v 2 - Binus Repository
advertisement
Matakuliah Tahun : MATRIX ALGEBRA FOR STATISTICS : 2009 RUANG VEKTOR Pertemuan 3 VEKTOR DALAM BIDANG (R2) Merepresentasikan pasangan berurut dari dua bilangan riel (koordinat kartesius), misalnya A(2,4) atau vektor posisi =(OA) Y A(2,4) 4 0 2 Bina Nusantara University X 3 Panjang dan jumlah vektor Panjang vektor atau norm = Jumlah dua vektor Bina Nusantara University 4 VEKTOR DALAM RUANG (R2) Vektor dalam ruang y x z Bina Nusantara University 5 VEKTOR DALAM RUANG-n (Rn) Vektor dalam ruang ke-n (Rn) dinyatakan X = (X1, X2, X3, . . ., Xn) atau dalam matriks Bina Nusantara University 6 Ruang Vektor Andaikan V suatu himpunan u,v,wV dan r=skalar Berlaku sifat: 1. u+v=v+u 2. (u+v)+w=u+(v+w) 3. u+0=u 4. r(u+v)= ru+rv 5. 1u=u Bina Nusantara University 7 Ruang Bagian (Subspace) Bila S dan S V S memiliki sifat ruang vektor Maka S merupakan ruang bagian dari ruang vektor V Bina Nusantara University 8 Proyeksi Jika u dan v adalah vektor di Rn untuk v 0, maka proeksi dari u pada v ditunjukkan dengan Bina Nusantara University 9 DOT PRODUCT Jika u dan v adalah vektor dalam bidang (R2) atau dalam ruang (R3 ) maka dot product u.v adalah u.v = Contoh: Jika u=(2,-1, 3) dan v=(1, 5, 2), maka u.v = 2.1 + -1.5 + 3.2 = 3 Bina Nusantara University 10 Kombinasi Linear Defenisi: Suatu w disebut linear kombinasi dari vektor-vektor Jika terdapat vektor-vektor Sedemikian rupa sehingga Bina Nusantara University 11 Contoh: Bila x=(-1,23), v1 = (-7,1) v2 = (10,10) Dapat ditunjukkan bahwa x= 3v1 + 2v2 Maka x adlah kombinasi linear dari v1 dan v2 Bina Nusantara University 12 Span Andaikan v1, v2, . . . vn vektor dalam ruang vektor V. Himpunan S dari semua kombinasi linear v1, v2, . . . vn disebut span dari v1, v2, . . . vn atau vektor v1, v2, . . . vn Span S Bina Nusantara University 13 Linear independence Defenisi: • Himpunan dari dua vektor atau lebih adalah linear dependent jika satu vektor dalam himpunan merupakan kombinasi linear dari vektor lainnya • Himpunan vektor tidak kosang adalah linear independent jika tidak linear dependent Bina Nusantara University 14 Contoh: Diketahui v1=(2,4,14), v2 =(7,-3,15), dan v3 =(-1,4,7) Tunjukkan c1v1 + c2v2 + c3v3 =0 atau 2c1 + 7c2 - c3=0 4c1 - 3c2+ 4c3=0 14c1 + 15c2+ 7c3=0 Jika terdapat solusi nontrivial dari SPL maka vektorvektor tersebut linear dependent dan sebaliknya linear independent jika hanya terdapat solusi trivial Bina Nusantara University 15 BASIS Suatu basis untuk ruang vektor V adalah suatu himpunan S dari vektor V sedemikian sehingga a) S adalah linear independent b) S spans V Bina Nusantara University 16 Dimensi Andaikan V adalah ruang vektor Dimensi dari V adalah n (>0) jika V mempunyai basis dengan n elemen Dimensi dari ruang vektor nol adalah 0 Bina Nusantara University 17 Orthogonal vektor • Vektor yang saling tegak lurus disebut vektor orthogonal • Dua vektor tidak nol adalah orthogonal jika dan hanya jika dot productnya sama dengan nol Bina Nusantara University 18 Definisi • Kumpulan vektor dalam disebut orthogonal jika terdapat dua vektor yang saling tegak lurus • Vektor v disebut normal jika • Kumpulan vektor dalam disebut orthonormal jika vektor-vektor itu orthogonal dan tiap vektor adalah normal Bina Nusantara University 19 • Orthonormal basis adalah suatu basis terbentuk dari vektor-vektor orthonormal Bina Nusantara University 20 Matix Then Bina Nusantara University 21 Vector in Matrix Notation Vector x=(x1, x2, . . . , xn) can be written as row matrix or column matrix or Bina Nusantara University 22
