Aljabar Linear-3

Erna Sri Hartatik
Aljabar Linear
Pertemuan 3
Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Pembahasan

-
Perkalian Cross (Cross Product)
Model cross product
Sifat cross product
Pendahuluan



Selain dot product ada fungsi perkalian product lain
dalam vektor yaitu cross product yang menghasilkan
suatu vektor , dan scalar triple product untuk
perkalian tiga buah vektor yang menghasilkan nilai
scalar
Tiap model perkalian vektor memiliki tujuan yang
berbeda-beda, tergantung kebutuhan
Dan tiap perkalian vektor dapat digunakan oleh
vektor 2 dimensi maupun 3 dimensi
Perkalian Cross
(CROSS PRODUCT)
Pengertian : ……

Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu vektor
baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang
yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak
lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektor

Hasil kali titik dua buah vektor menghasilkan skalar,
sedangkan hasilkali silang atau cross product antara
dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang
tegaklurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian
silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk
vektor-vektor di ruang.
Kegunaan

Secara geometris, hasil perkalian silang antara dua
buah vektor merupakan luas dari bangun segiempat
yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Sifat ini
dapat diturunkan dari persamaan lagrange.

Untuk itu, kita dapat menghitung luas bangun segi
banyak yang terletak di ruang , dengan menggunakan
perkalian silang antara dua vektor.
Visualisasi Cross Product
b. Perkalian Silang (Cross Product)
Hasilnya vektor
C =AxB
B
θ
A
B
θ
A
Catatan :
Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan
Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ
C = B xA
Sifat – sifat Cross Product
Rumus Umum
v = a x b, dimana |v| = |a| |b| sin α
v = 0, jika α = 0 atau salah satu dari a dan b sama
dengan nol

Rumus Komponen
Jika diketahui 2 buah vektor :
a = [a1,a2,a3] dan b = [b1,b2,b3],
maka persilangan antar keduanya v = a x b,
menghasilkan
v = [v1,v2,v3] dimana:
vxw
Shg:
v1=a2.b3 - a3.b2
v2=a3.b1 – a1.b3
 a2
= 
 b2
a3
b3
,
a1
b1
a3 a1
,
b3 b1
a2 

b2 
v3 = a1b2 – a2.b1
i(1,0,0)
j(0,1,0)
Vektor i,j,k disebut vektor
satuan standar
k(0,0,1)

Misal v sebarang vektor di R3 berarti
v=(v1,v2,v3)
v=v1(1,0,0)+v2(0,1,0)+v3(0,0,1)
j k
v=v1i + v2j + v3k  uxv = i
u1 u 2 u 3
v1 v 2 v 3
Hubungan Perkalian Titik dengan Perkalian
Silang

Jika u,v,w vektor di R3 berlaku

u.(vxw) = 0 jika u(uxv)

v.(uxv) = 0 jika v(uxv)

||uxv||2 = ||u||2||v||2 – (u.v)2

ux(vxw) = (u.w).v – (u.v).w

(uxv)xw = (u.w).v – (v.w).u
Contoh soal

Diketahui u = (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1) dengan
menggunakan koordinat tangan kanan,
hitunglah v = u x v !
Jawab:
1 2  2
3 0 1 


 2 2 1 2 1 2

uxv = 
,

,
0 1 3 1 3 0


=
2,  7,  6
Parallelogram

Jika u dan v vektor dengan titik asal sama maka
||uxv|| merupakan luas daerah parallelogram yang
ditentukan oleh uxv.
S
v  ||v||
R
||v||sinθ
parallelogram
θ
P


u  ||u||
Q
Luas jajaran genjang PQRS
= alasxtinggi = ||u|| ||v|| sinθ = ||uxv||
Luas segitiga PQS = ½ luas jajaran genjang = ½
||uxv||
u 1 u 2 


v 1 v 2 

Harga mutlak dari determinan
adalah

sama dengan luas parallelogram di R2 yang
ditentukan oleh vektor u=(u1u2) dan v=(v1,v2)
Harga mutlak dari determinan  u 1 u 2 u 3 


v 1 v 2 v 3 
w w w 
2
3
 1
adalah sama dengan volume parallelogram di R3
yang ditentukan oleh vektor u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2),
dan w=(w1,w2,w3)


