METODE NUMERIK-1
Tim Dosen:
Julan HERNADI, Ceriawan
Prodi Studi Matematika dan Komputasi Saintifik
FMIPA UAD Yogyakarta
Semester Genap
Feb 2018 - Juni 2018
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Tujuan dan Deskripsi Mata Kuliah
Mata Kuliah ini berkenaan dengan metode-metode numerik untuk
menyelesaikan permasalahan model matematika yang tidak dapat
diselesaikan secara eksak atau analitik. Versi modern dari Metode
Numerik adalah Komputasi Saintifik (scientific computing).
“Scientific computing is the collection of tools, techniques, and
theories required to solve on a computer mathematical models
of problems in science and engineering”, (Golub & Ortega,
1992).
Scientific computing encompasses:
Hardware, i.e. computer, measurement devices.
Mathematical background
Algorithm and method
Software
Kuliah ini dimaksudkan untuk membekali siswa dengan pengetahuan
(knowledge) tentang metode aproksimasi dan keterampilan (skill) dalam
mengimplementasikannya menggunakan komputer.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Sistem Perkuliahan
1
Kuliah direncanakan 14 kali pertemuan.
2
Semua materi kuliah (bahan kajian) terkait capaian pembelajaran yang
ada wajib dipelajari.
3
Soal ujian dibuat seragam (terstandarisasi) untuk semua kelas mencakup
aspek kognitif dan psikomotorik.
4
Metode Pembelajaran: Ceramah, diskusi, penemuan terbimbing melalui
LKM, dan presentasi mahasiswa, serta laporan portofolio.
5
Tugas Kuliah:
1
2
Tugas pekanan dikerjakan secara kelompok (sebanyak 12 kali)
Tugas pre UTS dan pre-UAS secara individu (total ada 2 kali) 6.
6
Setiap awal kuliah dibacakan ayat-ayat Al-Qur’an oleh mahasiswa yang
ditunjuk.
7
Sistem Penilaian:
1
2
3
4
Kehadiran/presensi (10%)
Tugas/portofolio (30%)
UTS (20%) dan UAS (30%)
Lainnya (keaktifan, catatan/ringkasan) (10%)
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Bab I: Pendahuluan Komputasi Saintifik (Pert-1)
Pemodelan matematika merupakan suatu proses di mana
permasalahan pada dunia nyata disajikan dalam bentuk
permasalahan matematika, seperti sistem persamaan linear,
persamaan taklinear, persamaan diferensial yang memuat
masalah nilai awal dan syarat batas, persamaan integral,
masalah optimasi dan kontrol, dan lain sebagainya. Jadi,
model matematika menggambarkan sistem dunia nyata dalam
bahasa matematika.
Permasalahan matematika tersebut perlu ditentukan solusinya
karena solusi ini nantinya akan digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan nyata yang terkait.
Dalam kasus solusi eksak (analitik) tidak ada maka perlu solusi
aproksimasi (numerik).
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Contoh 1: Menentukan panjang bahan baku atap gelombang
Figure: From flat to wave form
Diberikan material berupa plat tipis akan dibuat atap (genteng) gelombang
dengan panjang 120 cm, kedalaman gelombang 1 cm dengan periode 2⇡ cm
(lihat gambar kiri). Berapa cm panjang bahan baku yang dibutuhkan. Setelah
dibawa ke model matematika ternyata persamalahan ini ekuivalen dengan
menentukan panjang kurva y = f (x) = sin x dari x = 0 s.d. x = 120.
Berdasarkan kalkulus, panjang ini diberikan bentuk integral:
Z 120 q
Z 120 p
L=
1 + (f 0 (x))2 dx =
1 + cos2 x dx.
0
0
Ternyata integral ini tidak dapat diselesaikan dengan cara eksak sehingga perlu
diaproksimasi dengan metode numerik. –> Aproksimasi intergal tertentu.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Contoh 2: Memprediksi Data Hilang
Tabel ini menyajikan jarak dan kecepatan sebuah mobil yang diukur
setelah t detik dari berangkat
Waktu dari beangkat (detik)
Jarak (m)
Kec (m/sec)
0
0
25
3
75
29
6
130
31
8
210
27
12
325
26
Pertanyaan berikut tidak dapat dijawab langsung melalui data
tabel.
Di mana posisi mobil pada t = 10 detik?
Pernahkah mobil melebihi kec 80 km/jam?
