teorema kekonvergenan fungsi terintegral henstock

βeta
Vol. 6 No. 1 (Mei) 2013, Hal. 46-57
©βeta2013
p-ISSN: 2085-5893
e-ISSN: 2541-0458
TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCKKURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL
RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLID  n KE RUANG
BARISAN  p , (1  p<  )
Aniswita1
Abstract: In this paper we discuss Henstock Equi  -integrable and
Uniformly Locally Small Riemann Sums (UESRS) properties for
Henstock-Kurzweil integrable functions from the Euclidean spaces  n
into the Sequences space  p , (1  p  )
Keywords: Henstock Equi  -integrable, Uniformly Locally Small
Riemann Sums (UESRS) and Henstock-Kurzweil integrable
functions from the Euclidean spaces  n into the
Sequences space  , (1  p  )
p
A. PENDAHULUAN
Pada tahun 1960, Henstock dan Kurzweil secara terpisah
mengitlakkan integral Riemann dengan mengubah konstanta  menjadi
fungsi positif  dan ternyata integral yang di susun ekuivalen. Oleh karena
itu integral tersebut dikenal dengan integral Henstock-Kurzweil atau
integral Riemann yang diperluas (Gordon, 1994).
Integral ini mendapat perhatian yang sangat besar dari para peneliti,
berbagai penelitian dilakukan untuk menggali sifat-sifat dan aplikasinya.
Diantara sifat tersebut adalah sifat Locally Small Riemann Sums (LSRS)
Pengertian LSRS untuk fungsi bernilai Real pada himpunan bilangan Real
yang terintegral Henstock diberikan dan dibukukan oleh Lee (1989).
Indrati (2002) mengitlakkanya untuk fungsi bernilai real pada ruang
1
STAIN Bukit Tinggi, Indonesia, [email protected]
Aniswita, Teorema Kekonvergenan Fungsi Terintegral...
Euclide berdimensi n, kemudian Suherman (2003) mengembangkannya
untuk fungsi bernilai vektor pada ruang Euclide berdimensi n, sedangkan
untuk fungsi bernilai barisan  p , (1  p<  ) dikembangkan oleh Aniswita
(2006).
Berdasarkan uraian diatas akan diselidiki teorema kekonvergenan
fungsi terintegral Henstock serentak dengan fungsi yang bersifat Locally
Small Riemann Sums (LSRS) dari ruang Euclide  n ke ruang barisan  p ,
(1  p<  ).
Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan  . Untuk
bilangan asli n,  n menyatakan himpunan semua pasangan
bilangan real, yaitu
atas n


 n =    ...   . (n factor) = x  x1 ,..., x n  : xi   dan 1  i  n .
Untuk titik x   n , persekitaran (neighborhood) titik x dengan jari- jari
r> 0, dinotasikan dengan B ( x, r ) dan didefinisikan

B ( x, r ) = y : y   n dan x  y

Untuk (1  p<  ),  p merupakan koleksi semua barisan x =

sehingga
x
k 1
p
k

r .
xk   W
  atau ditulis,


 p =  x  x k  W ,  x k
k 1

p

  . (Kreyszig, E, 1978).

Perlu diperhatikan bahwa fungsi f : E   n   p merupakan barisan
fungsi
fk 
dengan f k : E   n  , untuk setiap k (k  1,2,3,...)
 

sehingga f x = f k (x )   p untuk setiap x  E.
n
Selanjutnya jika f , g fungsi dari E   ke  p didefinisikan nilai
fungsi k f dan f + g sebagai berikut
(i) (k f ) ( x ) = k f ( x ), untuk setiap x  E dan k suatu skalar.
(ii) ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ), untuk setiap x  E.
Untuk setiap f   f k  dan g  g k , untuk setiap k  N didefinisikan
βetaVol. 6 No. 1 (Mei) 2013 | 47
Aniswita, Teorema Kekonvergenan Fungsi Terintegral...




