2. Pertemuan - Politeknik Negeri Tanah Laut

Kalkulus
Pertemuan II
RELASI DAN FUNGSI
Nina Hairiyah, S.TP., M.Si
Jurusan Teknologi Industri Pertanian
Politeknik Negeri Tanah Laut
E-mail : [email protected]
Hp/WA : 085248751988
A. RELASI
1. Pengertian Relasi
Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B adalah
pemasangan anggota-anggota A dengan anggotaanggota B.
Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari , kurang
dari , setengah dari , faktor dari , dan sebagainya .
Contoh :
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika
himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi “ kurang
dari “ , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada
gambar di bawah :
7/19/2017
2
Kurang dari
A
B
1.
2.
3.
4.
.1
.2
.3
Diagram disamping
dinamakan diagram panah .
Arah relasi ditunjukkan
dengan anak panah dan
nama relasinya adalah
“ kurang dari “
7/19/2017
3
2. Menyatakan Relasi
Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan
dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram
Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan .
a. Diagram Panah
Contoh :
1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli
dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka
basket dan sepakbola . Buatlah Diagram
Panah keadaan tersebut apabila A adalah
himpunan anak dan B adalah himpunan
olahraga .
7/19/2017
4
A
7/19/2017
Suka akan
B
Anto .
. Voli
Andi .
. Basket
Budi .
. Bulutangkis
Badri .
. Sepakbola
5
2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan
Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram
panah yang menyatakan relasi dari P
dan Q dengan hubungan :
a. Setengah dari
b. Faktor dari
Jawab :
a.
P
7/19/2017
Setengah dari
Q
1.
.2
2 .
.4
3 .
.6
4 .
.8
1
6
P Faktor dari Q
b.
1
7/19/2017
.
.2
2 .
.4
3 .
.6
4 .
.8
7
b. Diagram Cartesius
Contoh :
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan
B = { 1, 2, 3, …, 10 }.
Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan
relasi A ke B dengan
hubungan :
a. Satu lebihnya dari
b. Akar kuadrat dari
7/19/2017
8
Himpunan B
Jawab :
a . Satu lebihnya dari
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
7/19/2017
1
2
3 4 5 6 7
Himpunan A
8
9 10
9
Jawab :
Himpunan B
b. Akar kuadrat dari
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
7/19/2017
1
2
3 4 5 6 7
Himpunan A
8
9 10
10
C. Himpunan pasangan berurutan
Contoh :
Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan
B = { 1, 2, 3, … , 10 } .
Tentukan himpunan pasangan berurutan yang
menyatakan relasi A ke B dengan hubungan :
a. kuadrat dari
b. dua kali dari
c. Satu kurangnya dari
7/19/2017
11
Jawab :
a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }
b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6),
(14,7),(16,8), (18,9),(20,10) }
c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7),
(7,8), (8,9), (9,10) }
7/19/2017
12
B. FUNGSI
1. Pengertian Fungsi
Sebuah fungsi f : x  y adalah suatu aturan
yang memasangkan tiap anggota x pada
suatu himpunan (daerah asal / domain),
dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan
kedua (daerah kawan / kodomain).
Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah
hasil / range fungsi tersebut .
Untuk lebih memahami pengertian diatas
perhatikan contoh berikut :
7/19/2017
13
Contoh :
Perhatikan diagram panah dibawah ini :
A
B
. 1
0.
2.
4.
6.
Daerah asal/
Domain
7/19/2017
. 2
. 3
Daerah hasil/
Range
. 4
. 5
Daerah kawan/
kodomain
14
Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa :
1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B.
2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah
asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan
{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).
7/19/2017
15
2. Notasi Fungsi
Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan
dengan huruf kecil f , g , h , dan
sebagainya.
Misal :
f : x  y dibaca f memetakkan x ke y ,
maka
y = f(x) dibaca sama dengan f dari x
digunakan untuk menunjukkan bahwa y
adalah fungsi dari x .
7/19/2017
16
Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga
cara yaitu dengan diagram panah , diagram
cartesius , dan himpunan pasangan berurutan .
