EKSISTENSI EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR

EKSISTENSI EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR
PADA MATRIKS BUJUR SANGKAR
ZUMROTUS SYA’DIYAH
1204 100 016
Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
ABSTRAK
Misalkan A adalah matriks yang memiliki ukuran n x n . Bila x  C n , x  0 dan skalar   C yang
memenuhi Ax  x , maka x dikatakan suatu eigen-vector dari matriks A yang bersesuaian dengan eigenvalue  [3]. Dalam Tugas Akhir ini akan ditunjukkan bahwa untuk setiap matriks bujur sangkar, setidaknya
terdapat satu x  C n , x  0 dan suatu   C yang memenuhi Ax  x . Dalam pembahasan tersebut, akan
digunakan suatu pembuktian yang konstruktif [3]. Namun dalam hal ini diberikan suatu modifikasi untuk
memudahkan pembahasan. Pembuktian tersebut merupakan prosedur yang akan memberikan suatu eigenvalue dan eigen-vector melalui suatu vektor tak nol sebarang, dimana dalam prosesnya nanti akan digunakan
beberapa sifat dari ruang vektor.
Kata kunci: Eigen-value dan eigen-vector, ruang vektor.
Abstract
Suppose that A is a square matrix of size n x n . If  x   is a vector in C n , and  is a scalar in
C such that Ax  x , then we say x is an eigen-vector of A with eigen-value  (Beezer, 2008). In this final
project we will prove that for all square matrix, A, wich each elements of it are real number, the equation
n
Ax  x must be satisfied. In the other words, there is at least one x  C , x   and a scalar   C such
that Ax  x . We use a kind of constructive proving in the explanation (Beezer, 2008). But, it will be
modified in several cases. This proof contains a procedure that lead to an eigen-value and an eigen-vector
which started with any non zero vector. The explanation will use several of vector space’s properties.
Keywords: Eigen-value, eigen-vector and vector space.
eigen-value juga muncul dalam problem nilai
batas, seperti dalam penentuan daerah-daerah yang
rawan gempa, dalam menentukan pusat energi dari
sebuah atom, atau daerah kritis yang disebabkan
oleh lendutan pada balok [5]. Sedangkan eigenvector muncul secara alami dalam telaah getaran,
sistem elektris, genetika, reaksi kimia, mekanika
I. PENDAHULUAN
Eigen-value pertama kali muncul dengan
kegunaannya dalam menyelesaikan persamaan
differensial, yaitu dalam bidang geometri dan
metode standar untuk menyelesaikan persamaan
differensial orde ke-n dengan koefisien konstan yang
diperkenalkan oleh Leonhard Euler [4]. Selain itu,
1
Suatu himpunan K  
bersama-sama
dengan dua operasi tambah (+) dan kali (.)
dikatakan suatu field atau lapangan jika untuk
setiap a, b, c  K memenuhi:
1). (a  b)  K (tertutup terhadap penjumlahan)
2). (a  b)  (b  a)
(komutatif terhadap
penjumlahan)
3). (a  b)  c  a  (b  c) (assosiatif terhadap
penjumlahan)
4).  0  K  a  0  0  a  a
(eksistensi
elemen netral terhadap penjumlahan)
5). (a)  K  a  (a)  (a)  a  0 (eksistensi invers terhadap penjumlahan)
6). (a.b)  K (tertutup terhadap perkalian)
7). a.b  b.a (komutatif terhadap perkalian)
8). (a.b).c  a.(b.c)
(assosiatif terhadap
perkalian)
9). e  K  a.e  e.a  a (eksistensi elemen
netral terhadap perkalian)
1
1
1
