barisan dan deret 1 bilingual

KONSEP BARISAN DAN DERET
Pola Barisan dan Deret Bilangan
Kompetensi Dasar :
Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika
Indikator :
1. Nilai suku ke- n suatu barisan aritmatika ditentukan
menggunakan rumus
2. Jumlah n suku suatu deret aritmatika ditentukan dengan
menggunakan rumus
Hal.: 2
BARISAN DAN DERET
Adaptif
Pola Barisan dan Deret Bilangan
Saat mengendarai motor, pernahkah kalian mengamati
speedometer pada motor tersebut?
Pada speedometer terdapat angka-angka 0,20, 40, 60, 80, 100,
dan 120 yang menunjukkan kecepatan motor saat kalian
mengendarainya. Angka-angka ini berurutan mulai dari
yang terkecil ke yang terbesar dengan pola tertentu sehingga
membentuk sebuah pola barisan
Hal.: 3
BARISAN DAN DERET
Adaptif
Pola Barisan dan Deret Bilangan
Bayangkan anda seorang penumpang taksi. Dia harus membayar biaya buka pintu
Rp 15.000 dan argo Rp 2.500 /km.
Buka pintu
1 km
2 km
15.000
17.500
20.000
Hal.: 4
BARISAN DAN DERET
3 km
22.500
4 km
…….
Adaptif
NOTASI SIGMA
Konsep Notasi Sigma
Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
………..
(1)
Pada bentuk (1)
Suku ke-1 =
1
= 2.1 – 1
Suku ke-2 =
3
= 2.2 – 1
Suku ke-3 =
5
= 2.3 – 1
Suku ke-4 =
7
= 2.4 – 1
Suku ke-5 =
9
= 2.5 – 1
Suku ke-6 =
11
= 2.6 – 1
Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan
dalam bentuk 2k – 1, k  { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Hal.: 5
BARISAN DAN DERET
Adaptif
NOTASI SIGMA
Dengan notasi sigma bentuk penjumlahan (1) dapat
ditulis :
6
1  3  5  7  9  11   (2k - 1)
k 1
Hal.: 6
BARISAN DAN DERET
Adaptif
NOTASI SIGMA
Bentuk
6
9
9
k 1
k 4
k 4
 (2k  1)  (2(k  3)  1)  (2k  7)
dibaca “sigma 2k – 1 dari k =1 sampai dengan 6”
atau
“jumlah 2k – 1 untuk k = 1 sd k = 6”
1 disebut batas bawah dan
6 disebut batas atas,
k dinamakan indeks
(ada yang menyebut variabel)
Hal.: 7
BARISAN DAN DERET
Adaptif
NOTASI SIGMA
Secara umum
n
a
k 1
Hal.: 8
k
 a1  a 2  a 3  ...  a n1  a n
BARISAN DAN DERET
Adaptif
NOTASI SIGMA
Contoh:
Hitung nilai dari:
4
 (2k  1)  (2 1  1)  (2  2  1)  (2  3  1)  (2  4  1)
k 1
 3  5  7  9  24
Nyatakan dalam bentuk sigma
1. a + a2b + a3b2 + a4b3 + … + a10b9
k
k

1
(a
b
)

10
k 1
Hal.: 9
BARISAN DAN DERET
Adaptif
NOTASI SIGMA
2. (a + b)n =
an  C1nan  1b  Cn2an  2b2  Cn3an  3b3  ...  Cnn  1abn  1  Cnnbn
n
n nr r
 Cr a b
r 0
Hal.: 10
BARISAN DAN DERET
Adaptif
NOTASI SIGMA
Sifat-sifat Notasi Sigma :
n
1. ak  a1  a2  a3 ...  an .
k 1
n
n
2. Cak  C  ak
k m
n
k m
n
n
k m
k m
3. (ak  bk )   ak   bk
k m
n
4. ak
k m
n p
 ak  p
k  m p
n
5. C  (n  m  1)C
k m
p 1
n
n
k m
m 1
k p
k m
6. ak   ak   ak
7. ak  0
, Untuk setiap bilangan bulat a, b dan n
k m
Hal.: 11
BARISAN DAN DERET
Adaptif
NOTASI SIGMA
Contoh1:
Tunjukkan bahwa
Jawab :
3
3
k 1
j 1
 (4i  2)   (4 j  2)
3
 (4i  2)  (4.1  2)  (4.2  2)  (4.3  3)  30
i 1
3
 (4 j  2)  (4.1  2)  (4.2  2)  (4.3  2)  30
j 1
Hal.: 12
BARISAN DAN DERET
Adaptif
NOTASI SIGMA
Contoh 2 :
3
6
2
6
k

