kalkulus i - E-learning UPN JATIM

KALKULUS I
SRI REDJEKI
KLASIFIKASI BILANGAN RIIL
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli :
1, 2, 3, 4, 5,….
Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan
bilangan yang lebih besar yang disebut himpunan bilangan bulat :
…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
Himpunan bilangan bulat masih merupakan himpunan bagian dari
klas himpunan yang lebih besar yang disebut bilangan rasional.
Bilangan rasional dibentuk oleh pembagian bilangan bulat. Sebagai
contoh adalah :
2 , 7 , 6 , 0 , 5 (= -5 = 5 )
3 5 1 9 2
2
-2
"  Bilangan irrasional adalah bilanganbilangan yang tidak dapat dinyatakan
sebagai perbandingan bilangan bulat.
Contoh bilangan irasional :
" 
√3, √5, 1 + √2, 3√7, π , cos 19°
"  Bilangan rasional dan irasional bersamasama membangun suatu klas bilangan
yang lebih besar yang disebut bilangan riil
atau kadang disebut system bilangan riil.
PEMBAGIAN DENGAN
NOL
•  Pada perhitungan dengan bilangan
riil, pembagian dengan nol tidak
pernah diperkenankan karena
hubungan dalam bentuk y = p/0
akan mengakibatkan
• 
0.y=p
BILANGAN KOMPLEKS
•  Karena kuadrat suatu bilangan riil tidak
negatif, persamaan :
• 
x2 = -1
•  i = √-1 didefinisikan memiliki sifat i2 = -1.
•  Bilangan kompleks adalah bilangan-bilangan
yang berbentuk :
• 
a + bi
•  dengan a dan b bilangan riil. Beberapa
• 
• 
• 
• 
contohnya adalah :
2 + 3i [a = 2, b = 3]
3 – 4i [a = 3, b = -4]
6i [a = 0, b = 6]
2 [a = 2 , b = 0]
REPRESENTASI DESIMAL DARI
BILANGAN RIIL
•  Bilangan rasional dan bilangan irrasional dapat
dibedakan berdasarkan bentuk penyajian
desimalnya.
• 
4 = 1.333…, [3 berulang]
• 
3
• 
3 = .272727…, [27 berulang]
11
•  5 = .714285714285…, [714285 berulang]
•  7
•  Desimal berulang yang memuat nol setelah
beberapa titik disebut desimal terakhir.
•  1 = .50000…, 12 = 3.0000…, 8 = .
320000…
GARIS KOORDINAT
"   Geometri analitik adalah suatu cara untuk menjelaskan
rumus aljabar dengan kurva geometrik dan sebaliknya,
kurva geometri dengan rumus aljabar.
"   Dalam geometri analitik, langkah kuncinya adalah
menentukan hubungan bilangan real dengan titik pada
garis, hal ini dilakukan dengan menandai salah satu
dari dua arah sepanjang garis sebagai arah positif dan
yang lain sebagai arah negatif.-+Titik Asal
" 
Bilangan riil yang bersesuaian dengan titik pada garis
disebut koordinat dari titik tersebut.
"   Pada gambar diberi tanda tempat titik-titik dengan
koordinat –4, -3, -2,75, -1/2, √2, π, dan 4. Tempat
dari √2 merupakan hampiran yang diperoleh dari
hampiran desimalnya yaitu π ≈ 3.14 dan √2 ≈ 1.41
" 
-4
-3
-1.75
-1/2
√2
" 
-4
-3
-2 -1
0
1
2
SIFAT-SIFAT URUTAN
•  KETIDAKSAMAAN :
•  1. a < b atau b > a
• 
Interpretasi geometri : a sebelah kiri b
• 
Ilustrasi :
• 
a
b
• 
2. a ≤ b atau b ≥ a
• 
Interpretasi geometri : a sebelah kiri b atauberimpit
dengan b
• 
Ilustrasi :
a
b
• 
a b
• 
3. 0 < a atau a > 0
• 
Interpretasi geometri : a sebelah kanan titik asal
• 
Ilustrasi :
• 
0
a
• 
Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal
•  4. a < 0 atau 0 > a
• 
Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal
• 
Ilustrasi :
• 
a
0
• 
5. a < b < c
• 
Interpretasi geometri : a sebelah kiri b dan
• 
b sebelah kiri c
• 
Ilustrasi :
a
b
c
• 
Simbol a < b ≤ c artinya a < b dan b ≤ c. Silahkan
menyimpulkan arti symbol-simbol seperti :
• 
a ≤ b < c, a ≤ b ≤ c dan a < b < c < d
•  Ketidaksamaan berikut adalah benar :
• 
3 < 8, -7 < 1.5, -12 ≤ π, 5 ≤ 5, 0 ≤ 2 ≤ 4.
• 
8 ≥ 3, 1.5 > -7, -π > -12, 5 ≥ 5, 3 > 0 > -1.