10). (a )  K  a.(a )  (a ).a  e, untuk a  0
(eksistensi invers terhadap perkalian)
(2.1)
11). (a.(b  c))  (a.b)  (a.c) (sifat distributif)
Setelah diperoleh definisi field atau lapangan
secara umum, maka berdasarkan pada definisi
tersebut dapat diuraikan lagi definisi tentang suatu
ruang vektor secara umum.
Definisi 2.2 (Hal.G.Moore dan Adil Yaqub)
Suatu himpunan V dengan dua operasi tambah
(+) dan kali (.) dikatakan suatu ruang vektor atas
lapangan K bila untuk setiap u, v, w V dan
kuantum, tekanan mekanis, ilmu ekonomi, dan
geometri [2]. Berdasarkan uraian diatas, terlihat
bahwa eigen-value dan eigen-vector sangat penting.
Sehingga pembahasan tentang eksistensi eigen-value
dan eigen-vector sangat perlu untuk dikaji.
Tugas Akhir ini tidak membahas tentang
bagaimana menyelesaikan persamaan Ax  x , tetapi
menunjukkan bahwa untuk setiap matriks bujur
sangkar, setidaknya terdapat satu x  C n , x  0 dan
suatu   C yang memenuhi persamaan Ax  x .
Dalam pembahasannya nanti, akan digunakan suatu
pembuktian yang konstruktif. Namun dalam hal ini
diberikan suatu modifikasi untuk memudahkan
pembahasan. Pembuktian tersebut merupakan
prosedur yang akan memberikan suatu eigen-value
dan eigen-vector melalui suatu vektor tak nol yang
telah ditentukan sebelumnya secara sebarang.
Dalam Tugas Akhir ini, akan diturunkan suatu
teorema secara konstruktif tentang eksistensi eigenvalue dan eigen-vector dari suatu matriks bujur
sangkar. Agar pembahasan masalah tidak meluas,
dalam Tugas Akhir ini hanya akan digunakan
bilangan kompleks sebagai pokok pembahasan, yaitu
dalam penentuan ruang vektor maupun lapangan
atau field. Keduanya menggunakan bilangan
kompleks sebagai semesta pembicaraan.
Tujuan dari Tugas Akhir ini adalah
membuktikan bahwa setiap matriks khususnya
matriks bujur sangkar selalu memiliki setidaknya
satu eigen-value dan eigen-vector yang bersesuaian.
Sedangkan manfaat dari Tugas Akhir ini adalah
memperluas pemahaman dan pengetahuan tentang
eigen-value dan eigen-vector yang berkaitan dengan
eksistensi eigen-value dan eigen-vector dari suatu
matriks bujur sangkar. Hal ini dimaksudkan agar
dalam aplikasinya nanti eksistensi eigen-value dan
eigen-vector dari suatu matriks bujur sangkar tidak
lagi menjadi suatu persoalan dalam upaya
penyelesaian suatu permasalahan.
a, b  K memenuhi:
1). u  v V (tertutup terhadap penjumlahan)
2). u  v  v  u
(komutatif terhadap
penjumlahan)
3). (u  v)  w  u  (v  w) (assosiatif terhadap
penjumlahan)
(2.2)
4).  0  V  v  0  0  v  v (eksistensi elemen
netral terhadap penjumlahan)
5). x V  u  x  x  u  0 (eksistensi invers
terhadap penjumlahan)
(2.3)
6). a.v  V (tertutup terhadap perkalian skalar)
7). (a  b).v  a.v  b.v
(2.4)
II. RUANG VEKTOR
Sebelum definisi tentang suatu ruang vektor
dipaparkan, perlu diketahui terlebih dahulu definisi
dari field atau lapangan. Karena untuk memperoleh
pemahaman tentang suatu ruang vektor, akan sangat
dibutuhkan definisi dari field atau lapangan. Berikut
adalah definisi umum mengenai field atau lapangan.
Definisi 2.1 (Hal.G.Moore dan Adil Yaqub)
8). a.(u  v)  a.u  a.v
2
9). (a.b).v  a.(b.v)
(2.5)
10). 1.v  v.1  v
(2.6)
 a11
a
 21
dengan A   a
31


