang diberikan merupakan
ruang vektor atas bilangan real (lihat Contoh 3.3). Ruang C[a,b] merupakan subruang
dari R(f[a,b]), sebab :
(i). Ambil sembarang f,g  C[a,b] maka :
f = f(x), dan g = g(x) fungsi-fungsi kontinu pada interval
[a,b]. Akibatnya :
f+g = (f+g)(x) = f(x) + g(x)  C[a,b].
Sebab penjumlahan dua fungsi yang masing-masing kontinu adalah kontinu.
(ii). Untuk   R diperoleh :
f = (f)(x) =  f(x)  C[a,b].
Sebab perkalian fungsi kontinu dengan skalar bilangan real adalah fungsi
kontinu.
Contoh 3.8
Diberikan ruang-ruang :
M(2x2) = { Matriks berukuran 2x2 }, dan
0 a 
M(0) = { Matriks berukuran 2x2, berbentuk 
 , a, b  R }.
b 0 
Operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar sesuai dengan operasi yang
berlaku pada matriks. Perlihatkan M(0) merupakan subruang dari M(2x2).
53
Jawab :
Ambil sembarang A,B  M(0), dan skalar   R, maka :
0 a 
A= 
, B =
b 0 
0 c
 0 a 
d 0 , dan  A = b 0  , a,b,c,d  R.