TEOREMA 1.1
• 
• 
• 
• 
Misal a, b, c, dan d bilangan riil :
a) Jika a < b dan b < c, maka a < c
b) Jika a < b, maka a + c < b + c dan a – c < b – c
c) Jika a < b, maka ac < bc untuk c positif dan ac
> bc untuk c negatif
•  d) Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d
•  e) Jika a dan b keduanya positif atau keduanya
•  negatif dan a < b, maka 1/a > 1/b
•  Jika arah suatu ketidaksamaan menyatakan maknanya, maka
bagian (b)-(e) teorema di atas dapat diuraikan secara informal
sebagai berikut :
•  b) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya
• 
ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang
• 
sama.
•  c) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya
• 
digandakan dengan bilangan positif yang sama,
• 
tetapi ketidaksamaan berbalik arah jika kedua
• 
sisinya digandakan dengan bilangan negatif yang
• 
sama.
•  d) Ketidaksamaan dengan tanda yang sama dapat
• 
dijumlahkan.
•  e) Jika kedua sisi ketidaksamaan mempunyai tanda
• 
yang sama, maka tanda ketidaksamaannya akan
• 
berbalik arahnya dengan meletakkan tanda yang
• 
berlawanan pada setiap sisinya.
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
Pernyataan dlm teorema 1.1 diIlustrasikan :
1. Ketidaksamaan awal : -2 < 6
Operasi : kedua sisi ditambah dengan 7
Ketidaksamaan hasil : 5 < 13
2. Ketidaksamaan awal : -2 < 6
Operasi : kedua sisi dikurangi dengan 8
Ketidaksamaan hasil : -10 < -2
3. Ketidaksamaan awal : -2 < 6
Operasi : kedua sisi digandakan 3
Ketidaksamaan hasil : -6 < 18
4. Ketidaksamaan awal : 3 < 7
Operasi : kedua sisi digandakan 4
Ketidaksamaan hasil : 12 28
5. Ketidaksamaan awal : 3 < 7
Operasi : kedua sisi digandakan –4
Ketidaksamaan hasil : -12 > -28
PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
Penyelesaian ketidaksamaan dalam x yang tidak diketahui
merupakan nilai untuk x yang membuat ketidaksamaan itu sebagai
pernyataan yang benar. Sebagai contoh x = 1 merupakan
penyelesaian dari ketidaksamaan x < 5, tetapi x = 7 bukan
merupakan penyelesaian.
Proses mendapatkan himpunan penyelesaian suatu ketidaksamaan
disebut menyelesaikanketidaksamaan.
Contoh : Selesaikan 3 + 7x ≤ 2x – 9
Penyelesaian : akan digunakan operasi dalam teorema 1.1 dengan
mengumpulkan x pada satu sisi ketidaksamaan
3 + 7x ≤ 2x – 9 [diberikan]
7x ≤ 2x – 12 [kurangkan 3 dari kedua sisi]
5x ≤ -12 [kurangkan 2x dari kedua sisi]
x ≤ - 12 [gandakan kedua sisi dengan 1/5]
5
krn sudah tidak dapat digandakan dgn yang mengandung x,
ketidaksamaan (1)=(4). Jadi himpunannya berupa selang (-∞, 12/5)
-12
5
Contoh : Selesaikan 7 ≤ 2 – 5x <
9
NILAI MUTLAK
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
Nilai mutlak atau magnitude suatu
bilangan riil a dinotasikan dengan |a| dan
didefinisikan dengan :
|a| = +a jika a ≥ 0
-a jika a < 0
Contoh :
|5| = +5 [karena 5 > 0]
|-4/7| = -(-4/7) = + 4/7
[karena –4/7 < 0]
|0| = +0 [karena 0 ≥ 0]
•  Pengambilan nilai mutlak pada sebuah
bilangan berakibat pada hilangnya tanda minus
jika bilangan negatif dan tidak berubah jika
bilangan itu tak-negatif. Jadi |a| merupakan
bilangan tak-negatif untuk semua nilai a dan
• 
-|a| ≤ a ≤ |a|
HUBUNGAN ANTARA AKAR KUADRAT DAN
NILAI MUTLAK
n 
n 
Bilangan yang kuadratnya adalah a disebut akar
kuadrat dari a. Setiap bilangan riil positif a
mempunyai dua akar kuadrat riil, satu positif dan
satu negatif. Akar kuadrat positif dinotasikan
dengan √a.
Sebagai contoh, bilangan 9 mempunyai dua
akar kuadrat –3 dan 3. Karena 3 merupakan
akar kuadrat positif, diperoleh √9 = 3. Sebagai
tambahan didefinisikan √0 = 0.
n 
n 
n 
Terdapat kesalahan yang umumnya pada penulisan √a2 = a.
