PARTISI BILANGAN p(5n + 4),p(7n + 5) DAN p(11n + 6) SECARA

PARTISI BILANGAN p(5n + 4), p(7n + 5) DAN p(11n + 6) SECARA
BERTURUT-TURUT KONGRUEN MODULO 5, 7 DAN 11
Abdul Akhyar1 , Syamsudhuha2 , Sri Gemawati2
1 Mahasiswa
Program Studi S1 Matematika
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Kampus Bina Widya Pekanbaru 28293, Indonesia
2 Dosen
∗ [email protected]
ABSTRACT
A partition of a positive integer is the representation of the positive integer its self
or sums of the other positive integers, while the partition function is the number of
partitions. This article disscusses a simple proof of partition numbers p(5n + 4),
p(7n + 5) and p(11n + 6) consecutively congruent modulo 5, 7, and 11. The proof
for modulo 5 and 7 are carried out via Jacobi identities, while for modulo 11 via
Euler and Jacobi identities.
Keywords: Partition number, modulo, generating function, Euler and Jacobi
identities
ABSTRAK
Partisi dari bilangan bulat positif merupakan suatu cara menuliskan bilangan
tersebut sebagai dirinya sendiri ataupun juga sebagai jumlah dari bilangan bulat
positif lainnya, sedangkan fungsi partisi adalah banyaknya partisi yang dimiliki oleh
suatu bilangan. Artikel ini membahas tentang bukti sederhana dari partisi bilangan
p(5n + 4), p(7n + 5) dan p(11n + 6) secara berturut-turut kongruen pada modulo
5, 7 dan 11. Untuk pembuktian pada modulo 5 dan 7 melalui identitas Jacobi,
sedangkan untuk modulo 11 melalui identitas Euler dan identitas Jacobi.
Kata kunci: Partisi bilangan, modulo, fungsi pembangkit, identitas Euler dan
identitas Jacobi
1. PENDAHULUAN
Berbicara tentang matematika tidak akan bisa lepas dari hal yang disebut dengan
bilangan. Berdasarkan keanggotaannya, bilangan dibagi menjadi beberapa macam,
salah satunya adalah bilangan bulat. Bilangan bulat positif dapat ditulis sebagai
dirinya sendiri ataupun sebagai jumlah dari bilangan bulat positif lainnya yang
dikenal sebagai partisi bilangan. Fungsi partisi menyatakan jumlah atau banyaknya
partisi yang bisa dimiliki oleh suatu bilangan.
1
Dalam [12] dinyatakan bahwa pada tahun 1917 P.A MacMahon menemukan
barisan partisi bilangan hingga n = 200, kemudian Ramanujan mengamati barisan
tersebut dan menemukan bahwa terdapat fungsi partisi bilangan dengan jarak yang
sama kongruen dengan nol modulo 5, 7 dan 11, yaitu p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5),
p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7) dan (p11n + 6) ≡ 0 (mod 11).
Bukti untuk partisi bilangan (p11n + 6) ≡ 0 (mod 11) banyak ditemukan dalam
banyak artikel diantaranya seperti dalam Atkin dan Swinnerton-Dyer[1], Ekin[6],
Hardy et al.[7], Hirschhorn[9], [10], [11], tetapi pembuktian tersebut tidak
sesederhana seperti yang ditulis disini. Karya tulis ini membahas tentang bukti
partisi bilangan p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5), p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7) dan (p11n + 6) ≡ 0
(mod 11) yang dilakukan melalui identitas Jacobi dan identitas Euler dengan
me-review artikel yang berjudul ”A Short and Simple Proof of Ramanujans Mod 11
Partition Congruence” yang ditulis oleh Hirschhorn [12].
2. TEORI PENDUKUNG
Pada bagian ini dijelaskan mengenai partisi bilangan, fungsi partisi fungsi
pembangkit partisi bilangan dan teorema binomial.
Definisi 1 [3, h. 1] Partisi dari bilangan bulat positif n adalah barisan turun yang
r
∑
terbatas dari bilangan bulat positif λ1 , λ2 , . . . , λr sehingga
λi = n. λi disebut
i=1
bagian dari partisi.
Definisi 2 [3, h. 2] Fungsi partisi p(n) menyatakan banyaknya partisi yang dimiliki
oleh bilangan bulat n, atau disebut juga sebagai jumlah partisi dari n.
Contoh 1 (4,2,2,1) adalah partisi dari 9 karena 4+2+2+1=9, sedangkan 1, 2 dan
4 disebut bagian partisi dari 9. Fungsi partisi untuk 9 adalah p(9) = 30 [8].
