math13.-INTEGRAL

INTEGRAL
INTEGRAL
Kalkulus integral dikenalkan dua macam
pengertian integral, yaitu: integral
taktentu (indefinite integral) dan integral
tertentu (definite integral). Integral
taktentu adalah kebalikan dari diferensial,
sedangkan integral tertentu merupakan
suatu konsep yang berhubungan dengan
proses pencarian luas suatu area.
http://rosihan.web.id
INTEGRAL
I.
II.
INTEGRAL TAK TENTU
INTEGRAL TETENTU
http://rosihan.web.id
INTEGRAL TAK TENTU
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x)
berarti adalah mencari integral atau
turunan-antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah:
http://rosihan.web.id
di mana k sembarang konstanta yang
nilainya tidak tentu. Tanda ∫ adalah tanda
integral ; dx adalah diferensial dari F(x),
f(x) disebut integran; dx . F(x) + k
merupakan fungsi asli.
Jika suatu fungsi asal dilambangkan
dengan F(x) dan fungsi turunannya
dengan f(x) maka:
http://rosihan.web.id
http://rosihan.web.id
http://rosihan.web.id
http://rosihan.web.id
http://rosihan.web.id
http://rosihan.web.id
http://rosihan.web.id
http://rosihan.web.id
PENERAPAN EKONOMI
Pendekatan integral tak tentu bisa
digunakan untuk mencari persamaan
fungsi total dari suatu variabel ekonomi
pada persamaan fungsi marjinalnya
diketahui. Kita tahu bahwa fungsi marjinal
adalah turunan dari fungsi total, maka
dengan proses sebaliknya –yakni
integrasi—dapat dicari fungsi asal dari
fungsi turunan tersebut atau fungsi
totalnya.
http://rosihan.web.id
PENERAPAN
EKONOMI
I.
II.
III.
IV.
V.
FUNGSI BIAYA
FUNGSI PENERIMAAN
FUNGSI UTILITAS
FUNGSI PRODUKSI
FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN
http://rosihan.web.id
FUNGSI BIAYA
Biaya total
:
Biaya marjinal
:
Biaya total adalah integrasi dari biaya
marjinal
http://rosihan.web.id
Kasus:
Biaya marjinal suatu perusahaan
ditunjukkan oleh MC = 3Q2 – 6Q + 4.
Carilah persamaan biaya total dan biaya
rata-ratanya.
http://rosihan.web.id
Jawab
Konstanta k adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap
tersebut sebesar 4, maka:
C
= Q3 – 3Q2
AC = Q2 – 3Q4/Q
http://rosihan.web.id
FUNGSI PENERIMAAN
http://rosihan.web.id
Kasus:
Carilah persamaan penerimaan total dan
penerimaan rata-rata dari suatu
perusahaan jika penerimaan marjinalnya
MR = 16 – 4 Q
http://rosihan.web.id
Jawab:
http://rosihan.web.id
FUNGSI UTILITAS
http://rosihan.web.id
Kasus
Carilah persamaan utilitas total dari
eorang konsumen jika utilitas marjinalnya
MU = 90 – 10 Q.
http://rosihan.web.id
Jawab
Seperti halnya produk total dan penerimaan
total, disinipun konstanta k = 0, sebab tidak aka
nada kepuasan atau utilitas yang diperoleh
seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi.
http://rosihan.web.id
FUNGSI PRODUKSI
http://rosihan.web.id
Kasus
Produk marjinal sebuah perusahaan
dicerminkan oleh MP=18 X-3X^2. Carilah
persamaan produk total dan produk rataratanya
http://rosihan.web.id
Jawab
Dalam persamaan produk total juga
konstanta k = 0, sebab tidak akan ada
barang ( P ) yang dihasilkan jika tak ada
bahan ( X ) yang diolah atau digunakan.
http://rosihan.web.id
FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN
Dalam ekonomi makro, konsumsi ( C ) dan
tabunagan ( S ) dinyatakan fungsional
terhadap pendapatan nasional ( Y ).
C=f ( Y )=a+bY
MPC=C^'= dC/dY=f^' ( Y )= b
Karena Y=C+S, maka
S=g( Y )= -a+( 1-b)Y
MPS=S^'= dS/dY=g^' (Y)=( 1-b )
http://rosihan.web.id
Berdasarkan kaidah integrasi,
konsumsi dan tabungan masingmasing adalah integral dari
marginal propensity to consume
dan marginal propensity to save.
Konstanta pada fungsi konsumsi dan
fungsi tabungan masing-masing adalah
autonomous consumption dan
http://rosihan.web.id
autonomous saving.
Kasus
Carilah fungsi konsumsi dan fungsi
tabungan masyarakat sebuah Negara
jika diketahui autonomous consumptionnya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8.
http://rosihan.web.id
Jawab
http://rosihan.web.id
INTEGRAL TERTENTU
Integral tertentu adalah integral dari suatu
fungsi yang nilai-nilai variable bebasnya
memiliki batas-batas tertentu. Dalam
integral tak tentu kita temukan bahwa
http://rosihan.web.id
Jika kita ingin mengetahui hasil integrasi
antara x = a dan x = b dimana amaka x
dapat disubtitusi dengan nilai a dan b
sehingga ruas kanan persamaannya
menjadi :
http://rosihan.web.id
F(b) – F(a) adalah hasil integral tertentu dari
f(x) antara a dan b.Secara lengkap
dapat dituliskan menjadi :
http://rosihan.web.id
Integral tertentu digunakan untuk menghitung
luas area yang terletak di antara kurva y = f(x)
dengan sumbu horizontal – x dan menghitung
luas area yang terletak di antara dua kurva.
Andaikan kita memiliki dua buah kurva y1 = f(x)
dan y2 = g(x), di mana
F(x) Maka luas area antara kedua kurva ini
untuk rentang wilayah dari a ke b ( a adalah
:
http://rosihan.web.id
http://rosihan.web.id
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
Untuk a < c < b, brlaku:
http://rosihan.web.id
http://rosihan.web.id
http://rosihan.web.id
http://rosihan.web.id
Penerapan Ekonomi
1. Surplus
konsumen
2. Surplus produsen
http://rosihan.web.id
1.
Surplus konsumen
Surplus
konsumen
adalah
suatu
keuntungan lebih atau surplus yang
dinikmati konsumen, berkenaan dengan
tingkat harga pasar suatu barang.
Fungsi permintaan P=f(Q)
jumlah
barang yang akan dibeli pada harga
tertentu.
http://rosihan.web.id
Besarnya surplus konsumen :
Cs
Atau
0

