Pembahasan OSN SMP (Tugas Pa Asrul Sani)

Pembahasan OSN SMP
([email protected])
Bidang Matematika (OSN Tk.Prov. Thn 2014)
1. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan √2 − 𝑥 > 2
Pemahasan
Diketahui √2 − 𝑥 > 2
2 – x > 22
√2 − 𝑥 > 2
2–x>4
-x > 4 – 2
-x > 2
X<-2
Jadi semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan √2 − 𝑥 > 2 adalah x < - 2
2. Diketahui jumlah n bilangan bulat positif ganjil berurutan adalah 5929. Tentukan n terkecil
yang mungkin
Pembahasan:
Diketahui terdapat jumlah n buah bilangan bulat positif ganjil berurutan sama dengan 5929.
Hal ini berarti bahwa karena jumlah bilangan ganjil sama dengan bilangan ganjil, yaitu 5929,
maka n akan bernilai ganjil juga. Untuk mengetahui nilai n, maka kita bagi bilangan 5929
dengan bilangan bulat positif mulai dari yang terkecil sehingga mendapatkan hasil bilangan
bulat ganjil positif, yaitu :
1.
5929
1
hal ini tidak mungkin, karena n buah “bilangan bulat Positif ganjil
Berurutan”
2.
3.
4.
5929
2
5929
3
5929
7
hal ini tidak mungkin, karena satuannya tidak habis membagi 2
hal ini tidak mungkin, karena 5 + 9 + 2 + 9 tidak habis dibagi 3
hal ini mungkin, 592 – 9(2) = 574 dan 57 – 4(2) = 49 serta 49:7 = 7
Sehingga
5929
7
habis dibagi 7, yaitu 847.
Dengan demikian nilai n = 7 yaitu hasil dari jumlah tiga angka < 847 dan
tiga angka > 847 dengan 847 itu sendiri.yakni :
841 + 843 + 845 + 847 + 849 + 851 + 853 = 5929
Jadi n terkecil yang mungkin adalah 7. ( OSP 2014)
3. (Soal No. 11 OSN Tk.Kab. 2012)
Banyak pasangan (x , y) dengan x dan y bilangan asli yang memenuhi 𝑥 2 = 𝑦 2 + 100 adalah
....
A. 0
c. 2
B. 1
d. 3
Pembahasan:
𝑥 2 = 𝑦 2 + 100
𝑥 2 -𝑦 2 = 100
(𝑥− y)(x + y) = 100
Karena x dan y bilangan asli, maka dapat dibuat beberapa kemungkinan (x – y)(x + y) = 100
yaitu:
(𝑥− y)(x + y) = 1. 100
x–y=1
x + y = 100 +
2x
X=
(𝑥− y)(x + y) = 2. 50
= 101
101
2
(tidak memenuhi karena x bukan bilangan asli)
x–y=2
x + y = 50 +
2X
X=
= 52
52
2
X = 26
x + y = 50
26 + y = 50
y = 24
(𝑥− y)(x + y) = 4. 25
( memenuhi (26,24))
x–y=4
X + y = 25 +
2X
X=
(𝑥− y)(x + y) = 5. 20
= 29
29
2
(tidak memenuhi karena x bukan bilangan asli)
x–y=5
X + y = 20 +
2X
X=
= 25
25
2
(tidak memenuhi karena x bukan bilangan asli)
Jadi banyak pasang (x,y) yang memenuhi adalah 1
4. (Soal No. 12 OSK 2012)
Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan , jika hasil
penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dikatakan
tidak tertutup terhadap operasi pembagian karena ada hasil bagi dari sepasang bilangan bulat
yang bukan bilangan bulat jika A = {0, 2, 4, 6, … } adalah himpunan bilangan bulat positif
genap maka pernyataan berikut yang benar adalah ....
