MODUL 9
advertisement
MODUL 9 NILAI – NILAI BESARAN LISTRIK & PERHITUNGAN DAYA 1. Pendahuluan Kita akan mulai dengan meninjau daya sesaat (instantaneous power) yakni hasil kali tegangan daerah waktu dan arus daerah waktu yang diasosiasikan dengan elemen terhadap mana kita berminat. Daya sesaat kadang-kadang sangat berguna, karena harga maksimumnya mungkin dibatasi untuk menghindari jaringan sampai melewati batas keselamatan atau daerah kerja yang berguna dari sebuah alat fisis. Misalnya, transistor dan penguat daya tabung vakum kedua-duanya menghasilkan keluaran yang cacat dan speaker memberi bunyi yang jelek bila daya puncak melebihi nilai batas tertentu. Tetapi, kita terutama berminat dalam daya sesaat karena alasan sederhana bahwa daya ini memberikan kita cara untuk menghitung sebuah kuantitas yang lebih penting, yakni, daya rata-rata. Sama hanya, kemajuan sebuah perjalanan mobil cross country lebih tepat digambarkan oleh kecapatan ratarata; minat kita pada kecepatan sesaat terbatas untuk menghindari kecapatan maksimum yang akan membahayakan keamanan atau mengundang patroli lalu lintas. Pembicaraan kita tidak akan seluruhnya menyangkut daya rata-rata yang diberikan oleh tegangan atau arus berbentuk sinus; karena itu kita akan mendefisinikan suatu kuantitas yang disebut harga efektif, suatu ukuran matematis dari keefektifan bentuk gelombang lain dalam memberikan daya. Pelajaran kita mengenai daya akan dilengkapi dengan meninjau kuantitas diskriptif, faktor daya dan daya kompleks, yakni dua konsep yang memperkenalkan aspek praktis dan ekonomis yang diasosiasikan dengan distribusi daya listrik. 2. Daya Sesaat (Instantaneous Power) Daya yang diberikan kepada suatu alat sebagai fungsi waktu, diberikan oleh hasil perkalian tegangan sesaat melintasi alat tersebut dan arus sesaat yang melaluinya, di sini dianggap konvensi tanda pasif. Jadi, p = vi (1) Pengetahuan mengenai arus dan tegangan dianggap telah dimiliki. Jika alat yang ditinjau adalah sebuah tahanan R, maka daya dapat dinyatakan seluruhnya dalam arus atau pun tegangan, p i i2R 2 R (2) 1 Jika tegangan dan arus diasosiasikan dengan sebuah alat yang seluruhnya bersifat induktif, maka p i Li di 1 t dt dt L (3) di mana kita telah menganggap bahwa tegangan adalah nol pada t = - ∞. Di dalam hal kapasitor, p i C d 1 t i i dt dt C (4) Untuk sumber tegangan dari sumber sinusoida Vm cos ωt. Respon daerah waktu yang sudah dikenal adalah i(t ) I m cos( t ) di mana Im Vm R L 2 2 2 dan tan 1 L R Daya sesaat yang diberikan pada seluruh rangkaian dalam keadaan tunak sinusoida adalah, p i Vm I m cos( t ) cos t yang akan lebih memudahkan kita bila menuliskannya kembali di dalam bentuk yang menggunakan identitas trigonometris untuk hasil kali dari dua fungsi cosinus. Jadi, Vm I m cos( 2 t ) cos 2 V I V I m m cos m m cos( 2 t ) 2 2 p Persamaan terakhir memiliki beberapa karakteristik yang pada umumnya benar untuk rangkaian-rangkaian di dalam keadaan tunak sinusoida. Salah satu suku, yakni pada pertama, bukan merupakan fungsi waktu; dan suku kedua mempunyai variasi siklis yang besarnya dua kali frekuensi yang dipakai. Karena, suku ini adalah gelombang cosinus, dan karena gelombang sinus dan gelombang cosinus mempunyai harga rata-rata nol (jika dirata-ratakan pada kelipatan bulat dari peroide) maka contoh perkenalan ini akan menunjukkan bahwa daya rata-rata adalah 1 2 Vm I m cos . Ini benar, dan sekarang akan kita cari hubungan ini di dalam