makalah pemodelan

PROYEKSI PENDUDUK PROVINSI MALUKU DENGAN
MENGGUNAKAN MODEL PERTUMBUHAN LOGISTIK PADA
BEBERAPA TAHUN MENDATANG
[untuk memenuhi tugas mata kuliah Pemodelan]
Disusun oleh:
1. CAROLINA LAISINA
2. ELSA M. TAHALEA
3. FRISKA NAHUWAY
4. JANEYSIA SILOOY
5. LIANA SOLISA
6. SATRINA
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PATTIMURA
AMBON
2014
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pertumbuhan penduduk suatu daerah merupakan hal penting karena dapat mempengaruhi
kemajuan dan kemakmuran daerah tersebut. Tingkat pertumbuhan penduduk yang terlalu
tinggi akan sangat beresiko menimbulkan berbagai masalah pada daerah tersebut, seperti
tingkat pengangguran yang tinggi, kemiskinan, dan kelaparan. Namun disisi lain, dampakdampak negatif di atas dapat dikurangi jika kita mampu mempersiapkan sarana yang cukup
untuk
mengantisipasi
hal
tersebut.
Menurut
Khakim
(2010),
faktor-faktor
yang
mempengaruhi pertumbuhan penduduk antara lain: kelahiran (natalitas), kematian
(mortalitas), dan migrasi (mobilitas).
Provinsi Maluku merupakan salah satu provinsi kepulauan di Indonesia dengan luas
wilayah sekitar 581.376 km2. Dari luas tersebut 90% luas wilayahnya merupakan perairan
(lautan) yaitu sekitar 527.191 km2 sedangkan luas daratan maluku hanya mencakup 10%
luasnya atau hanya sekitar 54.185 km2. Dengan luas maluku yang hanya sebesar itu, maka
tingkat kepadatan penduduk di Maluku akan semakin meningkat sejalan dengan laju
pertumbuhan penduduknya yang terus meningkat. Dari hasil sensus penduduk Provinsi
Maluku tahun 2010, jumlah penduduk Provinsi Maluku mencapai 1.531.402 jiwa. Jika jumlah
penduduk tersebut dibandingkan dengan daratan Maluku yang hanya seluas 54.185 km2, maka
tingkat kepadatan penduduk Maluku adalah 28,26 jiwa/km2 yang berarti pada setiap luas
daratan 1 km2 ditempati oleh 28 jiwa. Hal ini tentunya akan berdampak negatif bagi penduduk
di maluku karena dengan tingkat pertumbuhan penduduk yang terus bertambah akan terjadi
persaingan di antara penduduk.
Menurut Khakim (2011), untuk mengurangi dampak negatif dari pertumbuhan penduduk,
maka salah satu solusi yang dapat ditempuh adalah proyeksi kependudukan. Menurutnya
proyeksi kependudukan perlu dilakukan karena dapat menjadi acuan untuk meningkatkan
fasilitas kesehatan, pendidikan, perumahan dan lapangan kerja di masyarakat. Proyeksi
kependudukan merupakan proses perhitungan jumlah penduduk di masa yang akan datang
berdasarkan asumsi arah perkembangan natalitas (kelahiran), mortalitas (kematian) dan
migrasi (mobilitas). Untuk dapat melakukan proyeksi kependudukan, dibutuhkan suatu model
matematika yang dapat mewakili kondisi riil, khususnya pertumbuhan penduduk suatu daerah
dari waktu ke waktu.
2
Pertumbuhan penduduk merupakan suatu proses yang bersifat kontinu. Kontinu dalam
hal ini berarti populasi bergantung waktu tanpa putus. Karenanya model matematika yang
akan digunakan untuk memproyeksi penduduk provinsi maluku dalam makalah ini adalah
model pertumbuhan populasi kontinu. Menurut Iswanto (2012) terdapat beberapa macam
model pertumbuhan populasi yang kontinu diantaranya model populasi eksponensial dan
model populasi logistik.