(i) f  g jika dan hanya jika f k  g k , yaitu f k x  g k x , untuk setiap
x  E dan setiap k  N.
(ii) f < g jika dan hanya jika f k  g k , yaitu f k x  g k x , untuk setiap
x  E dan setiap k  N.
(iii) f  g jika dan hanya jika f k  g k , yaitu f k ( x)  g k ( x) , untuk
setiap x  E dan setiap k  N.
Berikut ini diberikan definisi kekonvergenan barisan fungsi.
Diberikan fungsi f n , f : E   n   p untuk setiap n  N.
i) Barisan fungsi
dengan

f  dikatakan konvergen ke fungsi
n
f pada E, ditulis
lim f n = f atau lim f n ( x) = f ( x ), jika untuk setiap x  E
n 
n 

barisan f n (x) konvergen ke f ( x ), yaitu untuk setiap bilangan
>0
dan x  E terdapat bilangan asli m = m(  , x ) sehingga jika n  m
berakibat f n ( x)  f ( x)
 
p
.
ii) Barisan fungsi f n dikatakan konvergen seragam ke fungsi f pada E
jika untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan asli m = m(  ) sehingga
jika n  m berakibat f n ( x)  f ( x)
p
  , untuk setiap x  E.
Selanjutnya karena sel E tertutup dan terbatas maka sel E merupakan
himpunan kompak sehingga untuk setiap barisan fungsi yang konvergen
pada sel E merupakan barisan fungsi yang konvergen seragam pada sel
yang sama.
Berikut diberikan definisi, sifat dasar dan sifat lanjut dari integral
Henstock dari ruang Euclide  n ke ruang barisan  p , (1  p<  ).
Definisi 1.1 Diberikan fungsi volume  pada  n dan E   n sel. Fungsi
f : E   n   p dikatakan terintegral Henstock pada E, ditulis dengan


f  R * E ,  p , jika terdapat a  ak   p dengan sifat untuk setiap
bilangan   0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap
partisi Perron  -fine
D  D, x   Di , x i  : i  1,2,..., r
berlaku
48| βetaVol. 6 No.1 (Mei) 2013
pada E
Aniswita, Teorema Kekonvergenan Fungsi Terintegral...
D 
f ( x)  ( D)  a
p

r
 f (x
i 1
i
)  ( Di )  a

.
p
p
Selanjutnya nilai a  a k   yang dimaksud di atas disebut
nilai integral- 
Henstock fungsi
f
pada E
di tulis dengan
a  ( R*)  f d .
E
Definisi 1.2 Diberikan fungsi volume  pada  n , E   n sel, dan
fungsi f k :  n   untuk setiap k, (k=1,2, ...). Barisan fungsi {fk}
dikatakan terintegral-  Henstock serentak (Henstock Equi  -integrable)
pada E dengan Fk sebagai primitifnya jika untuk setiap bilangan   0
terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap partisi Perron  -
D  D, x  pada E berlaku
D f x  D   F E    ,untuk setiap k.
fine
k
k
Teorema 1.3 (Kriteria Cauchy) Diberikan fungsi volume  pada  n dan
E   n sel. Fungsi f  R * E ,  p ,  jika dan hanya jika untuk setiap
bilangan   0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap
dua partisi
D1  D1 , x  dan D2  D2 , x  pada E
D  f ( x)  ( D
1
1
)
D2  f ( x)  ( D
2
berlaku

)
p
.
Teorema 1.4 (Lemma Henstock) Diberikan fungsi volume  pada  n


dan sel E   n . Jika f  R * E ,  p , dengan F sebagai primitifnya,
yaitu untuk setiap bilangan   0 terdapat fungsi positif
sehingga untuk setiap partisi Perron  -fine
D f ( x)  ( D)  F ( E )   ,
 dari D berlaku D
p
1
1
 pada E
D  D, x  pada E
berlaku
maka untuk setiap jumlah bagian
f ( x)  ( D)  F ( E )
p
 2 .
Teorema 1.5 (Peluasan Harnack) Diberikan fungsi volume  pada  n ,
sel E   n , dan fungsi f : E   n   p . Himpunan X merupakan
βetaVol. 6 No. 1 (Mei) 2013 | 49
Aniswita, Teorema Kekonvergenan Fungsi Terintegral...
himpunan tertutup di dalam E dan {Ei} merupakan barisan himpunan
tertutup sederhana yang tidak saling tumpang-tindih dengan

