logika dasar matematika kelompok1

PEMBAHASAN
1. Pengertian Kontradiksi
Kontradiksi adalah dua pernyataan yang bernilai salah untuk setiap nilai
kebenaran dari setiap komponen-komponennya.
2. Pembuktian dengan Kontradiksi
Kontradiksi merupakan salah satu metode pembuktian tidak langsung.
Dalam disiplin logika formal, pembuktian melalui kontradiksi digunakan
ketika sebuah kontradiksi (formal) dapat dihasilkan dari suatu premis, sehingga
premis tersebut adalah salah. Dalam kasus terakhir, metode lain harus
digunakan untuk membuktikan premis mana saja yang salah.
Suatu pernyataan matematis kadang-kadang dibuktikan dengan cara
pembuktian melalui kontradiksi, dengan cara mengasumsikan ingkaran
(negasi) dari pernyataan yang hendak dibuktikan, lalu dari asumsi ini
diturunkan sebuah kontradiksi. Ketika kontradiksi dapat dicapai secara logika,
asumsi tadi telah terbukti salah, sehingga pernyataan tersebut benar. Misalkan
kita akan membuktikan suatu pernyataan 𝑝 bernilai benar. Pembuktian kita
mulai dengan menganggap bahwa pernyataan 𝑝 salah. Dengan kata lain,
pernyataan ~𝑝 bernilai benar. Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa ternyata
pernyataan ~𝑝 bernilai salah. Jadi pernyataan 𝑝 bernilai benar.
Jadi, ada dua langkah untuk melakukan pembuktian 𝑝 pernyataan dengan
metode kontradiksi.
1.
Negasikan 𝑝 dengan tepat.
2.
Tunjukkan bahwa ~𝑝 itu salah, mustahil atau menyebabkan pertentangan/
kontradiksi dengan asumsi-asumsi yang telah diketahui.
Teorema 1
Tidak ada bilangan asli ℕ yang lebih besar dari semua bilangan bulat
lainnya.
1
2
Bukti
Apa ingkaran dari teorema 1 ? Ingkarannya adalah bilangan ℕ tersebut eksis.
Padahal menurut Postulat Peano, 𝑛 + 1 merupakan bilangan asli. Jadi, negasi
teorema bertentangan dengan Postulat Peano, maka bisa disimpulkan teorema
benar.
Contoh 2.1
Misalkan 𝑎 adalah bilangan prima, 𝑏 adalah bilangan bulat positif, dan 𝑏 dapat
dibagi oleh 𝑎. Buktikan bahwa 𝑏 + 1 tidak dapat dibagi oleh 𝑎.
Bukti contoh 2.1
Misalkan 𝑏 + 1 dapat dibagi oleh 𝑎. Dengan kata lain, kita dapat menuliskan
𝑏 + 1 = 𝑎. 𝑝, 𝑝 ∈ ℤ. Diketahui bahwa 𝑏 dapat dibagi oleh 𝑎 sehingga kita
𝑏 = 𝑎. 𝑞, 𝑞 ∈ ℤ.
peroleh
Maka
1 = (𝑏 + 1) − 𝑏 = (𝑎. 𝑝) − (𝑎. 𝑞) =
𝑎(𝑝 − 𝑞), (𝑝 − 𝑞) ∈ ℤ. Kita peroleh 1 = 𝑎(𝑝 − 𝑞) yang berarti bahwa
dapat
dibagi oleh 𝑎. Pernyataan tersebut bernilai salah. Karena asumsi bahwa 𝑏 + 1
dapat dibagi oleh 𝑎 bernilai salah. Dengan kata lain, 𝑏 + 1 tidak dapat dibagi
oleh 𝑎.
Contoh 2.2
Buktikan bahwa jika 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan sehingga (𝐵 ∩ 𝐴′ ) ∪
(𝐵 ′ ∩ 𝐴) = 𝐵, maka 𝐴 = ∅.
Bukti contoh 2.2
Misalkan 𝐴 ≠ ∅ sehingga ada sesuatu 𝑥 ∈ 𝐴 ≠ ∅. Kita harus menunjukkan
bahwa 𝑥 berhubungan dengan 𝐵. Akan tetapi, kita tidak mengetahui apakah
𝑥 ∈ 𝐵 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∉ 𝐵. Kita harus analisa dua kasus, yaitu:
(i)
Misalkan 𝑥 ∈ 𝐵 maka 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐴′ atau 𝑥 ∈ 𝐵′ ∩ 𝐴 karena
(𝐵 ∩ 𝐴′ ) ∪ (𝐵 ′ ∩ 𝐴) = 𝐵. Diketahui bahwa 𝑥 ∈ 𝐵 sehingga
𝑥 ∉ 𝐵′ ∩ 𝐴. Jadi, 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐴′ sehingga 𝑥 ∈ 𝐴′. Karena 𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈
𝐴′, maka 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴′ = ∅.
3
(ii)
Misalkan 𝑥 ∈ 𝐵′ maka 𝑥 ∈ 𝐵′ ∩ 𝐴 karena 𝑥 ∈ 𝐴. Perhatikan bahwa
𝐵 ′ ∩ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐴′ ) ∪ (𝐵 ′ ∩ 𝐴) = 𝐵 sehingga 𝑥 ∈ 𝐵. Jadi,
𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐵 ′ = ∅.
Perhatikan bahwa (i) dan (ii) menunjukkan suatu kontradiksi. Dengan kata lain,
pernyataan 𝐴 ≠ ∅ bernilai salah sehingga 𝐴 = ∅.
Contoh 2.3
Jika 𝑚 bilangan bulat genap, maka 𝑚 + 5 ganjil.
Bukti contoh 2.3
Misalkan 𝑚 genap dan andaikan 𝑚 + 5 genap. Karena 𝑚 + 5 genap, maka
𝑚 + 5 = 2𝑐 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑐 ∈ ℤ. Sehingga 𝑚 = 2𝑐 − 5 = 2𝑐 − 6 + 1 = 2(𝑐 − 3) +
1 dengan 𝑐 − 3 ∈ ℤ. Ini berarti, 𝑚 ganjil. Kontradiksi dengan pemisalan 𝑚
genap. Jadi, pengandaian salah dan yang benar 𝑚 + 5 ganjil.
Contoh 2.4
Untuk setiap bilangan bulat 𝑛, jika 𝑛2 ganjil, maka 𝑛 ganjil.
Bukti contoh 2.4
Misalkan 𝑛2 ganjil dan andaikan 𝑛 genap. Karena 𝑛 genap, maka 𝑛 = 2𝑡 untuk
𝑡 ∈ ℤ. Sehingga 𝑛2 = (2𝑡)2 = 4𝑡 2 = 2(2𝑡 2 ) dengan 2𝑡 2 ∈ ℤ. Ini berarti, 𝑛2
genap. Kontradiksi dengan pemisalan 𝑛2 ganjil. Jadi, pengandaian salah dan
yang benar 𝑛 ganjil.
Contoh 2.5
Periksalah kesimpulan dari premis-premis berikut dengan cara pembuktian
kontradiksi.
1. Jika ada kucing di dalam rumah maka rumah tidak tenang.
2. Kucing tidak ada di dalam rumah.
Kesimpulan: rumah pasti tenang.
4
Bukti contoh 2.5
Karena kesimpulan adalah ~𝑞, maka pada perhitungan disini kita gunakan
~(~𝑞) = 𝑞. Oleh karena itu, kita hitung formula (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧∼ 𝑝 ⇒ 𝑞 apakah
hasilnya kontradiksi atau tidak.
Contoh 2.6
Buktikan bahwa
adalah irrasional.
Bukti contoh 2.6
Andaikan
adalah rasional, maka
dapat dinyatakan sebagai
dengan p,q€Z dan p dan q relative prima. Kuadratkan kedua ruas, didapat
Karena
adalah genap, maka
juga genap dan juga p genap. Akibatnya
p=2r, r€Z.
persamaan terakhir mengatakan bahwa q juga merupakan bilangan kelipatan 2.
Berarti, p dan q sama-sama mempunyai factor kelipatan selain 1. Akibatnya p
dan q tidak relative prima. Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa p dan q
relative prima. Jadi, haruslah
irrasional.
Adapun tabel kebenaran untuk pembuktian contoh 5 adalah sebagai berikut:
𝒑
𝒒
𝒑⇒𝒒
∼𝒑
(𝒑 ⇒ 𝒒) ∧∼ 𝒑
(𝒑 ⇒ 𝒒) ∧∼ 𝒑 ⇒ 𝒒
𝑆
𝑆
𝐵
𝐵
𝐵
𝑆
𝑆
𝐵
𝐵
𝐵
𝐵
𝐵
𝐵
𝑆
𝑆
𝑆
𝑆
𝑆
𝐵
𝐵
𝑆
𝑆
𝑆
𝑆
5
Karena dibuktikan menggunakan kontradiksi, dan interpretasi formula (𝑝 ⇒
𝑞) ∧∼ 𝑝 ⇒ 𝑞
tidak
salah
seluruhnya
atau
bukan
kontradiksi
maka
kesimpulannya adalah salah.
Contoh-contoh pernyataan yang kontradiksi dengan menggunakan tabel
pernyataan
a. (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ ~(𝑝 ∨ 𝑞)
Tabel 𝒂
𝒑
𝒒
𝒑∧𝒒
𝒑∨𝒒
∼ (𝒑 ∨ 𝒒)
(𝒑 ∧ 𝒒) ∧∼ (𝒑 ∨ 𝒒)
𝐵
𝐵
𝐵
𝐵
𝑆
𝑆
𝐵
𝑆
𝑆
𝐵
𝑆
𝑆
𝑆
𝐵
𝑆
𝐵
𝑆
𝑆
𝑆
𝑆
𝑆
𝑆
𝐵
𝑆
b. [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ (𝑝 ⇒∼ 𝑞)]
Tabel 𝒃
𝒑
𝒒
∼𝒒
𝒑∧𝒒
𝒑 ⇒∼ 𝒒
[(𝒑 ∧ 𝒒) ∧ (𝒑 ⇒∼ 𝒒)]
𝐵
𝐵
𝑆
𝐵
𝑆
𝑆
𝐵
𝑆
𝐵
𝑆
𝐵
𝑆
𝑆
𝐵
𝑆
𝑆
𝐵
𝑆
𝑆
𝑆
𝐵
𝑆
𝐵
𝑆