Afnirina (2010) dalam hasil penelitiannya tentang Aplikasi persamaan diferensial model
populasi kontinu pada pertumbuhan penduduk di Jombang, menyimpulkan bahwa model
populasi logistik lebih akurat dan lebih realistik daripada model populasi eksponensial untuk
memprediksi jumlah penduduk Jombang pada sensus 2020. Hal yang sama juga dikemukakan
oleh Iswanto (2012) bahwa keakuratan model logistik lebih mendekati realita lapangan jika
dibandingkan dengan model eksponensial, karena pada model eksponensial faktor
penghambat pertumbuhan penduduk diabaikan, sedangkan pada model logistik di perhatikan
faktor-faktor penghambat pertumbuhan penduduk seperti peperangan, kelaparan, wabah
penyakit dan sebagainya. Dengan demikian model pertumbuhan populasi kontinu yang akan
digunakan untuk memproyeksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Maluku adalah model
populasi logistik. Sedangkan data jumlah penduduk Provinsi Maluku yang digunakan dalam
makalah ini adalah data hasil sensus penduduk Provinsi Maluku tahun 1961 hingga tahun
2010 yang bersumber dari BPS provinsi maluku.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang masalah di atas maka masalah-masalah dalam
penulisan makalah ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
a. Bagaimanakah hasil proyeksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Maluku dengan
menggunakan model populasi logistik?
b. Berapakah jumlah penduduk Provinsi Maluku pada tahun 2020 dari hasil estimasi
menggunakan model pertumbuhan logistik?
C. Tujuan Penulisan
Dari masalah yang telah dirumuskan pada rumusan masalah di atas, maka tujuan
penulisan makalah ini antara lain:
a. Untuk mengetahui hasil proyeksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Maluku dengan
menggunakan model populasi logistik.
3
b. Untuk mengetahui jumlah penduduk Provinsi Maluku pada tahun 2020 dari hasil
estimasi menggunakan model pertumbuhan logistik.
D. Penjelasan Istilah
Untuk menghindari multitafsir pembaca pada isi makalah ini, makalah berikut ini
penulis menjelaskan serta membatasi penggunaan istilah-istilah yang berkaitan dengan isi
makalah ini, antara lain:
a.
Proyeksi Penduduk merupakan perhitungan jumlah penduduk secara ilmiah di masa
yang akan datang berdasarkan asumsi arah perkembangan natalitas (kelahiran),
mortalitas (kematian) dan migrasi (mobilitas).
b.
Model Populasi Kontinu merupakan suatu model matematika yang memodelkan
kondisi populasi suatu daerah dimana variabel keadaan bergantung pada variabel
ruang. Dalam penulisan makalah ini model populasi yang digunakan untuk melakukan
proyeksi penduduk provinsi maluku adalah model populasi logistik.
c.
Model Pertumbuhan Logistik adalah model pertumbuhan yang memperhitungkan
faktor logistik berupa ketersediaan makanan dan ruang hidup. Model ini
mengasumsikan bahwa pada waktu tertentu jumlah populasi akan mendekati titik
kesetimbangan (equilibrium).
d.
Carrying capacity merupakan daya dukung suatu daerah terhadap jumlah populasi
pada waktu tertentu.
4
BAB II
PEMBAHASAN
A. Model Pertumbuhan Eksponensial
Pada tahun 1798, Thomas Malthus membuat sebuah model pertumbuhan penduduk dasar
yang terkenal dengan nama model pertumbuhan eksponensial. Pada model ini diasumsikan
bahwa populasi bertambah dengan laju pertumbuhan populasi yang sebanding dengan
besarnya populasi. Misalkan P(t) menyatakan jumlah populasi pada saat t (waktu), dan k
menyatakan laju pertumbuhan populasi maka model populasi eksponensial dinyatakan dalam
bentuk:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃 (𝑡)
…………….(P.01)
model persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial separabel, sehingga
kita dapat mencari solusi umumnya sebagai berikut:
dP
  k .dt
P
ln P t   kt  c

ln P ( t )
e

e
P (t )  e
kt  c
kt  c
……………..(P.02)
jika diberikan kondisi awal t = 0 dan P(0) = P0 maka diperoleh nilai c = ln P0 sehingga
bila nilai c disubstitusikan ke dalam (P. 02) akan menghasilkan,
P (t )  e kt  ln P0
P (t )  e kt e ln P0
P (t )  P0 e kt
…..………….(P.03)
persamaan (P.03) merupakan bentuk solusi khusus dari model pertumbuhan eksponensial.