0 a   0 c 
(i). A + B = 
 + 
=
b 0  d 0
 0
b  d

a  c
 M(0).
0 
Sebab a,b,c,d  R, maka a+c  R, dan b+d  R.
 0 a 
(ii).  A = 
  M(0),
b 0 
Sebab a,b  R dan   R, maka a  R, dan b  R.
Karena (i) dan (ii) berlaku, maka M(0) merupakan subruang dari ruang vektor
M(2x2).
Contoh 3.9
Diberikan ruang vektor :
R(f[a,b]) = { f ; f fungsi bernilai real pada interval [a,b], a,bR }.
Selanjutnya diberikan suatu ruang :
n [a, b] = { f ; f polinomial derajat n, pada interval [a,b], a,b R }.
Perlihatkan n [a, b] merupakan subruang dari ruang vektor R(f[a,b]).
Jawab :
Ambil sembarang f,g  n [a, b] dan skalar   R, maka f dan g dapat dinyatakan
menjadi :
f = f(x) = a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n , dan
g = g(x) = b0  b1 x  b2 x 2  ...  bn x n ,
dengan a0 , a1 , a2 ,..., an  R, an  0 , dan b0 , b1 , b2 ,..., bn  R, bn  0 .
(i). f + g = (f+g)(x) = f(x) + g(x)
= ( a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n ) + ( b0  b1 x  b2 x 2  ...  bn x n )
= (a0  b0 )  (a1  b1 ) x  (a2  b2 ) x 2  ...  (an  bn ) x n
 n [a, b] .
Sebab a0 , a1 , a2 ,..., an  R, an  0 dan b0 , b1 , b2 ,..., bn  R, bn  0 , maka
54
(a0  b0 )  R, ...., (an  bn )  R , dan an  0, bn  0 , maka an  bn  0 .
Jadi f+g merupakan polinomial derajat n.
(ii). f = (f)(x) =  f(x) =  ( a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n ),   0
= (a0 )  (a1 ) x  (a2 ) x 2  ...  (an ) x n
 n [a, b] .
Sebab   0, dan a0 , a1 , a2 ,..., an  R, an  0 , maka :
a0  R,....,an  R , dan an  0 .
Jadi f merupakan polinomial derajat n.
Karena (i) dan (ii) berlaku, maka n [a, b] merupakan subruang dari ruang vektor
R(f[a,b]).
3.2. Basis dan Dimensi Ruang Vektor
Pada
pembahasan
sebelumnya,
anda
telah
memahami
dan
dapat
memperlihatkan suatu ruang merupakan ruang vektor, dengan menggunakan definisi
ruang vektor. Pada bagian ini, anda diharapkan mampu memperoleh vektor-vektor
(dengan sifat tertentu) yang membangun dan merupakan kerangka dari ruang vektor
tersebut, beserta dimensinya. Sifat tertentu yang dimaksudkan disini adalah vektorvektor yang bebas linear (independent linear). Suatu vektor-vektor yang bebas linear
dan membangun/merentang/span ruang vektor V, disebut basis dari V. Dengan
demikian, untuk mempelajari basis dari ruang vektor diperlukan pengertian tentang
konsep-konsep berikut :
a. Kombinasi linear dari suatu vektor.
b. Vektor-vektor yang membangun suatu ruang vektor.
c. Vektor-vektor yang bebas linear.
Pertama diberikan pengertian tentang kombinasi linear dari suatu vektor dan Vektorvektor yang membangun/merentang/span suatu ruang vektor.
Definisi 3.2 (Kombinasi Linear)
Diberikan vektor-vektor v1 , v2 ,..., vn . Vektor v dikatakan kombinasi linear dari
v1 , v2 ,..., vn , jika v dapat dinyatakan sebagai :
55
n
v = 1v1   2 v2  ...   n vn =   i vi
i 1
dengan  i , i =1,2,...,n merupakan skalar bilangan real.
Definisi 3.3 (Membangun)
Diberikan vektor-vektor v1 , v2 ,..., vn pada ruang vektor V. Jika vektor-vektor pada V
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v1 , v2 ,..., vn maka vektor-vektor
v1 , v2 ,..., vn dikatakan membangun/ merentang/span dari ruang vektor V.
Contoh 3.10
Diberikan vektor-vektor dalam R3 :
v1 = (1,2,-1), v2 = (6,4,2), dan v = (9,2,7), v* = (4,-1,8).
Perlihatkan :
a. Vektor v merupakan kombinasi linear dari v1 dan v2.
b. Vektor v* bukan merupakan kombinasi linear dari v1 dan v2.
Jawab :
a. Vektor v merupakan kombinasi linear dari v1 dan v2 haruslah
terdapat 1  R dan 2  R, sehingga :
v = 1v1 + 2v2 , yaitu :
(9,2,7) = 1 (1,2,-1) + 2 (6,4,2)
= (1, 21, - 1) + (62, 42, 22)
= (1+62, 21+42, -1+22)
Persamaan ini memberikan :
1+62 = 9
(1)
21+42 = 2
(2)
-1+22 = 7.
(3)
Persamaan (1) dan (3) memberikan :
82 = 16, atau 2 = 2.
Dari persamaan (3) dengan mensubstitusikan 2 = 2, memberikan :
1 = -3.
56
Akibatnya vektor v dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v1 dan v2, yaitu :
v = -3v1 + 2v2.
b. Vector v* merupakan kombinasi linear dari v1 dan v2 haruslah
terdapat 1  R dan 2  R, sehingga :
v* = 1v1 + 2v2 .
(4,-1,8) = (1+62, 21+42, -1+22)
Persamaan ini memberikan :
1+62 = 4
(1)
21+42 = -1
(2)
-1+22 = 8.
(3)
Persamaan (1) dan (3) memberikan :
82 = 12, atau 2 = 1,5.
(4)
Persamaan (1) digandakan dengan 2, kemudian dikurangi dengan persamaan (2)
diperoleh :
82 = 9, atau 2 = 9/8.
(5)
Persamaan (4) dan persamaan (5) memperlihatkan bahwa, tidak ada 1 dan 2
sehingga :
v* = 1v1 + 2v2.
Jadi v* bukan kombinasi linear dari v1 dan v2.
Contoh 3.11
Diberikan himpunan polinomial { 1, x, x2,...,xn } yang didefinisikan pada interval
[a,b]. Apakah polinomial ini membangun n [a, b] ?
n [a, b] = { f ; f(x) = a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n , pada [a,b] }.
Jawab :
Polinomial { 1, x, x2,...,xn } membangun n [a, b] . Sebab untuk sembarang f 
n [a, b] dapat dinyatakan menjadi :
f(x) = a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n ,
dengan a0 , a1 , a2 ,..., an  R, an  0 .
Contoh 3.12
57
Diberikan vektor-vektor dalam R2, R3, dan Rn :
v1 = (1,0), dan v2 = (0,1),
w1 = (1,0,0), w2 = (0,1,0), dan w2 = (0,0,1).
x1 = (1,0,...,0), x2 = (0,1,0,...,0), ...., dan xn = (0,0,...,1).
Apakah :
a. { v1 = (1,0), dan v2 = (0,1) }
b. { w1 = (1,0,0), w2 = (0,1,0), dan w2 = (0,0,1) }
c. { x1 = (1,0,...,0), x2 = (0,1,0,...,0), ....,xn = (0,0,...,1) }
masing-masing membangun R2, R3, dan Rn.
Jawab :
a. { v1 = (1,0), v2 = (0,1) } membangun R2.
Untuk sembarang vektor v  R2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari :
v = (a,b)
= a (1,0) + b (0,1)
= a v1 + b v2.
b. { w1 = (1,0,0), w2 = (0,1,0), dan w2 = (0,0,1)} membangun R3.
Untuk sembarang vektor w  R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari :
w = (a,b,c)
= a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1)
= a w1 + b w2 + c w3
c. { x1 = (1,0,...,0), x2 = (0,1,0,...,0), ....,xn = (0,0,...,1) }
membangun Rn. Untuk sembarang vektor u  Rn dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari :
u = (a1, a1, …, an )
= a1 (1,0,…,0) + a2 (0,1,0,…,0) + … + an (0,0,…,1)
= a1x1 + a2x2 + … + anxn.
Setelah anda memahami konsep kombinasi linear, dan membangun, berikut ini
disajikan definisi vektor-vektor yang bebas linear dan sangat berguna dalam
memperoleh basis dari suatu ruang vektor.
Definisi 3.4 ( Vektor Bebas Linear)
Diberikan himpunan vektor { v1 , v2 ,..., vn } dalam ruang vektor V.
58
(i). Vektor { v1 , v2 ,..., vn } disebut bebas linear (independent linear)
jika kombinasi linear :
1v1   2 v2  ...   n vn = 0,
mempunyai penyelesaian  1 =  2 = … =  n = 0.
(ii). Vektor { v1 , v2 ,..., vn } dikatakan tidak bebas linear (dependent
linear), jika kombinasi linear :
1v1   2 v2  ...   n vn = 0,
mempunyai penyelesaian paling tidak ada satu  j  0,
j = 1,2,…,n.
Definisi 3.5 ( Basis )
Misalkan V ruang vektor dan B = { v1 , v2 ,..., vn } merupakan himpunan berhingga dari
vektor-vektor pada ruang vektor V. B disebut basis untuk ruang vektor V, jika :
(i). B = { v1 , v2 ,..., vn } bebas linear, dan
(ii). B = { v1 , v2 ,..., vn } membangun V.
Contoh 3.13
Diberikan vektor-vektor dalam R2, R3, dan Rn :
v1 = (1,0), dan v2 = (0,1)  R2,
w1 = (1,0,0), w2 = (0,1,0), dan w2 = (0,0,1)  R3.
x1 = (1,0,...,0), x2 = (0,1,0,...,0), ...., dan xn = (0,0,...,1)  Rn.
Apakah :
a. B2 = { v1, v2 } basis untuk R2.
b. B3 = { w1, w2, w2 } basis untuk R3.
c. Bn ={ x1, x2, ....,xn } basis untuk Rn.
Jawab :
Untuk memperlihatkan B2, B3, Bn basis untuk ruang R2, R3, dan Rn, ditunjukan :
a.(i). B2 = { v1, v2 } bebas linear, sebab kombinasi linear :
1v1   2 v2 = 0
  1 (1,0) +  2 (0,1) = 0
59
 (  1 ,  2 ) = (0,0).
mempunyai penyelesaian  1 =  2 = 0.
Jadi B2 = { v1, v2 } bebas linear.
(ii). B2 = { v1, v2 } membangun ruang R2 (lihat contoh 3.12).
Karena (i) dan (ii) maka B2 = { v1, v2 }, merupakan basis(basis baku) untuk ruang
vektor R2.
b.(i). B3 = { w1, w2, w3 } bebas linear, sebab kombinasi linear :
 1 w1 +  2 w2 +  3 w3 = 0
  1 (1,0,0) +  2 (0,1,0) +  3 (0,0,1) = 0
 (  1 ,  2 ,  3 ) = (0,0,0).
mempunyai penyelesaian  1 =  2 =  3 = 0.
Jadi B3 = { w1, w2, w3 } bebas linear.
(ii). B3 = {w1, w2, w3} membangun ruang R3 (lihat contoh 3.12).
Karena (i) dan (ii) maka B3 = { w1, w2, w3 }, merupakan basis(basis baku) untuk
ruang vektor R3.
c.(i). Bn={ x1, x2, ....,xn } bebas linear, sebab kombinasi linear :
 1 x1 +  2 x2 + … +  n xn = 0
  1 (1,0,…, 0) +  2 (0,1,…,0) + … +  n (0,0,…,1) = 0
 (  1 ,  2 ,…,  n ) = (0,0,…,0).
mempunyai penyelesaian  1 =  2 = … =  n = 0.
Jadi Bn={ x1, x2, ....,xn } bebas linear.
(ii). Bn={x1,x2,....,xn} membangun ruang R3 (lihat contoh 3.12).
Karena (i) dan (ii) maka Bn={ x1, x2, ....,xn }, merupakan basis(basis baku) untuk
ruang vektor Rn.
Perlu anda ketahui bahwa basis dari suatu ruang vektor tidaklah tunggal (tidak
satu-satunya). Berikut diberikan suatu contoh yang membenarkan pernyataan ini.
Contoh 3.14
Diberikan vektor-vektor pada ruang vektor R3 :
B1 = { v1 = (a,0,0), v2 = (0,b,0), dan v3 = (0,0,c) }
B2 = { w1 = (1,0,0), w2 = (0,1,0), dan w3 = (0,0,1) }
60
B3 = { u1 = (1,2,1), u2 = (2,9,0), dan u3 = (3,3,4) }
a. Buktikan B1 basis untuk ruang vektor R3.
b. Buktikan B2 basis untuk ruang vektor R3.
c. Buktikan B3 basis untuk ruang vektor R3.
Jawab :
Untuk memperlihatkan B1, B2, B3 basis untuk ruang R3, ditunjukkan
a.(i). B1 = { v1, v2, v3 } bebas linear, sebab kombinasi linear :
 1 v1 +  2 v2 +  3 v3 = (0,0,0)
  1 (a,0,0) +  2 (0,b,0) +  3 (0,0,c) = (0,0,0)

(  1 a,  2 b,  3 c) = (0,0,0).

 1 a = 0,  2 b = 0, dan  3 c = 0.
mempunyai penyelesaian  1 =  2 =  3 = 0.
Jadi B1 = { v1, v2, v3 } bebas linear.
(ii). B1 = {v1, v2, v3} membangun ruang R3.
Sebab untuk sembarang v dalam R3, dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
:
v = (a,b,c)
= 1(a,0,0) + 1(0,b,0) + 1(0,0,c)
= 1v1 + 1v2 + 1v3
Karena (i) dan (ii) maka B1 = { v1, v2, v3 }, merupakan basis untuk ruang vektor
R3 .
b. B2 = { w1 = (1,0,0), w2 = (0,1,0), dan w3 = (0,0,1) }, merupakan basis baku untuk
R3 (lihat contoh 3.12).
c. B3 = { u1, u2, u3 } juga merupakan basis untuk R3, karena B3 membangun R3 dan
bebas linear. Anda dapat memperlihatkan kebenaran pernyataan ini sebagai
latihan.
Contoh 3.16
Diberikan himpunan B* = { M1, M2, M3, M4}, dengan :
1 0
0 1 
M1 = 
, M2 = 

 , M3 =
0 0 
0 0 
0 0 
1 0 , M4 =


0 0 
0 1  .


61
a b 
Misalkan M(2x2) = { Matriks 2x2 berbentuk 
 }.
c d 
Tunjukan B* merupakan basis (basis baku) untuk M(2x2).
Jawab :
(i). B* = { M1, M2, M3, M4}, bebas linear, sebab :
 1 M1 +  2 M 2 +  3 M3 +  4 M4 = 0
1 0
 1 
 + 2
0 0 

  1
0
0 1 
0 0  +  3


0 0 
1 0 +  4


0  0  2   0
+
+
0 0 0   3
 1  2 
 
=
 3  4 
0 0  0 0 
0 1  = 0 0 

 

0  0 0   0 0 
+
=
0 0  4  0 0
0 0 
0 0 


  1 =  2 =  3 =  4 = 0.
Jadi B*= { M1, M2, M3, M4}, bebas linear.
(ii). B* membangun ruang vektor M(2x2).
a b 
Sebab untuk sembarang M = 
 didalam M(2x2),
c d 
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear :
a b  a
c d  =  0