Teorema 3 Fungsi pembangkit untuk p(n) adalah
∞
∑
n
p(n)q =
n=0
∞
∏
1
,
1 − qn
n=1
dimana |q| < 1.
(1)
Bukti. Dapat dilihat pada [4, h. 5].
2
∞
∏
Jika dimisalkan E(q) =
(1 − q n ), maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi
n=1
∞
∑
n=0
p(n)q n =
1
.
E(q)
(2)
2
Teorema 4 (Teorema Binomial)Misalkan x dan y adalah bilangan real dan n adalah
bilangan bulat tak negatif, maka
n ( )
∑
n n−i i
n
(x + y) =
x y.
i
i=0
2
Bukti. Dapat dilihat pada [13, h. 167].
3. IDENTITAS EULER DAN IDENTITAS JACOBI
Pada bagian ini diberikan teorema mengenai identitas Euler dan identitas Jacobi
sebagai berikut.
Teorema 5 (Identitas Euler) Untuk |q| < 1 maka
E(q) =
∞
∑
(−1)n q n(3n−1)/2 .
(3)
n=−∞
2
Bukti. Dapat dilihat pada [2, h:177].
Dari persamaan (3) jika diuraikan dengan n = 0, 1, −1, 2, −2, 3, . . . maka
diperoleh
E(q) = 1 − q − q 2 + q 5 + q 7 − q 12 − q 15 ± · · · .
(4)
Teorema 6 (identitas Jacobi) Untuk |q| < 1 maka
3
E(q) =
∞
∑
2 +n)/2
(−1)n (2n + 1)q (n
.
(5)
n=0
Bukti. Dapat dilihat pada [5, h:14].
2
Dari persamaan (5) jika diuraikan diperoleh
E(q)3 = 1 − 3q + 5q 3 − 7q 6 + 9q 10 − 11q 15 + 13q 21 − 15q 28
+ 17q 36 − 19q 45 ± · · · .
(6)
3
4. PARTISI BILANGAN p(5n + 4), p(7n + 5) DAN p(11n + 6) SECARA
BERTURUT-TURUT KONGRUEN MODULO 5, 7 DAN 11
4.1. FUNGSI PARTISI BILANGAN KONGRUEN NOL MODULO 5
Pada bagian ini dibahas mengenai bukti dari partisi bilangan p(5n+4) ≡ 0 (mod 5)
yang dilakukan melalui identitas Jacobi.
Teorema 7 Untuk setiap bilangan bulat tak negatif n maka
p(5n + 4) ≡ 0
(mod 5).
Bukti. Perhatikan pangkat q dari deret E(q)3 pada persamaan (6), yaitu 0, 1, 3, 6,
10, 15, 21, 28, 36, 45, . . . . Diperoleh bahwa bilangan - bilangan tersebut kongruen
dengan 0, 1 atau 3 (mod 5). Jika dimisalkan i = 0, 1 atau 3, dan Ji adalah suku suku dimana pangkat dari q kongruen dengan i (mod 5) maka diperoleh
E(q)3 = J0 + J1 + J3 .
(7)
Tetapi karena (2n + 1) ≡ 0 (mod 5) jika (n2 + n)/2 ≡ 3 (mod 5), maka J3 ≡ 0
(mod 5), sehingga persamaan (7) menjadi
E(q)3 ≡ J0 + J1 .
Berdasarkan Teorema 4 diperoleh
(1 − q)5 ≡ (1 − q 5 )
(mod 5),
sehingga
E(q)5 = (1 − q)5 (1 − q 2 )5 (1 − q 3 )5 · · · ,
≡ (1 − q 5 )(1 − q 10 )(1 − q 15 ) · · · (mod 5),
E(q)5 ≡ E(q 5 ) (mod 5).
(8)
Dari persamaan (2) diperoleh bahwa
∞
∑
p(n)q n =
n=0
1
(E(q)3 )3
=
.
E(q)
(E(q)5 )2
Dari kekongruenan (8), diperoleh
∞
∑
p(n)q n ≡
n=0
(E(q)3 )3
(mod 5)
E(q 5 )2
(J0 + J1 )3
(mod 5)
E(q 5 )2
J 3 + 3J02 J1 + 3J0 J12 + J13
= 0
(mod 5),
E(q 5 )2
=
(9)
4
dari pembilang N (q) = J03 + 3J02 J1 + 3J0 J12 + J13 pada persamaan (9) diperoleh
beberapa suku pertama sebagai berikut.