Dari persamaan tersebut dapat dilihat jika nilai k positif maka populasi akan meningkat secara
eksponensial, sebaliknya jika nilai k negatif maka populasi akan semakin punah.
5
B. Model Pertumbuhan Logistik
Model ini pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan dan juga seorang ahli biologi
berkebangsaan Belanda, yaitu Pierre Verhulst pada tahun 1838, hal ini diakibatkan karena
model pertumbuhan alami tidak cukup tepat untuk populasi yang cukup besar dan tempatnya
terbatas sehinggga timbul hambatan karenanya padatnya populasi yang akan mengurangi
populasi itu sendiri (Ngilawajan, 2010). Model pertumbuhan populasi logistik ini merupakan
penyempurnaan dari model pertumbuhan eksponensial di atas. Pada model ini jumlah
populasi dipengaruhi oleh besar kecilnya daya dukung lingkungan seperti suplai makanan,
tempat tersebut diharapkan model ini mempunyai penyimpangan data populasi yang sangat
kecil atau mempunyai kemiripan dengan data yang sebenarnya.
Model logistik mengasumsikan bahwa pada waktu tertentu jumlah populasi akan
mendekati titik kesetimbangan (equilibrium). Pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian
dianggap sama sehingga grafiknya mendekati konstan. Bentuk yang paling sederhana untuk
laju pertumbuhan relatif yang mengakomodasi asumsi ini adalah:
1 dP
P
 k (1 
)
P dt
K
…………… (P.04)
Kalikan dengan P, maka diperoleh model untuk pertumbuhan populasi yang dikenal
persamaan diferensial logistik :
dP
P
 kP(1  )
dt
K
………………(P.05)
Perhatikan dari persamaan (1.2) bahwa jika P kecil dibandingkan dengan K, maka P/K
mendekati 0 dan dP/dt ≈ kP. Namun, jika P→K (populasi mendekati kapasitas tampungnya),
maka P/K→ 1, sehingga
𝑑𝑃
𝑑𝑡
→ 1. Jika populasi P berada diantara 0 dan K, maka ruas kanan
persamaan di atas bernilai positif, sehingga
𝑑𝑃
𝑑𝑡
→ 1 dan populasi naik. Tetapi jika populasi
𝑃
melampaui kapasitas tampungnya (P > K), maka 1 − 𝐾 negatif, sehingga
𝑑𝑃
𝑑𝑡
< 0 dan populasi
turun. Solusi persamaan logistik dapat diperoleh melalui langkah-langkah berikut ini:
dP
P
P (1  )
K


 kdt
dP
P
)
K
P (1 
dP
P
P
2

 kdt

 kdt
K
6
KdP
 KP 
P
2

 kdt
ln P  ln( K  P)  kt  c
ln(
P
)  kt  c
K P
P
 e kt  c
K P
P  e kt c ( K  P)
P  Kekt  c  Pekt  c
P  Pekt  c  Kekt c
P(1  e kt c )  Kekt c
Kekt  c
P
1  e kt  c
……………(P.06)
Dari persamaan (P.06) jika kita memberikan nilai awal t = 0 dan P(0) = Po kemudian
disubstitusikan ke dalam (P.06) maka akan diperoleh nilai c = ln (P0 / K - P0) selanjutnya nilai
c tersebut disubstitusikan kembali ke dalam persamaan (P.06), sehingga diperoleh solusi
khusus dari model logistik seperti berikut,
kt  ln(
P
Ke
1 e
P0
)
K  P0
kt  ln(
P0
)
K  P0
P0
)
K  P0
P
P0
1  e kt (
)
K  P0
Ke kt (
Ke kt P0
K  P0
P
K  P0  e kt P0
K  P0
Ke kt P0
P
K  P0  e kt P0
P
KP0
( K  P0  e kt P0 )e  kt
7
P
( Ke kt
K
P
(
P
KP0
 P0 e  kt  P0 )
K  kt
e  e  kt  1)
P0
K
K
e  kt (
 1)  1
P0
…..………….(P.07)
Keterangan;
P adalah jumlah populasi pada saat t
P0 merupakan jumlah populasi awal saat t = 0.