Meskipun persamaan ini benar apabila a tak negatif, tetapi
salah untuk a negatif. Sebagai contoh jika a = -4, maka :
√a2 = √(-4)2 = √16 = 4 ≠ a
Teorema : Untuk setiap bilangan riil a
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
√a2 = |a|
Bukti : Karena a2 = (+a)2 = (-a)2, maka bilangan +a dan –a
merupakan akar-akar kuadrat dari a2. Jika
a ≥ 0, maka +a merupakan akar kuadrat tak-negatif dari a2,
dan jika a < 0, maka –a akar kuadrat tak-negatif dari a2,
sehingga diperoleh
√a2 = +a jika a ≥ 0
√a2 = - a jika a < 0
Jadi √a2 = |a|.
SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK
n 
n 
n 
n 
Teorema : Jika a dan b bilangan riil, maka
(a) |-a| = |a| Suatu bilangan dan negatifnya
mempunyai nilai mutlak sama
(b) |ab| = |a||b| Nilai mutlak dari perkalian
merupakan perkalian nilai mutlak
(c) |a/b| = |a|/|b| Nilai mutlak dari perbagian
merupakan pembagian nilai mutlak
n 
n 
Bukti (a) : |-a| = √(-a)2 = √a2 = |a|
Bukti (b) : |ab| = √(ab)2 = √a2b2 = √a2√b2 = |a||b|
KETIDAKSAMAAN SEGITIGA
Secara umum tidak selalu benar bahwa |a + b|=|a|+|b|
Sebagai contoh, jika a = 2 dan b = -3, maka
a + b = -1, sehingga|a + b| = |-1| = 1
Sedangkan ;|a| + |b| = |2| + |-3| = 2 + 3 = 5
Jadi |a + b| ≠ |a| + |b|.
Akan tetapi, benar bahwa nilai mutlak suatu jumlahan
selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah nilai mutlak.
Hal ini merupakan isi teorema yang sangat penting, yang
dikenal dengan ketidaksamaan segitiga.
Teorema (Ketidaksamaan
• 
• 
• 
• 
Segitiga) :
Jika a dan b sebarang bilangan riil, maka
|a + b| ≤ |a| + |b|
Bukti :-|a| ≤ a ≤ |a| dan -|b| ≤ |b| ≤ |b|
Dengan menambahkan kedua
ketidaksamaan tersebut didapat
• 
-(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ (|a| + |b|)
INTERPRETASI GEOMETRIK DARI NILAI MUTLAK
•  Notasi nilai Mutlak muncul secara alamiah dalam
masalah jarak. Karena jarak tak negatif, maka
jarak d antara A dan B adalah :
• 
b – a jika a < b
•  d =
a – b jika a > b
• 
0
jika a = b
• 
A
B
B
A
• 
a
b
b
a
• 
b-a
a-b
•  (1) b-a = positif, jadi b-a = |b-a|
•  (2) b-a = negatif, jadi a-b = -(b-a) = |b-a|
TEOREMA 1.5
n 
n 
n 
n 
Rumus Jarak ;
Jika A dan B titik –titik pada suatu garis
koordinat yang masing-masing mempunyai
koordinat a dan b, maka jarak d antara A dan B
adalah ;
d = | b - a|
Rumus diatas memberikan interpretasi
geometrik yang berguna untuk beberapa
ekspresi matematika yang umum dan dapat
dituliskan sbb ;
TABEL RUMUS JARAK
EKSPRESI INTERPRE GEOMETRIK PADA GRS KOORDINAT
|x - a|
Jarak antara x dan a
|x + a|
Jarak antara x dan –a (krn |x+a|=|x-(-a)|)
|x|
Jarak antara x dan titik asal (karena |x|=|x-0|)
Ketidaksamaan dalam bentuk |x-a| < k dan |x-a| > k, sering digunakan,
sehingga dijabarkan lagi dlm tabel berikut ;
Ketidak Interpretasi
Samaan geometrik
(k>0)
|x-a|<k x didlm k
satuan dr a
|x-a|>k
x lebih dr
k stn dr a
Gambar
k
a-k
k
-k<x-a<k
Himpunan
penyelesain
(a-k, a+k)
a x a+k
k
a-k
Bentuk Alternatif
ketidaksamaan
k
a
a+k x
x-a<-k atau
x-a>k
(-∞,a-k) U
(a+k, +∞)
Dlm tabel diatas, < dapat diganti dgn ≤ dan > dgn ≥, yaitu titik2 terbuka diganti
dgn titik2 tertutup dlm ilustrasi diatas
Contoh ;
l 
Selesaikan ; |x - 3| <4
l 
Penyelesaian : ketidaksamaan tsb ditulis kembali sebagai
l 
l 
-4 < x – 3 < 4
-1 < x< 7
dlm notasi selang ;(-1,7)
-1
l 
l 
l 
l 
l 
l 
l 
(+3)
3
7
Selesaikan : |x + 4| ≥ 2
Penyelesaian : ketidaksamaan dpt ditulis kembali
x + 4 ≤ -2
x ≤ -6
atau
atau lebih sederhana atau
x+4≥2
x ≥ -2
-6
-4
-2
BIDANG KOORDINAT DAN GRAFIK
•  SISTEM KOORDINAT SIKU-SIKU
•  Suatu sistem koordinat siku-siku (juga disebut
sistem koordinat Cartesian) merupakan
pasangan garis koordinat yang tegak lurus, yang
disebut sumbu-sumbu koordinat sedemikian
sehingga keduanya berpotongan di titik asal.
