Fungsi invers

FUNGSI
SUB BAB 1.8
Definisi:
f:AB
A dan B adalah himpunan. Fungsi f memasangkan tepat satu nilai
di B kepada setiap elemen A. Notasinya f(a) = b, di mana b adalah
nilai unique (satu-satunya) yang dipasangkan kepada a.
A
a
f
x
A disebut domain (daerah asal)
B
b
v
t
B disebut codomain
{b,t} disebut range(daerah hasil)
Terminologi: f: A  B
1. Fungsi f memetakan (maps) A ke B
2. A = domain dari fungsi f, B = codomain dari fungsi f
3. f(a) = b, b disebut image (bayangan) dari a,
a disebut pre-image dari b
4. Himpunan bagian dari B yang berisi semua bayangan
disebut range dari fungsi f
Beberapa contoh fungsi:
1.
Fungsi linier: f ( x)  2 x  3
2.
Fungsi kuadrat:
3.
Fungsi Polinom: f ( x)  x 5  3x 4  2 x 3  x  17, f(x)  x 7  5x 3  2 x  3, dst
4.
Fungsi Trigonometri: f ( x)  sin x, f(x)  cos 2x, f(x)  tan x, dst
5.
8.
Fungsi Eksponen: f ( x)  2 x , f(x)  4 x 2 3 x2 , dst
Fungsi Logaritma: f ( x) 2 log x, f(x)  log(x 2  2 x  3), dst.
x 1
Fungsi invers: f 1 ( x)  2 x  5, f -1 ( x) 
, f(x)  sin -1 x, dst .
x5
Fungsi tangga
9.
Fungsi Lantai
6.
7.
f ( x)  x 2  3x  5, f(x)  - 2x 2  5x  7, dst.
10. Fungsi Atap
11. Fungsi Pecahan:
12. dll
1
x 3
Fungsi Polinom
Bentuk umum fungsi polinom order atau pangkat n ( n bilangan bulat
positif ) dinyatakan oleh:
dengan
. Berikut bentuk khusus dari fungsi polinom, yaitu :
Misal f(x) merupakan fungsi polinom order n maka akan mempunyai paling
banyak n buah
pembuat nol yang berbeda. Untuk mendapatkan pembuat nol fungsi
polinom dapat
digunakan aturan horner.
Beberapa contoh fungsi:
1. Fungsi floor (floor = lantai) : f(x) =  x 
x
x
 x = menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari x
2. Fungsi ceiling (ceiling = langit-langit) : f(x) =  x 
 x  = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x
x
x
Contoh-contoh lain: lihat Examples 1 s/d. 3
1. Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x2
A = Z = { … -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } = domain
B = Z = codomain, { 0, 1, 4, 9, … } = range
2. Fungsi f adalah fungsi floor
A = R = { bilangan nyata } = domain
B = Z = { bilangan bulat } = codomain, range
3. Cari Df dan Rf dari: a. f(x)=
1
x3
b. f(x)=
9  x2
Definisi: penambahan dan perkalian 2 fungsi
f1 : A  R, f2 : A  R
1. (f1 + f2) (x) = f1(x) + f2(x)
2. (f1 f2) (x) = f1(x) f2(x)
Contoh: Example 4
f1 : R  R; f2 : R  R
f1(x) = x2;
f2(x) = x - x2
(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) = (x2) + (x - x2) = x
(f1f2)(x)
Jika f(x)=
= f1(x)f2(x)
= (x2)(x - x2)
9  x dan g(x)= x  1
2
cari Df dan Rf dari f+g dan f.g
1
4
= x3 - x4
Definisi:
f : A  R
S = himpunan bagian dari A
f(S) = { f(s) | s  S }
Contoh: Example 5
A = { a, b, c, d, e }; S = { b, c, d }
B = { 1, 2, 3, 4}
f(a) = 2, f(b) = 1, f(c) = 4, f(d) = 1, f(e) =1
f(S) = { 1, 4 }
Jenis fungsi: f: A  B
1. One-to-one, injective
f fungsi injective  x y [ f(x) = f(y)  x = y ]
Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A
2. Onto, surjective
f fungsi surjective  y x [ f(x) = y ]
Universe (x) = domain = A; universe (y) = codomain (f) = B
3. One-to-one correspondence, bijective
f fungsi bijective jika f injective dan surjective
f:AB
4. Strictly increasing
x y [ ( x  y )  ( f(x)  f(y) ) ]
Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A
5. Strictly decreasing
x y [ ( x  y )  ( f(x)  f(y) ) ]
Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A
6. Fungsi identitas f : A  A
f(x) = x
Contoh: example 6
1
a
2
b
3
c
4
d
5
1-1; injective
Contoh:
nomor urut
nama murid
1
ayu
bambang
2
3
citra
4
dono
5
6
1-1; injective
Contoh: example 6 (modified)
a
3
b
4
c
5
d
Onto, surjective
(not 1-1)
Contoh:
nilai huruf
NRP
101
102
A
110
B
115
119
C
126
D
144
Onto, surjective
(not 1-1)
Contoh: example 6 (modified)
a
1
b
3
c
4
d
5
1-1 and onto; bijective
Contoh:
kegiatan
rutin
TIF-1
praktikum
kuliah
TIF-2
administrasi
TIF-3
kemahasiswaan
TIF-4
kantin
TIF-5
1-1 and onto; bijective
Fungsi invers:
f
a
b
f -1
f A B
f –1: B  A
di mana
di mana
f(a) = b
f –1(b) = a
Catatan: f dan f –1 harus bijective
Komposisi dua fungsi f dan g:
(f o g) (a) = f(g(a))
g
a
f
g(a)
f(g(a))
fog
Catatan: fungsi yang paling kanan dioperasikan paling awal,
selanjutnya fungsi di samping kirinya, demikian seterusnya.
Partial function:
lihat halaman 111
f(x) undefined
A
f
a
b
B
x
Total function:
A
a
x
b
f
y
B