K adalah daya tampung (carrying capacity) dari suatu daerah untuk populasi.
k merupakan laju pertumbuhan per kapita populasi.
t menyatakan waktu.
persamaan (P.07) merupakan bentuk sederhana dari solusi khusus model logistik yang akan
digunakan dalam melakukan proyeksi penduduk provinsi maluku. Menurut Iswanto (2012)
penentuan nilai K dapat dilakukan dengan cara trial error, yaitu dengan cara mensubstitusikan
perkiraan nilai K ke dalam model yang diperoleh hingga hasil yang diperoleh model
mendekati jumlah populasi yang sebenarnya.
C. Data Jumlah Penduduk Provinsi Maluku
Untuk melakukan proyeksi penduduk provinsi maluku perlu dilakukan analisis
perhitungan terlebih dahulu terhadap data jumlah penduduk provinsi maluku pada tahuntahun sebelumnya. Hal ini dimaksudkan agar kita dapat mengetahui kecenderungan dan arah
dari data yang kita gunakan (Khakim, 2010). Jumlah data yang digunakan turut
mempengaruhi keakuratan model dalam memprediksi keadaan populasi secara menyeluruh.
Dalam makalah ini, data jumlah penduduk yang penulis gunakan adalah data jumlah
penduduk hasil sensus penduduk provinsi maluku dari tahun 1961 sampai tahun 2010 yang
bersumber dari Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Maluku. Berikut ini adalah tabel 1 yang
menyatakan jumlah penduduk provinsi maluku dari tahun 1961-2010:
8
Tabel 1. Daftar Jumlah Penduduk Provinsi Maluku
Tahun
1961
1971
1980
1990
2000
2010
Jumlah Penduduk
551018
613388
897951
1157878
1149899
1531402
Dari tabel 1 di atas terlihat bahwa sejak tahun 1961 - 2010 jumlah penduduk provinsi
maluku mengalami kenaikan. Secara umum jika kita bandingkan jumlah penduduk pada awal
tahun dan akhir tahun maka telah terjadi kenaikan jumlah penduduk provinsi maluku.
D. Penyelesaian Model Logistik Pertumbuhan Penduduk Provinsi Maluku
Untuk menentukan model logistik dari data jumlah penduduk provinsi maluku pada tabel
1 di atas, sebelumnya diasumsikan terlebih dahulu bahwa waktu (t) yang diukur dalam tahun
dan dimisalkan t = 0 pada tahun 1961 maka syarat awal adalah P(0) = 551.018. Karena
jumlah penduduk provinsi maluku sejak tahun 1961-2010 masih berada dibawah 2.000.000
maka diasumsikan untuk kapasitas tampungnya yaitu K = 2.000.000, sehingga jika nilai P(0)
dan nilai K disubstitusikan ke dalam persamaan solusi model logistik (P.07) akan diperoleh :
P
K
K
e  kt (  1)  1
P0
P
2000000
2000000
e kt (
 1)  1
551018
P
2000000
(2,62965)e kt  1
………………..(P.08)
Selanjutnya dari persamaan (P.08) akan dicari model logistik yang dapat mewakili laju
pertumbuhan penduduk di maluku. Untuk t = 10 pada tahun 1971 maka P(10) = 613388, jika
disubstitusikan ke persamaan (P.08) diperoleh:
613388 
2000000
(2,62965)e 10k  1
(2,62965)e 10k 
2000000  613388
613388
9
e 10k 
2,260579
2,62965
 10k  ln( 0,85965)
k  0,015123
nilai k yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (P.08) maka menghasilkan:
P
2000000
(2,62965)e ( 0, 015123)t  1
(MODEL I)
Untuk t = 19 pada tahun 1980 maka P(19) = 897951 jika disubstitusikan ke persamaan
(P.08) diperoleh:
897951 
2000000
(2,62965)e 19k  1
(2,62965)e 19k 
e 19k 
2000000  897951
897951
1,22729