 
0  0 b  0 0  0 0 
+
+
+
0 0 0 c 0 0 d 
1 0
=a 
 +b
0 0 
0 1 
0 0  + c


0 0 
1 0 + d


0 0 
0 1 


= a M1 + b M2 + c M3 + d M4
Karena (i) dan (ii) maka B* merupakan basis (basis baku) untuk ruang vektor
M(2x2).
Anda telah mengetahui dari contoh-contoh sebelumnya, bahwa basis dari suatu
ruang vektor tidak tunggal. Walaupun demikian, banyaknya vektor dalam basis yang
berbeda-beda tersebut adalah sama. Kebenaran pernyataan ini diberikan oleh teorema
berikut.
Teorema 3.2
Misalkan V suatu ruang vektor atas bilangan real R.
62
Jika B={ v1, v2, ....,vk } dan B*= { u1, u2, ....,ur } masing-masing merupakan basis
untuk ruang vektor V, maka k = r.
Untuk memperlihatkan kebenaran teorema di atas anda dapat memperhatikan
penjelasan berikut.
Karena B={ v1, v2, ....,vk } dan B*= { u1, u2, ....,ur } merupakan basis untuk ruang
vektor V, maka :
(i). Vektor u1, u2, ....,ur bebas linear. Karena B basis maka r  k.
(ii). Vektor v1, v2, ....,vk juga bebas linear. Karena B* juga basis untuk V
maka k  r.
Karena (i) dan (ii) maka r = k.
Contoh 3.17
Diberikan vektor-vektor pada ruang vektor R2 :
B1 = { v1, v2 }, dengan v1 = (1,0) dan v2 = (0,1).
B2 = { u1, u2 }, dengan u1 = (4,0), dan u2 = (0,4).
B3 = { w1, w2 }, dengan w1 = (2,0), dan w2 = (0,2).
a. Apakah B1, B2, B3 basis-basis untuk ruang vektor R2.
b. Kesimpulan apa yang anda dapat peroleh dari (a).
Jawab :
a. Anda dapat dengan mudah memperlihatkan bahwa :
B1={ v1=(1,0), v2 = (0,1)}, B2={ u1=(4,0), u2 = (0,4)},
B3 ={ w1=(2,0), w2=(0,2)},
bebas linear dan membangun R2. Sehingga B1, B2, B3 basis-basis untuk R2. Coba
anda perlihatkan kebenaran ini, sebagai latihan.
b. Terlihat bahwa B1 = { v1, v2 }, B2={ u1, u2 }, dan B3={ w1, w2} masingmasing memuat sebanyak dua vektor. Jadi B1, B2, B3 basis-basis yang berlainan
dari ruang vektor R2, tetapi ketiganya mempunyai vektor penyusun basis yang
sama yaitu dua vektor.
Banyaknya vektor penyusun suatu basis merupakan hal yang sangat penting dalam
menentukan dimensi dari suatu ruang vektor. Definisi berikut memberikan
pengertian tentang dimensi dari ruang vektor V atas bilangan real R.
63
Definisi 3.6 ( Dimensi Ruang Vektor )
(i). Jika V ruang vektor maka dimensi V, ditulis dengan dim(V) adalah banyaknya
vektor-vektor yang menyusun basis V.
(ii). Ruang vektor nol mempunyai dim(V) = 0.
Contoh 3.18
Diberikan himpunan-himpunan B, D dan A, dengan :
a. B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} basis untuk ruang vektor R3.
b. D = { 1, x, x2,…,xn } basis untuk ruang vektor n [a, b] .
c. A = { v1, v2, ....,vk } basis untuk ruang vektor V.
Tentukan dimensi dari ruang vektor R3, n [a, b] dan V.
Jawab :
a. Karena B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} basis untuk ruang vektor R3, maka dim(R3)
=3. Sebab B memuat tiga vektor penyusun, yaitu :
(1,0,0), (0,1,0), dan (0,0,1).
b. Karena D = { 1, x, x2,…,xn } basis untuk ruang vektor n [a, b] maka
dim(
n [a, b] ) = n+1. Sebab D memuat n+1 vektor, yaitu :
1, x, x2, …, xn.
c. Karena A = { v1, v2, ....,vk } basis untuk ruang vektor V, maka dim(V)=k. Sebab
A memuat k vektor penyusun basis.
Perlu anda ingat bahwa, untuk memperoleh basis dan dimensi suatu ruang
vektor sangat tergantung pada sifat kebebasan linear yang membangun ruang
tersebut. Berikut disajikan beberapa pernyataan penting apakah vektor-vektor dalam
suatu ruang vektor bebas linear atau tidak.
(a). Misalkan R(f) ruang vektor dari himpunan fungsi-fungsi bernilai real. Fungsifungsi f,g,h  R(f) mempunyai turunan pertama dan kedua (diferensiabel)
pada xR. Jika Wronskian :
f ( x)
W(x) = g ( x)
h( x )
f ( x)
g ( x)
h( x)
f ( x)
g ( x)
h( x)
 0,
maka f, g, h bebas linear.
64
(b). Jika B = { v1, v2, ....,vk } basis untuk ruang vektor V, maka setiap himpunan
dengan lebih dari k vektor adalah tidak bebas linear.
Contoh 3.19
Diberikan himpunan B = { 1, x, x2 } dan D = { 1, x, ex }.
Apakah B dan D masing-masing bebas linear ?
Jawab :
Misalkan B = { f(x) = 1, g(x) = x, h(x) = x2 }, dan
D = { f(x) = 1, g(x) = x, h(x) = ex }.
Untuk memperlihatkan B bebas linear diperhatikan Wronskian :
f ( x)
W(x) = g ( x)
h( x )
1
= x
x
2
0
f ( x)
g ( x)
h( x)
f ( x)
g ( x)
h( x)
0
0 = 2  0.
2x 2
1
Jadi B = { 1, x, x2 } bebas linear.
Untuk memperlihatkan D bebas linear diperhatikan Wronskian :
f ( x)
W(x) = g ( x)
h( x )
f ( x)
g ( x)
h( x)
1
0
0
= x
ex
1
0
ex
ex
f ( x)
g ( x)
h( x)
= ex  0, untuk setiap xR.
Jadi D = { 1, x, ex } bebas linear.
Berikut ini diberikan sebuah konsep yang sangat penting dalam Matematika
dan Statistika, yaitu rank suatu matriks. Rank suatu matriks umumnya dirancang dan
didesain berdasarkan pengertian tentang kebebasan linear, Basis dan vektor-vektor
penyusun dari suatu basis. Berikut diberikan beberapa definisi dan teorema yang
berkaitan dengan rank suatu matriks.
Definisi 3.7. (Ruang Baris dan Ruang Kolom Matriks)
65
Diberikan matriks A berukuran mxn, vektor baris ri, i = 1,2,...,m dan vektor kolom kj
, j = 1,2,..,n :


A= 



a11
a 21
a12
a 22
:
:
a m1
am2
... a1n 
... a 2 n 
, K1 =
:
: 

... a mn 
 a11 
a 
 21  , ..., Kn =
 : 
 
 a m1 
r1 = a11 a12 ... a1n  , ..., rm = am1
am 2
 a1n 
a 
 2n  ,
 : 
 
a mn 
... amn .
Vektor-vektor r1 = a11 a12 ... a1n  , ..., rm = am1
am 2
... amn  yang terbentuk
dari baris-baris matriks A disebut vektor-vektor baris A. Sebaliknya vektor-vektor
kolom :
 a11 
a 
21
K1 =   , ..., Kn =
 : 
 
 a m1 
 a1n 
a 
 2n  ,
 : 
 
a mn 
yang terbentuk dari kolom-kolom matriks A disebut vektor-vektor kolom A. Sub
ruang Rn yang dibangun oleh vektor-vektor baris dinamakan ruang baris A. Sub
ruang Rm yang dibangun oleh vektor-vektor kolom dinamakan ruang kolom A.
Definisi 3.8. ( Rank )
Rank matriks A, ditulis dengan simbul rank(A) atau r(A), diberikan oleh :
rank(A) = dim(ruang baris A) = dim(ruang kolom A).
Teorema 3.3 ( Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom )
Jika A matriks berukuran mxn, maka :
dim(ruang baris A) = dim(ruang kolom A).
Teorema 3.4 (Kekekaran Ruang Baris)
Operasi elementer matriks tidak merubah ruang baris suatu matriks.
Teorema 3.5
Jika A matriks berukuran nxn, maka pernyataan berikut ekuivalen :
(a). A mempunyai invest.
(b). det(A)  0.
(c). rank(A) = n.
66
(d). Vektor-vektor baris A bebas linear.
(e). Vektor-vektor kolom A bebas linear.
Berdasarkan Definisi 3.7, matriks A berukuran m x n dapat disajikan menjadi
 r1 
r 
2
A =   , atau A = k1
:
 