suku-suku yang lebih umum. 3. Daya Rata-rata (Average Power) 2 Bila kita berbicara mengenai harga rata-rata untuk daya sesaat, maka interval waktu di mana proses rata-rata tersebut berlangsung haruslah dengan jelas didefinisikan. Kita mula-mula memilih interval waktu dari t1 ke t2. Harga rata-rata bila kita dapat mengintegrasikan p(t) dari t1 ke t2 dan membagi hasilnya dengan interval waktu t2 – t1. Jadi, P 1 t 2 t1 t2 t1 p(t ) d (t ) (5) Harga rata-rata dinyatakan dengan huruf besar P karena bukan fungsi, dan biasanya timbul tanpa indeks bawah. Walupun P bukan fungsi waktu, ini adalah fungsi dari t1 dan t2, yakni kedua saat yang mendefinisikan interval integrasi. Ketergantungan P pada interval waktu tertentu dapat dinyatakan lebih sederhana jika p(t) adalah sebuah fungsi periodik. Kita cari sekarang hasil umum untuk keadaan mantap sinusoida. Kita akan menganggap tegangan sinusoida umum (t ) Vm cos( t ) dan arus i(t ) I m cos( t ) yang diasosiasikan dengan alat yang diselidiki. Daya sesaat adalah p(t ) i Vm I m cos( t ) cos( t ) Dengan menyatakan lagi hasil perkalian dua fungsi cosinus sebagai setengah dari jumlah cosinus selisih sudut dan cosinus jumlah sudut, p(t ) 12 Vm I m cos( ) 12 Vm I m cos( 2t ) (6) maka kita dapat menghemat beberapa integrasi dengan memeriksa hasil tersebut. Suku pertama adalah sebuah konstanta yang tak bergantung pada t. Suku sisanya adalah sebuah fungsi cosinus; maka p(t) adalah periodik, dan periodenya adalah 1 2 T . Perhatikan bahwa periode T diasosiasikan dengan tegangan dan arus yang diberikan dan bukan dengan daya; fungsi daya mempunyai periode 1 2 T . Akan tetapi, kita dapat mengintegrasikan pada interval T untuk menentukan harga rata-rata jika kita inginkan; kita hanya perlu membaginya juga dengan T. Pengenalan kita dengan gelombang-gelombang cosinus dan sinus, memperhatikan bahwa harga rata-rata dari masing-masing gelombang tersebut pada satu periode adalah nol. Maka kita perlu mengintegrasikan (6) secara formal; dengan cara pemeriksaan, maka harga rata-rata suku pertama, yang merupakan sebuah konstanta, haruslah konstanta itu sendiri. Jadi, 3 P 12 Vm I m cos( ) (7) Contoh Soal 1. Carilah daya rata-rata untuk rangkaian pada Gambar 1. j2 Ω 200 V + ~ ¯ −j2 Ω + ~ ¯ 2Ω 100 V Gambar 1: Lihat Contoh Soal 1. Jawab j2 Ω 200 V + ~ ¯ I1 −j2 Ω 2Ω + ~ ¯ I2 100 V Gambar 2: Rangkaian Gambar 1 dengan arah arus. N Dengan mempergunakan KVL pada Loop I1, V n 1 n 0 20 j 2I1 2I1 2I 2 0 (2 j 2)I1 2I 2 20 (i ) N Dengan mempergunakan KVL pada Loop I2, V n 1 n 0 2I 2 j 2I 2 10 2I 1 0 2I 1 (2 j 2)I 2 10 (ii ) untuk mendapatkan nilai I1 dan I2 kita bisa mempergunakan metode eliminasi 4 (2 j 2)I 1 2I 2 20 (2 j 2) 2I 1 (2 j 2)I 2 10 2 4I 1 20 j 40 I 1 5 j10 11,18 63,45 (2 j 2)I 1 2I 2 20 2 2I 1 (2 j 2)I 2 10 (2 j 2) 4I 2 20 j 20 I 2 5 j 5 7,07 45 arus yang melalui tahanan 2 Ω adalah I1 I 2 5 j10 (5 j5) j5 5 90 Daya rata-rata pada tahanan 2 Ω yaitu PR 12 I m R 2 12 5 2 2 25 W Sedangkan daya rata-rata pada kedua sumber yaitu Pkiri 12 Vm I m cos( ) 12 20 11,18 cos(0 63,45) 50 W Pkanan 12 Vm I m cos( ) 12 10 7,07 cos(0 45) 25 W sumber tegangan pada bagian kiri memberikan daya kepada rangkaian (konvensi tanda aktif) sedangkan sumber tegangan sebelah kanan menyerap daya (konvensi tanda pasif). Daya rata-rata yang diberikan kepada masingmasing dari kedua elemen reaktif adalah nol; jadi hubungan daya adalah cocok. 