2.Khabibah dkk - Eprints undip

BEBERAPA SIFAT SMALL RIEMANN SUMS
FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK-KURZWEIL
DARI RUANG EUCLIDℜ
ℜn KE RUANG BANACH Siti Khabibah1 dan Soeparna Darmawijaya2
Program Studi Matematika FMIPA, Universitas Diponegoro
Jl. Prof. Soedarto, Tembalang-Semarang, 50275.
2
Program Studi Matematika FMIPA, Universitas Gadjah Mada
Jl. Sekip Utara, Yogyakarta
1
Abstract :In this paper we discussed some properties of Henstock-Kurzweil integrable functions
from the Euclidean Spaces ℜninto Banach space , Locally Small Riemann Sums dan Globally
Small Riemann Sums.
Keywords : Euclidean Spaces, Globally Small Riemann Sums, Henstock-Kurzweil, Locally Small
Riemann Sums,.
1. PENDAHULUAN
Untuk memudahkan pembahasan
selanjutnya, pada bagian ini terlebih
dahulu diberikan beberapa definisi dan
sifat-sifat
untuk fungsi terintegral
Henstock-Kurzweil yang bernilai Banach
dan terdefinisi di ruang Euclide ℜn.
Diberikan fungsi volume pada ℜn
dan sel E ⊂ℜn. Fungsi dikatakan terintegral- Henstock pada
E, ditulis dengan , , , jika
terdapat dengan sifat untuk setiap
bilangan ε> 0 terdapat fungsi positif δ
pada E sehingga untuk setiap partisi Perron
δ-fine , , 1,2, … Pada E benar bahwa
! ∑ # $! !∑%&' # $ ! ( ) .
Jika , , dan * koleksisemua sel di
dalam E maka fungsi sel + * dengan
rumus$$$
+ , - . untuk
setiap
sel
I
/
∈* disebut
Primitif
Henstock fungsi pada E. Fungsi , , jika dan hanya jika terdapat fungsi sel
aditif+$ * sehingga untuk setiap
bilangan ε> 0 terdapat fungsi positif δ
pada E berlaku
10
! ∑ # +$ ! !0∑ # +$ 1! ( )
untuk setiap partisi Perronδ-fine , pada E.
Selanjutnya untuk beberapa teorema
dan definisi dalam tulisan ini dirujuk dari
pustaka
yang
ada
kemudian
digeneralisasikan.
Untuk membuktikan ekuivalensi
antara fungsi terintegral HenstockKurzweil dengan fungsi yang mempunyai
sifat Small Riemann Sums diperlukan
suatu criteria dan teorema berikut ini
Teorema
1.1
(Kriteria
Cauchy)
Diberikan fungsi volume α pada ℜn , sel E
⊂ℜn
dan 234 5367.Fungsi
, , jika dan hanya jika untuk
setiap bilangan ) 8 0 terdapat fungsi
positif δ pada E sehingga untuk setiap dua
partisi ' , dan : , pada E berlaku
;' < # : < ; ( ).
Teorema 1.2 Diberikan fungsi volume α
pada ℜn dan sel E ⊂ℜn .Jika , , dengan +$ sebagai primitifnya,
maka untuk setiap bilangan ) 8 0 terdapat
fungsi positif > 8 0 sehingga jika sel
? @ dengan ? ( > berakibat
JurnalMatematika Vol. 14, No. 1, April 2011 : 10-13
A+$ ?A ; -B . ; ( ).
2. LOCALLY SMALL RIEMANN
SUMS (LSRS)
Berikut diberikan definisi fungsi dari
ruang Euclide ℜn keruang Banach yang
memiliki sifat Locally Small Riemann
Sums dan beberapa teorema yang terkait
dengan sifat Locally Small Riemann Sums.
Definisi 2.1 Diberikan fungsi volume α
pada ℜn, sel @ ,dan fungsi . Fungsi dikatakan
mempunyai sifat
Locally Small Riemann Sums (LSRS)
terhadap α pada sel E ditulis dengan
CDD, , jika terukur-α dan
untuk setiap bilangan ) 8 0terdapat fungsi
positif δ pada E sehingga untuk setiap
E$ berlaku
; < ; ( )
untuk setiap partisi Perron δ-fine , pada sel F @ 5E$, GE$.