a m1
 x1 
x 
 2
x   x 3  , dan
 

 x n 
III. POLINOMIAL MATRIKS
Polinomial adalah kombinasi dari pangkatpangkat suatu variabel, perkalian dengan koefisien
skalar, dan penjumlahan (dengan pengurangan hanya
merupakan invers dari penjumlahan)[3]. Akan
muncul suatu permasalahan ketika yang menjadi
variabel dari polinomial tersebut adalah matriks.
Namun, tidak semua matriks dapat menjadi variabel
dari suatu polinomial. Melainkan hanya matriks
bujur sangkar saja yang dapat dijadikan variabel
polinomial. Karena hanya pada matriks bujur
sangkar saja semua operasi dalam polinomial dapat
diberlakukan. Penghitungan dalam polinomial
matriks tidak jauh berbeda dengan polinomial biasa.
Hanya saja yang menjadi subjek penghitungan
adalah matriks (matriks bujur sangkar) dan bukan
bilangan real.
a 22
a 23
a 32
a 33
am2
a m3
 a1n 
 a 2 n 
 a 3n 



 a mn 
 b1 
b 
 2
b   b3 
 
 
bm 
Ax  0
dengan
 x1 
x 
 2
x   x 3  , dan
 

 x n 
a11 x1  a12 x2  a13 x3  ......  a1n xn  b1
 a11
a
 21
A   a 31


a m1
a12
a13
a 22
a 23
a 32
a 33
am2
a m3
 a1n 
 a 2 n 
 a 3n 



 a mn 
0 
0 
 
0  0 
 

0
V. BARIS ESELON TEREDUKSI
Baris eselon tereduksi sangat dibutuhkan
dalam menghitung penyelesaian suatu sistem
persamaan linear karena baris eselon tereduksi
dapat mempermudah proses penghitungan
tersebut. Oleh karena itu, baris eselon tereduksi
sangat perlu untuk dijelaskan. Tapi, sebelumnya
akan dijelaskan mengenai baris eselon terlebih
dahulu.
Definisi 5.1 (Howard Anton, Jilid I)
Sebuah matriks dikatakan berbentuk baris eselon
jika:
a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3  ......  a 2n x n  b2
a31 x1  a32 x 2  a33 x3  ......  a3n x n  b3