J03
3J02 J1
3J0 J12
J13
= 1 + 15q 10 + . . . ,
= −q(9 + 21q 5 + . . . ),
= q 2 (27 + 126q 5 + . . . ),
= −q 3 (27 + 189q 5 + . . . ),
sehingga diperoleh bahwa pangkat dari q dalam J03 kongruen 0 (mod 5), dalam
3J02 J1 kongruen 1 (mod 5), dalam 3J0 J12 kongruen 2 (mod 5), dalam J13 kongruen
3 (mod 5), dan tidak terdapat pangkat dari q yang kongruen dengan 4 (mod 5),
sehingga koefisien q 5n+4 adalah 0 (mod 5). Dengan demikian maka
∑
p(5n + 4)q 5n+4 ≡ 0 (mod 5),
n≥0
dan
p(5n + 4) ≡ 0
(mod 5).
2
4.2. FUNGSI PARTISI BILANGAN KONGRUEN NOL MODULO 7
Pada bagian ini dibahas mengenai bukti dari partisi bilangan p(7n+5) ≡ 0 (mod 7)
yang dilakukan melalui identitas Jacobi.
Teorema 8 Untuk setiap bilangan bulat tak negatif n maka
p(7n + 5) ≡ 0
(mod 7).
Bukti. Dengan memperhatikan kembali pangkat q dari suku-suku pada deret
E(q)3 dalam persamaan (6) diperoleh bahwa bilangan - bilangan pangkat tersebut
kongruen dengan 0, 1, 3 atau 6 (mod 7). Jika dimisalkan i = 0, 1, 3 atau 6, dan
Ji adalah suku - suku dimana pangkat dari q kongruen dengan i (mod 7) maka
diperoleh
E(q)3 = J0 + J1 + J3 + J6 .
(10)
Tetapi karena (2n + 1) ≡ 0 (mod 7) jika (n2 + n)/2 ≡ 6 (mod 7), maka J6 ≡ 0
(mod 7), sehingga persamaan (10) menjadi
E(q)3 ≡ J0 + J1 + J3 .
Berdasarkan Teorema 4 diperoleh bahwa
(1 − q)7 ≡ (1 − q 7 )
(mod 7),
5
sehingga
E(q)7 = (1 − q)7 (1 − q 2 )7 (1 − q 3 )7 · · · ,
≡ (1 − q 7 )(1 − q 14 )(1 − q 21 ) · · · (mod 7),
E(q)7 ≡ E(q 7 ) (mod 7).
(11)
Dari persamaan (2) diperoleh bahwa
∞
∑
p(n)q n =
n=0
1
(E(q)3 )2
=
.
E(q)
E(q)7
Dari kekongruenan (11), diperoleh
∞
∑
n=0
p(n)q n ≡
(E(q)3 )2
E(q 7 )
(mod 7),
(J0 + J1 + J3 )2
=
(mod 7),
E(q 7 )
J 2 + J12 + J32 + 2J0 J1 + 2J0 J3 + 2J1 J3
= 0
E(q 7 )
(mod 7).
(12)
dari pembilang N (q) = J02 + J12 + J32 + 2J0 J1 + 2J0 J3 + 2J1 J3 pada persamaan (12)
diperoleh beberapa suku pertama debagai berikut.
J02
J12
J32
2J0 J1
2J0 J3
2J1 J3
= 1 + 26q 21 + · · · ,
= q 2 (9 + 66q 14 + · · · ),
= q 6 (25 + 90q 7 + · · · ),
= q(−6 − 22q 14 + · · · ),
= q 3 (10 + 18q 7 + · · · ),
= q 4 (−30 − 54q 7 + · · · ).
Dapat dilihat bahwa pangkat dari q dalam J02 kongruen 0 (mod 7), dalam J12
kongruen 2 (mod 7), dalam J32 kongruen 6 (mod 7), dalam 2J0 J1 kongruen 1
(mod 7), dalam 2J0 J3 kongruen 3 (mod 7), dalam 2J1 J3 kongruen 4 (mod 7), dan
tidak terdapat pangkat dari q yang kongruen dengan 5 (mod 7), sehingga koefisien
q 7n+5 adalah 0 (mod 7). Dengan demikian maka
∞
∑
p(7n + 5)q 7n+5 ≡ 0 (mod 7),
n=0
dan
p(7n + 5) ≡ 0
(mod 7).
2
6
4.3. FUNGSI PARTISI BILANGAN KONGRUEN NOL MODULO 11
Pada bagian ini dibahas mengenai bukti dari partisi bilangan p(11n + 6) ≡ 0
(mod 11). Pembuktian dilakukan melalui identitas Euler dan identitas Jacobi.
Teorema 9 Untuk setiap bilangan bulat tak negatif n maka
p(11n + 6) ≡ 0
(mod 11).