Biasanya, salah satu garis tersebut horizontal
dengan arah positif ke kanan, dan yang lain
vertical dengan arah positif ke atas.
titik asal
sumbu-y
0
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1
2
3 4
sumbu-x
*KOORDINAT
•  GRAFIK
Kuadran
II
Kuadran
I
Kuadran
III
Kuadran
IV
(-,+)
(+,+)
(-,-)
(+,-)
Contoh : Buatlah sketsa grafik dari y = x2
Himpunan penyelesaian dari y = x2 mempunyai tak hingga banyak
anggota, sehingga tak mungkin digambarkan semuanya
9
8
x
y = x2
(x, y)
7
0
1
2
3
-1
-2
-3
0
1
4
9
1
4
9
(0, 0)
(1, 1)
(2, 4)
(3, 9)
(-1, 1)
(-2, 4)
(-3, 9)
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1
1 2 3
Sebaiknya diingat bahwa kurva dalam gambar di atas hanyalah hampiran grafik y =
x2. Pada umumnya, hanya dengan cara kalkulus bentuk grafik yang benar dapat
diketahui dengan pasti.
Contoh : Buatlah sketsa grafik dari y = x3
y
8
x
-2
2
-8
x
0
1
2
-1
-2
y = x3
0
1
8
-1
-8
(x, y)
(0, 0)
(1, 1)
(2, 8)
(-1, -1)
(-1, 1)
PERPOTONGAN
•  Perpotongan grafik dengan sumbu-x berbentuk (a, 0) dan
perpotongan dengan sumbu-y berbentuk (0, b). Bilangan a
tersebut dinamakan perpotongan-x dari grafik dan bilangan
b dinamakan perpotongan-y.
•  Contoh : Dapatkan semua perpotongan- x dan perpotongany dari
•  (a) 3x + 2y = 6,
(b) x = y2 – 2y, (c) y = 1/x
•  Penyelesaian (a) : Untuk mendapatkan perpotongan-x,
berikan y = 0 dan diselesaikan untuk x :
• 
3x = 6 atau x = 2
•  Untuk mendapatkan perpotongan-y diberikan x = 0 dan
diselesaikan untuk y :
• 
2y = 6 atau
y=3
Grafik dari 3x + 2y = 6 merupakan garis seperti
ditunjukkan dalam gambar.
perpotongan-y
(0, b)
x
(a, 0)
perpotongan-x
3
2
3x + 2y = 6
GRAFIK DENGAN SKALA TIDAK SAMA
• 
• 
Sebagai contoh, y = x3 untuk nilai antara –10 dan 10, akan mempunyai mempunyai
nilai y antara (-10)3 =
-1000, yang sulit digambarkan pada lembar kertas standar atau halaman cetak; satusatunya cara mengatasinya menggunakan skala yang tidak sama
y
y
140
8
x
-2
x
-2
2
-140
-8
2
KATALOG GRAFIK-GRAFIK DASAR
y
y
x
x
y = x2
y = -x2
y
y
x
x = y2
x
x = -y2
y
y
x
y = √x
x
y = -√x
y
y
x
y = x3
x
y =
y
3
√x
y
x
y = 1/x
x
y = -1/x
GARIS
o 
*Kemiringan
o 
Dalam pengamatan,”tanjakan” atau “kemiringan” suatu bukit
didefinisikan sebagai perbandingan jarak horisontal (run) dengan
ketinggian (rise).