Jawaban hanya bisa diprediksi dengan menggunakan
aproksimasi.–> interpolasi polinomial
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Contoh 3: Bola Di dalam Kerucut
Model real: kita ingin membuat sebuah kerucut yang tingginya t cm
terbuat dari bahan tertentu. Kerucut yang terbentuk dibalik,
kemudian diisi air sampai penuh. Selanjutnya ke dalamnya
dimasukkan sebuah bola padat sampai tenggelam, sehingga
sebagian airnya tumpah. Jika diinginkan panjang jari-jari bola
setengah jari-jari alas kerucut, berapa jari-jari kerucut ini agar air
yang tersisa adalah v cm3 . Lihat Gambar berikut.
Temukan model matematika?[dijabarkan bersama di kelas]. Apa
bisa diselesiaikan langsung?–> akar persamaan taklinear.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Strategies in Approximation
1
Replacing infinite processes with finite processes, such as
replacing integrals or infinite series with finite sums.
2
Replacing complicated functions with simple functions, such as
polynomials
3
Replacing nonlinear problems with linear problems
4
Replacing differential equations with algebraic equations
5
Replacing infinite-dimensional spaces with finite-dimensional
spaces
Approximation scheme:
Original complicated problem ! new simpler problem ! solve
approximately !apply to original problem.
Ideally, the approximation solution of new problem is close enough
to the original one.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
The Source of Approximation Error
Before computation:
Modeling: Some physical features of the problem or system
under study may be simplified or omitted (e.g., friction,
viscosity).
Empirical measurements: Laboratory instruments have finite
precision. Their accuracy may be further limited by small
sample size, or readings obtained may be subject to andom
noise or systematic bias.
Previous computations: Input data may have been produced
by a previous step whose results were only approximate.
During computation:
Truncation or discretization: Some features of a
mathematical model may be omitted or simplified (e.g.,
replacing a derivative by a difference quotient or using only a
finite number of terms in an infinite series).
Rounding: The computer representation of real numbers and
arithmetic operations upon them is generally inexact.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Example
The surface area of the Earth might be computed using the formula
A = 4⇡r 2
where r is the radius of Earth. Here, the using of formula is the
process of approximation with several error sorces:
The Earth is modeled as a sphere, is just an idealization; not
really true.
r ⇡ 6375km is based on previous computation, or empirical
measurement.
The number 3.14159265358979 is just an approximation for ⇡
in 15 digits, not exact.
The input number into and output from computer has rounded
by computer processor.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Galat, Galat Mutlak dan Galat Relatif
Definition
Misalkan p adalah nilai eksak yang akan diaproksimasi oleh p ⇤ .
p ⇤ , yaitu selisih nilai eksak dari
1
galat = E := p
aproksimasinya.
2
galat mutlak = EM := |p
eksak dan aprokimasinya.
3
p ⇤ |, yaitu selisih mutlak antara
⇤
galat
galat relatif = ER := |p |p|p | = eksak
, perbandingan galat
mutlak nilai yang diaproksimasi. Khusus galat relatif hanya
terdefinisi bilamana p 6= 0.
Bila tanda nilai mutlak definisi ini diabaikan, diperoleh penjabaran
sebagai berikut:
eksak-aproksimasi
galat relatif =
eksak
(galat relatif)⇥(eksak) = eksak-aproksimasi
aproksimasi = eksak⇥(1+galat relatif).
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Contoh galat mutlak versus relatif
Si miskin membeli beras paket 10 kg, setelah ditimbang di rumah
ternyata hanya ada 9 kg. Si kaya membeli beras paket 100 kg,
diperoleh 95 kg. Pertanyaannya, beras siapa yang lebih banyak
hilang? Dari aspek kebermaknaannya, beras siapa yang hilangnya
lebih signifikan. Dalam hal ini kita mempunyai dua nilai eksak yaitu
p1 = 10 dan p2 = 100 dan dua nilai aproksimasi yaitu p1⇤ = 9 dan
p2⇤ = 95. Akibatnya, diperoleh
Bagi si miskin: EM = |10
1
ER = 10
= 0.1 = 10%.
9| = 1 kg dan
Bagi si kaya: EM = |100 95| = 5 kg dan
5
ER = 100
= 0.05 = 5%.
Berdasarkan hasil ini maka disimpulkan beras si kaya lebih
banyak hilang yaitu 5 kg daripada beras si miskin yang hanya
hilang 1 kg. Tetapi beras si miskin yang hilang lebih signifikan
yaitu mencapai 10% daripada si kaya yang hanya 5%.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Contoh lanjutan (Opsional)
Misalkan nilai sangat kecil
x =e
16
= 0.1125351747 ⇥ 10
6
diaproksimasi oleh x ⇤ = 0. Maka galat mutlak
EM = |x x ⇤ | < 0.12 ⇥ 10 6 = 1.2 ⇥ 10 7 dan galat relatifnya
⇤
ER = |x |x|x | = 1 = 100% . Dalam kasus ini, galat mutlak lebih
baik dari galat relatif. Perhatikan kasus kedua, yaitu
z = e 16 = 0.8886110521 ⇥ 107 .