E
i


 E \ X . Jika f  R * X ,  p ,  dan f  R * Ei ,  p , , untuk
i 1

 ( R )  f d
i 1

  maka
*
setiap i dengan
Ei

f  R * E ,  , dan
p
p

( R* )  f d  ( R* )  f  x d   ( R* )  f d
E
i 1
X
.
Ei
Akibat 1.6 (Sifat Cauchy) Diberikan fungsi volume  pada  n , sel
E   n , dan fungsi f : E   n   p . Barisan {Ei} merupakan barisan
himpunan sederhana yang tidak saling tumpang-tindih dengan

E
i
 E 0 , dengan E 0 menyatakan himpunan titik-dalam (interior
i 1


point) sel E.. Jika f  R * Ei ,  p , , untuk setiap i dengan

  maka
 ( R )  f d
*
i 1
Ei


f  R * E ,  p , dan
p
( R * )  f d 
E

 (R ) 
*
i 1
f d
Ei
B. TEMUAN DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas tentang beberapa teorema kekonvergenan
diantaranya yaitu kekonvergenan terintegral serentak dan teorema
kekonvergenan fungsi yang memiliki sifat Unifomly Locally Small Riemann Sums
(ULSRS).
Definisi 2.1 Diberikan fungsi volume

pada  , sel
n
E   n , dan fungsi
  dikatakan
f k : E   n   p untuk setiap k, (k=1,2,…). Barisan fungsi f
setiap bilangan
partisi Perron

k
 -integrable) pada sel E jika untuk
  0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap
terintegral-  serentak (Henstock Equi
–fine
D  D, x  pada E berlaku
50| βetaVol. 6 No.1 (Mei) 2013
Aniswita, Teorema Kekonvergenan Fungsi Terintegral...
D f x  D   R  f x d

*
k
k
E
p
,
untuk setiap k.
Definisi 2.2 Diberikan fungsi volume

pada  , sel
n
E   n dan fungsi
f k : E   n   p untuk setiap k, (k=1, 2, 3, ....).
Barisan fungsi terukur
f  bersifat LSRS seragam atau Unifomly Locally Small
k
Riemann Sums (ULSRS) pada sel E
terdapat fungsi positif

partisi Perron
-fine
berlaku

  n jika untuk setiap bilangan   0
pada E sehingga untuk setiap y  E dan untuk setiap
D  D, x 

pada sel C  B y,  ( y )
D f x D
k
 dan
y C

p
,
untuk setiap k.
Lemma 2.3 Jika Barisan fungsi terukur
f  bersifat LSRS seragam pada sel
k
E   dan f k  f h.d. pada sel E maka fungsi f bersifat LSRS.
n
Bukti:
Tanpa mengurangi arti dapat dianggap bahwa
f k  f pada sel E , karena
jika f fungsi terintegral Henstock pada sel E dan g = f h.d. pada sel E maka g
terintegral Henstock, lebih lanjut g merupakan fungsi bersifat LSRS pada sel E.
Jadi f
k
 f berarti untuk setiap bilangan   0 dan untuk setiap
x  E terdapat bilangan positif k 0, x dengan sifat untuk setiap k  k 0, x berlaku
 
fk x f x
p


2  E  .
k
Barisan fungsi terukur
terdapat fungsi positif

f  bersifat LSRS seragam pada sel E  
k
pada E sehingga untuk setiap y  E berlaku
βetaVol. 6 No. 1 (Mei) 2013 | 51
n
Aniswita, Teorema Kekonvergenan Fungsi Terintegral...
D f x D
k

p
.
untuk setiap partisi Perron

-fine
D  D, x  pada sel C  By,  ( y ) 
dan y  C untuk setiap k. Lebih lanjut untuk setiap partisi Perron
D  D, x  pada

-fine
sel E, cacah titik terkait adalah hingga. Dengan demikian
menurut lemma Henstock, untuk setiap partisi Perron


D f x D 
D f x  D   D f x  D 

-fine
D  D, x  pada
sel C  B y,  ( y ) dan y  C berlaku
p
k
Dengan

 3 .