a m1 x1  a m2 x 2  a m3 x3  ......  a mn x n  bm
dimana nilai dari a ij , bi dan x j merupakan anggota
diatas
a13
Lebih lanjut, jika vektor b merupakan vektor 0,
maka sistem persamaan linear tersebut dinamakan
sistem persamaan linear homogen, atau dapat
dinotasikan dengan:
IV. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Kajian tentang sistem persamaan linear dan
penyelesaiannya merupakan salah satu topik utama
dalam aljabar linear[1]. Aplikasi dari sistem
persamaan linear pun banyak dijumpai dalam
kehidupan sehari-hari. Baik dalam bidang teknologi
maupun industri[3]. Penjelasan tentang sistem
persamaan linear dijelaskan dalam definisi sebagai
berikut.
Definisi 4.1 (Robert A.Beezer)
Sebuah sistem persamaan linear adalah sebuah
himpunan dari m persamaan dalam beberapa
variabel, misal x1 , x 2 , x3 ,....., x n yang berbentuk:
dari bilangan kompleks C .
Persamaan-persamaan linear
dinotasikan secara singkat dengan:
a12
dapat
Ax  b
3
1).Elemen tidak nol pertama dari masing-masing
barisnya adalah 1(disebut dengan utama 1).
2). Jika ada sebarang dua baris yang berurutan tidak
seluruhnya terdiri dari nol, utama 1 pada baris yang
lebih bawah terletak di sebelah kanan utama 1 pada
baris yang lebih atas.
3). Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri
dari nol, maka baris ini dikelompokkan bersama di
bagian bawah matriks.
Sedangkan untuk mengetahui definisi dari baris
eselon tereduksi dapat dilihat dari definisi di bawah
ini.
Definisi 5.2 (John.B. Fraleigh dan Raymond A.
Beauregd)
Sebuah matriks dikatakan berbentuk baris eselon
tereduksi jika matriks tersebut berbentuk baris eselon
dan elemen tidak nol pertama dari masing-masing
barisnya adalah elemen tidak nol satu-satunya dalam
kolom dari elemen tidak nol tersebut.
Jadi, matriks representasi sangat bergantung
pada basis yang telah ditentukan sebelumnya.
Matriks representasi ini akan berbeda jika basis
yang digunakan juga berbeda. Tapi, matriks
representasi tersebut tetap merupakan suatu
matriks representasi dari suatu transformasi linear
yang sama [3].
VII. BERGANTUNG LINEAR DAN BEBAS
LINEAR
Kebergantungan linear vektor-vektor sangat
dipengaruhi oleh penyelesaian sistem linear
homogen dari kombinasi linear vektor-vektor yang
bersangkutan. Sehingga, sangat perlu untuk
menunjukkan definisi dari kombinasi linear atas
vektor-vektor secara umum, dalam hal ini bukan
hanya vektor kolom atau vektor baris saja.
Definisi 7.1 (Steven. J.Leon)
Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear dari
vektor-vektor { v1 , v 2 , v3 , , v k } jika vektor w
tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:
VI. MATRIKS REPRESENTASI
Dari pengertian ruang vektor diatas, dapat
dikemukakan tentang definisi dari pemetaan linear.
Definisi 6.1 (Howard Anton, Jilid II)
Misalkan terdapat dua ruang vektor V dan W atas
lapangan K yang direlasikan oleh sebuah fungsi
T : V  W dibawah dua operasi penjumlahan dan
perkalian skalar. Fungsi T dikatakan transformasi
linear jika dipenuhi:
1). T (v1  v 2 )  T (v1 )  T (v 2 )
2). T (rv1 )  rT (v1 )
untuk setiap v1 dan v 2 dalam V dan r adalah skalar
dalam K.
Selanjutnya,
setelah
transformasi
linear
didefinisikan, maka dapat dipaparkan definisi
mengenai suatu matriks representasi sebagai berikut.
w  k1v1  k 2 v2  .........  k k vk
dengan k1 , k 2 ,.........., k k adalah skalar.
Definisi 7.2 (John.B. Fraleigh dan Raymond A.
Beauregd)
Misalkan suatu himpunan { v1 , v 2 , v3 , , v k }
adalah vektor-vektor tak kosong dari ruang vektor
V,
maka
himpunan
vektor-vektor
{ v1 , v 2 , v3 , , v k } dikatakan bergantung linear jika
dipenuhi:
r1v1  r2 v 2    rk v k  0
untuk beberapa r j  0 .
Sedangkan untuk definisi tentang vektorvektor yang bebas linear diberikan dalam definisi
berikut.
Definisi 7.3 (John.B. Fraleigh dan Raymond A.
Beauregd)
Himpunan
vektor-vektor
{ v1 , v 2 , v3 , , v k }
dikatakan bebas linear jika dipenuhi:
r1v1  r2 v 2    rk v k  0
Definisi 6.2 (John.B. Fraleigh dan Raymond A.
Beauregd)
Misalkan T : V  W adalah suatu transformasi
linear dengan B adalah basis dari V dan B’ adalah
basis dari W dimana V berdimensi n sedangkan W
berdimensi m. Maka suatu matriks AT yang
berukuran mxn dengan matriks kolom ke-j adalah
suatu matriks koordinat dari T (b j ) relatif terhadap
untuk setiap r j  0 , j=1,2,........k.
VIII. EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR
Berikut adalah definisi dari eigen-value dan
eigen-vector.
Definisi 8.1 (Robert. A. Beezer)
basis B’ dikatakan suatu matriks representasi dari T
relatif terhadap basis-basis B dan B’.
4
Misalkan A adalah matriks yang memiliki ukuran
nxn. Bila x  C n , x  0 dan skalar   C , dengan
n
menotasikan himpunan semua vektor-vektor
C
kolom berukuran n dengan elemen-elemennya adalah
anggota himpunan bilangan kompleks C, maka x
dikatakan suatu eigen-vector dari matriks A yang
bersesuaian dengan eigen-value  jika memenuhi
Ax  x .
IX. EKSISTENSI EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR
Dalam bab ini akan diberikan pembuktian
beberapa teorema pendukung yang nantinya akan
sangat dibutuhkan dalam penurunan teorema tentang
eksistensi dari eigen value dan eigen vector pada
matriks bujur sangkar. Setelah itu, akan diturunkan
teorema utama secara konstruktif. Teorema utama
disini adalah teorema yang merupakan suatu
prosedur dalam mencari eigen value dan eigen
vector.
9.1 Sistem Persamaan Linear Homogen,
Penyelesaian, dan Kebergantungan Linear
Vektor-vektornya
Sifat yang pertama dibuktikan adalah sifat
tentang kekonsistenan dari suatu sistem persamaan
linear homogen, yang diberikan dalam teorema
berikut
Teorema 9.1
Setiap sistem persamaan linear homogen selalu
konsisten (memiliki penyelesaian).
Bukti:
Dimisalkan suatu sistem persamaan linear homogen
sebarang:
a 21 x1  a 22 x2    a 2m xm  0