 rm 
k2
... k n  .
Contoh 3.20.
Diberikan matriks A berukuran 3x4, berikut :
1 0 1 1 
A = 3 2 5 1  .
0 4 4  4
a. Sajikan matriks A dalam bentuk vektor-vektor baris.
b. Sajikan matriks A dalam bentuk vektor-vektor kolom.
c. Tentukan basis dan dimensi ruang baris matriks A.
d. Tentukan basis dan dimensi ruang kolom matriks A.
e. Tentukan rank matriks A.
Jawab :
a. Matriks A disajikan menjadi vektor-vektor baris r1, r2 dan r3 :
 R1 
1 0 1 1 
R 
2
A = 3 2 5 1  =   ,
 : 
0 4 4  4
 
 Rm 
dengan r1= [1 0 1 1], r2= [3 2 5 1], dan r3= [0 4 4 -4].
b. Matriks A disajikan menjadi vektor-vektor kolom k1, k2, k3 dan k4 :
1 0 1 1 
A = 3 2 5 1  = k1
0 4 4  4
k2
k3
k4 ,
1 
1 
0 
1 






dengan k1 = 3 , k2 =  2  , k3 = 5  , dan k4 =  1  .
 4
0 
 4 
 4 
67
c. Untuk memperoleh basis dan dimensi ruang baris dari matriks A,
digunakan operasi baris elementer dari suatu matriks, dan memberikan
1 0 1 1  u 
0 1 1  1 =  v 

  
0 0 0 0   0 
Coba anda perlihatkan kebenaran ini, sebagai latihan.
Karena ada dua vektor baris, yaitu u dan v :
u = [1 0 1 1], dan v = [0 1 1 -1],
yang tidak sama dengan nol, maka basis ruang baris matriks A :
B = {u = [1 0 1 1], v = [0 1 1 -1]}.
Jadi dim(ruang baris matriks A) = 2.
d. Untuk memperoleh basis dan dimensi ruang kolom matriks A,
digunakan operasi baris elementer matriks. Pertama matriks A diambil
transposnya, diperoleh :
1
0
AT = 
1

1
0 
4 
5 4

1  4
3
2
Dengan operasi elementer baris untuk matriks A diperoleh :
1
0

0

0
3 0   y
1 2  z 
=
0 0  0 
  
0 0  0 
Coba anda perlihatkan kebenaran ini, sebagai latihan.
Karena ada dua vektor baris, yaitu y dan z :
y = [1 3 0], dan z = [0 1 2]
yang tidak sama dengan nol, maka basis ruang baris matriks AT :
{ y = [1 3 0], z = [0 1 2]}.
Secara ekuivalen, diperoleh basis ruang kolom dari matriks A adalah :
1 
0 


T
K = { k1 = y = 3 , k2 = z = 1  }.
0 
 2 
T
Karena ada dua vektor kolom, yaitu k1 dan k2 yang tidak sama dengan
68
nol, maka dim(ruang kolom matriks A) = 2.
e. rank(A) = dim(ruang baris A)
= dim(ruang kolom A) = 2.
3.3. Basis Ortonormal
Pada pembahasan sebelumnya anda telah mengetahui bahwa basis dari suatu
ruang vektor tidak tunggal, artinya suatu ruang vektor V dapat mempunyai basis
lebih dari satu. Kenyataan ini memberikan peluang kepada anda untuk memilih suatu
basis tertentu dari ruang vektor. Karena Anda bebas memilih suatu basis, diharapkan
akan diperoleh penyelesaikan yang lebih mudah, untuk suatu problem yang berkaitan
dengan ruang vektor. Dalam persoalan-persoalan Matemátika dan Statistika, sering
diperhatikan basis-basis yang ortogonal dan basis yang ortonormal.
Berikut diberikan suatu metode untuk membangun basis yang ortonormal
dalam suatu ruang, tetapi sebelumnya diberikan pengertian tentang inner product
(hasil kali dalam), norm, dan ruang-ruang vektor khusus, seperti ruang inner product
(pre-Hilbert/hasil kali dalam) dan ruang bernorm, ruang Hilbert serta ruang Banach.
Definisi 3.9 (Inner Product)
Diberikan ruang vektor V atas bilangan real R.
a. Inner product < u, v > pada V adalah suatu fungsi bernilai real dari pasangan u
 V dan v  V yang mempunyai sifat :
I-1. < u, v > = < v, u >.
I-2. < u + v, w > = < u, v > + < u, w > .
I-3. < u, v > =  < u, v >, untuk skalar real .
I-4. < u, u >  0, dan < u, u > = 0  u = 0.
b. Ruang vektor V yang dilengkapi dengan inner product <  ,  >, dinamakan ruang
inner product (ruang hasil kali dalam / ruang pre-Hilbert). Ruang ini sering ditulis
dengan simbul :
( V, <  ,  >), atau disingkat dengan V.
c. Ruang inner product yang lengkap, yaitu setiap barisan Cauchy ruang ini
konvergen, disebut ruang Hilbert.
69
Definisi 3.10 (Norm)
Diberikan ruang vektor V atas bilangan real R.
a. Norm u
adalah suatu funggsi bernilai real pada V, sehingga untuk setiap u  V
mempunyai sifat :
N-1. u
 0.
N-2. u = 0  u = 0.
N-3.  u
N-4. u  v
= 
u , untuk skalar real .
 u + v . ( ketaksamaan segitiga )
b. Ruang vektor V yang dilengkapi dengan suatu norm dinamakan
ruang bernorma. Ruang ini sering ditulis dengan simbul :
( V,  ), atau disingkat dengan V.
c. Ruang bernorma yang lengkap, yaitu setiap barisan Cauchy dalam
ruang ini konvergen, disebut ruang Banach.
Berdasarkan definisi diatas, Jika norm didefinisikan sebagai suatu inner product :
u =  u, u  , maka :
(i). Ruang bernorma menjadi ruang inner product.
(ii). Ruang Banach menjadi ruang Hilbert.
Dalam modul ini hanya diperhatikan inner product saja, sedangkan ruang
bernorma, ruang Hilbert dan ruang Banach, tidak dibahas secara detail.
Apabila anda tertarik untuk untuk memperdalam ruang-ruang tersebut anda
dapat mempelajarinya dalam Analisis Fungsional.
(iii). Jika diberi vektor v = (v1, v2, ....,vn)  Rn, maka norm dari v
merupakan panjang vektor v, yaitu :
v
=  u, u  =
u12  u22  ...  un2 .
Contoh 3.21
Misalkan diberikan vektor-vektor :
u = (u1,u2), dan v = (v1,v2)  R2, dan
x = (x1,x2, ....,xn) dan y = (y1,y2, ....,yn)  Rn.
Didefinisikan suatu fungsi <  ,  > pada R2 dan Rn berturut-turut sebagai berikut :
70
< u, v > = u . v = u1v1 + u2v2 , dan
< x, y > = x . y = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn.
a. Apakah < u, v > merupakan inner product dalam R2.
b. Apakah < x, y > merupakan inner product dalam Rn.
c. Apakah ruang (R2 , <  ,  >) merupakan ruang inner product.
d. Apakah ruang (Rn , <  ,  >) merupakan ruang inner product.
Jawab :
a. Untuk memperlihatkan < u, v > merupakan inner product pada R2, harus
diperlihatkan syarat (I-1)-(I-4), dipenuhi. Untuk setiap u, v R2, diperoleh :
I-1. < u, v > = u1v1 + u2v2
= v1u1 + v2u2 ( perkalian bilangan real komutatif)
= < v, u >.
I-2. < u + v, w > = < [u1+v1] , [u2+v2], [w1 , w2 ] >
= (u1+v1) w1 + (u2+v2) w2
= (u1 w1 + v1 w1) + (u2 w2 + v2 w2)
= (u1 w1 + u2 w2) + (v1 w1 + v2 w2)
= < u, w > + < v, w >.
I-3. Untuk scalar   R :
< u, v > = < (u1, u2), (v1, v2) >
= < (u1, u2), (v1, v2) >
= u1v1 + u2v2
=  (u1v1 + u2v2)
=  < u, v >, untuk skalar .
I-4. < u, u > = u12 + u22  0, dan
< u, u > = u12 + u22 = 0
 u12 = 0, dan u22 = 0.
 u1 = 0, dan u2 = 0.
 u = 0.
Karena (I-1)-(I-4) dipenuhi, maka < u, v > merupakan suatu inner product pada
R2 .
b. Soal ini merupakan generalisasi dari (a), sehingga penyelesaiannya serupa. Coba
anda selesaikan sebagai latihan.
71
c. Dari (a) diperoleh < u, v > merupakan inner product pada R2. Akibatnya ruang
(R2 , <  ,  >) merupakan ruang inner product.
d. Dari (b) diperoleh < u, v > merupakan inner product pada Rn. Akibatnya ruang
(Rn , <  ,  >) merupakan ruang inner product.
Contoh 3.22
Misalkan diberikan vektor-vektor u, v, x, dan y dengan :
 x1 
x 
 u1 
 v1 
2
2
u =   , v =    R , dan x =   , y =


