Fungsi File - E Learning UPN Veteran Yogyakarta

Matematika Diskret
Fungsi
Heru C. Rustamaji, S.Si.,M.T.
Rifki Indra, M.Eng.
1
Fungsi yang didefinisikan pada himpunan

Suatu fungsi f dari himpunan X ke Y didefinisikan
sbb:
f:XY




Cara baca : f merupakan fungsi dari X ke Y
Dengan syarat setiap elemen x є X mempunyai
kawan tunggal di Y.
X disebut daerah asal (domain)
Y disebut daerah hasil (codomain)
2
Contoh

Manakah diantara relasi berikut yang
merupakan fungsi X={a,b,c} ke
Y={1,2,3,4?}
a.
.1
.2
.3
.4
b.
c.
a.
.1
.2
.3
.4
b.
c.
a
a.
.1
.2
.3
.4
b.
c.
b
c
3
Daerah hasil fungsi

f(a)=b adalah fungsi x yang memetakan
domain dengan daerah hasil (codomain)
dengan elemen b, daerah hasil fungsi f
adalah {2,4}
f
a
a.
b.
f(a)=2
 f(b)=2
 f(c)=4

c.
b
.1
.2
.3
.4
4
Contoh

Misal X={a,b,c,d,e} dan Y={1,2,3,4}.
Didefinisikan fungsi f:XY dengan
diagram sbb:
X
a.
b.
c.
d.
e.
f
Y
.1
.2
.3
.4
1.Tuliskan domain, codomain dan daerah hasil/
(jelajah) f
2.Carilah f(a),f(b),f(c),f(d),f(e)
5
Domain/codomain tak hingga
Cara penulisan domain/codomain yang tak
berhingga tidak bisa menggunakan
diagram panah, tetapi dapat
menggunakan rumus eksplisit.
 Contoh : f : ZZ dengan f(z)=z+3

Z
….
-2.
-1.
0.
1.
….
f
Z
…..
.0
.1
.2
.3
….
6
Fungsi Injective
 Fungsi Surjective
 Fungsi Bijective

7
1. Fungsi Injective
 Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif
(injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang
memiliki bayangan sama.
A
B
a
1
b
2
c
3
d
4
5
8
Contoh :
9
Contoh lain lagi
Misal f:ZZ tentukan apakah
1. f(x): x2+1;
2. f(x): x-1
fungsi satu ke satu (Injective) untuk semua
bil.bulat?

10
Jawab:
1.
2.
f(x): x2+1 adalah bukan fungsi satu ke
satu karena untuk dua nilai mutlak yang
sama namun berbeda tanda (2 dan -2),
nilai fungsinya sama.
f(x): x-1 adalah fungsi satu ke satu
karena untuk dua nilai mutlak yang sama
berbeda tanda (2 dan -2), nila fungsinya
beda.
11
2. Fungsi Surjective
 Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif
(surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan
bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.
 Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f.
Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.
A
B
a
1
b
2
c
3
d
12
Contoh :
13
Contoh
Misal f:ZZ tentukan apakah
1. f(x): x2+1;
2. f(x): x-1
Adalah fungsi pada (surjective) untuk
semua bilangan bulat dan untuk bilangan
bulat positif?

14
Jawab:
1.
2.
f(x): x2+1 adalah bukan fungsi pada
karena tidak semua nilai bilangan bulat
menjadi daerah jelajah f.
f(x): x-1 adalah fungsi pada karena
untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada
nilai x yang memenuhi yaitu y=x-1 akan
terpenuhi oleh x=y+1.
15
3. Fungsi Bijective
Fungsi f(x) : x-1 adalah contoh fungsi bijective
16
Manakah berikut yang injective, surjective, bijective?
17
Fungsi Invers
 Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B,
maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f.
 Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah
anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B,
maka f -1(b) = a jika f(a) = b.
 Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan
juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita
dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi
dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan
fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi
balikannya tidak ada.
18
Contoh :
f
f-1
1.
.u
u.
.1
2.
.v
v.
.2
3.
.w
w.
.3
19
Komposisi dari dua buah fungsi.
Misalkan f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan g
adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g,
dinotasikan dengan f  g, adalah fungsi dari A ke C yang
didefinisikan oleh
(f  g)(a) = f(g(a))
20
21
Latihan soal-soal
1. Manakah yang injective, surjective, bijective.
.1
.2
.3
.4
.5
a.
b.
c.
d.
a
.1
.2
.3
.4
.5
a.
b.
c.
d.
b
.1
.2
.3
.4
.5
a.
b.
c.
c
.a
.b
.c
.d
1.
2.
3.
4.
5.
d
.a
.b
.c
.d
1.
2.
3.
4.
5.
e
22
2. Misalkan f dan g adalah fungsi pada
himpunan bilangan bulat yang didefinisikan
dengan rumus f(n)=n+1 dan g(n)=n2
Hitunglah (gоf)(n) dan (fоf)(n)? Apakah
(gоf)(n) = (fоf)(n)?
23
3. Soal latihan
Carilah invers dari :
1.f(x)=x-1
2.f(x)=x2+1
3.f(x)=2x-1
4.f(x)=(x+2)2
24
4. Misalkan f, g dan h adalah fungsi-fungsi
yang didefinisikan pada himpunan dengan
f(x)=x+2; g(x)=x-2 dan h(x)=3x
Carilah :
gоf; fоf; fоg; gоg; fоh; hоg; hоf; fоhоf;
25
Referensi

Munir, Rinaldi. “(Buku Teks Ilmu
Komputer) Matematika Diskrit”.
Informatika bandung.
Bandung.2001

Munir, Rinaldi, Materi Kuliah Matematika
Diskrit ITB
http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.m
unir/Matdis/matdis.htm
IF2151/Relasi dan Fungsi
26