persamaan kubik al-khayyam

PERSAMAAN KUBIK AL-KHAYYAM
Sumardyono, M.Pd.
Al-Khayyam yang lahir dan meninggal di dekat Nishapur dikenal Eropa sebagai penyair hebat
lewat karya syair empat baris (kwatrin), tetapi sebenarnya ia juga pakar matematika yang
ulung. Tokoh yang bernama lengkap Ghiyats al-Din Abu al-Fath ‘Umar ibnu Ibrahim alNisaburi al-Kayyam di masanya dijuluki “tent maker” ketika ia mencurahkan pikiran serta
menunjukkan kemampuannya dalam sains dan sastra. Walaupun berpengetahuan jempolan, ia
sangat sedikit menulis bahkan tanggal kelahiran dan wafatnya saja sukar untuk ditelusur
sehingga menjadi perdebatan para ahli sejarah.
Dalam bukunya, “Risalah fi al-Barshin ‘ala Masa’il al-Jabr wal-Muqabala”, ia memberi
klasifikasi persamaan-persamaan menurut derajat
dan faktor-faktornya hingga 25 jenis. Sayang,
ilmuwan Barat menghubungkan klasifikasi ini
pertama kali pada Simon Stevin (1548-1620 M)
yang datang belakangan setelah al-Khayyam.
Selain itu, sejarawan B. Boyer mengakui pula
bahwa Khayyam-lah yang mula-mula memisahkan
antara aljabar dengan geometri di dalam kajiannya.
Seperti juga pendahulu-pendahulunya, ia pun
menyelesaikan persamaan pangkat dua baik secara
aritmetik maupun geometrik. Untuk persamaan
pangkat tiga diselesaikan secara geometrik dengan
menggunakan perpotongan konik-konik (irisan
kerucut). Walaupun metode yang serupa juga
digunakan Menaechmus, Archimedes, juga alHaitham, namun al-Khayyam dipuji karena mampu
menggeneralisasikan metodenya tersebut untuk
semua persamaan pangkat tiga (yang berakar
3
2
3
2
positif), yang berbentuk x + b x + a = cx .
Dari sini, ia menciptakan fenomena absis (x) untuk akar-akarnya, sehingga ada yang
menyebut ia-lah sebenarnya peletak dasar geometri analitik, jauh berabad-abad sebelum
muncul Rene Descartes (1005- 1060).
Untuk persamaan kubik yang umum, ia menduga bahwa solusi secara aritmetika tidaklah
mungkin, sehingga ia hanya memberi penyelesaian secara geometris. Sedang untuk
persamaan pangkat lebih tinggi, ia tidak tertarik untuk mengkajinya karena ruang yang kita
tempati tidak lebih dari tiga dimensi. Sementara pendahulunya, Abu al-Wafa` telah
memberikan penyelesaian geometris untuk beberapa persamaan kuartik (pangkat empat).
Dikatakan oleh al-Khayaam: “what is called square-square by algebraists in continuous
magnitude is, a theoretical fact. It is does not exist in reality in anyway”.
Walaupun penggunaan irisan kerucut untuk menyelesaikan persamaan kubik telah digunakan
oleh Menaechmus, Archimedes, & alhazen (al-Haytham), tetapi al-Kayyam mengambil
langkah yang penting dengan menggeneralisasikan metodenya untuk semua persamaan kubik
(yang memiliki akar-akar positif).
Berikut ini salah satu halaman dari karya al-Khayyam tentang persamaan kubik.
3
2
3
2
Persamaan kubik al-Khayyam adalah: x + b x + a = cx , dimana a, b, c, x dipikirkan
sebagai panjang beberapa ruas garis. Lukisannya dikerjakan sebagai berikut :
a3
a2
,
dengan
melukis
terlebih
dahulu
z
=
, baru
b
b2
(i). Lukis panjang ruas garis AB =
kemudian AB =
az
b
a
z
b
a
Lalu
a
a.b
b
z
(ii). Ikutilah beberapa langkah berikut.
Lukis AC = AB + BC, dengan BC = c .
Lukis setengah lingkaran dengan AC diameter dan buat garis tegak lurus AC di B yang
memotong setengah lingkaran di D.
Tandai titik E di BD sehingga BE = b.
Lewat E buat garis EF sejajar AC.