Misal z ⇤ = 0.8886110517 ⇥ 107 sebagai aproksimasinya maka
diperoleh EM = |z z ⇤ | = 4 ⇥ 10 3 tidak cukup kecil padahal
kedua nilai ini sudah cocok⇤ sampai dengan 9 digit desimal. Untuk
4⇥10 3
9
galat relatifnya, ER = |z |z|z | = 0.8886110521⇥10
7 = 0.4501 ⇥ 10
yang menunjukkan bahwa kedua bilangan sudah sama sampai 9
digit desimal. Dalam hal ini galat relatif lebih informatif.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Sensitivitas Komputasi (Opsional)
Permasalahan komputasi dikatakan sensitif atau berkondisi buruk
(ill-conditioned ) jika terjadi perubahan kecil pada data masukan
menyebabkan perubahan sangat besar pada penyelesaiannya.
Sensitivitas diukur oleh bilangan kondisi. Sebagai contoh
menghitung nilai fungsi f pada x dan x̂ yang dekat dengan x:
|perubahan relatif pada penyelesaian|
cond =
=
|perubahan relatif pada data masukan|
f (x̂) f (x)
f (x)
x̂ x
x
Semakin besar nilai bilangan kondisi (cond) ini semakin buruk
kondisi permasalahan komputasi.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Contoh ill-conditioned (Opsional)
Misalkan h > 0 sangat kecil, perhatikan x dan x̂ := x + h. Berdasarkan
kalkulus:
f (x + h) f (x)
⇡ f 0 (x),
h
Galat mutlak EM = |f (x + h) f (x)| ⇡ |hf 0 (x)|. Misalkan akan dihitung nilai
f (x) = cos(x) untuk x disekitar ⇡/2. Perhatikan f 0 (x) = sin(x) dan sin(x) ⇡ 1
pada x ⇡ ⇡/2, diperoleh galat cos(x + h) sebagai berikut.
EM = | cos(x + h)
cos(x)| ⇡ |h sin(x)| ⇡ |h|
h sin(x)
= h tan(x).
cos(x)
Contoh: x = 1.57079 ⇡ ⇡/2 dan h = 0.00001 sehingga x + h = 1.57078.
Dalam hal ini perubahan relatif data masukan hanya 0.00001
⇡ 0.00064%.
1.57079
Diperoleh
ER ⇡
cos(x) = cos(1.57079) = 0.63267949 ⇥ 10
cos(x + h) = cos(1.57078) = 1.63267949 ⇥ 10
5
dan
5
sehingga perubahan relatif pada nilai fungsi sebesar
(1.63267949 0.63267949)⇥10 5
= 1.58 = 158%. Diperoleh:
0.63267949⇥10 5
158
cond = 0.00064
⇡ 248148 !perubahan relatif nilai fungsi 248148 kali lebih
besar dari perubahan relatif data masukan.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Tugas Pekanan ke-1
1
2
3
4
5
Mengapa perlu adanya teori aproksimasi, khususnya metoda numerik?
Berikan ilustrasi atau contoh yang berbeda dari buku ini untuk
menjelaskan alasan Anda.
Mengapa galat relatif umumnya lebih informatif daripada galat mutlak.
Dalam kasus apa galat relatif lebih baik daripada galat mutlak.
Sebaliknya, dalam kasus apa galat mutlak lebih baik daripada galat relatif.
Jelaskan masalah kritis yang ada ada kasus bola di dalam kerucut.
Bagaimana solusi masalah kritis ini? (lihat buku hal 3).
Salah satu strategi aproksimasi adalah mengganti fungsi rumit menjadi
fungsi sederhana sebagai aproksimasinya. Salah satu fungsi sederhana
yang banyak digunakan dalam metode aproksimasi adalah polinomial.
Jelaskan alasannya.
Pada aproksimasi luas permukaan bumi diketahui jari-jari bumi
r ⇡ 6375km.
1
2
Berikan pendapat Anda bagaimana orang mengukur jari-jari bumi.
Seandainya 2/3 dari permukaan bumi adalah lautan dan asumsikan
50% dari daratan bisa dihuni oleh manusia. Jika kepadatan ideal
adalah 10 orang per km2, berapa kira2 banyak manusia yang bisa
hidup di bumi Allah ini.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Pert-2: Representasi Bilangan Real Pada Komputer
Sebelum masuk materi, tugas pekanan ke-1 dikumpul dan boleh
dibahas sekilas. Kalau waktu masih sisa setelah semua materi
pertemuan ini dibahas, silakan kembali membahas tugas-1.