y
P2 (x2, y2)
y2 – y1
(rise)
P1 (x1, y1)
x2 – x1
(run)
x
Definisi ; Jika P1(x1,y1) dan P2(x2,y2)
adalah titik-titik pada bidang koordinat maka
kemiringan m dari garis tersebut
didefinisikan dengan
m= rise = y2-y1
run x2-x1
n  Definisi
diatas; tidak diterapkan untuk
garis vertikal. Untuk garis vertikal akan
diperoleh x2=x1, sehingga memuat
perbandingan dengan nol. Kemiringan
garis vertikal tidak didefinisikan. Garis
vertikal mempunyai kemiringan tak hingga
Contoh ; Pada tiap bagian tentukan kemiringan
dan garis yang melalui
(a) titik (6,2) dan titik (9,8)
(b) titik (2,9) dan titik (4,3)
(c) titik (-2,7) dan titik (5,7)
n 
n 
n 
n 
Penyelesaian
(a) m = 8-2/9-6 = 6/3 = 2
(c) m = 7-7/5-(-2) = 0/7 = 0
(b) m = 3-9/4-2 = -6/2 = -3
y
P2 (x2, y2)
P2’ (x2’, y2’)
y2’ – y1’
P1’ (x1’, y1’)
y2 – y1
x2’ – x1’
P1 (x1, y1)
x2 – x 1
Q’
Q
x
PERSAMAAN UMUM GARIS
l  Suatu persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
l 
Ax + By + C = 0
l  disebut persamaan derajat-pertama dalam x dan y.
Sebagai contoh,
l 
4x + 6y – 5 = 0
l  adalah persamaan derajat-pertama dalam x dan y
karena memiliki bentuk sesuai di atas dengan
l 
A = 4, B = 6, C = -5
l  Teorema : Setiap persamaan derajat-pertama dalam x
dan y mempunyai grafik berupa garis lurus, sebaliknya,
setiap garis lurus dapat disajikan oleh suatu persamaan
derajat-pertama dalam x dan y.
l  Bentuk persamaan Ax + By + C = 0 kadang disebut
persamaan umum dari suatu garis atau persamaan
linear dalam x dan y.
Contoh : Gambarkan grafik
persamaan 3x – 4y + 12 = 0
y
(0, 3)
x
(-4, 0)
3x – 4y + 12 = 0
FUNGSI
*KONSEP FUNGSI
Luas lingkaran bergantung pada jari-jari r dengan
persamaan A = πr2, sehingga dikatakan “A fungsi
dari r”.
Sebagai contoh,
y = 4x + 1
mendefinisikan y sebagai fungsi dari x sebab setiap
nilai yang diberikan pada x menentukan tepat satu
nilai y.
y = f (x)
(dibaca “y sama dengan f dari x”) menyatakan
bahwa y adalah fungsi dari x. Besaran x pada
persamaan di atas disebut peubah bebas dari f dan
y peubah tak bebas dari f.
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
  Contoh 1 : Jika f (x) = 3x – 4 maka
  f (0) = 3.0 – 4 = - 4
  f (1) = (3.1) – 4 = -1
  f (2) = (3.2) – 4 = 2
  f (-3) = (3.-3) – 4 = -13
  f (√5) = (3.√5) – 4 = 3√5 – 4
  Contoh 2 : Jika Φ(x) = 1
maka
 
x3 – 1
  Φ(3√7) =
1
= 1
= 1/6
 
(3√7)3 – 1
7–1
  Φ(51/6) =
1
=
1
 
(5 1/6 )3 – 1 √5 – 1
PEMBALIKAN PERAN x DAN y
" Sebagai contoh,
x = 4y5 – 2y3 + 7y – 5
" merupakan bentuk x = g(y) ; yaitu x sebagai
fungsi dari y. y dipandang sebagai peubah
bebas dan x sebagai peubah tak bebas.
" . Sebagai contoh, persamaan
"
3x + 2y = 6
" dapat ditulis
"
y = - 3 x + 3 atau x = - 2 y + 2
2
3
" Pemilihan bentuk tergantung pada bagaimana
persamaan tersebut digunakan.
OPERASI-OPERASI PADA FUNGSI
•  OPERASI-OPERASI ARITMATIK PADA
• 
• 
• 
• 
• 
• 
FUNGSI
Fungsi-fungsi dapat dijumlahkan, dikurangkan,
digandakan dan dibagi. Sebagai contoh, jika
f(x) = x dan g(x) = x2, maka
f(x) + g(x) = x + x2
Rumus ini mendefinisikan suatu fungsi baru yang
disebut jumlah dari f dan g dan dituliskan dengan
f + g. Jadi
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + x2
Definisi : Diketahui fungsi f dan g, maka rumusrumus untuk jumlah f + g, selisih f – g, hasil kali
f . g dan hasil bagi f /g
•  didefinisikan dengan;
• 
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
• 
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
• 
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
• 
(f /g)(x) = f(x) /g(x)
•  Contoh : Dimisalkan
• 
f(x) = 1 + √x – 2 dan g(x) = x – 1
•  Dapatkan (f + g)(x), (f – g)(x), (f . g)(x), (f /g)(x)
KOMPOSISI FUNGSI
Secara informal dinyatakan bahwa operasi
komposisi dibentuk dengan mensubstitusikan
beberapa fungsi pada peubah bebas dari fungsi
lainnya. Sebagai contoh, misalkan
f(x) = x2 dan g(x) = x + 1
n  Jika g(x) disubstitusikan pada x dalam rumus f,
diperoleh fungsi baru
f(g(x)) = (g(x))2 = (x + 1)2
n  yang dituliskan dengan f o g. Jadi
f o g = f(g(x)) = (g(x))2 = (x + 1)2
n 
Contoh :f(x) = x2 +3 dan g(x) = √x.