Bukti. Dari persamaan (4) diperoleh bahwa bilangan pangkat q dari suku-suku
pada deret E(q) kongruen dengan 0, 1, 2, 4, 5 atau 7 (mod 11). Jika dimisalkan
i = 0, 1, 2, 4, 5 atau 6, dan Ei adalah suku - suku dimana pangkat dari q kongruen
dengan i (mod 11) maka diperoleh
E(q) = E0 + E1 + E2 + E4 + E5 + E7 ,
dan dari persamaan (6) diperoleh bahwa bilangan pangkat q dari suku-suku pada
deret E(q)3 kongruen dengan 0, 1, 3, 4, 6 atau 10 (mod 11). Jika dimisalkan
i = 0, 1, 3, 4, 6 atau 10, dan Ji adalah suku - suku dimana pangkat dari q kongruen
dengan i (mod 11), diperoleh
E(q)3 = J0 + J1 + J3 + J4 + J6 + J10 .
(13)
Tetapi karena (2n + 1) ≡ 0 (mod 11) jika (n2 + n)/2 ≡ 4 (mod 11), maka J4 ≡ 0
(mod 11), sehingga persamaan (13) menjadi
E(q)3 = J0 + J1 + J3 + J6 + J10 .
Berdasarkan Teorema 4 diperoleh bahwa
(1 − q)11 ≡ (1 − q 11 )
(mod 11),
sehingga
E(q)11 = (1 − q)11 (1 − q 2 )11 (1 − q 3 )11 · · · ,
≡ (1 − q 11 )(1 − q 22 )(1 − q 33 ) · · · (mod 11),
E(q)11 ≡ E(q 11 ) (mod 11).
(14)
Dari persamaan (2) diperoleh bahwa
∞
∑
p(n)q n =
n=0
1
(E(q)3 )7
=
.
E(q)
(E(q)11 )2
Dari kekongruenan (14), diperoleh
∞
∑
(E(q)3 )7
p(n)q ≡
E(q 11 )2
n=0
n
=
(J0 + J1 + J3 + J6 + J10 )7
E(q 11 )2
(mod 11).
(15)
7
Dari pembilang N (q) = (J0 + J1 + J3 + J6 + J10 )7 pada persamaan (15) jika dicari
pangkat dari q yang kongruen dengan 6 (mod 11) diperoleh
∞
∑
p(11n + 6)q 11n+6 =
n=0
P
,
E(q 11 )2
dimana
P ≡ 7J06 J6 + 10J05 J32 + J04 J1 J6 J10 + 8J03 J13 J3 + 2J03 J1 J32 J10 + 8J03 J63 J10
2
3
5
+ 3J02 J12 J3 J62 + 3J02 J12 J6 J10
+ J02 J32 J62 J10 + 2J02 J3 J6 J10
+ 10J02 J10
2
+ J0 J1 J3 J64
+ 7J0 J16 + J0 J14 J3 J10 + 2J0 J12 J32 J6 + 3J0 J12 J32 J10
2
3
+ 2J0 J1 J63 J10
+ J0 J34 J6 J10 + 8J0 J33 J10
+ 10J15 J62 + 2J13 J3 J62 J10
2
4
6
3
+ 7J1 J10
+ J1 J3 J6 J10
+ 10J12 J35 + 8J1 J33 J63 + 3J1 J32 J62 J10
+ 8J13 J6 J10
2
+ 7J36 J10 + 7J3 J66 + 10J65 J10
,
maka harus ditunjukkan bahwa P ≡ 0 (mod 11) sebagai berikut.
Perhatikan bahwa
(E(q)3 )4 = E(q)12 = E(q)11 E(q) ≡ E(q 11 )E(q)
≡ E(q 11 )(E0 + E1 + E2 + E4 + E5 + E7 ),
sehingga
(J0 + J1 + J3 + J6 + J10 )4 ≡ E(q 11 )(E0 + E1 + E2 + E4 + E5 + E7 ).
(16)
Di ruas kanan dari persamaan (16) diperoleh bahwa tidak terdapat suku - suku
dimana pangkat dari q kongruen dengan 3, 6, 8, 9, dan 10 (mod 11), karena
persamaan (16) kongruen maka hal ini juga terjadi diruas kiri. Sehingga jika ruas
kirinya dikalikan atau diekspansikan, akan diperoleh lima polinomial berderajat
empat yang kongruen dengan nol modulo 11. Sebagai contoh,
3
4J03 J3 + 4J0 J13 + 24J0 J1 J3 J10 + 6J12 J62 + 12J1 J62 J10 + 4J6 J10
≡ 0.