D f x 
k
p
.
k  maks k 0, x : x  D
Teorema 2.4 Jika Barisan fungsi terukur
k 
f
maka
  f
lim R *
k
f  adalah barisan fungsi terintegral
k
E   dan f k  f h.d. pada sel E untuk
n
Henstock serentak pada sel
k 
p
terintegral
Henstock
  f d .
pada
sel
E
dan
d  R *
E
E
Bukti:
Tanpa mengurangi arti dianggap f
bilangan
 0
sifat untuk setiap
 
fk x f x
dan untuk setiap
k
 f pada sel E. Berarti untuk setiap
x  E terdapat bilangan positif k x dengan
k  k x berlaku
p


 E  .
Barisan fungsi terukur
serentak pada sel
f  adalah barisan fungsi terintegral Henstock
k
E   sehingga terdapat fungsi positif  pada sel E
n
dengan sifat untuk setiap partisi Perron
52| βetaVol. 6 No.1 (Mei) 2013

-fine
D  D, x  pada E
berlaku
Aniswita, Teorema Kekonvergenan Fungsi Terintegral...
D f
k
  f
( x)  ( D)  R *
k
d


E
2 k 1
p
, untuk setiap k

Cacah titik terkait untuk setiap partisi Perron

D  D, x 
-fine

pada E
K  maks k x : x  D .
adalah hingga maka dapat diambil
Dengan demikian untuk k , m  N diperoleh
R  f
  f
d  R *
*
k
E

m
E
D f
k
p
  f
( x)  ( D)  R *
k
d
E
p
D f x  D 
D f
k
( x)  ( D) 
D f
m
( x)  ( D)  R *
m
  f
m

2
 
Jadi
ke
a.
k


D
 E 
f
n
+
d
E

p
p
x   f x 
m
 D    3
p

 D 
+
2
k
.
f  merupakan barisan Cauchy, akibatnya f  konvergen, katakan
k
k
Berarti terdapat bilangan positif
k 0 dengan sifat untuk setiap k  k 0
berlaku
R  f
*
k
d  a
E

p
.
Untuk setiap partisi Perron


D  D, x  pada E berlaku
K  maks k 0 , k x : x  D

maka
-fine
D  D, x 
untuk
setiap
pada E
partisi Perron
diambil

-fine
βetaVol. 6 No. 1 (Mei) 2013 | 53
Aniswita, Teorema Kekonvergenan Fungsi Terintegral...
D f ( x)  ( D)  a 
D f ( x)  ( D)  D f x  D 
p
k
D f
k
  f
( x)  ( D)  R *
k
+
R  f
d
E
p
*
p
k
a
E
+
p
 3 .
Dengan kata lain terbukti
  f
lim R *
k 
k
  f d .
f
terintegral Henstock pada sel E dan
d  R *
E
E
f  bersifat LSRS seragam pada sel
Teorema 2.5 Jika Barisan fungsi terukur
k
  terintegral Henstock serentak pada sel E.
E   maka f
n
k
Bukti:
Diketahui Barisan fungsi terukur
berarti untuk setiap bilangan
 0
f  bersifat LSRS seragam pada sel E ,
k
terdapat fungsi positif
sifat untuk setiap y  E dan untuk setiap partisi Perron


*
pada E dengan
 
 * -fine D  D, x
*
pada sel C  B y,  ( y ) dan y  C berlaku
D*  f x D
k
untuk setiap k.
Barisan fungsi terukur

p
,
f  konvergen h.d. pada sel E sehingga menurut
k
Teorema Egoroff terdapat himpunan terbuka O dengan
f  konvergen seragam pada
k
 O  

2k
dengan sifat
E \ O . Jadi terdapat bilangan positif K 0
dengan sifat untuk setiap k  K 0 berlaku
 
fk x f x
Untuk setiap k,

p
7 D  , untuk setiap x  E \ O .
f k  R * E ,  p ,   sehingga terdapat fungsi positif  k

sel E dengan sifat untuk setiap dua partisi
54| βetaVol. 6 No.1 (Mei) 2013
 k -fine D 1 , D 2
k
k
pada E berlaku
pada
Aniswita, Teorema Kekonvergenan Fungsi Terintegral...

