metoda pembuktian dalam matematika

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
Program Studi Pendidikan Matematika
FKIP Unmuh Ponorogo
Pertemuan 8
FONDASI MATEMATIKA
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
Matematika Bukan Sekedar Angka
Persepsi bahwa matematika identik dengan angka-angka dan
operasi hitung (tambah, kali, bagi,kurang, pangkat, dll) tidak
selamanya benar.
Matematika berhubungan juga dengan penalaran karena
matematika matematika merupakan hasil abstraksi (pemikiran)
manusia terhadap objek-objek sekitar.
Produk utama matematika berupa pernyataan-pernyataan
berupa denisi, teorema, akibat, keonjektur, dll. Angka dan
operasi aritmatika yang menyertainya merupakan produk
turunan matematika.
Matematika sebagai ilmu dasar (basic science): teori-teori
yang ada di dalam matematika digunakan sebagai landasan
untuk pengembangan ilmu terapan dan teknologi.
Kebenaran pernyataan dalam matematika perlu dibuktikan.
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
Pernyataan Dalam Matematika dan Pembuktiannya
Denisi adalah kesepakatan bersama mengenai pengertian atau batasan
suatu istilah. Misalnya
bilangan prima
adalah bilangan lebih besar dari 1
yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri.
Teorema adalah pernyataan yang kebenarannya dapat dibuktikan.
Teorema dapat berupa kalimat berkuantor yang memuat konektivitas
dengan satu atau beberapa premis dan satu konklusi. Teorema
Pythagoras: Jika ABC segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di B
AB 2 + BC 2 = AC 2 .
maka berlaku
Proposisi merupakan teorema kecil dimana tingkat signikansinya lebih
rendah dari Teorema. Contoh: perkalian antara dua bilangan ganjil
menghasilkan sebuah bilangan ganjil.
Fakta kadang digunakan untuk menyatakan Teorema atau Proposisi
tetapi kebenarannya dapat dipahami langsung dan mudah. Contoh: 2
adalah satu-satunya bilangan genap yang sekaligus prima.
proof ) adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan
Pembuktian (
kebenaran suatu pernyataan.
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
Lanjutan jenis pernyataan
Aksioma atau postulat adalah pernyataan yang menjadi asumsi dasar
dalam penyusunan suatu konsep dalam matematika. Aksioma biasa
digunakan untuk membangun denisi, atau untuk membuktikan Teorema.
Contoh: melalui dua titik berlainan dapat dibuat sebuah garis.
Lemma adalah teorema kecil yang biasanya digunakan untuk
membuktikan Teorema.
Akibat (collorary) merupakan fakta yang diturunkan langsung dari
Teorema dimana kebenarannya dapat dibuktikan dari Teorema langsung.
Contoh: jika salah satu sisi pada segitiga siku-siku adalah ganjil maka
terdapat satu lagi sisinya yang juga ganjil. (Akibat dari teorema
Pythagoras).
Konjektur adalah pernyataan yang diduga benar berdasarkan data empiris
(
evidence ), argumen heuristik, atau intuisi para ahli; tetapi belum
berdasarkan argumen valid. Bila konjektur dapat dibuktikan dengan
argmen yang valid maka ia berubah menjadi Teorema atau proposisi.
Kelompok pernyataan dan urgensi pembuktiannya
Pernyataan yang harus dibuktikan: Teorema, Proposisi, Fakta, Lemma,
Akibat.
Pernyataan yang tidak perlu dibuktikan: Denisi, Aksioma/Postulat.
Pernyataan yang dianjurkan untuk dibuktikan: Konjektur.
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
Pola Berpikir Dalam Matematika
It is with logic that one proves, it is with intuition that one
invents" (Henri Poincaré).
Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran
deduktif mengandalkan logika dalam meyakinkan akan
kebenaran suatu pernyataan.
Proses penemuan dalam matematika:
pencarian pola dan struktur, contoh kasus dan objek
matematika lainnya.
melalui semua informasi dan fakta yang terkumpul disusun
suatu konjektur.
Konjektur dibuktikan kebenarannya, dihasilkan sebuah
teorema.