Dapatkan;
a). (f o g)(x) b).(gof)(x)
P e n y e l e s a i a n
(a) : f(g(x)) = (x)2 + 3 = (√x)2 + 3 =x+3
(b);g(f(x))=√(x)=√x2+3
SATU CONTOH DALAM KALKULUS
Contoh : Misalkan f(x) = x2 dan h adalah sebarang
bilangan riil tak nol.
Dapatkan ;
f(x + h) – f(x)
• 
h
dan sederhanakan
•  Penyelesaian :
•  f(x + h) – f(x) = (x + h)2 – x2 = x2 + 2xh + h2 – x2
• 
h
h
h
• 
= 2xh + h2 = h(2x + h)
• 
h
h
•  Dengan mencoret h dan dengan memperhatikan
pembatasan pada h, diperoleh
• 
f(x + h) – f(x) = 2x + h, h ≠ 0
KLASIFIKASI FUNGSI
Fungsi yang paling sederhana disebut fungsi
konstan. Contohnya ; f(x) = 3 maka
l 
f(-1) = 3, f(0) = 3, f(√2) = 3, f(9) = 3
l 
l 
l 
l 
Fungsi dengan bentuk cxn, dimana c adalah suatu
konstanta dan n adalah bilangan bulat tak negatif,
disebut monomial dalam x.
contoh 2x3, πx7, 4x0(= 4), -6x, x17
Fungsi-fungsi 4x1/2 dan x-3 bukan monomial sebab
pangkat dari x bukan bilangan bulat tak negatip.
POLINOMIAL DALAM X.
•  Contoh :
3
• 
3
17
5
x + 4x + 7, 3 – 2x + x , 9, 17 – 2 x, x
3
Rumus untuk polinomial dalam x adalah
f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +…+ an xn
atau
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +…+a0
Polinomial-polinomial derajat pertama, kedua, ke-tiga
DESKRIPSI
RUMUS UMUM
Polinomial linier a0 + a1 x (a1 ≠ 0)
2
Polinomial kuadratik a0 + a1 x + a2 x (a2 ≠ 0)
2
3
Polinomial kubik a0 + a1x + a2 x + a3 x (a3 ≠ 0)
Fungsi rasional
Adalah suatu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua
polinomial.
Contoh :
X5 – 2x2 + 1
X2 - 4
x
x+1
A0 + a1x + ax2 + ……… + anxn
F(x) = b0 + b1x +b2x2 + ……… + bnxn
fungsi-fungsi aljabar eksplisit
Contoh : f(x) = x2/3 = (√ x)2 dan g(x) =
( x − 3) x
x5 + x2 + 1
GRAFIK FUNGSI
•  Definisi grafik fungsi
•  Grafik suatu fungsi f pada bidang xy didefinisikan
sebagai grafik dari persamaan y = f(x).
•  Contoh : Buatlah sketsa grafik f(x) = x + 2
• 
2
-2
Menggambar fungsi dengan
geseran (translasi)
Contoh : gambarkan grafik fungsi berikut ini ;
2
y=x +2
2
y=x –2
2
y = (x+2)
2
y = ( x – 2)
LIMIT
"  Kalkulus berpusat di sekitar dua
permasalahan dasar ;
"  Masalah garis singgung
y
Garis singgung di P
y = f (x)
P(x0, y0)
x
Masalah luas
•  Diberikan fungsi f, dapatkan luas antara grafik
f dan suatu selang [a, b] pada sumbu-x.
•  luas sebenarnya dibawah kurva tersebut
sebagai suatu nilai limit
y
y = f (x)
x
a
b
Limit
menggambarkan perilaku
suatu fungsi jika peubah bebasnya
bergerak menuju suatu nilai tertentu.