 D1  f ( x)  ( D)   D2  f x  D 
 k
 k  k
 k
Diambil fungi positif



p

7.
pada sel E dengan
  
 

min  x ,  x ,..., x , d x,  O , untuk setiap x  O .

min  * x ,  1 x ,..., K 0 x , untuk setiap x  E \ O
 x 
*
1
K0
Maka untuk setiap dua partisi
1. Jika
k  K0

-fine
D1 , D 2
pada E
diperoleh
 D1  f ( x)  ( D)   D 2  f



 k




2. Jika
k
x  D 

p

7
.
k  K0
 D1  f ( x)  ( D)   D 2  f



 k





 D1  f ( x)  ( D)   D1  f



 k




 D1  f




 D2  f


K0
K0
( x)  ( D)   D 2  f


K0
k
x  D 

p
x D 

7
+
p
K0
x  D 
p

+
( x)  ( D)   D2  f k x  D  


p
  D1 
 

f
k
x D  f x D
xE \ O
 D1 f
 
xO
k

K0
p
x D
 D 2 


p

xE \ O
f
k
+
 D1 f
 
xO
K0

7

x D

p
x  D   f x  D 

K0
p
βetaVol. 6 No. 1 (Mei) 2013 | 55
Aniswita, Teorema Kekonvergenan Fungsi Terintegral...
 D1 f
 
xO
k
x D
p
 D1 f
 
xO
+


7


7

Jadi terbukti jika barisan fungsi terukur

7
K0
x D
p


7


7


7


7

.
f  bersifat LSRS seragam pada sel E
maka
k
f  terintegral Henstock serentak pada sel E.
Teorema 2.6 Jika Barisan fungsi terukur f  bersifat LSRS seragam pada sel
k
k
E   dan f k  f h.d. pada sel E untuk k   maka fungsi
n
terintegral Henstock pada sel E dan
  f
lim R *
k 
E
k
  f d .
f
d  R *
E
Bukti:
Lemma 2.3 mengakibatkan fungsi f bersifat LSRS pada sel E dan sesuai
dengan Teorema 2.5 diperoleh fungsi f terintegral Henstock pada sel E dan
dengan
  f
lim R
k 
C.
menggunakan
*
k
  f d ..
d  R
E
Teorema
2.4
dan
Teorema
2.5
diperoleh
*
E
SIMPULAN
Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi
yang terintegral Henstock dari ruang Euclide  n ke ruang barisan  p , (1
 p<  ).
Permasalahan-permasalahan lain yang perlu dikembangkan antara
lain kajian mengenai teorema kekonvergenan Globally Small Riemann
Sums fungsi yang terintegral Henstock dari ruang Euclide  n ke ruang
Barisan  p ,(1  p<  ) serta aplikasinya pada disiplin ilmu lain.
DAFTAR PUSTAKA
Gordon, R. A, 1994, The Integral of Lebesque, Denjoy, Perron and Henstock,
American Mathematical Society, USA
Indrati, Ch. R, 2002, Integral Henstock-Kurzweil di Dalam Ruang Euclide
Berdimensi- n, Disertasi, Universitas Gadjah Mada, Indonesia
Kreyszig, E, 1978, Introduction Functional Analysis with Application, John Wiley
and Sons
56| βetaVol. 6 No.1 (Mei) 2013
Aniswita, Teorema Kekonvergenan Fungsi Terintegral...
Lee, P. Y, 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, Word Scientific,
Singapore.
Pfeffer, W. F, 1993, The Riemann Approach to Integration, Cambridge University
Press, New York, USA
Royden, H. L, 1989, Real Analysis, third edition, Macmillan Publishing Company,
New York, USA
βetaVol. 6 No. 1 (Mei) 2013 | 57