2,62965
 19k  ln( 0,46671)
k  0,040108
nilai k yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (P.08) maka menghasilkan:
P
2000000
(2,62965)e ( 0, 040108)t  1
(MODEL II)
Untuk t = 29 pada tahun 1990 maka P(29) = 1157878 jika disubstitusikan ke persamaan
(P.08) diperoleh:
1157878 
2000000
(2,62965)e 29k  1
(2,62965)e  29k 
e  29k 
2000000  1157878
1157878
0,727298
2,62965
 29k  ln( 0,276576)
k  0,04432
10
nilai k yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (P.08) maka menghasilkan:
P
2000000
(2,62965)e ( 0,04432)t  1
(MODEL III)
Untuk t = 39 pada tahun 2000 maka P(39) = 1249899 jika disubstitusikan ke persamaan
(P.08) diperoleh:
1249899 
2000000
(2,62965)e 39k  1
(2,62965)e 39k 
e 39k 
2000000  1249899
1249899
0,60013
2,62965
 39k  ln( 0,2282)
k  0,03789
nilai k yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (P.08) maka menghasilkan:
P
2000000
(2,62965)e ( 0,03789)t  1
(MODEL IV)
Untuk t = 49 pada tahun 2010 maka P(49) = 1531402 jika disubstitusikan ke persamaan
(P.08) diperoleh:
1531402 
2000000
(2,62965)e 49k  1
(2,62965)e  49k 
e 49k 
2000000  1531402
1531402
0,305993
2,62965
 49k  ln( 0,11636)
k  0,043899
nilai k yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (P.08) maka menghasilkan:
P
2000000
(2,62965)e ( 0, 043899)t  1
(MODEL V)
11
Dari hasil perhitungan diatas diperoleh hasil model logistik sebagai berikut:
1. Model Logistik I, bentuk persamaannya
P
2000000
(2,62965)e ( 0,015123)t  1
dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 1,5%
2. Model Logistik II, bentuk persamaannya
P
2000000
(2,62965)e ( 0, 040108)t  1
dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 4,01%
3. Model Logistik III, bentuk persamaannya
P
2000000
(2,62965)e ( 0, 04432)t  1
dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 4,4%
4. Model Logistik IV, bentuk persamaannya
P
2000000
(2,62965)e ( 0, 03789)t  1
dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 3,78%
5. Model Logistik V, bentuk persamaannya
P
2000000
(2,62965)e ( 0, 043899)t  1
dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 4,38%
Selanjutnya akan dihitung jumlah penduduk provinsi maluku dari tahun 1961-2010 yang
dihasilkan dari kelima model di atas, kemudian akan dianalisis model yang memberikan hasil
yang cukup signifikan bila dibandingkan dengan hasil sensus penduduk. Berikut ini dalam
tabel 2 memuat hasil jumlah penduduk berdasarkan lima model logistik di atas..
12
Tabel 2. Perbandingan Jumlah Penduduk Provinsi Maluku antara Hasil Sensus dan Hasil
Model
Tahun Hasil Sensus
Hasil Model
Model I
Model II
Model III
Model IV
Model V
1961
551.018
551.017
551.017
551.017
551.017
551.017
1971
613.388
613.388
724.426
743.997
714.210
741.9889
1980
897.951
672.739
897.975
937.695
877.153
933.627
1990
1.157.878
741.834
1.097.876
1.157.882
1.065.884
1.157.797
2000
1.249.899
813.675
1.290.104
1.363.414
1.250.045
1.250.115
2010
1.531.402
887.565
1.461.503
1.538.765
1.417.680
1.531.246
Jika perbandingan jumlah penduduk Provinsi Maluku antara hasil sensus dan hasil model
pada tabel 2 ditampilakan dalam bentuk grafik, maka akan terlihat seperti di bawah ini.
1800000
1600000
1400000
hasil sensus
1200000
model I
1000000
model III
800000
model III
600000
model IV
400000
model V
200000
0
1961
1971
1980
1990
2000
2010
Grafik 1. Jumlah Penduduk Provinsi Maluku Berdasarkan Hasil Sensus dan Hasil Model
Berdasarkan jumlah penduduk yang dihasilkan oleh kelima model di atas, model logistik
V memberikan hasil yang cukup mendekati hasil sensus. Selain itu keakuratan model logistik
V cukup baik, hal ini dapat dilihat dari hasil jumlah penduduk provinsi maluku pada tahun
2010 yang dihasilkan model logistik V hampir sama dengan hasil sensus penduduk 2010.
Dengan demikian dipilih model logistik V sebagai model final yang akan digunakan untuk
memprediksi jumlah penduduk provinsi maluku pada sensus penduduk 2020.
13
E. Prediksi Jumlah Penduduk Provinsi Maluku Tahun 2020
Karena model logistik V digunakan untuk memprediksi jumlah penduduk provinsi
maluku pada tahun 2020, maka persamaan modelnya adalah :
P
2000000
(2,62965)e ( 0, 043899) t  1
dari model di atas laju pertumbuhan penduduk di provinsi maluku adalah 4,38% per tahun.
Selanjutnya untuk memprediksi jumlah penduduk pada tahun 2020 diambil t = 59
disubstitusikan ke dalam model logistik V diatas peroleh:
P
2000000
(2,62965)e ( 0,043899)(59)  1
P
2000000
(2,62965)e ( 2,590041)  1
P
2000000
(2,62965)(0,075017)  1
P
2000000
0,197269  1
P
2000000
1,197269
P  1670468
Dari hasil perhitungan di atas diperoleh jumlah penduduk provinsi maluku pada tahun 2020
yang dihasilkan model logistik adalah 1.670.468 jiwa.
14
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya maka dapat disimpulkan
beberapa hal:
1.
Untuk melakukan proyeksi penduduk dengan menggunakan model logistik maka
terlebih dahulu ditentukan nilai jumlah penduduk maksimum yang merupakan daya
tampung (carrying capacity) yakni nilai variabel K. Setelah menentukan nilai K, kita
harus menghitung semua bentuk model logistik yang dihasilkan dari data yang kita
gunakan. Dari model-model yang dihasilkan selanjutnya kita melakukan perbandingan
antara hasil yang di peroleh lewat model dan hasil sensus penduduk. Model yang
dianggap dapat mewakili hasil sensus artinya hasil antara model dan hasil sensus tidak
berbeda jauh, maka model tersebut dapat dijadikan sebagai model akhir untuk
melakukan prediksi jumlah penduduk di masa mendatang.
Dalam makalah ini diperoleh model logistik V lebih tepat untuk memprediksi jumlah
penduduk provinsi maluku dengan daya tampung 2000000 jiwa. Bentuk persamaan
dari model logistik V adalah:
P
2.
2000000
(2,62965)e ( 0, 043899) t  1
Dengan menggunakan model logistik V dapat diprediksi jumlah penduduk provinsi
maluku pada tahun 2020 yakni sebanyak 1.670.468 jiwa.
15
DAFTAR PUSTAKA
Afnirina. 2010. Aplikasi Persamaan Diferensial Model Populasi Kontinu Pada
Pertumbuhan Penduduk Jombang. Jurnal. STKIP PGRI Jombang.
Iswanto, R., J., 2012. Pemodelan Matematika (Aplikasi dan Terapannya).
Yogyakarta. Graha Ilmu.
Khakim, L., 2011. Proyeksi Penduduk Provinsi DKI Jakarta dan Kota Surabaya
Dengan Model Pertumbuhan Logistik. Jurnal. Universitas Brawijaya, Malang.
Ngilawajan, D., A., 2010. Model Matematika Untuk Penangkapan Ikan Pada
Budidaya Ikan. Buletin Pendidikan Matematika. Vol. 10. No 1,60-67. Maret 2010.
16