(17)
Jika persamaan (17) dikali 3, lalu dalam modulo 11 diperoleh
3
J03 J3 + J0 J13 + 6J0 J1 J3 J10 + 7J12 J62 + 3J1 J62 J10 + J6 J10
≡ 0.
(18)
Dengan cara yang sama diperoleh
J03 J6 + 7J02 J32 + 6J0 J1 J6 J10 + J13 J3 + 3J1 J32 J10 + J63 J10
3
+ 7J12 J32 + J1 J63 + J33 J10
3J0 J12 J6 + 6J0 J3 J6 J10 + J0 J10
3
2
+ J0 J33 + 6J1 J3 J6 J10 + J13 J6 + J1 J10
3J02 J3 J6 + 7J02 J10
2
2
+ J1 J33 + J3 J63 + 7J62 J10
J03 J10 + 6J0 J1 J3 J6 + 3J0 J1 J10
≡ 0,
≡ 0,
≡ 0,
≡ 0.
(19)
(20)
(21)
(22)
Jika kelima polinomial (18) sampai (22) secara berturut-turut dimisalkan sebagai
Q1 , Q2 , Q3 , Q4 , Q5 , dan juga sudah diketahui bahwa P berderajat tujuh, maka akan
8
dicari pengali berderajat tiga katakanlah M1 , M2 , M3 , M4 , M5 sedemikian hingga
P ≡ M1 Q1 + M2 Q2 + M3 Q3 + M4 Q4 + M5 Q5 . Karena suku-suku di P mengandung
q yang pangkatnya kongruen dengan 6 (mod 11), maka pangkat dari q di suku-suku
dalam M1 , M2 , M3 , M4 , M5 haruslah kongruen dengan 3, 0, 9, 8 dan 7 (mod 11).
Dengan demikian diperoleh
M1
M2
M3
M4
M5
= 7J1 J3 J1 0 + 5J02 J3 + 7J13 ,
= 7J0 J1 J10 + 5J62 J10 + 7J03 ,
2
= 7J0 J3 J6 + 5J0 J10
+ 7J33 ,
3
= 7J3 J6 J10 + 5J12 J6 + 7J10
,
2
3
= 7J0 J1 J6 + 5J1 J3 + 7J6 ,
sehingga
P ≡ 0 (mod 11).
2
5. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan pada artikel ini, maka dapat
disimpulkan bahwa fungsi partisi bilangan p(5n + 4), p(7n + 5) dan p(11n + 6) untuk
bilangan bulat tak negatif n secara berturut-turut akan selalu kongruen pada modulo
5, 7 dan 11. Untuk fungsi partisi p(11n + 6) dibuktikan dengan menggunakan
identitas Euler dan identitas Jacobi, sedangkan untuk fungsi partisi p(5n + 4) dan
p(7n + 5) dapat dibuktikan hanya dengan menggunakan identitas Jacobi.
DAFTAR PUSTAKA
[1] A. O. L. Atkin dan P. Swinnerton-Dyer, Some properties of partitions,
Proceedings of the London Mathematical Society, 3 (1953), 84-106.
[2] G. E. Andrews, Number Theory, W. B. Saunders Company, Philadelphia,
1971.
[3] G. E. Andrews, The Theory of Partitions, Cambridge University Press,
London, 1984.
[4] Z. S. Aygin, Ramanujan’s Congruences for the Partition Function, Tesis
Magister, Bilkent University, 2009.
[5] B. C. Berndt, Number Theory in the Spirit of Ramanujan, American
Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2006.
[6] A. B. Ekin, Inequalities for the crank, Journal of Combinatorial Theory Series
A, 83 (1998), 283-289.
9
[7] G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar dan B. M. Wilson, Collected papers of Srinivasa
Ramanujan, Cambridge University Press, London, 1927.
[8] A. Hassen dan T. J. Osler, Playing With Partitions On The Computer,
pMathematics and Computer Education, 35 (2001), 5-17.
[9] M. D. Hirschhorn, A birthday present for Ramanujan, American Mathematical
Monthly, 97 (1990), 398400.
[10] M. D. Hirschhorn, A generalisation of Winquists identity and a conjecture of
Ramanujan, Journal of the Indian Mathematical Society, 51 (1987), 49-55.
[11] M. D. Hirschhorn, Ramanujans partition congruences, Discrete Mathematics,
131 (1994), 351-355.
[12] M. D. Hirschhorn, Short and simple proof of Ramanujan’s mod 11 partition
congruence, Journal of Number Theory, 00 (2014), 1-4.
[13] J. J. Siang, Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer, Andi,
Yogyakarta, 2002.
10