4. Harga-harga Efektif Arus dan Tegangan Nilai efektif dari setiap arus periodik adalah sama dengan harga dari arus searah yang mengalir melalui tahanan R, yang memberikan daya yang sama ke R seperti yang diberikan oleh arus periodik. Dengan perkataan lain, kita biarkan aus 5 periodik yang diberikan tersebut mengalir melalui tahanan sebarang R, tentukan tenga sesaat i2R, dan kemudian cari harga rata-rata dari i2R pada satu periode; inilah daya rata-rata. Kemudian kita buat suatu arus searah mengalir melalui tahanan yang ini juga dan mengatur harga arus searah sampai diperoleh harga yang sama dari daya rata-rata. Besarnya arus searah tersebut adalah nilai efektif dari arus periodik yang diberikan. Gagasan ini dilukiskan pada Gambar 3. i(t) υ(t) + - Ieff R Veff (a) R (b) Gambar 3: Bila tahanan menerima daya rata-rata yang sama pada (a) dan (b), maka harga efektif dari i(t) adalah sama dengan Ieff, dan harga efektif dari υ(t) adalah sama dengan Veff. Ungkapan matematik umum untuk harga efektif dari i(t) sekarang mudah didapatkan. Daya rata-rata yang diberikan pada tahanan oleh arus periodik i(t) adalah P 1 T T 0 i 2 R dt R T 2 i dt T 0 di mana periode dari i(t) adalah T. Daya yang diberikan oleh arus searah adalah 2 P I eff R Dengan menyamakan ungkapan daya ini dan memecahkannya untuk Ieff, I eff 1 T 2 i dt T 0 (8) Hasil itu tak bergantung pada tahanan R, yang seharusnya begitu supaya kita mempunyai konsep yang berarti. Ungkapan yang sama diperoleh untuk harga efektif dari sebuah tegangan periodik dengan mengganti i dan Ieff dengan υ dan Veff. Kasus khusus yang paling penting adalah bentuk gelombang sinusoida. Kita pilih arus sinusoida 6 i(t ) I m cos( t ) yang mempunyai periode T 2 dan substitusikan ke dalam (8) untuk mendapatkan harga efektif I eff 1 T Im Im T 0 I m cos 2 ( t ) dt 2 2 1 1 2 2 cos(2 t 2 ) dt 2 0 2 I m t 0 4 2 Jadi harga efektif dari sebuah arus sinusoida adalah sebuah kuantitas riil yang tak bergantung pada sudut fase dan secara numerik sama dengan 0,707 kali nilai maksimumnya. Arus sebesar 2 cos( t ) , mempunyai harga efektif 1 A dan akan memberi daya yang sama kepada setiap tahanan seperti yang diberikan oleh sebuah arus searah sebesar 1 A. Penggunaan harga efektif juga sedikit menyederhanakan ungkapan untuk daya rata-rata yang diberikan oleh sebuah arus sinusoida atau tegangan dengan 1 2 mengabaikan penggunaan faktor . Misalnya, harga rata-rata yang diberikan kepada sebuah tahanan R oleh sebuah arus sinusoida adalah P 12 I m R 2 Karena I eff I m 2 , maka daya rat-rata dapat dituliskan 2 P I eff R Ungkapan daya lain yang banyak dikenal dapat juga dituliskan di dalam harga efektifnya: P Veff I eff cos( ) dan P Veff2 R Kenyataan bahwa harga efektif didefinisikan di dalam kuantitas dc ekivalen memberikan kita rumus daya rata-rata untuk rangkaian penahan di mana rumus ini identik dengan yang digunakan di dalam analisis dc. 7 5. Daya Nyata (Apparent Power) dan Faktor Daya Kita definisikan daya nyata dan faktor daya dan kemudian memperlihatkan sepintas lalu bagaimana istilah-istilah ini berkaitan dengan situasi ekonomi yang disebutka diatas. Kita akan menganggap bahwa tegangan sinusoida Vm cos( t ) diberikan pada sebuah jaringan, dan arus sinusoida yang dihasilkan adalah i I m cos( t ) Sudut fase dengan mana tegangan mendahului arus adalah ( ) . Daya rata-rata yang diberikan pada jaringan, dengan menganggap konvensi tanda pasif pada terminal masukan, dapat dinyatakan baik dalam harga maksimum, P 12 Vm I m cos( ) maupun dalam harga efektif, P Veff I eff cos( ) Jika tegangan yang diberikan dan respons arus adalah kuantitas dc, maka daya ratarata yang diberikan pada jaringan adalah hasil kali tegangan dengan arus. Dengan menggunakan cara dc ini ke soal sinusoida maka kita harus mendapatkan harga untuk daya yang diserap yang nyatanya (“apparently”) diberikan oleh perkalian VeffIeff. Hasil kali harga efektif dari tegangan dan arus bukanlah daya rata-rata; itu kita definisikan sebagai daya nyata (apparent power). Menurut dimensinya, daya nyata harus diukur dalam satuan yang sama dengan daya riil, karena cos( ) tidak berdimensi, tetapi untuk menghindari kekacauan maka digunakan istilah volt ampere, atau VA, untuk daya nyata. Karena cos( ) tidak bisa lebih besar dari satu, maka jelaslah bahwa besarnya daya riil tidak boleh lebih besar dari daya nyata. Daya nyata bukanlah sebuah konsep yang terbatas untuk fungsi pemaksa sinusoida dan respons. Daya nyata dapat ditentukan untuk setiap arus dan bentuk gelombang tegangan dengan mengambil perkalian nilai efektif dari arus dan tegangan. PF daya rata rata P daya nyata Veff I eff Di dalam hal sinusoida, faktor daya adalah cos( ) , dimana ( ) adalah sudut dengan mana tegangan mendahului arus. Relasi inilah yang menjadi alasan mengapa sudut ( ) seringkali juga disebut sebagai sudut PF (PF angle). 8 Untuk beban penahan murni, tegangan dan arus adalah sefase, ( ) sama dengan nol, dan PF adalah satu. Akan tetapi, PF yang besarnya satu dapat juga dicapai untuk beban-beban yang mengandung induktansi dan kapasitansi jika harga-harga elemen dari frekuensi operasi dipilih untuk memberikan impedansi masukan yang mempunyai sudut fase nol. Sebuah beban reaktif murni, yakni, yang tak mengandung tahanan, akan menyebabkan perbedaan fase di antara tegangan dan arus yang besarnya plus atau minus 90˚, sehingga PF sama dengan nol. Contoh Soal 2. Carilah harga-harga untuk daya rata-rata yang diberikan kepada setiap beban, daya nyata yang diberikan oleh sumber, dan faktor daya dari beban campuran untuk rangkaian yang diperlihatkan pada Gambar 4. IS 2 − j1 Ω 600 V rms + ~ ¯ 1 + j5 Ω Gambar 4: Lihat Contoh Soal 2. Jawab Arus sumber adalah : IS 60 12 53,1 A rms 2 j1 1 j5 Daya nyata sumber = Veff · Ieff = 60·(12) = 720 VA Daya rata-rata yang diberikan oleh sumber P Veff I eff cos( ) 60 12 cos(0 53,1) 432 W Beban atas menerima daya rata-rata sebesar: P I eff R 2 12 2 2 288 W Beban kanan mendapat daya rata-rata sebesar 9 P I eff R 2 12 2 1 144 W Faktor daya dari beban campuran didapat dengan meninjau tegangan dan arus dari beban campuran, yang sudah tentu adalah identik dengan tegangan dan arus sumber. Jadi, PF P 432 0,6 Veff I eff 60(12) Kita dapat juga mengkombinasikan kedua beban dalam seri, untuk mendapatkan 3 j 4 atau 553 Ω, identifikasikan 53,1° sebagai sudut PF sebesar cos 53,1° = 0,6. Kita perhatikan juga bahwa beban campuran adalah induktif, sehingga PF terbelakang. 6. Daya Kompleks (Complex Power) Kita definisikan daya kompleks dengan referensi pada tegangan sinusoida umum Veff Veff melalui sepasang terminal dan arus sinusoida umum I eff I eff yang mengalir ke dalam salah satu terminal sedemikian rupa sehingga memenuhi konvensi tanda pasif. Daya rata-rata P yang diserap oleh jaringan berterminal dua adalah P Veff I eff cos( ) Penamaan kompleks selanjutnya diperkenalkan dengan menggunakan rumus Euler dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan dalam memperkenalkan