a n1 x1  a n 2 x 2    a nm x m  0
untuk
(9.2)
a pq dengan p = 1,2,3,.....,n dan q =
1,2,3,....,m dimana tidak semua dari
a pq = 0,
maka persamaan-persamaan linear (9.2) paling
tidak memiliki satu penyelesaian, yaitu:
x1  x 2  .....  xm  0 (disebut dengan
penyelesaian trivial).
Jadi, terbukti bahwa setiap sistem persamaan
homogen (9.1) pasti konsisten (memiliki
penyelesaian), paling tidak satu penyelesaian yaitu
x1  x 2  .....  xm  0 .
Lebih lanjut lagi, terdapat suatu kasus dimana
suatu sistem persamaan linear homogen akan
dijamin memiliki tak hingga banyaknya
penyelesaian, yaitu ketika sistem tersebut
mempunyai banyak persamaan yang lebih sedikit
daripada banyaknya peubah dalam seluruh
persamaan. Untuk lebih jelasnya, hal ini dijelaskan
dalam teorema berikut.
Teorema 9.2
Jika sistem persamaan linear homogen memiliki m
persamaan dalam n peubah dengan m<n maka
sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya
penyelesaian.
Bukti:
Dimisalkan suatu sistem persamaan linear
homogen sebarang:
 a11 a12  a1n   x1  0 
a
  x  0 
(9.3)
 21 a 22  a 2 n   2  =  
 

     

   
a m1 a m 2  a mn   x n  0 
dimana aij  R untuk  i  1,2 ,3 ,, m dan
 a11 a12  a1m   x1  0 
a
 x   
 21 a 22  a 2 m   2  = 0 
(9.1)
 

     

   
a n1 a n 2  a nm   x m  0 
aij  R,
dengan
dan
i  1,2 ,3 ,....., n
j  1,2 ,3 ,, n .
Maka diperoleh matriks diperbesarnya adalah:
 a11 a12  a1n 0
a

 21 a 22  a 2 n 0
 





a m1 a m 2  a mn 0
Kemudian dilakukan operasi baris elementer
hingga didapatkan suatu matriks diperbesar yang
j  1,2, 3,....., m .
Maka diperoleh persamaan-persamaan linear sebagai
berikut:
a11 x1  a12 x2    a1m xm  0
5
berbentuk matriks baris eselon tereduksi. Misalkan
terdapat r baris tak nol dalam matriks yang
diperbesar, maka akan diperoleh bahwa r<n. Dari
Teorema 9.1, maka sistem tersebut pasti memiliki
penyelesaian. Sehingga dari matriks diperbesar yang
berbentuk matriks baris eselon tereduksi tersebut
akan didapatkan suatu sistem persamaan yang
berpadanan sebagai berikut:
Teorema 9.3
Jika suatu sistem persamaan linear homogen
AX = 0 memiliki solusi nontrivial, maka vektorvektor kolom dari matriks A saling bergantung
linear (vektor kolom yang satu merupakan
kombinasi linear dari vektor yang lainnya).
Bukti:
 a11 a12
a
 21 a 22
Misalkan
A  a31 a32


 
a n1 a n 2
X  0
 xk1
X  0
 xk 2
X  0
 x k 3

Dengan
(9.4)
Maka untuk setiap
xkr   X  0
X
j  1,2,3,.....m vektor
vj
dapat ditulis dengan:
v j  (a1 j , a2 j , a3 j ,......anj )
xk1 , xk 2 , x k 3 ,............., x kr
peubah-peubah utama dan
a13  a1m 
a 23  a 2 m 
a33  a3m 


 
a n 3  a nm 
adalah
dengan aij merupakan anggota dari bilangan real
menyatakan jumlah
(R).
Sehingga diperoleh suatu persamaan:
x1v1  x2 v2  x3 v3  ......  xm vm  0 ,  x j  C
yang melibatkan n-r peubah bebas, mungkin
semuanya berbeda antara yang satu dengan yang
lainnya. Lalu, persamaan (9.4) diselesaikan secara
matematis sehingga diperoleh:
x k1   X
 x1 (a11 , a 21 , a31 ,....., a n1 ) 
x2 (a12 , a 22 , a32 ,......, a n 2 ) 
x3 (a13 , a23 , a33 ,...., an3 )  ........ 
x k 2   X
xm (a1m , a2m , a3m ,..., anm )  0
x k 3   X
 a11 a12 a13  a1m   x1  0 
a
   0 
 21 a 22 a 23  a 2 m   x 2   
 a a
a33  a3m   x 3  = 0 
31
32

   


     
 
a n1 a n 2 a n3  a nm   x m  0 
(9.5)
Jika sistem persamaan linear homogen (9.5)
memiliki solusi nontrivial, maka hal ini berarti
terdapat beberapa x r  0 , r  2,......., n dengan
n  m yang memenuhi persamaan linear
homogen tersebut. Menurut Definisi 7.2 jelas
bahwa setiap matriks kolom dari matriks A adalah
saling bergantung linear.
Kemudian akan diuraikan sebuah teorema
tentang konsep kebergantungan linear beberapa
vektor dengan menggunakan Teorema 9.2 dan
Teorema 9.3 sebagai acuan.

x kr   X
Jumlah peubah bebas yang berada di ruas kanan
dapat ditetapkan secara sebarang. Sehingga akan
diperoleh tak hingga banyaknya penyelesaian dari
sistem tersebut.
Setelah diketahui sifat dari sistem persamaan
linear homogen, yaitu sifat dimana jika sistem
persamaan linear homogen memiliki m persamaan
dalam n peubah dengan m<n maka sistem tersebut
mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian,
maka perlu dipaparkan pula sifat sistem persamaan
homogen yang lainnya. Sifat tersebut adalah sifat
mengenai keterkaitan antara solusi dari sistem
persamaan homogen dengan kebergantungan linear
dari vektor-vektornya, yang dijelaskan dalam
teorema di bawah ini.
6
Teorema 9.4
Misalkan v j  C n , j = 1,2,3,.....,m. Bila m>n, maka
Teorema 9.5
Misalkan u adalah sebuah vektor dalam ruang
vektor kompleks C dan   C .
Jika  u  0 maka   0 atau u  0.
Bukti:
Untuk memudahkan pembuktian teorema ini,
maka perlu adanya pembagian analisa terhadap
teorema tersebut menjadi dua kasus. Yaitu untuk
  0 dan untuk   0 .
Kasus I
Anggap   0 , dalam kasus ini didapatkan
kesimpulan yang benar. Misalkan dianggap bahwa
u  0, maka diperoleh:
 u 0
(sifat dari definisi ruang
 u  u  u
vektor 2.3)
(sifat dari definisi ruang
 u  (1  (1)) u
vektor 2.4)
n
vektor-vektor v j  C n saling bergantung linear.
Bukti:
Vektor
vj
dapat ditulis dengan:
v j  (a1 j , a2 j , a3 j ,......anj )
dengan
aij merupakan anggota dari bilangan real
(R), i= 1,2,......n j= 1,2,..........m.
Sehingga diperoleh suatu persamaan:
x1v1  x2 v2  x3 v3  ......  xm vm  0,  x j  C
 x1 (a11 , a 21 , a31 ,....., a n1 ) 
x2 (a12 , a 22 , a32 ,......, a n 2 ) 
x3 (a13 , a23 , a33 ,...., an3 )  ................ 
xm (a1m , a2m , a3m ,..., anm )  0
 u  0 u
  0
a13  a1m   x1  0 
 
a 23  a 2 m   x 2  0 
a33  a3m   x 3  = 0 
    

     
a n3  a nm   x m  0 
Terlihat bahwa sistem persamaan linear
homogen tersebut terdiri dari n persamaan dengan
banyaknya variabel yang tidak diketahui adalah m.
Karena n<m maka dari Teorema 9.2 dapat
disimpulkan bahwa sistem persamaan linear
homogen tersebut memiliki tak hingga banyaknya
penyelesaian. Atau dengan kata lain penyelesaiannya
merupakan solusi nontrivial. Jadi, menurut Teorema
9.3 maka dapat disimpulkan bahwa setiap vektor a11 a12
a
 21 a 22
 a31 a32


 
a n1 a n 2
vektor v j
(9.6)
Karena u  0 maka dengan hukum kanselasi
diperoleh   0 .
Kasus II
Anggap   0 , maka
u  1u (sifat dari definisi ruang vektor 2.6)
1
 u  (  ) u (karena C adalah lapangan dan