:
u
v
 2
 2
 
 xn 
 y1 
y 
 2   Rn .
 : 
 
 yn 
Diberikan pula matriks-matriks B dan M, dengan :
 b
B=  1
 0



0 
, W= 

b2 



w1
0
...
0
w2
...
:
:
...
:
:
...
0
0
...
0 

0 
+
:  , b1, b2, wj  R .

: 
wn 
Selanjutnya, didefinisikan suatu fungsi terbobot <  ,  > pada R2 dan Rn berturutturut sebagai berikut :
< u, v > = b1u1v1 + b2u2v2 , dan
< x, y > = w1x1y1 + w2x2y2 + .... + wnxnyn.
a. Perlihatkan < u, v > merupakan inner product dalam R2.
b. Perlihatkan < x, y > merupakan inner product dalam Rn.
c. Perlihatkan < u, v > merupakan inner product yang dibentuk oleh matriks B,
yaitu :
< u, v > = (Bv )  (Bu) = vB Bu.
d. Perlihatkan < x, y > merupakan inner product yang dibentuk oleh matriks W,
yaitu :
< x, y > = (Wy )  (Wx) = y W  Wx.
Jawab :
a. Untuk memperlihatkan < u, v > merupakan inner product pada R2, harus
diperlihatkan syarat (I-1)-(I-2), dipenuhi. Untuk setiap u, v R2, diperoleh :
I-1. < u, v > = b1u1v1 + b2u2v2
72
= b1v1u1 + b2v2u2
= < v, u >.
I-2. < u + v, w > = < (u1+v1 , u2+v2), (w1 , w2 ) >
= b1 (u1+v1) w1 + b2 (u2+v2) w2
= (b1u1w1 + b1v1w1) + (b2u2w2 + b2v2w2)
= (b1u1w1+ b2u2w2) + (b1v1w1+ b2v2w2)
= < u, w > + < v, w >.
I-3. Untuk skalar   R :
< u, v > = < (u1, u2), (v1, v2) >
= < (u1, u2), (v1, v2) >
= b1u1v1 + b2u2v2
=  (b1u1v1 + b2u2v2)
=  < u, v >, untuk skalar real .
I-4. < u, u > = b1u12 + b2u22  0, sebab b1, b2  R+ dan
< u, u > = b1u12 + b2u22 = 0
 b1u12 = 0, dan b2u22 = 0.
 u1 = 0, dan u2 = 0. (Sebab b1, b2  R+).
 u = (u1,u2 ) = (0,0) = 0.
Karena (I-1)-(I-4) dipenuhi, maka fungsi terbobot < u, v > merupakan suatu inner
product pada R2.
b. Soal ini merupakan generalisasi dari (a), sehingga penyelesaiannya
serupa. Coba anda selesaikan sebagai latihan.
 u1   v1 
c. < u, u > = <   ,   >
u 2  v 2 
= b1u1v1 + b2u2v2
= (v1 b1 )( b1 u1) + (v2 b2 )( b2 u2)
 b u 
= [v1 b1 , v2 b2 ]  1 1 
 b2 u 2 
 b
=[ v1, v2]  1
 0
0   b1