Qe
Cs
f (Q)dQ  Qe Pe
Pe

p^
f ( P)dP
http://rosihan.web.id
Contoh kasus :
Fungsi permintaan suatu
barang ditunjukkan oleh
persamaan Q = 48 – 0.03 P2.
Hitunglah surplus konsumen
jika tingkat harga pasar
adalah 30.
http://rosihan.web.id
Jawab
Q = 48 – 0,03 P2
Jika P = 0, Q = 48
Cs

Pe

p^
Jika Q = 0, P = 40 = Pˆ
P = 30, Q = Qe = 21
f ( P )dP 
30

40
(48  0.03P 2 )dP


 48(40)  0.01(40)  48(30)  0.01(30) 
 48 P  0.01P
3 40
30
3
3
 (1920  640)  (1440  270)  110.
http://rosihan.web.id
2. Surplus Produsen
Adalah suatu keuntungan yang dinikmati
produsen berkenaan dengan tingkat
harga pasar dari barang yanng
ditawarkannya.
Besarnya surplus produsen :
Cs  Qe Pe 
0

Qe
f (Q)dQ
Atau
Ps
P^

Pe
f ( P)dP
http://rosihan.web.id
Contoh Kasus
Seseorang produsen mempunyai fungsi
penawaran P = 0,50Q + 3. Berapa surplus
produsen itu bila tingkat keseimbangan di
pasar adalah 10?
Jawab :
P = 0,50Q + 3
Q = -6 + 2P
P=0
Q = -6
Q=0
P = 3 = P^
Pe = 10
Qe = 14
http://rosihan.web.id
 Qe Pe 
0

Qe
 (14)(10) 
0
f (Q ) dQ

14
(0,50Q  3) dQ

 140  0,25(14)
 140  0,25Q  3Q
2
2

14
0
 

 3(14)  0,25(0) 2  3(0)
 140  91  0
 49.
http://rosihan.web.id
Trimakasih
http://rosihan.web.id