Contoh soal 2:
Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A (
2, -3, 1 ), B ( -1,4,-1 ) dan C (2,0,3 ). Hitung luas
segitiga tersebut.
Jawab :
Misal u dan v berturut-turut merupakan vektor posisi
dari ruas garis AB dan AC.
Vektor Ortogonal

Misal u,v vektor di R2/R3/Rn, maka u dikatakan
tegak lurus v atau u disebut vektor ortogonal, jika
u.v=0
Proyeksi Ortogonal

Diberikan vektor a0 dan vektor u0
w1+w2 = u
w2
w1 = u-w2
u
w1


a
Vektor w1 disebut proyeksi ortogonal vektor u pada
vektor a (w1=Projau)
Vektor w2 disebut komponen vektor u yang tegak
lurus vektor a (w2=u-Projau)

Jika a vektor di R2/R3 dan a0 maka
w1 = Projau =
u .a
a
2
w2 = u-Projau = u 
.a
u.a
a
2
.a

Ex:
u=(2,-1,3) dan a=(4,-1,2)
Tentukan Projau dan ||Projau|| !
Penyelesaian:
u.a = (2)(4)+(-1)(-1)+(3)(2) = 15
||a||2 = 16+1+4 = 21
w1 = Projau = 15/21.(4,-1,2)
=  60 , 15 , 30    20 , 5 , 10 

 21
||w1|| =
 
21 21   7

7 7
400 25 100
525




49 49 49
49
75 5 3 5


21
7
7
7
SCALAR TRIPLE
PRODUCT
Scalar Triple Product
Scalar triple product dari tiga vektor
a  [a1 , a2 , a3 ], b  [b1 , b2 , b3 ],
c  [c1 , c2 , c3 ]
ditulis (a b c) didefinisk an sebagai
(a b c)  a  (b  c)
andaikan b  c  v  [v1 , v 2 , v 3 ]
a  (b  c)  a  v  a1v1, a2 v2 , a3v3
 b3 b1 
b1 b2
  a3
 a1
 a2  

c2 c3
c
c
c1 c2
3
1


Ini mrpk ekspansi determinan orde 3 mnrt brs pertama, shg
b2
b3
b1 b2
b3
(a b c)  a  (b  c)  b1 b2
b3
c1 c2
c3
Sifat Hasil Kali Triple Scalar
Latihan (1)
1. Diketahui a = (2,1,-3) , b = (3,1,1), c = (0,2,-2) . Tentukan (
bila terdefinisi /mungkin ) :
a. a x (b - 2 c)
c. a x b x c
b. a·b x c
2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v bila
a. u = (-1,2,-3) dan v = (0,2,4)
b. u = (4,-2,1) dan v = (0,2,-1) .
3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui titik-titik sudutnya.
a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 )
b. A ( 0,4,-3 ) , B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )
Summary

Cross Product antara 2 vektor menghasilkan nilai
vektor yang arah hasilnya sesuai dengan kaidah
tangan kanan
TUGAS
Di kumpulin hari ini juga !!!!
1. Jika A = A1i+A2j+A3k, B = B1i+B2j+B3k, dan C =
C1i+C2j+C3k, perlihatkan bahwa
A.(BxC)= A1 A2 A3
B1 B2
C1 C 2
B3
C3
2. Besar vektor A dan B berturut-turut adalah 5 dan 4,
sebagaimana tampak pada gambar di bawah.
Sudut yang terbentuk adalah 90o. Hitunglah
perkalian titik kedua vektor tersebut…
3. Carilah x dan y bila diketahui vektor [4,y]=x[2,3]
4. a. tentukan a.b bila diketahui a=[2, -3,6] dan
b=[8,2,-3]
b. Tentukan jarak AB bila diketahui A=[2,4,0] dan
b=[-1,-2,1]
c. Tentukan K agar a=[1,K,-2,5] mempunyai
panjang 39
5. Carilah u.v dan tentukan sudutnya 

U=[1,-5,4] v=[3,3,3]

U=[-6,2] v=[4,0]
6. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian
silang dari dua buah vektor berikut ini :
A = 2i – 2j + 4k
B = i – 3j + 2k
7. Anggap u=[3,2,-1] dan v=[0,2,-3] dan w=[2,6,7],
hitunglah:

(u x v)x w

U x (v-2w)
Selamat Mengerjakan