Page 1 Matematika Teknik Danang Mursita Sekolah Tinggi

Matematika Teknik
DEFINISI DAN RUANG SOLUSI
Pada bagian ini akan dibahas tentang basis dan dimensi menggunakan pengertian
dari kebebasan linear ( bebas linear dan merentang ) yang dibahas pada bab
sebelumnya. Definisi dari basis diberikan berikut.
Misal V ruang vektor dan S = v1 , v2 ,..., vr himpunan vektor-vektor di V. Maka S
disebut basis untuk V bila :
1. S bebas linear
2. S merentang V
{
}
Setiap ruang vektor mempunyai basis dan tidak tunggal. Basis dari ruang vektor
dibedakan menjadi dua yaitu basis standar / basis baku dan basis tidak standar atau
tidak baku. Kesamaan di antara kedua bentuk basis tersebut terletak pada bilangan
kardinalnya, yaitu banyaknya unsur basis sama.
n
Beberapa basis standar untuk ruang vektor ℜ , Pn dan M22 diberikan sebagai
berikut :
{
}
1. S = e1 , e2 ,..., en dengan e1, e2 ,..., en ∈ℜn ,
en = ( 0,...0,1) merupakan basis standar ℜ .
e1 = (1,0,...0) , e2 = ( 0,1,0,...0) , …,
n
{
}
2. S = 1, x , x 2 ,..., x n merupakan basis standar untuk Pn.
 1 0  0 1  0 0  0 0 
3. S = 
 ,
 ,
 ,
  merupakan basis standar untuk M22.
 0 0  0 0  1 0  0 1 
Dimensi dari ruang vektor didefinisikan sebagai bilangan kardinal dari
n
basisnya, yaitu banyak unsur basis. Oleh karena itu, dim ( ℜ ) = n, dim ( Pn ) = n + 1
dan dim ( M22 ) = 4. Sedangkan ruang vektor nol dikatakan tidak mempunyai basis,
sebab ruang vektor tersebut hanya dibangun / direntang oleh vektor nol saja dan
S = 0 bergantung linear ( tidak bebas linear ), namun ruang vektor nol didefinisikan
berdemensi nol.
{}
Satu sifat apakah suatu himpunan merupakan basis dari suatu ruang vektor
dapat dilihat atau bebas linear atau merentang(⊗) ruang vektor tersebut bila dimensi
ruang vektornya diketahui, seperti diperlihatkan berikut.
{
Misal V ruang vektor dan dim ( V ) = r . Maka S = v1 , v2 ,..., vr
untuk V bila dan hanya bila S bebas linear atau merentang V.
Contoh :
{
}
} merupakan basis
Tunjukkan bahwa himpunan S = 1 + 2 x − 3 x 2 , 3 x − x 2 , 3 + x 2 basis dari ruang polinom
pangkat tiga, P3.
(⊗)
atau A atau B berarti bahwa pilih salah satu di antara A dan B
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
Jawab :
Sebab banyak unsur S = dim ( P3 ), maka cukup ditunjukkan atau bebas linear atau
merentang . Akan ditunjukkan bebas linear.
Misal a, b dan c skalar. Maka dibentuk persamaan,
(
) (
) (
)
a 1 + 2 x − 3x 2 + b 3 x − x 2 + c 3 + x 2 = 0
Ini akan menghasilkan SPL homogen dengan a, b dan c sebagai peubahnya,
a + 3c = 0
2a +3b = 0
-3a – b + c = 0
Matriks koefisien daro SPL homogen tersebut adalah
0 3
 1


3 0
 2
 − 3 −1 1 


Sebab determinan matriks di atas tidak sama dengan nol ( determinan = 24 ) maka S
merupakan basis tidak standar / baku dari P3.
Misal W merupakan sub ruang vektor dari ruang vektor V. Maka dim ( W )
kurang dari atau sama dengan dim ( V ). Hal ini ditunjukkan pada contoh berikut.
Contoh
{
}
W = ( x , y , z ) x = 2z merupakan sub ruang vektor dari ℜ ( tunjukkan ). Tentukan
basis dan dimensi dari W.
3
Jawab :
 x  2z   2z   0  2
 0
         