6
k


2
Hitung nilai dari
k 1
k 4
Jawab:
3
6
6
6
k 1
k 4
k 1
k 1
2
2
2
2
6
k

6
k

6
k

6
k




= 6 (12 +22 + 32 + 42 + 52 + 62)
= 6 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)
= 6.91 = 546
Hal.: 13
BARISAN DAN DERET
Adaptif
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
 Bilangan-bilangan berurutan seperti pada speedometer memiliki selisih yang
sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan
bilangan
 Barisan Aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda)
dua suku yang berurutan selalu tetap
Bentuk Umum :
U1, U2, U3, …., Un
a, a + b, a + 2b,…., a + (n-1)b
Pada barisan aritmatika,berlaku Un – Un-1 = b sehingga Un = Un-1 + b
Hal.: 14
BARISAN DAN DERET
Adaptif
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Hal.: 15
BARISAN DAN DERET
Adaptif
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Hal.: 16
BARISAN DAN DERET
Adaptif
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Hal.: 17
BARISAN DAN DERET
Adaptif
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Barisan geometri adalah suatu barisan dengan
pembanding (rasio) antara dua suku yang
berurutan selalu tetap.
Ada selembar kertas biru, akan dipotong-potong menjadi dua bagian.
Hal.: 18
BARISAN DAN DERET
Adaptif
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Hal.: 19
BARISAN DAN DERET
Adaptif
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Hal.: 20
BARISAN DAN DERET
Adaptif
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Suku ke-n barisan Geometri adalah :
Hal.: 21
BARISAN DAN DERET
Adaptif
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Hubungan suku-suku barisan geometri
Seperti dalam barisan Aritmatika hubungan antara suku
yang satu dan suku yang lain dalam barisan geometri dapat
dijelaskan sebagai berikut:
Ambil U12 sebagai contoh :
U12 = a.r11
U12 = a.r9.r2 = U10. r2
U12 = a.r8.r3 = U9. r3
U12 = a.r4.r7 = U5. r7
U12 = a.r3.r8 = U4.r8
Secara umum dapat dirumuskan bahwa :
Hal.: 22
BARISAN DAN DERET
Un = Uk. rn-k
Adaptif
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Hal.: 23
BARISAN DAN DERET
Adaptif
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Hal.: 24
BARISAN DAN DERET
Adaptif
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Deret Geometri tak hingga
Deret geometi tak hingga adalah deret geometri yang banyak sukusukunya tak hingga.
Jika deret geometri tak hingga dengan -1 < r < 1 , maka jumlah deret
geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah (konvergen).
a(1  r n )
Sn 
1 r
Untuk n = ∞ , rn mendekati 0
a
1 r
Sehingga S∞ =
Dengan S∞ = Jumlah deret geometri tak hingga
a = Suku pertama
r = rasio
Jika r < -1 atau r > 1 , maka deret geometri tak hingganya akan divergen,
yaitu jumlah suku-sukunya tidak terbatas
Hal.: 25
BARISAN DAN DERET
Adaptif
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Contoh :
1. Hitung jumlah deret geometri tak hingga : 18 + 6 + 2 + … . .
Jawab :
a = 18 ; r 
s 
Hal.: 26
u 2 u3 1


u1 u2 3
a
18
18

  27
1 r 1 1 2
3 3
BARISAN DAN DERET
Adaptif
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
2. Sebuah bola elastis dijatuhkan dari ketinggian 2m. Setiap kali memantul dari
lantai, bola mencapai ketinggian ¾ dari ketinggian sebelumnya. Berapakah
panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti ?
Lihat gambar di samping!
Bola dijatuhkan dari A, maka AB dilalui satu kali,
selanjutnya CD, EF dan seterusnya dilalui dua
kali. Lintasannya membentuk deret geometri
dengan a = 3 dan r = ¾
Panjang lintasan = 2 S∞ - a
a 

 2
a
1 r 


2
 2
1 3

4



2





 2 
2
 2
1




 4 
= 14
Jadi panjang lintasan yang dilalui bola adalah14 m
Hal.: 27
BARISAN DAN DERET
Adaptif
Hal.: 28
BARISAN DAN DERET
Adaptif