A. Himpuan A tertutup terhadap operasi perkalian saja
B. Himpuan A tertutup terhadap operasi penjumlahan saja
C. Himpuan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
D. Himpuan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.
Jawab : C Himpuan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
Pembahasan :
A = {0, 2, 4, 6, … }
A + A = {0, 2, 4, 6, … } + {0, 2, 4, 6, … } = {0, 2, 4, 6, … }
A + A = A (tertutup)
A . A = {0, 2, 4, 6, … } . {0, 2, 4, 6, … } = {0, 2, 4, 6, … }
A . A ⊂ A (tertutup)
A – A = {0, 2, 4, 6, … } - {0, 2, 4, 6, … } = {0, 2, 4, 6, … }
A - A ≠ A (tidak
tertutup)
Jadi pernyataan yang benar adalah :
C. Himpuan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
5. (Soal No. 13 OSK 2012)
Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi, dengan panjang sisi- sisinya 2 satuan , selanjutnya,
dibentuk segitiga kedua dengan menghubungkan 3 titik tengah pada masing- masing sisi
segitiga ABC . Dengan cara serupa dibentuk segitiga ke 3 , ke-4, ke-5 dan ke-6, dst. Luas
segitiga- segitiga tersebut adalah ....
a.
b.
1
√3
3
2
√3
3
4
c. 3 √3
5
d. √3
3
Kunci : C .
4
√3
3
Pembahasan :
Perhatikan gambar segitiga berikut!
C
C
C
I
F
E
F
t
t
I
G
E
H
G
A
B
A
D
B
A
D
t
AB = BC = AC = 2
1
1
T = √𝐵𝐶 2 − ( 2 𝐴𝐵)2 = √22 − (2 . 2)2 = √4 − 1 = √3
Perhatikan gambar segitiga ABC
L. ∆ 𝐴𝐵𝐶 = ½ AB.t = ½ .2√3 = √3
Perhatikan ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 ∆ 𝐷𝐸𝐹
L. ∆ 𝐷𝐸𝐹 = ¼. L. ∆ 𝐴𝐵𝐶 = ¼ . √3 =
√3
4
Perhatikan ∆ 𝐷𝐸𝐹 𝑑𝑎𝑛 ∆ 𝐺𝐻𝐼
L. ∆𝐺𝐻𝐼 = ¼. L. ∆ 𝐷𝐸𝐹 = ¼ .
Luas seluruh segitiga = √3 +
√3
4
√3
4
√3
= 16
+
√3
16
+ ....
→ a = u1 = √3
Deret geometri tak hingga
B
r
𝑈
= 𝑈2
1
𝑎
= 1−𝑟
√3
=
1−
=
√3
4
√3
1
=4
1
4
4
= √3
3
Jadi luas seluruh segitiga adalah
4
√3
3
6. (Soal OSN Tk. Prov. 2012 No. 2, Isian Singkat). Jumlah tiga buah bilangan adalah 19. Jika
bilangan pertama dan bilangan kedua masing- masing dikurangi 1, maka diperoleh dua
bilangan dengan rasio 1 : 3. Jika bilangan kedua dan bilangan ketiga masing- masing
ditambah 3, maka diperoleh dua bilangan dengan rsio 5 : 6. Selisih bilangan terbesar dan
terkecil adalah ....
Jawaban : 6
Pembahasan :
Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah a , b , c dengan a< b < 𝑐, maka diperoleh
a + b + c = 19
(1)
𝑎−1
1
=
𝑏−1
3
𝑏+3
5
=
𝑐+ 3
6
⟺ 3a = b + 2
(2)
⟺ 5c = 6b + 3
(3)
Dari ketiga persamaan di atas didapat :
a + b + c = 19 ⟺ 15a + 15b + 15c = 285
⟺ 5(b + 2) + 15b + 3(6b + 3) = 285
⟺ 38b = 266
⟺ b=7
𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑏 = 7 maka a = 3 , dan c = 9. Sehingga c – a = 9 – 3 = 6.
7. (Soal OSN Tk. Nas. 2014 No. 4) Misalkan 20142014 = M. Jika jumlah semua angka (digit)
penyusun angka M sama dengan A dan jumlah semua angka penyusun bilangan A sama
dengan B, maka tentukanlah jumlah semua angka penyusun B
20142014 ≡ 20142014 ( mod 9)
≡ (7)2014 (mod 9)
≡ (7)3 𝑥 671+1 (mod 9)
≡ (73 )671(mod 9)x 7(mod 9)
≡ (343)1007(mod 9) x 7(mod 9)
≡ (−1)1007 (mod 9) x 7(mod 9)
≡ 1x7
≡7
Jadi jumlah semua angka penyusun B adalah 7
8. (Soal OSN Tk. Prov. 2014 No. 6) Lima angka yakni 1 , 2 , 3 , 4 , dan 5 dapat disusun
semuanya tanpa pengulangan menjadi 120 bilangan berbeda. Jika bilangan- bilangan tersebut
diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, maka bilangan yang menempati urutan ke-75
adalah ....