Contoh :
Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 }
a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan
pemetaan f yang ditentukan oleh : a  1 ,
i 2 , u 1 , e  4 , o 2 .
b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius
c . Nyatakan pula f sebagai himpunan
pasangan berurutan .
7/19/2017
17
Jawab :
a . Diagram panah
A
B
a.
.1
i .
.2
u.
.3
e.
.4
o.
7/19/2017
18
b. Diagram cartesius
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
7/19/2017
a i
u e
o
19
c. Himpunan pasangan berurutan
{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }
7/19/2017
20
3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan
Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan
yang mungkin terjadi dari
himpunan A ke B adalah ba dan
himpunan B ke A adalah ab
Contoh :
Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin
terjadi untuk pemetaan berikut :
a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1}
b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b }
7/19/2017
21
c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1}
d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c }
e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b}
f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3}
g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N = {1,2,3,4,5}
Jawab :
a. n(A) = 1 , n(B) = 1
Banyak pemetaan 11 = 1
b. n(C) = 1 , n(D) = 2
Banyak pemetaan 21 = 2
7/19/2017
22
c. n(E) = 2 , n(F) = 1
Banyak pemetaan 12 = 1
d. n(G) = 1 , n(H) = 3
Banyak pemetaan 31 = 3
e. n(I) = 2 , n(J) = 2
Banyak pemetaan 22 = 4
f. n(K) = 5 , n(L) = 3
Banyak pemetaan 35 = 243
g. n(M) = 4 , n(N) = 5
Banyak pemetaan 54 = 625
7/19/2017
23
4. Merumuskan suatu fungsi
f : x  y dibaca f memetakkan x ke y dan
dapat dinyatakan dengan f(x) .
Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y .
Contoh :
Diketahui suatu fungsi f : x  x + 2 dengan
daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x  A}
a. Tentukan rumus fungsi !
b. Tentukan daerah asal fungsi !
c . Tentukan daerah hasil fungsi !
d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !
7/19/2017
24
Jawab :
a. Rumus fungsi f(x) = x +2
b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 }
c. Daerah hasil : f(x) = x + 2
untuk x = 2  f(x) = 2 + 2 = 4
x = 3  f(x) = 3 + 2 = 5
x = 4  f(x) = 4 + 2 = 6
x = 5  f(x) = 5 + 2 = 7
Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 }
d. f(x) = 15
x + 2 = 15
x = 15 – 2
x = 13
Jadi nilai x = 13
7/19/2017
25
Contoh Soal
1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, }
Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ ,
maka :
a. Himpunan pasangan berurutan :
{ ( 2,0), (3,…), (…,2), (…,…) }
b. Diagram Panah
A
7/19/2017
B
26
Pembahasan
1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, }
Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ ,
maka :
a. Himpunan pasangan berurutan :
{ ( 2,0), (3,1), (4,2), (5,3) }
b. Diagram Panah
Dua lebihnya dari
7/19/2017
A
B
2.
3.
4.
5.
.0
.1
.2
.3
27
2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan
diagram panah. Kemudian tentukan
termasuk fungsi atau bukan fungsi !
a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }
b. { (1,1), (2,2), (3,3) }
c. { (3,4), (5,6), (7,8) }
d. { (2,3), (3,4), (4,5) }
7/19/2017
28
Pembahasan
a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }
bukan fungsi karena ada anggota x
yang berpasangan lebih dari satu
dengan anggota y .
x
y
1.
2.
3.
7/19/2017
.2
.3
.4
.5
Bukan fungsi
29
b. { (1,1), (2,2), (3,3) }
A
1.
7/19/2017
B
.1
2.
.2
3.
.3
Fungsi
30
c. { (3,4), (5,6), (7,8) }
7/19/2017
P
Q
3.
.4
5.
.6
7.
.8
Fungsi
31
d. { (2,3), (3,4), (4,5) }
7/19/2017
K
L
2.
.3
3.
.4
4.
.5
Fungsi
32
3 . Fungsi f : x  x + 3 mempunyai domain
{ -2, -1, 0, 1, 2 } .
a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah .
b. Nyatakan dalam himpunan pasangan
berurutan .
c. Tulis range dari f .
7/19/2017
33
Pembahasan
a. Fungsi f : x  x + 3 , jadi f(x) = x + 3
Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1
x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2
x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3
x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4
x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5
7/19/2017
x
x+3
-2 .
-1 .
0.
1 .
2.
.1
.2
.3
.4
.5
34
b. Himpunan pasangan berurutan
{ (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) }
c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 )
7/19/2017
35
4. Suatu persamaan fungsi f(x) = ½ x + 1 dengan
daerah asal { 2, 4, 6, 8, 10 } .
Tentukan :
a. Daerah hasil / bayangan .
b. Himpunan pasangan berurutan .
7/19/2017
36
Pembahasan :
a. f(x) = ½ x + 1
f(2) = ½ . 2 + 1 = 1 + 1 = 2
f(4) = ½ . 4 + 1 = 2 + 1 = 3
f(6) = ½ . 6 + 1 = 3 + 1 = 4
f(8) = ½ . 8 + 1 = 4 + 1 = 5
f(10) = ½ . 10 + 1 = 5 + 1 = 6
Jadi Range / daerah hasil / daerah
bayangan = { 2, 3, 4, 5, 6 }
b. Himpunan pasangan berurutan
{ (2,2), (4,3), (6,4), (8,5), (10,6) }
7/19/2017
37
5. Dengan tanpa membuat diagram panahnya terlebih
dahulu , tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin
dari :
a. A = {a, b, c}
B = {1, 2}
b. A = {1, 2}
B = {a, b, c}
c. A = {a, b, c}
B = {1, 2, 3}
d. A = {a, b, c}
B = {1, 2, 3, 4}
e. A = {1, 2}
B = {a, b, c, d}
7/19/2017
38
Pembahasan
a.
b.
c.
d.
e.
A = {a, b, c}
A = {1, 2}
A = {a, b, c}
A = {a, b, c}
A = {1, 2}
7/19/2017
B = {1, 2} ------ 23 = 8
B = {a, b, c} ----- 32 = 9
B = {1, 2, 3} ------- 33 = 27
B = {1, 2, 3, 4} ----- 43 = 64
B = {a, b, c, d} ----- 42 = 16
39
7/19/2017
40
C. Menghitung Nilai Fungsi
Untuk menghitung nilai fungsi dapat digunakan rumus :
f (x) = ax + b
Contoh :
1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x  5x -3
Tentukan :
a. Rumus fungsi .
b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .
7/19/2017
41
Jawab :
a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3
b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3
untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17
x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8
Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dan
x = -1 adalah -8
7/19/2017
42
2.
7/19/2017
Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x + 3
Tentukan :
a. g ( -2 )
b. Nilai a jika g (a) = -5
43
Jawab :
7/19/2017
a. g (x) = -4x + 3
g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3
=8+3
= 11
b. g (a) = - 4a + 3
- 4a + 3 = - 5
- 4a = - 5 – 3
- 4a = - 8
a = 2
44
D. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI
Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika
data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier
dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b .
Contoh :
Suatu fungsi ditentukan dengan rumus
f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 .
Tentukan :
a. Nilai a dan b
b. Bentuk fungsinya
c. Bayangan dari – 3
7/19/2017
45
Jawab :
a. f (x) = ax + b
f (2) = 2a + b = 10  2a + b = 10
f (-4) = -4a + b = -8  -4a + b = -8
6a
= 18
a = 3
untuk a = 3  2a + b = 10
2 . 3 + b = 10
6 + b = 10
b =4
Jadi , nilai a = 3 dan b = 4
7/19/2017
-
46
b. f (x) = ax + b
f (x) = 3x + 4
Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4
c. Bayangan dari – 3
f (x) = 3x + 4
f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4
=-9+4
=-5
7/19/2017
47
Latihan Soal
1 . Sebuah fungsi dirumuskan f (x) = x + 1
a. Tentukan f (2) , f (-3) , f ( ½ ) !
b. Tulislah daerah hasilnya !
c . Jika f (a) = 3 maka tentukan nilai a !
7/19/2017
48
Pembahasan
a . f (x) = x + 1
f (2) = 2 + 1 = 3
f (-3) = -3 + 1 = -2
f(½)=½+1=1½
b. Daerah hasil = { (2,3),(-3,½),(½, 1 ½) }
c. f (a) = a + 1
3 =a+1
a =2
7/19/2017
49
2 . Sebuah fungsi h dirumuskan h (x) = x2 – 4
a. Hitunglah h (-3) , h (5) , dan h (½) !
b. Tentukan p bila h (p) = 0 !
7/19/2017
50
Pembahasan
a. h (x) = x2 – 4
h (-3) = (-3)2 – 4 = 9 – 4 = 5
h (5) = (5)2 – 4 = 25 – 4 = 21
h (½) = (½)2 – 4 = ¼ - 4 = - 3 3/4
b. h (p) = p2 – 4
h (p) = 0
0 = p2 - 4
p2 = 4
p =2
7/19/2017
51
3 . Diketahui f (x) = ax + b , jika f (1) = -3 dan
f (0) = -1 . Tentukan :
a. Nilai a dan b
b. Bentuk fungsinya
7/19/2017
52
Pembahasan
a. f (x) = ax + b
f (1) = a + b = 3  a + b = 3
f (0) = b = -1 
b = -1 a = 4
Jadi a = 4 dan b = -1
b. bentuk fungsinya adalah : f (x) = 4x - 1
7/19/2017
53
7/19/2017
54
E. Menggambar Grafik Fungsi
Untuk menggambar grafik fungsi ada cara yang
mudah yang dapat dilakukan terlebih dahulu yaitu
membuat tabel dengan mendaftar semua daerah
asalnya .
1. Grafik Fungsi Linier
Contoh :
1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1
dengan domain {x/0 x
7/19/2017
 5 , x  C}
55
Jawab :
f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 }
3
4
5
0 1
2
x
5
6
1
2
3
4
x+1
{x,f(x)} (0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6)
7/19/2017
56
Grafiknya :
f (x) = x + 1 , x  c (0,1,2,3,4,5)
x+1
{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
7/19/2017
1
2
3
x
4 5
57
2. a. Buatlah tabel fungsi g : x  -2x + 1 dengan
daerah asal { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 } !
b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan :
(i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 !
(ii) himpunan pasangan berurutan !
(iii) gambarlah grafik fungsi tersebut pada
bidang cartesius , kemudian
hubungkan titik-titik tersebut sehingga
menjadi suatu garis lurus.
7/19/2017
58
Jawab :
a. g (x) = - 2x + 1
x
-2x
-2
4
-1
2
0
0
1
-2
2
-4
3
-6
1
1
1
1
1
1
1
1
g (x) 9
7
5
3
1
-1
-3
-5
1
7/19/2017
-4 -3
8 6
59
b. (i) Bayangan dari :
-2 adalah 5
0 adalah 1
2 adalah -3
(ii) Himpunan pasangan berurutan :
{ (-4,9),(-3,7),(-2,5),(-1,3),(0,1),(1,-1),
(2,-3),(3,-5) }
7/19/2017
60
g (x) = -2x + 1
(iii) Grafiknya :
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-3
-4
-5
7/19/2017
1 2
3
61
7/19/2017
62
Latihan Soal
1. Tentukanlah f (x) = 2x untuk daerah asal
{ x/ -4 x < 4 , x  B }.

a. Buatlah tabel fungsinya !
b. Tulislah rangenya !
c. Gambarlah grafik fungsinya !
7/19/2017
63
Pembahasan
a. Tabel fungsi : f(x) = 2x
x
-4 -3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
-8 -6
-4 -2
0
2
4
6
x, f(x) (-4,-8) (-3,-6) (-2,-4) (-1,-2)
(0,0) (1,2) (2,4)
(3,6)
b. Range : { -8,-6,-4,-2,0,2,4,6 }
7/19/2017
64
Grafiknya :
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
7/19/2017
1 2
3
65