Matriks - matreg1pasca

Ruang Vektor:
Ruang baris, ruang kolom dan ruang nol
Edi Cahyono
[email protected]
Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Haluoleo
Kendari ..::.. Indonesia
Department of Mathematics
Tujuan Pembelajaran
Universitas Haluoleo
Kendari ..::.. Indonesia
Setelah lulus mata kuliah ini mahasiswa
diharapkan dapat memahami ruang vektor
sebagai sistem matematika, aplikasinya serta
pembelajarannya untuk sekolah menengah
Department of Mathematics
Gambaran Umum
 a11 a12
a
a22
21

A


 am1 am 2
a1n 
a2 n 


amn 
Universitas Haluoleo
Kendari ..::.. Indonesia
Sistem Matematika Ruang Vektor:
• Definisi
• Aksioma
• Proposisi, Lemma, Teorema
• Metode/prosedure
Sifat-sifat dan Aplikasi Matriks A
Diberikan matriks A
• Hendak dipelajari sifat dan aplikasinya
• Tidak bisa secara langsung
• Sistem matematika ruang vektor
menyajikan alat (Proposisi, Lemma,
Teorema, Metode/prosedure)
Department of Mathematics
Universitas Haluoleo
Definisi
Kendari ..::.. Indonesia
 a11 a12
a
a22
21

Misalkan A 


 am1 am 2
vektor  vektor
a1n 
a2 n 


amn 
r1   a11
a12
a1n 
r2   a21
a22
a2 n 
rm   am1
am 2
amn 
disebut vektor baris dari A. Perhatikan bahwa ri  R n , i  1,..., m.
Department of Mathematics
Definisi
Universitas Haluoleo
Kendari ..::.. Indonesia
Vektor  vektor
 a11 
 a12 
 a1n 
a 
a 
a 
c1   21  , c1   22  , , c1   2 n 
 
 
 
 
 
 
a
a
 m1 
 m 2 
 amn 
disebut vektor kolom dari A. Perhatikan bahwa ci  R m , i  1,..., n.
Department of Mathematics
Definisi
Universitas Haluoleo
Kendari ..::.. Indonesia
Misalkan A matriks m x n.
Subruang dari Rn yang dibangun oleh vektor baris A disebut
ruang baris.
Subruang dari Rm yang dibangun oleh vektor kolom A disebut
ruang kolom.
Solusi dari Ax = 0, yang merupakan subruang dari Rn disebut
ruang nol.
Department of Mathematics
Universitas Haluoleo
Contoh
Kendari ..::.. Indonesia
 2 0 1
Misalkan A  
.

 1 1 3 
Vektor  vektor baris A
r1   2 0 1
r2   1 1 3 .
Vektor  vektor kolom A
2
0
1 
c1    , c2    , c3    .
 1
1 
 3
Department of Mathematics
Universitas Haluoleo
Contoh
Kendari ..::.. Indonesia
Ruang baris dari A adalah
k  2
1
0 1  k2  1 1 3 | k1 , k2  R
Ruang kolom dari A adalah
 2

0
1
k1    k2    k3   | k1 , k2 , k3  R  .
1 
3
  1

Department of Mathematics
Universitas Haluoleo
Contoh
Kendari ..::.. Indonesia
 x1 
 2 0 1  
Misalkan 
x2   0.


 1 1 3   
 x3 
 x1   k 
Solusi  x2    7k  , untuk sebarang k  R.
 x3   2k 
Ruang nol dari A adalah
 1

  

k  7  | k  R  .
  2 

  

Department of Mathematics
Teorema
Universitas Haluoleo
Kendari ..::.. Indonesia
Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nol suatu
matriks.
Teorema
Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris suatu
matriks.
Teorema
Untuk sebarang matriks A, ruang baris dan ruang kolomnya
mempunyai dimensi yang sama.
Department of Mathematics
Definisi
Universitas Haluoleo
Kendari ..::.. Indonesia
Dimensi ruang baris (yang juga sama dengan dimensi ruang
kolom) matriks A disebut rank matriks A, ditulis rank(A).
Dimensi ruang nol matriks A disebut nolitas matriks A, dituliskan
nullity(A)
Department of Mathematics
Teorema
Universitas Haluoleo
Kendari ..::.. Indonesia
Misalkan A sebarang matriks, maka rank(A) = rank(AT).
Teorema
Misalkan A matriks m x n, maka
rank(A) + nullity(A) = n.
Teorema
Misalkan A matriks m x n, maka
1) rank(A) = banyaknya variabel solusi Ax = 0.
2) nullity(A) = banyaknya parameter solusi Ax = 0.
Department of Mathematics
Rangkuman
Misalkan A matriks m x n, maka
rank(A) = r ≤ min{m, n}.
nullity(A) = n – r.
nullity(AT) = m – r.
Universitas Haluoleo
Kendari ..::.. Indonesia
Department of Mathematics
Teorema
Universitas Haluoleo
Kendari ..::.. Indonesia
Misalkan A matriks m x n, dan Ax = b merupakan sistem
persamaan, maka yang berikut adalah ekivalen
a) Ax = b konsisten (mempunyai solusi).
b) b unsur di ruang kolom A.
c) rank(A) = rank( [A|b] ).
Teorema
Misalkan A matriks m x n, dan Ax = b merupakan sistem
persamaan, maka yang berikut adalah ekivalen
a) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b yang berukuran m x 1.
b) Vektor kolom A membangun Rm.
c) rank(A) = m.
Department of Mathematics
Teorema
Universitas Haluoleo
Kendari ..::.. Indonesia
Misalkan A matriks m x n, Ax = b sistem persamaan yang
konsisten, dan rank(A) = r. Maka solusi umum sistem tersebut
memuat n – r parameter.
Teorema
Misalkan A matriks m x n, maka yang berikut adalah ekivalen
a) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial.
b) Vektor kolom A bebas linear.
c) Ax = b mempunyai paling banyak satu solusi (satu atau tidak
ada) untuk setiap matriks b berukuran m x 1.
Teorema
Department of Mathematics
Universitas Haluoleo
Kendari ..::.. Indonesia
Misalkan A matriks n x n, maka yang berikut adalah ekivalen
a) A mempunyai invers.
b) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial.
c) Bentuk tereduksi baris matriks A adalah In.
d) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b berukuran n x 1.
e) Ax = b memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks b berukuran n
x 1.
f) Vektor kolom matriks A bebas linear.
g) Vektor baris matriks A bebas linear.
h) Vektor kolom matriks A membangun Rn.
i) Vektor baris matriks A membangun Rn.
k) Vektor kolom matriks A merupakan basis Rn.
l) Vektor baris matriks A merupakan basis Rn.
m) rank(A) = n.
n) nullity(A) = 0.
Department of Mathematics
Universitas Haluoleo
Kendari ..::.. Indonesia