Contoh ;
x
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
f(x) = sin x/x, dibuat tabel sbb ;
f(x) = sin x/x
x
f(x) = sinx/x
0,84147
0,87036
0,89670
0,92031
0,94107
0,95885
0,97355
0,98507
0,99335
0,99833
0,99998
-1,0
-0.9
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,84147
0,87036
0,89670
0,92031
0,94107
0,95885
0,97355
0,98507
0,99335
0,99833
0,99998
BEBERAPA LIMIT DASAR
Limit
lim k = k
Contoh
lim 3 = 3
lim 3 = 3
lim k = k
lim 3 = 3
x à 2
x à a
x à +∞
x à +∞
lim k = k
lim 3 = 3
x à -∞
lim x = a
x à a
lim x = +∞
x à +∞
lim x = -∞
x à -∞
x à -2
x à -∞
lim x = 5
x à 5
lim 0 = 0
x à +∞
lim 0 = 0
x à -∞
lim x = 0
x à 0
lim x = -2
x à -2
Teorema : Dimisalkan lim di sini berarti satu dari
limit-limit lim , lim , lim , lim atau lim . Jika
x à a
x à a- x à a+ x à +∞
x à -∞
L1 = lim f(x) dan L2 = lim g(x) keduanya ada, maka
(a) lim [ f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L1 + L2
(b) lim [ f(x) – g(x)] = lim f(x) – lim g(x) = L1 – L2
(c) lim [ f(x)g(x)] = lim f(x) lim g(x) = L1 L2
(d) lim f(x) = lim f(x) = L1 jika L2 ≠ 0
g(x) lim g(x) L2
n
n
n
(e) lim √ f(x) = √lim f(x) = √L1 , untuk L1 ≥ 0
jika n genap.
Untuk sebarang fungsi yang
banyaknya berhingga
lim [ f1(x) + f2(x) +…+ fn(x)] = lim f1(x) + lim f2(x) +
…+ lim fn(x)
lim [f1(x) f2(x)… fn(x)] = lim f1(x) lim f2(x)… lim fn(x)
n
n
lim [ f(x)] = [lim f(x)]
n
n
n
lim x = [ lim x] = a
x à a
Contoh :
x à a
4
4
lim x = 3 = 81
x à 3
LIMIT DARI POLINOMIAL
UNTUK x à a
Contoh : Dapatkan lim x2 – 4x + 3 dan jelaskan
x à 5
setiap langkahnya.
Penyelesaian :
lim (x2 – 4x + 3) = lim x2 – lim 4x + lim 3
x à 5
x à 5
x à 5
x à 5
= lim x2 – 4 lim x + lim 3
x à 5
x à 5
= 52 – 4(5) + 3
= 8
x à 5
Limit dari fungsi rasional
untuk x→ a
Contoh :
3
dapatkan ; lim 5x + 4
x→ 2
x-3
Penyelesaian ;
3
3
3
lim 5x + 4 = lim 5x + 4 = 5.2 + 4 = - 44
x→ 2 x - 3
x→ 2
2–3
lim x - 3
x→ 2
Limit pembilang dan
penyebut mendekati nol
"   Dapatkan ; lim
x→ 2
" 
2
x2 – 4
x–2
Lim x – 4 = lim (x – 2)(x + 2) = lim (x + 2) = 4
x→ 2 x – 2 x→ 2 x - 2
x→ 2
LIMIT YANG MEMUAT 1/X
x 1
1/x 1
NILAI
KESIMPULAN
10 100
1000 10.000 …. Untuk x→ ∞ nilai dari 1/x turun
0,1 0,01
0,001 0,0001 …. menuju nol
x -1 -10 -100
1/x -1 -0,1 -,001
x
1/x
x
1/x
1 0,1 0,01
1 10 100
-1 -0,1 -0,01
-1 -10 -100
-1000
-,001
0,001
1000
-0,001
-1000
-10.000 …. Untuk x→ - ∞ nilai dari 1/x
-0,0001 ….. bertambah/naik menuju nol
0,0001 ….
10.000 ….
-0,0001 …
-10.000 …
Untuk x→ o+ nilai dari 1/x naik
menuju tanpa batas
Untuk x→o- nilai dari 1/x turun
menuju tanpa batas
Lim 1/x = +∞, lim 1/x = -∞, lim 1/x =0, lim 1/x = 0
+
x→ o
x→o
x→+ ∞ x→ - ∞
y=1/x
y=1/x
x
Lim 1/x = +∞,
x→ o+
lim 1/x =0,
x→+ ∞
x
lim 1/x =-∞
x→o-
lim 1/x = 0
x→ - ∞
Limit dari Polinomial untuk x→ +∞ atau
x → -∞
y
8
y
8
y=x
y=x2
x
-4
x
Lim
x→
Lim
x→
4
-4
+4
lim x2 = + ∞,
x→ + ∞
lim x2 = + ∞,
x→ - ∞
x = + ∞,
+∞
x = - ∞,
-∞
y
8
y
8
y=x3
y=x4
x
-4
+4
x
-4
+4
Lim xn = +∞, untuk n = 1,2,3,4..........
x→ + ∞
lim xn = +∞, untuk n = 2,4,6........
x→ - ∞
= - ∞, untuk n = 1,3,5.......
untuk perkalian xn bilangan real negatip menghasilkan tanda
berlawan. Tapi untuk perkalian xn bilangan real positip
menghasilkan tanda sama.