b2   0
0   u1 
  
b2   u 2 
= vB Bu.
73
d. Soal ini merupakan generalisasi dari (c). Coba anda perlihatkan
sebagai latihan.
Contoh 3.23
Misalkan diberikan Ruang C[a,b], dengan :
C[a,b] = { g ; g fungsi kontinu pada interval [a,b] }.
Untuk setiap f,g,h  C[a,b], didefinisikan suatu fungsi <  ,  > pada C[a,b] dengan :
b
< f, g > =
 f ( x) g ( x) dx
.
a
a. Perlihatkan bahwa ruang (C[a,b], <  ,  >), merupakan ruang
inner product (pre-Hilbert).
b. Jika a = 0, dan b=1, serta fungsi f(x) = 1, g(x) = x, dan h(x) = ex,
Hitung nilai-nilai dari < f, g >, < f, h >, dan < g, h >.
Jawab :
a. Untuk setiap f, g  C[a,b], diperoleh :
b
I-1. < f, g > =
 f ( x) g ( x) dx
a
b
=
 g ( x) h( x) dx
a
= < g, f >.
b
I-2. < f + g, h > =  [ f ( x)  g ( x)] h( x) dx
a
b
=  [ f ( x) h( x)  g ( x) h( x)] dx
a
=
b
b
a
a
 f ( x) h( x) dx +  g ( x) h( x) dx
(sifat integral).
= < f, h > + < g, h >.
I-3. Untuk skalar   R :
b
< f, g > =

f ( x) g ( x) dx
a
74
b
=   f ( x) g ( x) dx
a
=  < f, g >.
b
I-4. < f, f > =

f ( x) f ( x) dx
a
b
=
 [ f ( x)]
dx  0. (sebab f 2 ( x)  0 ), dan
2
a
b
< u, u > =
 [ f ( x)]
2
dx = 0
a
 f 2 ( x) = 0  f(x) = 0.
Karena (I-1)-(I-4) dipenuhi, maka <  ,  >, merupakan suatu inner product pada
C[a,b]. Akibatnya ruang ( C[a,b], <  ,  >) merupakan ruang inner product.
b. Untuk a = 0, b=1, dan f(x) = 1, g(x) = x, dan h(x) = ex, diperoleh :
1
< f, g > =

0
1
1. x dx = , < f, h > =
2
1
 1. e
x
dx = e – 1, dan
0
1
< g, h > =

xe x dx = 1.
0
Setelah anda mengerti pengertian tentang inner product dan ruang inner
product, selanjutnya dalam modul ini akan disajikan basis khusus dari ruang inner
product, yaitu basis ortogonal dan ortonormal. Berikut diberikan definisi tentang
ortogonal dan basis ortonormal.
Definisi 3.11 (Ortogonal dan Ortonormal)
Misalkan V merupakan ruang inner product.
a. Vektor u,v dalam V dikatakan ortogonal jika < u, v > = 0.
b. Sebuah himpunan vektor dinamakan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor
yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal.
c. Sebuah himpunan vektor ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norm
(panjang) satu, dinamakan ortonormal.
Untuk mendapatkan basis ortogonal dan basis ortonormal dari suatu ruang
inner product, anda dapat menggunakan suatu metode ortogonalisasi dan
75
ortonormalisasi yang sudah sangat terkenal, yaitu proses Gram-Schmidt. Tetapi
sebelumnya diberikan beberapa konsep penting yang mendasari proses tersebut.
(i). Jika V ruang inner product dan B = {v1,v2, ....,vn} basis ortonormal V, maka
untuk setiap v  V dapat disajikan menjadi kombinasi linear :
v = <v,v1> v1 + <v,v2> v2 + ... + <v,vn> vn.
(ii). Jika V ruang inner product dan {v1,v2, ....,vn} himpunan vektor ortonormal dari
V, serta U adalah ruang yang dibangun oleh vektor v1,v2, ....,vn, maka setiap v 
V dapat disajikan menjadi :
v = u1 + u2, dengan :
u1 = <v,v1> v1 + <v,v2> v2 + ... + <v,vn> vn, dan
u2 = v – { <v,v1> v1 + <v,v2> v2 + ... + <v,vn> vn }.
(iii). Jika V ruang inner product, maka V mempunyai sebuah basis ortonormal.
Untuk memperoleh basis ortonormal suatu ruang inner product yang
eksistensinya dijamin oleh persamaan (iii), dapat mengikuti proses ortogonalisasi
Gram-Schmidt, berikut :
Misalkan V ruang inner product dengan basis B = {v1,v2, ....,vk}. Ingin dicari suatu
basis ortonormal N untuk ruang vektor V, berdasarkan basis B, yaitu :
N ={n1,n2, ....,nk}.
Langkah 1 : Mencari n1 yang ortonormal, dengan cara komponen
basis B yang pertama v1 dibuat mempunyai panjang satu.
n1 =
v1
.
v1
Langkah 2 : Mencari n2 yang ortonormal dengan n1.
n2 =
v2   v2 , n1  n1
.
v2   v 2 , n1  n1
Langkah 3 : Mencari n3 yang ortonormal dengan n1 dan n2.
n3 =
v3   v3 , n2  n2   v3 , n1  n1
.
v3   v3 , n2  n2   v3 , n1  n1
Langkah di atas, diteruskan sampai dengan k langkah, diperoleh :
Langkah k : Mencari nk yang ortonormal dengan n1,n2,…, nk-1.
nk =
vk   vk , nk 1  nk 1  ...   vk , n2  n2   vk , n1  n1
.
vk   vk , nk 1  nk 1  ...   vk , n2  n2   vk , n1  n1
Jadi basis ortonormal untuk ruang inner product V, adalah :
76
N = { n1 =
nk =
v1
v   v2 , n1  n1
, n2 = 2
, ....,
v2   v 2 , n1  n1
v1
vk   vk , nk 1  nk 1  ...   vk , n2  n2   vk , n1  n1
}.
vk   vk , nk 1  nk 1  ...   vk , n2  n2   vk , n1  n1
Contoh 3.24
Perlihatkan bahwa himpunan vektor-vektor N = {n1,n2, ....,nk} dalam proses GramSchmidt merupakan vektor dengan norm (panjang) satu.
Jawab :
Proses Gram-Schmidt memberikan vektor-vektor :
n1 =
v1
v1