Why does the computer or calculator represent
p
Is this value exact for 3.
p
p
What is the result of 3 ⇥ 3, really?
p
3 as 1.73205080756888?
Try to implement it on calculator.
Computer or calculator might produce an error when doing
calculation on real number even very tiny. Such an error is called
the rounding error. This error can not be avoided because of the
inherent system of computer in representing real numbers.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Floating-Number System
In the floating-number system, a number is characterized by 4 integers:
base or radic
t
[L, U]
precision
exponent range
A real number x in the floating-number system is represented as
✓
◆
d1
d2
dt 1
e
x = ± d0 +
+ 2 + ··· + t 1
where 0 di
1, i = 0, 1, · · · , t 1 and L e U. The part
d0 d1 d2 · · · dt 1 is called the mantisa or significand, the porsion of mantisa
d1 d2 · · · dt 1 called the fraction.
Example
Suppose is the common base, i.e.
represented as
1.56789 = 1 +
= 10. The number x = 1.56789 is
5
6
7
8
9
+ 2 + 3 + 4 + 5.
10
10
10
10
10
We have t = 6, and this representation is called has six digit precision.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
(1)
System of representaion IEEE
Most computer today use base = 2 (binary) and adopt the system IEEE DP
in representing the real numbers. This system with = 2 such that
di = 0 atau 1, t = 53, L = 1022 dan U = 1023. For a 64-bit computer, the
number in the format IEEE DP1 forms an array :
⇥ ⇥ ⇥ ⇥ ···⇥
{z
}
|
64 bit
consisting of 0 and 1. The meaning of the number with this representation as
follows
( 1)s ⇥ 2c
1023
⇥ (1 + f ).
where parameters , c and f is understood as follows
s have value 0 or 1 indicating the sign, positive or negative,
c is obtained from next 11 bit berikutnya indicating exponent.
f is 52 last bit indicating mantisa and fraction.
By this format, c runs within interval 0 < c < 2047 and exponent range in
( 1023, 1024).
1
Institute for Electrical and Electronic Engineers Double Precision
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
(2)
Example: Convert decimal to 64-bit system
Let a number is represented in 64-bit as
0 1000000011 1010100100010000000000000000000000000000000000000000
|{z} |
{z
}|
{z
}
sign
exponent
mantisa
What is the real number relating to this representation
Most left bit is s = 0. So, this number is positive.
Next 11 bit 10000000011 give the exponent which is equivalent to
c = 1 ⇥ 210 + 0 ⇥ 29 + · · · + 0 ⇥ 22 + 1 ⇥ 21 + 1 ⇥ 20 = 1027
Last 52 bit as the mantisa meaning
✓ ◆1
✓ ◆3
✓ ◆5
✓ ◆8
✓ ◆12
1
1
1
1
1
f =1⇥
+1⇥
+1⇥
+1⇥
+1⇥
2
2
2
2
2
Hence, this notation is to represent the number
( 1)s ⇥ 2c
1023
⇥ (1 + f )
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
=
=
( 1)0 ⇥ 21027
27.56640625
METODE NUMERIK-1
1023
(1 + f )
Example: Convert to the 64-bit number system of decimal number 32.75.
First, represent 32.75 using base 2:
32.75
=
=
=
✓
◆
0.75
( 1)0 ⇥ 25 ⇥ 1 + 5
2
✓
✓
◆◆
(1/2) + (1/4)
( 1)0 ⇥ 25 ⇥ 1 +
25
✓ ◆6 ✓ ◆7 !
1
1
( 1)0 ⇥ 25 ⇥ 1 +
+
2
2
We have s = 0, c 1023 = 5 ! c = 1028 and
✓ ◆6 ✓ ◆7
1
1
f =
+
2
2
✓ ◆1
✓ ◆6
✓ ◆7
✓ ◆8
✓ ◆52
1
1
1
1
1
= 0⇥
+ ··· + 1 ⇥
+1⇥
+0⇥
··· + 0 ⇥
.
2
2
2
2
2
Bit sequence for c is obtained as
c = 1028 = 1024 + 4 = 210 + 22
so that in base 2 we get next 11-bit 10000000100. Mantisa f is obtained as
0000011000000000000000000000000000000000000000000000.
Consider the only 6th and 7th bit are 1, else are 0. Hence, the 64-bit
Tim Dosen:
HERNADI,
METODE NUMERIK-1
representation
of Julan
32.75
adalah Ceriawan
Metode Pembulatan dan Dampaknya
Aproksimasi titik mengambang suatu bilangan real x ditulis fl(x),
yaitu pembulatan (floating ) dari x. Dua metode pembulatan:
Pemotongan (chooping ): ekspansi x dalam basis dibuang
setelah digit ke t 1. Misalkan x = d1 d2 d3 d4 d5 · · · akan
dibulatkan menjadi 4 digit signifikan (di sini t = 4) maka digit
setelah t 1 = 3 dibuang sehingga diperoleh
fl(x) = d0 , d1 d2 d3 . Aturan ini disebut juga pembulatan
menuju nol sebab fl(x) adalah bilangan titik mengambang
berikutnya yang menuju nol dari x.
Pembulatan terdekat (rounding ): fl(x) adalah bilangan titik
mengambang terdekat dengan x. Dalam kasus seimbang (tie),
fl(x) diambil bilangan titik mengambang yang digit terakhirnya
genap. Oleh karena itu aturan ini juga disebut pembulatan
ke genap.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Contoh Pembulatan
Bilangan
truncating
rounding
Bilangan
truncating
rounding
1.649
1.6
1.6
1.749
1.7
1.7
1.650
1.6
1.6
1.750
1.7
1.8
1.651
1.6
1.7
1.751
1.7
1.8
1.699
1.6
1.7
1.799
1.7
1.8
Amati!
1.650 dibulatkan ke 1.6, sedangkan 1.750 dibulatkan ke 1.8.
Selisih sebelum pembulatan |1.750
Seleish setelah pembulatan |1.8
sebelumnya.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
1.650| = 0.1
1.6| = 0.2 naik 2 kali lipat dari
METODE NUMERIK-1
Order of Convergence
Definition
For a sequence (↵n )1
n=1 which converges to a number ↵ for n get
large, and for two positive p and K such that
|↵
↵n |
K
for all n big enough,
np
the we call (↵n )1
n=1 is convergent to ↵ with order O
big-oh dari n1p ].
(3)
1
np
[read:
Taking h := n1 , the expression (3) is equivalent to
|xh
x| Khp for h ! 0,
written as O (hp ). For p = 1 (first order), p = 2 (second order),
etc. The larger p the faster convergence.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
(4)
Example of Convergence Order
1
2
Both the following sequences (xn ) dan (yn ) as
xn := n1 , yn := n32 convergence to 0. Which sequence is faster?
h
Misalkan xh := sinh h dan yh := e h 1 . Buktikan kedua barisan
ini konvergen ke 1 untuk h ! 0. Misalkan diambil h := n1 ,
tentukan n 2 N terkecil masing-masing agar |xh 1| < 10 4
dan |yh 1| < 10 4 . Barisan mana yang lebih cepat
kekonvergenannya menuju 1? Dapatkah order konvergensi
masing-masing barisan ditentukan? Visualisasikan pola
kekonvergenan ini secara grafis.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
Ilustrasi Grafis Contoh 1
1
xn
yn
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
n
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
19
20
Tugas Pekanan ke-2
1
2
3
4
5
6
7
3
3
Diberikan masalah komputasi ( 15 + 11
) 20
. Hitunglah kesalahan
relatifnya jika setiap hasil perhitungan dibulatkan ke dalam bentuk tiga
digit signifikan dengan metode:
1 pemotongan (chooping)
2 pembulatan (rounding).
Gunakan metode pembulatan ke tiga digit terdekat untuk perhitungan
3
5⇡ 7e + 67
. Hitunglah galat mutlak dan galat relatifnya jika nilai
eksaknya dihitung akurat sampai dengan lima digit.
Seandainya dalam konversi nilai sebuah mata kuliah adalah sebagai
berikut: jika skor lebih dari atau sama dengan 80 maka mendapat A
sedangkan skor lebih dari 75 dan kurang dari 80 mendapat nilai A-.
Selanjutnya nilai A dikonversi lagi ke angka 4 dan A- dikonversi ke nilai
angka 3.5. Misalkan dua orang mahasiswa masing-masing mendapat nilai
79.9 dan 80. Tentukan perbedaan relatif kedua mahasiswa ini sebelum
dan sesudah pembulatan (konversi). Berikan ulasan.
Soal no 11 pada buku teks hal 29.
Soal no 12 pada buku teks hal 29.
Soal no 16 pada buku teks hal 30.
Mengapa kita perlu mengetahui order konvergesi barisan aproksimasi
yang konvergen ke solusi eksak.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Ceriawan
METODE NUMERIK-1