Teorema 2.2 Diberikan fungsi volume α
pada ℜn, sel @ , dan fungsi . Jika , , maka
CDD, , Bukti :
Diketahui , , berarti untuk
sebarang bilangan ) 8 0 terdapat fungsi
positif δ1 pada E sehingga jika , partisi Perron δ1-fine pada E
berlaku
H
! ∑ # +$ ! (
:
dengan +$ menyatakan primitifnya pada sel
E. Menurut teorema 1.2, berarti terdapat
bilangan > 8 0 sehingga untuk setiap sel
? I dengan ? ( > berlaku
H
A+$ ?A ( .
:
Selanjutnya dibentuk fungsi positif δ pada
H
sel E denganG min MG' , >, :N.
Diperoleh F ( G untuk F O , G P. Lebih lanjut, diperoleh bahwa
F ( G ( >. Dengan demikian untuk
sebarang E$ dan sebarang partisi Perron
δ-fine Q pada sel F @ 5E$, GE$ berlaku
!Q ∑ ! ( !Q ∑ # +$ F! R
A+$ FA
) )
( R ). S
2 2
Teorema2.3 Diberikan fungsi volume α
pada ℜn, sel @ , dan fungsi . Jika CDD, , maka
, , Bukti :
Diberikan sebarang ) 8 0 dan , ' , ' , … , , partisi
Perron δ-fine pada sel E. Untuk setiap
1,2, … , 3 terdapat fungsi positif G
dengan ,, partisi Perron G -fine
pada . Menurut yang diketahui diperoleh
H
! ∑ ,! ( :.
> TUV G ; ,
Diambil
menurut teorema 1.2 didapat
H
A+$ A ; - . ; ( .
XY
:
Oleh karena itu untuk sebarang partisi
Perron G -fine ,, pada diperoleh
! ∑ , # +$ ! Z
! ∑ ,! R A+$ A
H
H
H
( : R : untuk setiap i.
Selanjutnyadiambil
G T3G , G maka [&' merupakan partisi
Perron G -fine pada . Oleh karena itu
diperoleh
! ∑ , # +$ ! ;∑&' \ ∑ , # +$ ];
Z ∑&'! ∑ , # +$ !
)
( 3. )
3
Jadi terbukti , , . S
Dengan demikian menurut teorema 2.2
dan teorema 2.3 diperoleh adanya
ekuivalensi antara fungsi terintegral
Henstock dan fungsi yang mempunyai sifat
LSRS pada sel E.
3. GLOBALLY SMALL RIEMANN
SUMS (GSRS)
Selanjutnya GSRS dikembangkan
berdasarkan pengertian dan sifat fungsi
11
Siti Khabibah dan Soeparna Darmawijaya ( Beberapa Sifat Small Riemann Sums Fungsi Terintegral….)
terpancung. Diberikan sel E ⊂ℜn dan , fungsi ^ dengan rumus sebagai
berikut:
! Z U
, 23`2U!
b
^ _
0$, 23`2UE34a3
disebut fungsi terpancung.
Selanjutnya diberikan definisi
fungsi dari ruang Euclide ℜn keruang
Banach yang memiliki sifat Globally
Small Riemann Sums.
Definisi 3.1 Diberikan fungsi volume α
pada ℜn, sel @ , dan fungsi terukur-α pada sel E. Fungsi dikatakan mempunyai sifat Globally Small
Riemann Sums (GSRS) pada sel E ditulis
dengan cDD, , jika untuk
setiap bilangan ) 8 0 terdapat bilangan
bulat positif K dengan sifat untuk setiap k
≥ K terdapat fungsi positif δk pada E
dengan sifat untuk setiap Perron δk-fine
, pada sel E berlaku
; ∑!de !f^ ; ( ).
Dengan demikian sesuai dengan
definisi, setiap fungsi terukur dan terbatas
pada sel @ bersifat GSRS pada sel E.
Teorema 3.2 Fungsi terdefinisi
pada sel
@ , didefinisikan fungsi ^ dengan
rumus
! Z U
, 23`2U!
b
^ _
0$, 23`2UE34a3.