Temukan titik G di BC sedemikian hingga (BG).(ED) = (BE).(AB).
AB
BG
ED
BE
Temukan titik H sedemikian hingga terbentuk persegi panjang BGHD
Melewati titik H, lukis hiperbol ortogonal dengan asimtot EF dan ED (dapat dilukis
titik demi titik) yang memotong setengah lingkaran di J.
Sejajar dengan DB, tarik garis melalui J yang memotong EF di K dan BC di L.
Dapat ditunjukkan bahwa panjang ruas garis BL adalah salah satu akar positif dari
persamaan kubik tersebut.
y
J
N
D
P
E
H
K
M
F
x
b
A
B
L
G
C
c
a3
b2
Bukti ditunjukkan sebagai berikut:
(1). Menurut sifat Hiperbol ortogonal : (Dengan menganggap garis EF = sumbu x dan garis
BD = sumbu y)
(EK).(KJ) = (EM).(MH) , karena EM = BG dan MH = ED maka
(EK).(KJ) = (BG).(ED) sedang (BG).(ED) = (BE).(AB), sehingga
(EK).(KJ) = (BG).(ED) = (BE).(AB)
(2). (EK).(KJ) = (BE).(AB) , atau luas EKJN = luas ABEP sehingga
(BL).(LJ) = (BE).(AL) …. (i). ,
luas ALKP = luas BLJN
2
(3). Pada lingkaran berlaku : (LJ) = (AL).(LC). … (ii).
(BE)2 (LJ) 2
=
(BL) 2 (AL) 2
(4). Dari (i) diperoleh :
sehingga :
2
(BE)2 LC
=
(BL) 2 AL
dan dari (ii) diperoleh :
2
(LJ) 2 LC
=
(AL) 2 AL
2
atau (BE) .(AL) = (BL) .(LC) … (iii)
2
(5). (BE) .(AL) = (BL) .(LC)
2
2
(BE) .(AB + BL) = (BL) .(BC − BL)
a3
2
b .( 2 + BL) = (BL) .(c − BL)
b
2
3
2
2
a + b (BL) = (BL) .c − (BL)
3
2
3
3
(BL) + b .(BL) + a = c. (BL)
2
3
2
3
2
Jadi BL adalah sebuah akar dari persamaan kubik: x + b x + a = cx
Perlu dicatat di sini bahwa penyelesaian geometris yang diberikan matematikawan Yunani
untuk persamaan kubik, koefisien-koefisiennya berupa ruas-ruas garis, sedangkan alKhayyam telah menulisnya sebagai bilangan-bilangan yang spesifik. Ini merupakan
kecenderungan matematikawan muslim untuk menghilangkan perbedaan antara aljabar
numerik dan aljabar geometris. Artinya bahwa ada kaitan antara aljabar numerik dan aljabar
geometris.
Dalam kajiannya tentang persamaan kubik, sebenarnya ia telah memberikan landasan bagi
perkembangan geometri analitik, yang dimunculkan kembali oleh Rene Descartes (1596 –
1650). Dalam mencari penyelesaian persamaan kubik tsb, al-Khayyam telah memunculkan
gagasan absis (x) sebagai titik potong antara lingkaran dengan hiperbol ortogonal, untuk
menyelesaikan persamaan kubiknya. (perhatikan lagi soal kubik di atas, x = BL). Dengan
demikian, al-Khayyam adalah perintis dan peletak dasar gagasan geometri analitik. Hanya di
sini al-Khayyam tidak menonjolkan penggunaan sumbu-sumbu koordinat dalam penyelesaian
persamaan kubiknya.
Daftar Pustaka/Bacaan
Abdurrahman Khan. 1993. Sumbangan Umat Islam terhadap pengetahuan dan kebudayaan.
Bandung: Remaja Rosdakarya
O'Connor, John J. & Robertson, Edmund F. 1999. Omar Khayyam. dari http://wwwhistory.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Khayyam.html (diakses 4 November 2012)
Sumardyono. 1999. Matematikawan muslim dan kontribusinya (tidak diterbitkan)
Wiki. 2012. Omar Khayyam. http://wiki.cultured.com/people/Omar_Khayyam/ (diakses 4
November 2012)
Wikipedia. 2012. Omar Khayyám. dari http://en.wikipedia.org/wiki/Omar_Khayyam (diakses
4 November 2012)