  0 , dari sifat 2.1)
1
(sifat dari definisi ruang vektor
 u  ( u )

2.5)
1
(diketahui di teorema)
u 0
 C n j = 1,2,3,.....,m saling bergantung

1
u 0+0

1
1
1
 u  0  ( 0  ( 0 )) (sifat dari definisi



linear.
9.2 Sifat Ruang Vektor
Dalam penurunan teorema tentang eksistensi
eigen value dan eigen vector nanti juga akan sangat
dibutuhkan satu sifat dari ruang vektor yang
berkaitan dengan perkalian antara setiap anggota
ruang vektor dengan skalar dari fieldnya. Dimana
perkalian ini adalah perkalian skalar yang memiliki
vektor nol (0) sebagai hasilnya. Sifat ini akan
dijelaskan dalam teorema berikut
ruang vektor 2.3)
u(
1 0 1 0 )  ( 1 0 )



ruang vektor 2.2)
7

(sifat dari definisi
 ( A Ai 1 ) x  Ai x  0  A z  0 z
1
(0 + 0)  ( 1 0 )
(sifat dari definisi


ruang vektor 2.4)
1
1
(sifat dari definisi ruang
 u  0  ( 0 )
u

maka didapatkan 0 sebagai eigen value dari
matriks A (   0 ) dengan eigen vector yang
bersesuaian adalah Ai 1 x .
Kasus III
Jika semua vektor dalam S bukan vektor nol,
atau dengan kata lain Ai x  0, untuk
 i  1, 2, 3,, n . Maka S adalah himpunan
(n+1) vektor-vektor yang dibangkitkan dari vektor
tak nol x  C n . setiap vektor dalam himpunan S
juga berada dalam C n . Dari Teorema 4.4
diperoleh bahwa S adalah himpunan dari vektorvektor yang bergantungan linear. Sehingga
 a0 , a1 , a 2 , a3 ,  a n  C yang tidak semuanya
nol, sedemikian hingga terpenuhi:
a0 x  a1 Ax  a2 A2 x  a3 A3 x    a4 An x  0