Dua macam cara berpikir: logically thinking dan algorithm
thinking
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
Mengapa Perlu Membuktian
Motivasi mengapa orang perlu membuktikan teorema (Making
mathematics, http:/www2.edc.org/makingmath):
To establish a fact with certainty
To gain understanding
To communicate an idea to others
For the challenge
to feel the real beauty of mathematics
To construct a large mathematical theory
Penelitian matematika pada level lanjutan menuntut dihasilkannya
suatu teorema baru yang buktinya dapat diuji oleh orang lain.
Motto PERUM Pegadaian "mengatasi masalah tanpa masalah",
Motto PENELITIAN MATEMATIKA "memecahkan masalah,
menimbulkan masalah baru". Masalah dalam matematika tidak
bermakna negatif, tapi malah menambah kaya ilmu matematika itu
sendiri.
Matematika bekembang dari dua arah: internal dan eksternal
(adanya tuntutan ilmu terapan yang membutuhkan matematika).
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
Pembuktian Pernyataan Berbentuk Implikasi
1
p→q
Bukti langsung: membuktikan kebenaran proposisi/teorema yang
p → q , berangkat dari asumsi p benar dan
q benar. Contoh: Buktikan kebenaran jika x bilangan ganjil
berbentuk implikasi
ditunjukkan
2
maka
x 2 ganjil.
melaui kontraposisinya
3
p→q
x 2 bilangan
Bukti taklangsung: membuktikan kebenaran suatu implikasi
ganjil maka
x
¬q → ¬p .
Contoh: Buktikan, jika
bilangan ganjil.
Bukti kosong: membuktikan kebenaran suatu implikasi
cara membuktikan bahwa
p salah.
p → q dengan
Contoh: Diberikan denisi: himpunan
A dikatakan bagian dari himpunan B , ditulis A ⊆ B jika kondisi berikut
x ∈ A → x ∈ B . Buktikan: ∅ adalah himpunan bagian dari
dipenuhi:
4
semua himpunan.
Bukti trivial: membuktikan kebenaran suatu implikasi
membuktikan bahwa
q benar.
dapat terbang maka 3
p → q dengan cara
Contoh: Buktikan kebenaran Jika pinguin
+ 2 = 5.
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
Pembuktian dengan Kontradiksi
Prosedur:
1 Identikasilah konklusi sebuah proposisi.
2 Andaikan konklusi tersebut salah.
3 Temukan kontradiksi.
4 Simpulkan bahwa pengandaian salah.
5 Proposisi terbukti.
Example
Buktikan bahwa
Proof.
√
√
2 adalah bilangan irrasional.
√
Kesimpulannya: 2 bil irrasional. Andai 2 rasional. Gunakan
denisi bil rasional, dan seterusnya. Pada perjalanan temukan
kontradiksi, yaitu dua pernyataan yang saling bertentangan.
Simpulkan.
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
Pembuktian dengan Contoh Pengingkar
Untuk membuktikan ketidakbenaran sebuah pernyataan, umumnya masih
berupa konjektur. Ditunjukkan sebuah contoh yang membuat pernyataan
tersebut tidak benar.
Example
n
Bilangan berpola Fn := 22 + 1, n ≥ 0 merupakan bilangan prima.
Proof.
1
F0 = 20 + 1 = 2 benar prima, F1 3= 22 + 1 = 5 benar prima,
F2 = 24 + 1 = 17 prima, F3 = 22 + 1 = 257 prima,
F4 = 216 + 1 = 65537 juga prima. Perhatikan
F5 = 232 = 4294967297 = 641 × 6700417 bukan prima. Kesimpulan:
pernyataan ini adalah salah dengan contoh pengingkar F5 .
Masih ada bukti eksistensi dan ketunggalan, bukti dua arah (biimplikasi),
bukti ekuivalensi multiarah, dan metoda Induksi Matematika.
Dilanjutkan pada perkuliahan berikutnya.
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
PEMBUKTIAN DUA ARAH
p ↔ q terdiri dari dua implikasi p → q dan
q → p maka pembuktiannya mengikuti pola pembuktian implikasi tetapi
Karena sesungguhnya bi-implikasi
dilakukan dua arah.