Fungsi terintegral
Henstock pada sel E
ke +$ dan +$^ +$ untuk U ∞jika dan hanya jika merupakan
fungsi
terukur-α bersifat GSRS pada sel E.
Bukti :
(Syarat perlu) Diketahui , , .
Oleh karena itu untuk setiap bilangan
) 8 0 terdapat fungsi positif G pada sel E
sehingga untuk setiap partisi Perron G fine pada E berlaku
)
; < # +$ ; ( .
3
12
Menurut definisi fungsi ^ diperoleh
^ , , untuk setiap k, jadi
terdapat fungsi positif G^ pada sel E
sehingga untuk setiap partisi Perron G^ fine ^ pada sel E berlaku
)
;^ < ^ # +$^ ; ( .
3
Diketahui +$^ konvergen ke +$ pada sel E sehingga terdapatlah bilangan
asli K dengan sifat untuk setiap k ≥ K
berlaku
)
A+$^ # +$ A (
3
untuk setiap k ≥ K didefinisikan fungsi
positif δ pada sel E dengan G minG , G^ untuk setiap . Jadi
untuk setiap partisi Perron G--fine pada
sel E berlaku
; ∑!de !f^ ; ! ∑ # ^ !
Z ; < # +$ ; R A+$^ # +$ A
H
H
H
( R R ).
i
i
i
R
; < ^ # +$^ ;
(Syarat
cukup):
Diketahui
fungsi
merupakan fungsi terukur bersifat GSRS
pada sel E maka untuk setiap bilangan
) 8 0 terdapat bilangan bulat positif K0
dengan sifat untuk setiap k ≥ K0 terdapat
fungsi positif G^ pada sel E dengan sifat
untuk setiap partisi Perron G^ -fine k pada
sel E berlaku
H
;^ ∑!de !f^ ; ( j.
Lebih lanjut fungsi ^ terintegral Henstock
pada sel E untuk setiap k, sehingga untuk
setiap m, k ≥ K0 terdapat fungsi positif δm
dan G^ pada sel E dengan sifat untuk setiap
partisi Perron δm-fine m dan partisi Perron
G^ #fine k pada sel E berlaku
)
;k < k # +$k ; (
4
dan
H
!^ ∑ ^ # +$^ ! ( j .
Untuk T, U m no diambil fungsi positif δ
dengan rumus G minGk , G^ sehingga untuk setiap partisi Perron G-fine
pada sel E berlaku
JurnalMatematika Vol. 14, No. 1, April 2011 : 10-13
A+$^ # +$k A Z
;+$^ # ^ ∑!de !p^ ; R
! ∑A$$A8U $ $! R ! ∑A$$A8T $ $!
R ;+$k # ∑!de !pk ;
H
H
H
H
( R R R ).
j
j
j
j
Jadi +$^ merupakan barisan Cauchy di
dalam . Karena merupakan ruang
lengkap maka +$^ konvergen, katakan
ke +$ . Dengan demikian terdapat
bilangan bulat Uo dengan sifat untuk setiap
k ≥ k0 berlaku
)
A+$^ # +$ A ( .
4
Diambil n TUV no , Uo ,sehingga
untuk setiap U m n dan untuk setiap partisi
Perron δ-fine pada sel E berlaku
! ∑ # +$ ! Z
! ∑ # +$^ ! R A+$^ # +$ A Z
;+$^ # ∑!de !p^ ; R
4. DAFTAR PUSTAKA
[1] Lee, P. Y., (1989), Lanzhou Lectures
on Henstock Integration, Word
Scientific, Singapore.
[2] Lee, P.Y., Vyborny, R., (2000),
Integral: An Easy Approach After
Kurzweil and Henstock, Cambridge
University Press, UK.
[3] Darmawijaya, S., 1996, Some Small
Riemann Sums Properties, MIHMI, no
1, Vol 2.
[4] Gordon, R. A., (1994), The Integral of
Lebesgue, Denjoy, Perron, dan
Henstock, American Mathematical
Society, USA.
[5] Royden,, H. L., (1989), Real Analysis,
third edition, Macmillan Publishing
Company, New York, USA.
; ∑!de !f^ ; R A+$^ # +$ A
H
H
H
( R R ().
j
j
j
S
13