Jawaban : 41325
Pembahasan :

Jika angka pertama adalah 1 maka bilangan yang terbentuk ada 4! = 24
 Jika angka pertama adalah 2 maka bilangan yang terbentuk ada 4! = 24
 Jika angka pertama adalah 3 maka bilangan yang terbentuk ada 4! = 24
Oleh karena itu, maka banyak bilangan yang dimulai dengan angka 1, 2, atau 3 adalah
24 + 24 + 24 = 72. Selanjutnya mudah dilihat bahwa bilangan ke -73 adalah 41235, bilangan
ke -74 adalah 41253, dan bilangan ke -75 adalah 41325.
1
9. (Soal OSN Tk. Nas. 2014 No. 1) . Diketahui f adalah suatu fungsi sehingga f(x) + 2f(𝑥) = 3x,
untuk setiap x ≠ 0. Carilah nilai x yang memenuhi f(x) = f(-x)
Jawaban :
x = −√2 atau x = √2
Pembahasan :
1
𝑦
Untuk sebarang bilangan real y ≠ 0, substitusikan nilai x = y dan x = sehingga berturutturut diperoleh:
1
𝑦
f(y) + 2f( ) = 3y ......................................(1)
1
3
f(𝑦) + 2 f (y ) = 𝑦 ......................................(2)
dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
6
2
3f(y) = 𝑦 - 3y ⟺ f(y) = 𝑦 – y
Dari sini diperoleh
2
𝑥
4
=
𝑥
2
2
𝑥
f(x) = f(-x) ⟺ – x = - + x
⟺
2x
⟺𝑥 =2
⟺ x = - √2 atau x = √2
Jadi nilai x yang memenuhi f(x) = f(-x) adalah x = - √2 atau x = √2
10. (Soal OSN Tk. Nas. 2014 No.3). Tentukan semua bilangan asli a, b ,dan c yang lebih bear
dari 1 dan saling berbeda, serta memenuhi sifat bahwa abc membagi habis ab + bc + ca + 2.
Penyelesaian :
Tanpa mengurangi keumuman misalkan 1 < 𝑎 < 𝑏 < 𝑐. Karena abc membagi habis ab + bc
+ ca + 2 , itu berarti terdapat bilangan asli k sedemikian sehingga
ab + bc + ca + 2 = k. Abc ......................................................................(1)
dari persamaan (1) diperoleh
1
1
1
2
k = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐
mengingat 1 < 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 diperoleh
1
1
1
2
14
k ≤ 2 + 3 + 4 + 2.3.4 = 12 < 2
sehingga nilai k yang mungkin hanya k = 1 . selain itu jika a ≥ 3 diperoleh
1
3
1
4
1
5
k≤ + + +
2
3.4.5
=
49
60
<1
yang jelas tak mungkin karena k bilangan asli. Jadi diperoleh a = 2.
Dengan mensubstitusikan nilai k = 1 dan a = 2 pada persamaan (1) diperoleh
2b + bc + 2c + 2 = 2bc
Yang setara dengan
(b – 2)(c – 2) = 6
Oleh karena itu, ada dua kasus yang mugkin yaitu
i.
b – 2 = 1 dan c – 2 = 6, sehingga diperoleh b = 3 dan c = 8.
ii.
b – 2 = 2 dan c – 2 = 3 , sehingga diperoleh b = 4 dan c = 5
mudah dicek bahwa a = 2, b = 3 , c = 8 dan a = 2 , b = 4 , c = 5 memenuhi kodisi dari soal.
Jadi solusi yang mememnuhi adalah a = 2, b = 3 , c = 8 dan a = 2 , b = 4 , c = 5 . serta semua
permutasinya ( total ada 12 solusi untuk tripel (a, b, c) yang mungkin).