Example
Misalkan
n bilangan positif.
Buktikan:
n genap bila hanya bila 7n + 4 genap.
Proof.
(→)Diketahui n genap maka dapat ditulis n = 2m, m ∈ Z. Diperoleh
n + 4 = 7(2m) + 4 = 2(7m + 2) = 2m1 , m1 := 7m + 2 ∈ Z. Sebaliknya
diketahui 7n + 4 genap, dibuktikan n genap. Ada 2 cara membuktikan ini
7
1
2
n + 4 = 2m maka dapat dibentuk
(n + 6n) + 4 = 2m ↔ n = 2m − 6n − 4 = 2(m − 3n − 2) = 2m2 ,
m2 := m − 3n − 2 ∈ Z.
langsung, mis 7
n ganjil maka dapat ditulis n = 2m + 1. Diperoleh
n + 4 = 7(2m + 1) + 4 = 14m + 10 + 1 = 2(7m + 5) + 1 = 2m3 + 1
kontraposisi, mis
7
sebuah bil ganjil.
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
PEMBUKTIAN MULTI ARAH
Jika
p↔q↔r
maka
p, q dan r
p↔q↔r
p → q → r → p,
disebut ekuivalen. Pernyataan
dapat dibuktikan dengan menggunakan berbagai rute, mis :
p ↔ r ↔ q , dll.
Example
Buktikan tiga pernyataan berikut ekuivalen:
1 a<b
2 rata-rata a dan b
3 rata-rata a dan b
lebih dari
a
kurang dari
b.
Proof.
a dan b didenisikan r (a, b) := 12 (a + b).
(1)→ (2): Karena a < b maka a + a < a + b . Diperoleh
1
2a < (a + b ) → 2 (a + b ) > a.
1
(2)→ (1): Diketahui 2 (a + b ) > a maka mudah ditunjukkan a < b .
(1)→ (3): Karena a < b maka a + b < b + b . Diperoleh
a + b < 2b → 21 (a + b) < b.
1
(3)→ (1): Diketahui 2 (a + b ) < b maka mudah ditunjukkan a < b .
Rata-rata
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
BUKTI EKSISTENSI
Bukti eksistensi adalah bukti adanya objek (matematika) yang memenuhi
syarat tertentu. Dua macam bukti eksistensi, yaitu
1
2
Eksistensi dengan konstruksi, objek yang dicari harus nampak secara
eksplisit.
Eksistensial tanpa konstruksi, objek yang dicari tidak harus nampak tetapi
secara logika diyakini ada.
Buktikan di antara sebarang dua bilangan real selalu terdapat bilangan
rasional
r.
Ini bukti eksistensi dengan konstruksi. Lihat paper Julan
HERNADI (Metoda Pembuktian dalam Matematika).
Buktikan ada bilangan irrasional
Bukti: Sudah dibuktikan
√
x
dan
y
sedemikian hingga
√
2 irrasional. Perhatikan
√ 2
2
kemungkinan. Bila bilangan ini rasional maka selesai, yaitu
√
√ Bila bilangan ini irrasional, ambil
√ 2
2
2
=
Bila kemungkin kedua yang terjadi maka diambil
y=
√
√ 2
x=
xy
x =y =
=2
√ √2
2
2
rasional.
. Ada dua
√
2.
rasional.
dan
2.
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
BUKTI KETUNGGALAN
Selain eksistensi, ketunggalan objek (matematika) yang memenuhi syarat
tertentu perlu diketahui secara jelas. Membuktikan ketunggalan hanya
x
objek
yang dimaksud:
1
2
y , ditunjukkan y = x , atau
Misalkan ada objek lain y 6= x , ditemukan kontradiksi.
Diambil sebarang objek
Example
x + y = 4 dan x − 2y = −3 mempunyai
Buktikan sistem persamaan 2
penyelesaian tunggal. Pertama dibuktikan eksistensi penyelesaiannya. Dengan
(x1 , y1 )
x1 + y1 = 4 dan
Dengan cara yang sama akan diperoleh x1 = x dan y1 = y .
eliminasi misalnya, diperoleh
(x = 1, y = 2)
adalah penyelesaian. Ambil
sebarang penyelesaian maka haruslah memenuhi 2
x1 − 2y1 = −3.