vektor 2.3)
(9.7)
u  0
Dari dua persamaan yaitu persamaan (9.6) dan
persamaan (9.7) dapat disimpulkan bahwa jika
 u  0 maka   0 atau u  0.
9.3
Eksistensi Eigen Value dan Eigen Vector
Dalam bahasan ini akan dibuktikan bahwa setiap
matriks bujur sangkar memiliki paling sedikit satu
eigen value (dan sebuah eigen vector yang
bersesuaian). Dalam pembuktian ini, digunakan
suatu penurunan secara konstruktif. Dimana
penurunan ini merupakan sebuah prosedur yang akan
memberikan satu eigen value dan sebuah eigen
vector yang bersesuaian dari suatu matriks bujur
sangkar.
Teorema 9.6
Misalkan A adalah suatu matriks bujur sangkar
berukuran n x n. Maka A memiliki paling sedikit satu
eigen value.
Bukti:
Misalkan A adalah matriks representasi dari
pemetaan linear  : C n  C n terhadap suatu basis
tertentu. Dan dimisalkan pula A adalah yang
berukuran n x n . Pilih sebarang vektor tak nol
Misalkan a 0  0 dan a1  a2  a3    an  0 .
Maka diperoleh:
a0 x  0
 a 0  0 atau x  0 (dari Teorema 4.5) (9.8)
Dapat dilihat dari persamaan (9.8) bahwa
didapatkan dua penyelesaian yaitu a 0  0 atau
x  0, dimana kedua penyelesaian tersebut samasama merupakan kontradiksi dengan asumsi di
awal proses mengenai a 0  0 dan vektor x yang
merupakan vektor tak nol dalam C n . Sehingga
didapat:
ai  0 untuk beberapa i  1
(9.9)
Misal m adalah bilangan bulat terbesar
sedemikian hingga a m  0 . Maka dari (9.9)
x  C n sehingga diperoleh himpunan n  1 vektorvektor dalam C n sebagai berikut:
S  {x, Ax, A 2 x, A3 x, , A n x}
dimana akan terdapat tiga kasus, yaitu:
Kasus I
Jika Ax  0, sehingga dapat ditulis:
Ax  0 x (karena x adalah vektor tak nol)
maka didapatkan 0 sebagai eigen value dari matriks
A (   0 ) dengan eigen vector yang bersesuaian
adalah x.
Kasus II
Jika Ai x  0 tetapi Ai 1 x  0, dan dimisalkan
z  Ai 1 x sehingga dapat ditulis:
Az  A( Ai1 x) 0
diperoleh bahwa m  1 .
Selanjutnya didefinisikan suatu polinomial
p( y)  a0  a1 y  a 2 y 2    a m y m dimana
p(y) adalah suatu polinomial berderajat m  1 .
Kemudian polinomial p(y) dapat difaktorkan ke
dalam bentuk ( y  bi ) , bi  C . Maka terdapat
b1 , b2 , b3 , , bm  C
skalar-skalar
diperoleh polinomial dalam bentuk:
sehingga
p( y)  ( y  bm ) ( y  bm1 )  ( y  b2 ) ( y  b1 )
Sehingga diperoleh:
8
0  a0 x  a1 Ax  a 2 A 2 x    a n A n x
sangkar A akan terdapat setidaknya satu vektor
x  0 sedemikian hingga berlaku persamaan
yang
Ax  x , untuk suatu nilai
 C
bersesuaian.
5.2 Saran
Saran yang diberikan untuk penelitian
selanjutnya adalah mencari eksistensi eigen value
dan eigen vector dari suatu matriks bujur sangkar
dengan elemen-elemennya merupakan anggota
ring komutatif.
 0  a0 x  a1 Ax  a2 A 2 x    an A n x ,
ai  0 , i  m
 0  (a0 I  a1 A  a2 A2    am Am ) x
 0  p( A) x
 0  ( A  bm I n ) ( A  bm1 I n )( A  b2 I n ) ( A  b1 I n ) x
(9.10)
Misalkan k adalah bilangan bulat terkecil sedemikian
hingga berlaku persamaan:
( A  bk I n ) ( A  bk 1 I n )( A  b2 I n ) ( A  b1 I n ) x  0
XI. DAFTAR PUSTAKA
[1]. Anton, Howard.2000.Dasar-dasar Aljabar
Linear Jilid I. Interaksara. Batam.
[2]. Anton, Howard.2000. Dasar-dasar Aljabar
Linear Jilid II. Interaksara. Batam.
[3]. Beezer, Robert.A. 2 Februari 2008. A First
Course of Linear Algebra. University of Puget
Sound, Washington <http://buzzard.ups.edu>.
[4]. Fraleigh, John.B and Raymond A.
Beauregd.1987.Linear Algebra.
AddisonWesley Publishing Company. Inc, Rhode Island.
[5]. Leon, Steven.J. 2006. Linear Algebra With
Applications. Pearson Education .Inc, New
Jersey.
[6]. Moore, Hal.G and Adil Yaqub.1998. A First
Course in Linear Algebra With Applications.
Academic Press, United States of America.
sehingga k  m . Dan dapat didefinisikan vektor z
sebagai berikut:
z  ( A  bk 1 I n ) ( A  bk 2 I n )( A  b2 I n ) ( A  b1 I n ) x
(9.11)
Karena k adalah bilangan bulat terkecil, maka vektor
z pasti merupakan suatu vektor tak nol. Sehingga
dengan menggunakan persamaan (9.10) dan
persamaan (9.11), maka diperoleh persamaan:
( A  bk I n ) z 
( A  bk I n ) ( A  bk 1I n )( A  b2 I n ) ( A  b1I n ) x  0
Dari persamaan diatas dapat ditulis persamaan
berikut:
A z  ( A  O) z
 ( A  (bk I n  bk I n )) z
 ( A  (bk I n  bk I n )) z
 (( A  bk I n )  bk I n ) z
 ( A  bk I n ) z  bk I n z
= 0  (bk I n z )
 bk z
Karena z  0, persamaan ini menunjukkan bahwa z
adalah suatu eigen vector dari matriks A untuk suatu
eigen value   bk  C .
Jadi, terbukti bahwa setiap matriks bujur sangkar
memiliki paling sedikit satu eigen value (dan sebuah
eigen vector yang bersesuaian).
X. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan tentang eksistensi
eigen value dan eigen vector, maka dapat
disimpulkan bahwa untuk setiap matriks bujur
9