 
 y =  y  =  0  +  y =  0 z +  1 y
 z   z   z   0  1
 0
         
 
 2  0 
    
Basis W adalah  0 ,  1  , dim ( W ) = 2.
 1  0 


3
Hal ini terlihat bahwa dim ( W ) ≤ dim ( ℜ )
Ruang Solusi
Misal diberikan SPL homogen dengan n peubah dan m persamaan. Maka kita
dapat menentukan solusi SPL homogen tersebut menggunakan eliminasi Gauss Jordan
pada matriks yang diperbesar. Bila solusi SPL homogen tak trivial maka solusi
dituliskan dalam bentuk paramater. Himpunan solusi SPL homogen akan membentuk
ruang vektor yang disebut ruang solusi dan dimensi dari ruang solusi sama dengan
banyaknya parameter. Sedangkan unsur basis ruang solusi adalah vektor / matriks
koefisien ( n x 1 ) dari parameternya.
Contoh :
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
Tentukan basis dan dimensi dari ruang solusi SPL homogen berikut :
x+y+z=0
3x+2y- 2z=0
4x+3y- z=0
6x+5y+z=0
Jawab : OBE matriks yang diperbesar dari SPL
 1 1 1 0
 1 0 − 4 0




 3 2 − 2 0 →  0 − 1 − 5 0
 4 3 − 1 0
0 0
0 0




0 0
 6 5 1 0
0 0
Solusi SPL :
 x  4 s   4 
  
  
 y =  − 5s =  − 5 s
 z  s   1 
  
  
Karena jumlah parameter ( s ) satu maka dimensi ruang solusi sama dengan satu,
sedangkan basis ruang solusi, S yaitu :
 4  
  
S =  − 5  = {( 4 ,−51
, )}
 1  


Soal Latihan
( No 1 sd 5 ). Apakah himpunan yang diberikan berikut meruapakan basis dari ruang
euclides yang sesuai ? Jelaskan !
 2   − 3 
1.  13 ,  
 − 2   4 
 π   3 


 
2.  1  ,  ln 2 
 sin 2   1 
 


 1   0   − 1  1  
        
 1   − 1  0   1  
3.   ,   ,   ,   
 − 1  1   1   0  
 0   1   1   − 1 
 1   1   3  1 
        
4.  1 ,  2  ,  − 1, 1 
 2   2   0  1 
        
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
 0   1   0   1 
       
 1   0   1   0 
5.  ,  ,   ,  
 0   1   1   0 
 1   0   0   1 
( Nomor 6 sd 10 ) Apakah berikut merupakan basis dari ruang vektor yang diberikan
bila,
6. S = {(1,2 ), ( 2,1)} ; ℜ .
2
7. S = {(1,0,−1) ,( 0,1,0) ,( − 1,0,1)} ; ℜ .
3
 1 − 1  − 1 1  1 2  2 1 
8. S = 
 ,
 ,
 ,
  ; M22.
 1 − 1  − 1 1  1 2  2 1 
{
} ; P.
10. S = {1 + x 2 ,2 + x − x 2 ,1 − 2x 2 } ; P .
9. S = 1,1 + x , x + x 2
2
2
( Nomor 11 sd 15 ) Apakah berikut merupakan sub ruang dari ruang vektor yang
diberikan / Bila ya, tentukan basis dan dimensinya.
11.
{( x, y ) x = y − 1} ; ℜ2
{(x, y , z, w) x = y , z = w} ; ℜ4.
13. {a + bx + cx 2 a = b + c} ; P2
14. {( a + 1) + ( b + 1) x + ( c + 1) x 2 a = b + c} ; P2
12.
 a
b 
15. 
  ; M 22
 − b − a  
( Nomor 16 sd 20 ) Selidiki apakah berikut merupakan ruang vektor ! Bila ya, tentukan
basis dan dimensinya.
a
 
16. Himpunan vektor di ruang yang berbentuk  b  dengan a = 2b – c
c 
 
17. Himpunan polinom pangkat dua dengan jumlah kuadrat koefisiennya sama dengan
nol.
18. Himpunan polinom pangkat tiga dengan suku konstan sama dengan nol
19. Himpunan matriks 2 x 2 dengan jumlah elemen diagonal utama sama dengan nol
20. Himpunan matriks 2x2 dengan elemen diagonal utama sama dengan nol.
( Nomor 21 sd 23 ) Tentukan basis dan dimensi dari ruang solusi dari SPL homogen
berikut
21
x + 2y + z + w = 0
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
-x + z - w = 0
y + 2z + 2w = 0
22
2a + b + c + d = 0
-a -b - c + d = 0
b-c-d=0
a-c-d=0
23
2x - 3y + z = 0
4x - 6y + 2z = 0
-6x + 9y - 3 z = 0
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung