barisan dan deret

BARISAN DAN DERET
Drs. CARNOTO, M.Pd.
NIP. 19640121 199010 1 001
 Pola Barisan Bilangan
Beberapa urutan bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai pola
tertentu. Pola ini Sering digunakan untuk menentukan urutan atau letak bilangan dari
sekumpulan bilangan yang telah ditentukan, misalnya bilangan ganjil ke tiga dari
sekumpulan bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, ..... adalah 5.
 Contoh:
 Fungsi f yang ditentukan oleh:
f(n) = 2n + 1 dengan domain f bilangan asli, berarti: f(1) = 3, f(2) = 5, f(3) = 7, dst
 Secara umum suatu barisan adalah sebuah fungsi yang domainnya berupa bilangan
asli, Range f(n) sering dinotasikan dengan Un dan dituis sebagai berikut:
Un = 2n + 1. Dengan n anggota bilangan asli.
U1 = suku pertama (a), U2 = suku ke dua, U3 = suku ke tiga, dst. Hingga Un = suku ke – n.
Hal ini berarti barisan dapat ditulis sebagai beikut: U1, U2, U3, . . . ., Un
Lihat kemabali Un = 2n + 1.
n = 1  Un = 3
n = 2  Un = 5
n = 3  Un = 7, dst
Jadi barisannya adalah 3, 5, 7, . . . ., 2n + 1.
 Soal Latihan
a) Un = 3n – 2
f) Un = n3 - 2
b) Un =
g) Un = (n – 1)(n)(n + 1)
c) Un =
h) Un = 3.2n - 1
d) Un =
i) Un = n2 – n + 2
e) Un =
Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu
1
 Pola Bilangan Tingkat Pertama
Pada tahap pertama, selisih antar suku yang berdampingan masing – masing bernilai
sama, suku ke-n nya dalam bentuk linear, yaitu Un = an + b dengan pola – pola sbb:
1) Pola barisan bilangan asli. Un = n
2) Pola barisan bilangan cacah. Un = n – 1
3) Pola barisan bilangan ganjil positif. Un = 2n – 1
4) Pola barisan bilangan genap positif. Un = 2n
5) Pola barisan bilangan kelipatan 3
6) Pola barisan bilangan kelipatan 4 dst.
Pola barisan yang demikian disebut barisan aritmetika
 Latihan soal
Carilah formula suku ke – n dan bedanya dari barisan berikut:
a) 1, 7, 13, . . . .
f) a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . .
b) 2, 5 ½ , 9, 12 ½ , . . . .
g) a – 3b, a – b, a + b, . . . .
c) -26, -24, -22, . . . . .
h) x – 2, 4x, 7x + 2, . . . . . .
d) 14, 8, 2, . . . .
i) y, x, 2x – y, . . . .
e) (x – y ), x, (x + y), . . .
j) 2x – y, 2x, 2x + y, . . . .
 Pola Bilangan Tingkat kedua
Pola bilangan tingkat kedua ini akan dijumpai jika proses aljabar di tingkat pertama
tidak diperoleh selisih hasil yang sama tetapi pada proses aljabar di tingkat kedua
ditemukan hasil selisih yang sama. Suku ke-n nya dalam bentuk fungsi kuadrat, yaitu
Un = an2 + bn + c dengan pola – pola sbb:
1) Pola barisan bilangan segitiga. 1, 3, 6, 10, . . . ., Un = . . .?
2) Pola barisan bilangan Persegi (bujur sangkar) 1, 4, 9, 16, . . . ., Un = ?
3) Pola barisan bilangan persegi panjang 2, 6, 12, 20, 30, . . . ., Un = ?
 Soal latihan
Carilah formula suku ke – n dari barisan bilangan berikut:
1) 3, 8, 15, 24, . . . . .
3) 0, 1, 4, 9, . . . . .
2) 0, 2, 6, 12, . . . . . .
4) 3, 9, 19, 33, . . . .
5) a – 2x, a + 4x, a + 14x, a + 28x, . . . . 6) a, a + 4b, a + 10b, a + 18b, . . . .
Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu
2
 BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Suatu barisan U1, U2, U3, …, Un disebut barisan aritmatika jika selisih antara
dua suku yang berurutan selalu tetap, selisih tersebut dinamakan beda dan
dilambangkan “b”, jadi b = U2 - U1 = Un - Un-1
Apabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyaknya suku, dan b
menyatakan beda, maka: a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), . . . , [a + (n – 1)b]
1. Suku ke – n barisan aritmatika adalah 𝑢𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
2. Hubungan antar suku pada barisan aritmatika adalah 𝑈𝑛 = 𝑈𝑛−𝑝 + 𝑃𝑏
Dengan p bilangan bulat
3. Jumlah n suku pertama pada deret aritmatika adalah
𝑆𝑛 =
𝑛
2
(𝑎 + 𝑈𝑛 )
Atau
𝑆𝑛 =
𝑛
2
[2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏]
4. Hubungan antara Un dan Sn adalah 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
5. Apabila di antara dua buah suku yang berurutan disisipkan k buah bilangan
sehingga membentuk barisan aritmatika yang baru, maka:
a. Beda yang baru (b’) adalah: 𝑏 ′ =
𝑏
𝑘+1
b. Banyaknya suku baru (n’) adalah: 𝑛′ = 𝑛 + (𝑛 − 1)𝑘
c. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan adalah 𝑆𝑛′ =

𝑛′
2
(𝑎 + 𝑈𝑛′ )
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Tentukan unsur – unsur yang dinyatakan pada barisan aritmatika dibawah ini!
a. a = 3, b = 7, U101 = …
b. a = 9, U15 = 135, b = …
c. b = 17, U21 = 336, a = …
Penyelesaian:
a. a = 3, b = 7
Un = a + ( n – 1 )b
U101 = 3 + (101 – 1 )7
= 3 + 700
= 703
Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu
3
b. a = 9, U15 = 135
c. b = 17, U = 336
21
U15 = a + ( n – 1 )b
U
21
= a + ( n – 1 )b
→ 135 = 9 + ( 15 – 1 )b
→ 336 = a+ ( 21 – 1 )17
→ 135 = 9 + 14b
→ 336= a + 20. 17
→ 135 - 9 = 14b
→ 336 = a + 340
→ 126 = 14b
→
b=9
→ 336 – 340 = a
→a=-4
2. Hitunglah jumlah semua bilangan kelipatan 3 di antara 100 dan 200.
Penyelesaian:
Jumlah bilangan kelipatan 3 di antara 100 dan 200 ialah
102 + 105 + 108 + ……..+ 198
Sehingga, a = 102, b = 3, dan Un = 198 → a + ( n- 1 )b = 198
→ 102 + ( n- 1 )( 3 ) = 198
→ 102 + 3n – 3 = 198
→ 3n = 99 → n = 33
Jadi, Sn = n/2 [a + Un]
S33 = 33/2 [102 + 198] = 33 . 150 = 4950
3. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33, … di sisipkan 4 buah bilangan
sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan
yang terbentuk adalah …
Penyelesaian:
•
Barisan 3, 18, 33, .. mempunyai beda b = 15
•
Beda dari barisan yang telah disisipkan 4 buah bilangan (k = 4) adalah
𝑏′ =
𝑏
15
15
=
=
=3
(𝑘 + 1)
(4 + 1)
5
•
Sehingga barisan yang baru adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,…
•
Jadi, S7 = 7/2 [a + U7] = 7/2 [3 + 21] = 7 . 12 = 84
Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu
4
4. Jika U10 = 31 dan b = 3, maka U75 dan U3 sama dengan …
Penyelesaian:
U10 = 31 dan b = 3
•
U75 = U75 – 65 + 65b
= U10 + 65 . 3
= 31 + 195
= 226
•
U3 = U3-(-7) + (-7)b
= U10 – 7b
= 31 – 21
= 10
5. Tentukan banyaknya suku dalam barisan aritmatika 1, 5, 9, 13, ……, 41.
Penyelesaian:
a = 1, b = 4, dan Un = 41
→ a + ( n- 1 )b = 41
→ 1 + ( n – 1) 4 = 41
→ (n – 1)4 = 40
→n–1
= 10
→ n = 11
 Soal Latihan
1. Tiga bilangan membentuk DA, Jumlahnya 18 dan hasil kalinya 192, Tentukan
ketiga bilangan tersebut
2. Lima bilangan positif membentuk sebuah DA. Jumlahnya 30, dan hasil kalinya
3840. Tentukan bilangan-biangan itu.
3. Dalam sebuah DA, U1 = 5 dan b = 3 degn n = 12, diantara tiap dua suku yang
berurutan disisipkan x bilangan sehingga terjadi lagi sebuah DA, tentukan nilai x
yang bulat sehingga jmlah deret yang baru itu lebih besar dari 1000
4. Hitunglah n agar jumlah DA: 1 + 13 + 25 + . . . . . Mendekati 4000.
5. Pada sebuah DA, Sn = n2 + 2n, tentukan Un
6. Pada sebuah DA, Un = 4n + 5, tentukan Sn
7. Hitunglah jumlah semua bilangan bulat yang habis dibagi 4 antara 300 dan 700
Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu
5

BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Suatu barisan disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku yang
berurutan selalu tetap, perbandingan antara dua suku yang berurutan itu disebut rasio
dan dilambangkan dengan “r”, jadi
𝑟=
𝑈2 𝑈3
𝑈𝑛
=
=⋯=
𝑈1 𝑈2
𝑈𝑛−1
Apabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyaknya suku dan r menyatakan
rasio, maka BG adalah sbb
a, ar, ar2, ar3, . . . , arn-1. sehingga:
1. Suku ke – n barisan geometri adalah 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
2. Hubungan antar suku pada barisan geometri adalah 𝑈𝑛 = 𝑈𝑝 . 𝑟 𝑛−𝑝 , dengan p
bilangan bulat
3. Jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah
dan
4. Hubungan antara Un dan Sn adalah
5. Apabila di antara dua buah suku yang berurutan disisipkan k buah bilangan
sehingga membentuk barisan geometri yang baru, maka:
a. Rasio yang baru (r’) adalah
b. Banyaknya suku baru (n’) adalah
c. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan adalah
dan
6. Pada deret geometri, untuk n → ∞ , maka deret tersebut dikatakan deret
geometri tah hingga. Deret geometri tak hingga tersebut akan konvergen
(mempunyai limit jumlah) jika - 1 < r < 1, dan jumlahnya adalah
Jika r < -1 atau r > 1, maka deret tersebut dikatakan divergen (tidak
mempunyai limit jumlah)
Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu
6
 SOAL DAN PEMBAHASAN
1. diberikan (x - 8), (x – 4), (x + 8) ialah tiga suku berurutan dalam suatu barisan
geometri. Tentukan nilai x.
Penyelesaian:
Rasio :
→ (x – 4)² = x² - 64
→ x² - 8x + 16 = x² - 64
→ 8x = 80
→ x = 10
2. Suatu tali dibagi menjadi enam bagian dengan panjang yang membentuk barisan
geometri. Jika yang paling pendek 3 cm dan yang paling panjang 96 cm, maka
panjang tali semula sama dengan …
Penyelesaian:
Misalkan keenam potongan tali itu adalah
Maka bagian yang paling pendek adalah a = 3 cm dan bagian yang paling panjang
adalah
Karena
maka
Jadi,
3. Di antara bilangan 16 dan ½ disisipkan sebanyak 4 buah bilangan, sehingga terbentuk
barisan geometri. Rasio dari barisan yang terbentuk adalah …
Penyelesaian:
•
Rasio dari bilangan 16 dan ½;
•
Barisan geometri yang telah disisipkan 4 bilangan adalah: 16, …, …, …, …, ½
Diperoleh a = 16 dan k = 4
•
Jadi rasio dari barisan yang telah disisipkan 4 buah bilangan adalah
Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu
7
4. Tentukan jumlah n suku dari deret 5 + 55 + 555 + 5.555 + …
Penyelesaian:
Perhatikan 9 = 10 – 1, 99 = 100 – 1, 999 = 1.000 – 1 sehingga persamaan tersebut
menjadi
•
Perhatikan nilai (10 + 100 + 1000 + …) merupakan deret geometri dengan rasio r =10.
(10 + 100 + 1000 + …) =
•
Adapun untuk (1 + 1 + 1 …) = n . 1 = n
Jadi:
Sn
Sn
5. Rasio suatu deret geometri tak berhingga adalah
.Suku pertama
deret itu merupakan hasil kali skalar vektor
Dan
.
Jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah …......
Penyelesaian:
Rasio:
Jadi, Jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 4.
Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu
8