fasor. Kita nyatakan P sebagai P Veff I eff Re e j( ) atau P Re Veff e j I eff e j Tegangan fasor sekarang dapat dikenal sebagai kedua faktor pertama di dalam kurung dalam persamaan di atas, tetapi kedua faktor yang kedua tidak tepat menyatakan arus fasor, karena sudut tersebut memasukkan tanda minus yang tak terdapat di dalam pernyataan untuk arus fasor. Yakni, arus fasor adalah I eff I eff e j sehingga kita harus menggunakan notasi konjugasi, I *eff I eff e j Jadi * P Re Veff I eff 10 dan kita sekarang dapat membuat daya menjadi kompleks dengan mendefinisikan daya kompleks S sebagai S Veff I*eff (9) Jika mula-mula kita periksa bentuk polar atau bentuk eksponensial dari daya kompleks S Veff I eff e j ( ) jelaslah bahwa besarnya S adalah daya nyata dan sudut S adalah sudut PF, yakni sudut dengan mana tegangan mendahului arus. Di dalam bentuk siku-siku, S P jQ di mana P adalah daya rata-rata riil, seperti sebelumnya. Bagian imajiner dari daya kompleks diberi simbol Q dan disebut daya reaktif. Dimensi Q jelaslah sama dengan dimensi daya riil P, daya kompleks S, dan daya nyata S . Untuk menghindari kekacauan dengan kuantitas lain, satuan Q didefinisikan sebagai var (VAR), singkatan reaktif volt ampere. Dari (9), terlihat bahwa Q Veff I eff sin( ) Tafsiran lain dari daya reaktif dapat dilihat dengan membuat diagram fasor yang mengandung Veff dan Ieff, seperti diperlihatkan dalam Gambar 5. Jika arus fasor diuraikan menjadi dua komponen, yang satu sefase dengan tegangan, yang besarnya I eff cos( ) , dan yang satu berbeda fase 90˚ dengan tegangan, yang besarnya I eff sin , maka jelaslah bahwa daya riil diberikan oleh hasil perkalian besarnya fasor tegangan dan komponen dari arus fasor yang sefase dengan tegangan. Lagi pula, hasil kali besarnya fasor tegangan dan komponen arus fasor berbeda 90˚ dengan tegangan adalah tenaga reaktif Q. Sudah umum berbicara mengenai komponen fasor yang berbeda fase 90˚ dengan fasor lain sebagai komponen kuadratur. Jadi Q adalah Veff dikali komponen kuadratur dari Ieff; Q dikenal juga sebagai daya kuadatur. Tanda daya reaktif memberikan sifat-sifat dari sebuah beban pasif, di mana ditentukan Veff dan Ieff. Jika beban itu adalah induktif, maka ( ) adalah sebuah sudut di antara 0 dan 90˚, sinus sudut ini adalah positif, dan daya reaktif adalah positif. Muatan kapasitif menghasilkan daya reaktif yang negatif. 11 Imajiner Veff I eff cos( ) I eff sin Ieff Riil Gambar 5. Fasor arus Ieff diuraikan menjadi dua komponen, satu sefase dengan fasor tegangan Veff dan yang lain berbeda fase 90˚ dengan fasor tegangan. Komponen terakhir ini dinamai komponen kuadratur. Latihan soal 1. Tentukan daya rata-rata yang diberikan kepada masing-masing jaringan dalam kotak dalam rangkaian pada Gambar 6. 6 − j8 Ω 1000 V + ~ ¯ 2 + j14 Ω 6 − j8 Ω Gambar 6: Lihat Latihan Soal 1. 2. Sebuah sumber 230 V rms mencatu daya kepada beban ZL melalui saluran transmisi yang mempunyai tahanan total 2 Ω. Bila ZL = 11 + j4 Ω, carilah : (a) daya rata-rata dan daya nyata yang dicatu pada beban; (b) daya rata-rata dan daya nyata yang hilang dalam saluran transmisi; (c) daya rata-rata dan daya nyata yang dicatu oleh sumber; (d) faktor daya di mana sumber bekerja. 3. Bagi rangkaian pada Gambar 7, carilah daya kompleks yang diserap oleh : (a) sumber tak bebas; (b) induktor; (c) sumber bebas; (d) tahanan; (e) kapasitor. 12 6 V rms ~ − + + j12 Ω 10 Ω −j15 Ω V2 _ Gambar 7: Lihat Latihan Soal 3. 13