n1 =
=
n2 =
v1
v1
v2   v2 , n1  n1
v2   v 2 , n1  n1
v1
v1
= 1.
 n2 =
=
v 2   v 2 , n1  n1
v 2   v 2 , n1  n1
v2   v 2 , n1  n1
v2   v 2 , n1  n1
= 1.
Proses diteruskan sampai k langgkah, diperoleh :
nk =
vk   vk , nk 1  nk 1  ...   vk , n2  n2   vk , n1  n1
.
vk   vk , nk 1  nk 1  ...   vk , n2  n2   vk , n1  n1
 nk =
=
vk   vk , nk 1  nk 1  ...   vk , n2  n2   vk , n1  n1
vk   vk , nk 1  nk 1  ...   vk , n2  n2   vk , n1  n1
vk   vk , nk 1  nk 1  ...   vk , n2  n2   vk , n1  n1
vk   vk , nk 1  nk 1  ...   vk , n2  n2   vk , n1  n1
= 1.
77
Contoh 3.25
Diberikan himpunan B = {v1=(1,1,1), v2 =(0,1,1), v3 = (0,0,1)} yang merupakan
basis untuk ruang inner product R3. Berdasarkan proses Gram-Schmidt dapatkan
basis ortonormal untuk R3.
Jawab :
Proses Gram-Schmidt memberikan :
Langkah 1 :
v1 = 1  1  1 =
3.
v1
1 1 1
=( ,
,
).
v1
3 3 3
n1 =
Langkah 2 : Mencari n2 yang ortonormal dengan n1.
Dihitung  v2 , n1  =
2
3
v   v2 , n1  n1
n2 = 2
=
v2   v2 , n1  n1
.
(0, 1, 1) 
(0, 1, 1) 
2
3
2
3
(
(
1
3
1
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
)
.
)
2 1 1
, , )
= 3 3 3
4 1 1
(   )
9 9 9
(
=(
2
6
,
1
6
,
1
6
).
Langkah 3 : Mencari n3 yang ortonormal dengan n1 dan n2.
Dihitung  v3 , n2  =
n3 =
6
, dan  v3 , n1  =
1
3
.
v3   v3 , n2  n2   v3 , n1  n1
v3   v3 , n2  n2   v3 , n1  n1
(0, 0, 1) 
=
1
1
(
2
,
1
,
1
)
1
(
1
,
1
,
1
)
6
6
6
6
3 3 3 3
1 2 1
1
1 1 1 1
(0, 0, 1) 
(
,
,
)
( ,
,
)
6
6
6
6
3 3 3 3
1 1
, )
2 2
1/ 4  1/ 4
(0,
=
78
= (0,
 2
2
,
).
2
2
Jadi basis ortonormal untuk ruang R3 berdasarkan basis B, adalah:
N = { n1 = (
1
3
,
1
3
,
1
3
) , n2 = (
2
6
,
1
6
,
1
6
) , n3 = (0,
 2
2
,
) }.
2
2
Contoh 3.26
Diberikan himpunan B, dengan :
B = {v1=(0,1,0), v2 = (
1
2
, 0,
1
2
) , v3 = (
1
2
, 0,
1
2
) }.
Apakah B himpunan ortonormal dalam R3.
Jawab :
Untuk menunjukan B himpunan ortonormal, haruslah memenuhi sifat :
(i). < vi,vj > = 0, i  j = 1,2,3.
< v1,v2 > = (0,1,0). (
< v1,v3 > = (0,1,0). (
< v2,v3 > = (
1
2
1
2
1
2
1
, 0,
2
1
, 0,
, 0,
).(
) = 0.
2
1
2
1
2
) = 0.
, 0,
1
2
) = ½ - ½ = 0.
(ii). v j = 1, j = 1,2,3.
0  1  0 = 1,
v1 =
v 2 = 1 / 2  0  1 / 2 = 1, dan
v3 = 1 / 2  0  1 / 2 = 1.
Karena (i) dan (ii) dipenuhi, maka B himpunan yang ortonormal.
Contoh 3.27
Diberikan 2 [0,1] = {f : f polinomial derajat dua pada [0,1]}.
Untuk setiap f, g  2 [0,1] , didefinisikan inner product pada 2 [0,1] :
1
< f, g > =

f ( x) g ( x) dx .
0
79
Jika B = { v1 =1, v2 = x , v3 = x2 } merupakan basis untuk 2 [0,1] , Dapatkan basis
ortonormal untuk 2 [0,1] .
Jawab :
Berdasarkan ortogonalisasi Gram-Schmidt diperoleh :
Langkah 1 :
v1 =  v1 ,v1 
2
1
=
 1 dx
= 1  v1 = 1 = 1
0
n1 =
v1
v1
=
1
= 1.
1
Langkah 2 : Mencari n2 yang ortonormal dengan n1.
1

Dihitung :  v2 , n1  =
x dx = ½.
0
x  1/ 2
2
=  x  1 / 2, x  1 / 2 
1
=
 ( x  1 / 2)
2
dx =
0
1
1
=
.
12
2 3
x  1/ 2 =
n2 =
=
1
12
v2   v2 , n1  n1
=
v2   v2 , n1  n1
x  1/ 2
.
x  1/ 2 L
3 (2 x  1).
Langkah 3 : Mencari n3 yang ortonormal dengan n1 dan n2.
1
Dihitung :  v3 , n2  =
3

x 2 (2 x  1) dx =
0
1
 v3 , n1  =

1
.
3
x 2 dx =
0
x 2  x  1/ 6
2
3
,
6
1
=
 (x
2
 x  1 / 6) 2 dx
0
=
1
, dan
5(36)
x 2  x  1/ 6 =
1
6 5
.
80
n3 =
=
v3   v3 , n2  n2   v3 , n1  n1
v3   v3 , n2  n2   v3 , n1  n1
x 2  x  1/ 6
x 2  x  1/ 6
x 2  x  1/ 6
=
1
6 5
=
5 (6 x 2  6 x  1) .
Jadi basis ortonormal untuk ruang 2 [0,1] berdasarkan basis B, adalah:
N = { n1 =1, n2 = 3 (2 x  1). , n3 =
5 (6 x 2  6 x  1) }.
Referensi
Anton, H.,1994, Elementary Linear Agebra, John Wiley and Sons, New York.
Graybill, F.A.,1969, Introduction to Matrics with Applications in Statistics,
Wadsworth Publishing Company Inc, Callifornia.
Kreyszig, E., 1978, Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley
and Sons, New York.
Searle, S.R.,1982, Matrix Algebra Useful for Statistics, John Wiley and Sons, New
York.
81