Terbukti penyelesaiannya tunggal.
Buktikan bahwa 2 adalah satu-satunya bilangan prima yang genap. Misalkan
ada prima
p > 2 dan p genap maka p mempunyai faktor selain dirinya dan 1,
yaitu 2. Kontradiksi dengan denisi bilangan prima. Disimpulkan hanya ada
satu (tunggal ) bilangan prima genap.
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
SOAL-SOAL PEMBUKTIAN 1
1
Buktikan bahwa kuadrat bilangan genap adalah genap dengan
menggunakan metoda pembuktian langsung, tidak langsung dan
2
3
4
kontradiksi.
Buktikan bahawa jika
Buktikan bahwa jumlahan bilangan rasional dan irrasional adalah
irrasional (gunakan metoda kontradiksi)
Terbukti atau tidak pernyataan berikut
1
2
5
n bulat dan n3 + 5 ganjil maka n genap dengan
menggunakan metoda pembuktian taklangsung dan kontradiksi.
Hasil kali dua bilangan irrasional adalah irrasional
Hasil kali bilangan rasional taknol dengan bilangan irrasional adalah
irrasional.
Buktikan paling sedikit 10 hari dari 64 hari yang dipilih bebas dari
kalender adalah jatuh pada hari pasaran masehi yang sama. Ingat ada 7
hari pasaran masehi, yaitu senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu dan
6
7
8
minggu. Kalau pasaran Jawa ada 5 hari.
Buktikan paling sedikit ada 3 hari dari 25 hari yang dipilih bebas dari
kalendar jatuh pada bulan yang sama.
Jika
x
dan
y
bilangan real, buktikan max(
x , y ) + min(x , y ) = x + y .
Buktikan bahwa bilangan kuadrat pasti berakhir dengan angka 0, 1, 4
atau 5.
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
SOAL-SOAL PEMBUKTIAN 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
m2 = n2 bila hanya bila m = n atau m = −n.
Terbukti atau tidak! Jika m dan n bulat dan mn = 1, maka m = 1 dan
n = 1, atau m = −1 dan n = −1.
2
Buktikan! 3x + 2 genap ↔ x + 5 ganjil ↔ x genap.
x
Tunjukkan pernyataan berikut adalah ekuivalen: (i) x rasional, (ii) 2
rasional, (iii) 3x − 1 rasional.
Misalkan a, b dan c bilangan real dengan a 6= 0, buktikan persamaan
ax + b = c mempunyai penyelesaian tunggal.
Misalkan a 6= b , buktikan terdapat dengan tunggal bilangan bulat c yang
memenuhi |a − c | = |b − c |.
Tunjukkan bahwa jika n ganjil maka terdapat dengan tunggal bil bulat k
sehingga n adalah jumlahan dari k − 2 dan k + 3.
Misalkan r irrasional. Buktikan terdapat dengan tunggal bilangan bulat n
1
sehingga jarak antara n dan r kurang dari 2 .
2
Buktikan pernyataan berikut ekuivalen: (i) n ganjil, (ii) 1 − n genap, (iii)
n3 ganjil, (iv) n2 + 1 genap.
Buktikan
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
Tindak Lanjut
Soal-soal latihan tersebut sebagian dibahas waktu kuliah
minggu ini. Soal-soal yang tidak dapat diselesaikan dijadikan
tugas terstruktur untuk dikumpul minggu depan.
Masih ada 1 topik bab metoda pembuktian ini, yaitu Induksi
Matematika. Materi ini akan disampaikan pekan depan.
Diharapkan mahasiswa dapat mempelajari bahan kuliah ini
sebelum perkuliahan tatap muka agar ada modal pemahaman
yang memadai, tidak nol. Lebih khusus kepada mahasiswa
yang merasa lambat dalam memahami pelajaran.
Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar)
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA