Persamaan Kubik Defenisi Fungsi kubik atau lebih dikenal sebagai

Persamaan Kubik
1. Defenisi
Fungsi kubik atau lebih dikenal sebagai fungsi pangkat tiga adalah
suatu fungsi yang memiliki bentuk persamaannya : 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0. Dengan
𝑎 ≠ 0. atau dengan kata lain merupakan suatu polinomial orde tiga. Turunan dari suatu
fungsi kubik adalah suatu fungsi kuadrat.Integral dari suatu fungsi kubik adalah fungsi
pangkat empat (kuartik). Biasanya, koefisien a, b, c, dan d merupakan bilangan riil.
Untuk menyelesaikan persamaan kubik, caranya dengan mencari akar (nilai nol) dari
fungsi kubik.
2. Solusi Penyelesaian
Dalam menyelesaikan persamaan kubik ada 3 cara yaitu :
 Memfaktorkan
 menyederhanakan menjadi bentuk persamaan kuadrat
 rumus
3. Contoh soal
Contoh 1 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 𝑥 3 – 𝑥 2 − 6𝑥 = 0
Jawab :
𝑥 3 – 𝑥 2 − 6𝑥 = 0
𝑥(𝑥 2 − 𝑥 − 6) = 0
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0
𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 0, 3}
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 𝑥^3 – 𝑥^2 − 𝑥 + 1 = 0
Jawab :
𝑥3– 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 0
𝑥 2 (𝑥 − 1) − (𝑥 − 1) = 0
(𝑥 2 − 1)(𝑥 − 1) = 0
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) ( 𝑥 − 1) = 0
𝑥 = 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 1}
Contoh 3 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 9𝑥 + 18 = 0
Jawab :
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 9𝑥 + 18 = 0
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 9(𝑥 − 2) = 0
(𝑥 2 − 9)(𝑥 − 2) = 0
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0
𝑥 = −3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-3, 2, 3}
Contoh 4 :
Himpunan penyelesaian dari 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 adalah
Jawab :
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0
(𝑥 2 − 3)(𝑥 − 2) = 0
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {√3, −√3 ,2}
Contoh 5 :
Himpunan penyelesaian dari 2𝑥 3 – 𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 0 adalah ...
Jawab :
2𝑥 3 – 𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 0
𝑥 2 (2𝑥 − 1) + 2(2𝑥 − 1) = 0
(𝑥 2 + 2)(2𝑥 − 1) = 0
𝑥 = −2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 =
1
2
1
𝑥 = −2 tidak mungkin terjadi, jadi x yang memenuhi hanya 𝑥 = 2, dengan demikian himpunan
1
penyelesaiannya adalah {2}
Penyelesaian gabungan antara pemfaktoran dan rumus ABC
Contoh 6
Himpunan penyelesaian dari persamaan 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 = 0 adalah
Jawab :
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 = 0
𝑥(𝑥 2 − 2𝑥 − 1) = 0
𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0
Untuk bentuk 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 = 0 bisa kita selesaiakan dengan rumus ABC
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
Untuk bentuk bentuk yang sulit difaktorkan, tetapi akar-akarnya masih rasional maka kita
bisa menggunakan metoda horner, sedangkan jika akar-akarnya irasional maka kita gunakan
metoda penyelesaian umumyang mengubah persamaan kubik menjadi persamaan kuadrat
Setiap persamaan kubik 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 selalu bisa disederhanakan menjadi
bentuk 𝑦 3 + 𝑝𝑦 + 𝑞 = 0. Setelah kita memiliki bentuk yang sederhana ini, langkah
𝑝
berikutnya adalah substitusi nilai y dengan m – 3𝑚 . Dengan mensubstitusikan nilai tersebut
maka persamaan kubik akan bisa disederhanakan menjadi persamaan kuadrat. Langkah tersebut
bisa kita lakukan sebagai berikut :
𝑦 3 + 𝑝𝑦 + 𝑞 = 0
(𝑚 −
𝑝 3
𝑝
) + 𝑝(𝑚 −
)+𝑞 =0
3𝑚
3𝑚
𝑝2
𝑝3
𝑝2
𝑚 − 𝑝𝑚 +
−
+ 𝑝𝑚 −
+𝑞 = 0
3𝑚 27𝑚3
3𝑚
3
Jika kedua ruas dikali dengan m3 maka diperoleh
𝑚6 + 𝑞𝑚3 −
𝑝3
27
Bentuk terakhir ini merupakan persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam m3, sehingga
kita tinggal memasukkan ke dalam rumus ABC .