Contoh ;
lim 2x5 = +∞
lim 2x5 = -∞
x→ + ∞
x→ - ∞
lim -7x6 = -∞
lim -7x6 = -∞
x→ + ∞
x→ - ∞
1
1 n
lim n = (lim ) = 0,
x
x
x→ + ∞
x→ +∞
Limit Fungsi Rasional
untuk x→ +∞ atau
x → -∞
•  -pembilang dan penyebut dibagi dengan pangkat
tertinggi dari penyebut ;
•  Contoh :
•  Dapatkan ; lim 3x + 5
6x − 8
• 
x→ +∞
•  Penyelesaian : bagi dengan x untuk pembilang dan
penyebut
•  Lim 3x + 5 = lim 3 + lim 5/x = lim 3 + 5 lim 1/x
6 x − 8 x→ +∞ x→ +∞
•  x→ +∞
x→ +∞
x→ +∞ = 1/2
• 
lim 6 + lim 8/x
lim 6 + 8 lim 1/x
The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have
been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete
the image and then insert it again.
Metode cepat
Limit Fungsi Rasional
untuk x→ +∞ atau
x → -∞
cn x n
dm xm
•  Limit fungsi rasional untuk x→ +∞
atau x → -∞ , tidak terpengaruh
jika semua suku dlm pembilang
dan penyebut dihilangkan kecuali
suku pangkat tertinggi
c0 + c1x + ... + cn x n
•  Lim
m = lim
d 0 + d1 x + ... + d m x
• 
x→ +∞
x→ +∞
cn x n
dm xm
Untuk contoh berikut gunakan
rumus tersebut ;
•  Selesaikan limit berikut ini :
•  1. lim
• 
x→ +∞
•  2. lim
3 − 2x 4
x +1
•  3. lim
4x 2 − x
2x3 − 5
• 
• 
x→ +∞
x→ +∞
LIMIT YANG MEMUAT
AKAR
3x + 5
•  CONTOH , DAPATKAN ;limit 3 6 x − 8
• 
x→ +∞
•  Penyelesaian ;
•  Limit 3 3x + 5 = 3 lim it 3x + 5
• 
x→ +∞
6x − 8
x → ∞ 6x − 8
= 3 1
2
Bentuk limit akar lainnya ;
n 
Selesaikan ;
2
n 
A. limit
n  x→ +∞
n 
n 
n 
x +2
3x − 6 B.limit
x2 + 2
3x − 6
x→ -∞
Penyelesain ;
dengan cara manipuasi fungsi dengan membagi
pembilang dan penyebut dengan|x|
Dimana |x| = √x2
Soal-soal 2
1. Diberikan f(x) =
(a) f(-4)
{
b) f(4)
1
,
x
2x,
x>3
x ≤ 3 dapatkan ;
f(t2 + 5)
2. Misalkan f(x) = 3/x dapatkan ;
1
1
a). f +
b.). f(x2) + f2(x)
x f ( x)
3. Dapatkan : f o g dan g o f dari pers.berikut ini ;
a. f(x) = sin2x ,
b. f(x) =
x
,
1+ x2
g(x) = cos x
g(x) =
1
x
4. Buat sketsa grafik fungsinya dari ;
a). f(x) = 2 sin x
b). g(x) =
{x ,
2
0 ,
x±4
x=4
Soal-soal
5. a. lim
x − 3x − 1
x
5
x
+∞
x
5x 2 − 2
x+3
∞
b. lim
-∞
3s 7 − 4s 5
2s 7 + 1
4
5x 2 + 7
b. lim
3x 2 − x
∞
8. a. Lim
s
x
7 − 6x5
x+3
x
3
x 2 − 16
b. lim
x−4
2
7. a. lim
9. lim
x
x 2 − 4x + 4
x2 + x − 6
6. a.lim
x
x 2 − 2x
b. lim
x +1
3
x
b. lim
s
+∞
2− y
7 + 6y2
+∞
6 − t3
7t 3 + 3
Kontinuitas
•  Definisi ;
•  Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c,
jika syarat-syarat berikut dipenuhi ;
•  1. f(c) terdefinisi
•  2. lim f (x) ada
•  x
c
•  3. lim f(x) = f(c)
•  x
c
•  Jika salah satu tidak terpenuhi, maka fungsi
disebut : diskontinu
Contoh diskontinuitas
y = f(x)
y = f(x)
c
c
Pada gambar diatas terjadi lubang pada titik c
Karena fs f tidak terdifinisi di ttk tsb
Pada gb diatas terjadi patahan pd grafiknya, fs f
terdifinisi di c, tapi lim f(x) tdk ada
x
(a)
c
(b)
y = f(x)
y = f(x)
c
Sama seperti gambar (b)
c
Pada gambar diatas, fs f terdifinisi di c dan lim f(x)
ada, tetapi ada patahan pd ttk c, lim f(x) ≠f(c)
Contoh Kontinu dan diskontinu
x2 − 4
•  1. f ( x) =
x−2
•  2. g(x) =
x2 − 4
,x≠2
x−2
3
,x=2