𝑚3 =
4𝑝3
(−𝑞 ± √𝑞 2 + 27 )
2
Sesuatu yang muncul di bawah akar pada hasil terakhir ini kita sebut diskriminan, yaitu :
4𝑝3
𝐷=𝑞 +
27
2
Adapun sifat-sifat diskriminan tersebut adalah sebagai berikut :
D > 0 maka persamaan kubik memiliki 1 akar real dan 2 akar tidak real
D = 0 maka persamaan kubik memiliki akar kembar (bisa 2 akar kembar atau 3 akar
kembar)
D < 0 maka persamaan kubik akan memiliki tiga akar real
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 − 1 = 0
Jawab :
𝑏
Yang pertama kita lakukan aadlah substitusikan nilai 𝑥 = 𝑦 − 3𝑎, sehingga dalam hal
ini adalah 𝑥 = 𝑦 + 2. Dengan demikian persamaan menjadi :
(𝑦 + 2)3 − 6(𝑦 + 2)2 + 9(𝑦 + 2) − 1 = 0
𝑦 3 + 3𝑦 2 . 2 + 3𝑦. 2.2 + 23 − 6(𝑦 2 + 4𝑦 + 4) + 9𝑦 + 18 − 1 = 0
𝑦 3 + 6𝑦 2 + 12𝑦 + 8 − 6𝑦 2 − 24𝑦 − 24 + 9𝑦 + 17 = 0
𝑦 3 − 3𝑦 + 1 = 0
𝑝
1
Selanjutnya kita substitusikan nilai 𝑦 = 𝑚 − 3𝑚 atau = 𝑚 + 𝑚 , dengan demikian kita
peroleh :
Jika kedua ruas dikali 𝑚^3 maka diperoleh :
𝑚6 + 1 + 𝑚3 = 0
𝑚6 + 𝑚3 + 1 = 0
Dengan mensubstitusikan ke dalam rumus ABC maka diperoleh :
𝑀3 =
−1±√−3
2
Jika kita perhatikan, nilai D < 0, dengan demikian persamaan ini memiliki 3 akar real
berbeda. Untuk memecahkan persamaan ini kita perlu memahami bilangan kompleks. bentuk di
atas bisa ditulis sbb :
Jika kita tulis dalam bentuk polar maka kita bisa mengubah sebagai berikut :
𝑚3 = 𝑐𝑜𝑠 120𝑜 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 120𝑜 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚3 = 𝑐𝑜𝑠 480𝑜 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 480𝑜 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚3
= 𝑐𝑜𝑠 840𝑜 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 840𝑜
Dengan mengakarkan maka berarti kita tinggal membagi sudut dengan 3, maka diperoleh
:
𝑚1 = 𝑐𝑜𝑠 40𝑜 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 40𝑜 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚2 = 𝑐𝑜𝑠 160𝑜 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 160𝑜 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚3
= 𝑐𝑜𝑠 280𝑜 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 280𝑜
Karena
𝑦=𝑚+
1
𝑚
Maka
𝑦1 = 𝑚1 +
1
𝑚1
Perhatikan bahwa
1
= cos 40° − 𝑖 sin 40°
𝑚1
Dengan demikian
𝑦1 = 𝑚1 +
1
= cos 40° + 𝑖 sin 40° − 𝑖 sin 40° = 2 cos 40°
𝑚1
Dengan cara yang sama diperoleh
𝑦2 = 2 cos 160°
Dan
𝑦3 = 2 cos 280°
karena
𝑥 = 𝑦 + 2
maka
𝑥1 = 𝑦1 + 2 = 2 𝑐𝑜𝑠 40° + 2
𝑥2 = 𝑦2 + 2 = 2𝑐𝑜𝑠 160° + 2
𝑥3 = 𝑦3 + 2 = 2𝑐𝑜𝑠 280° + 2
jadi himpunan penyelesaian dari persamaan 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 − 1 = 0 adalah
{2𝑐𝑜𝑠 40° + 2, 2𝑐𝑜𝑠 160° + 2, 2𝑐𝑜𝑠 280° + 2}