FPB dan KPK

FPB dan KPK
Konsep Habis Dibagi
• Definisi:
Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan
bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan
dengan a|b) jika dan hanya jika ada sebuah
bilangan bulat c demikian sehingga b = ac.
• Jika a membagi b, maka dapat dikatakan bahwa :
a pembagi b
a faktor b
b kelipatan a
b habis dibagi a
Pemfaktoran prima
• Bilangan komposit dapat ditulis sebagai hasil
kali semua pembaginya yang prima.
• Ada dua metode yang umum digunakan untuk
menemukan semua faktor prima bilangan
komposit.
Pemfaktoran prima (2)
• Metode pertama adalah dengan melakukan pembagian
berulang dimulai dengan bilangan prima terkecil 2, dan
diteruskan sampai semua faktor prima yang diperoleh
terakhir tersebut
• Contoh:
• Carilah faktor prima dari 180
180 = 2.90
90 = 2.45
45 = 3.15
15 = 3.5
180 = 2.2.3.3.5
Pemfaktoran prima (3)
• Metode kedua adalah melakukan pemfaktoran
bilangan ke dalam sebarang dua faktor yang
dikenal dan kemudian memfaktorkan faktorfaktor tersebut:
• 180 = (15) (12) = (5.3)(4.3) = (5.3)(2.2.3)
= 2.2.3.3.5
Selain kedua metode tersebut, ada cara lain
yakni dengan menggunakan pohon faktor.
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
• Definisi:
Faktor persekutuan terbesar (disingkat FPB) dari
dua bilangan bulat positif, p dan q, adalah
bilangan bulat positip terbesar r demikian
sehingga r|p dan r|q.
• Dari definisi di atas, jelas bahwa FPB dari dua
bilangan bulat positif adalah bilangan bulat
terbesar yang membagi keduanya. Hal ini
dinotasikan sebagai berikut:
• r = FPB (p,q).
FPB (2)
• Cara Menentukan FPB
1. Pemfaktoran
2. Pemfaktoran Prima
3. Algoritma Euclid
FPB (3)
1. Pemfaktoran
• Contoh dengan metode pemfaktoran, menentukan FPB dari
84, 198, dan 210.
• Kita tentukan masing-masing faktornya :
• Factors of 84
: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
Faktor dari 198 : 1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198
Factors of 210
: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35,
42, 70, 105, 210
• Dari ketiga bilangan yang memiliki faktor yang sama yaitu 6.
Sehingga FPB (84, 198, 210) = 6.
• FPB (84,198) = 6
• FPB (198,210) = 6
• FPB (84, 210) = 42
FPB (4)
2. Pemfaktoran Prima
• Tulis bilangan-bilangan tersebut sebagai perkalian bilangan
prima, dan hasil perkalian bilangan prima yang merupakan faktor
persekutuan kedua bilangan tersebut adalah FPB-nya.
• Faktorisasi prima dari,
270 = 2 x 33 x 5
504 = 23 x 32 x 7
• Dapat juga dinyatakan
270 = (2 x 32) x (3 x 5)
504 = (2 x 32) x (22 x 7)
• Sehingga (2 x 32) sebagai faktor persekutuan terbesar 270 dan
504.
• FPB (207, 504) = 18
FPB (5)
3. Algoritma Euclid
• Dengan cara seperti di atas tidak praktis jika bilangan yang akan
dicari FPB bilangan yang besar.
• Dalam hal demikian diperlukan metode yang lebih praktis untuk
menemukan FPB-nya. Metode ini mendasarkan pada Algoritma
Pembagian dengan berulang.
FPB (6)
• Menurut Algoritma Pembagian,
bilangan bulat positip a dan b, a ≥ b
selalu dapat ditulis sebagai :
a = bq + (r),
dengan q bulat positif, r bilangan cacah, dan 0 ≤ r < b.
• Metode menemukan pembagi persekutuan terbesar
dengan menggunakan Algoritma Pembagian tersebut
dikenal sebagai Algoritma Euclides.
• Jadi, menurut Algoritma Euclides, jika a dan b bilanganbilangan bulat positip dengan a ≥ b , dan r adalah sisa jika
a dibagi oleh b, maka
• FPB (a, b) = FPB (b, r).
FPB (7)
• Contoh Penggunaan Algoritma Euclid
• FPB (1071,1029) = 21
• FPB (589,494) = 19
a
1071
1029
b
1029
42
r
42
21
a
589
494
95
42
21
0
19
21
0
b
494
95
19
0
r
95
19
0
Relatif Prima
• Definisi:
Jika faktor persekutuan terbesar dua bilangan bulat
positif p dan q adalah 1, maka p dan q disebut relatif
prima.
• Contoh :
3 dan 5 adalah relatif prima karena FPB(3, 5) = 1
31 dan 120 adalah relatif prima karena FPB(31, 120) = 1.
9 dan 132 bukan relatif prima karena FPB(9, 132) = 3.
• Perhatikan bahwa semua bilangan bulat positif kurang
dari bilangan prima p adalah relatif prima terhadap p.
• Misalkan setiap bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah relatif
prima terhadap bilangan prima 7.
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
• Definisi: Bilangan bulat positip m adalah kelipatan
persekutuan terkecil (disingkat KPK) dua bilangan bulat
positip p dan q jika dan hanya jika m adalah bilangan
bulat positip terkecil yang dapat dibagi oleh p dan q.
• Dari definisi di atas, jelas bahwa kelipatan persekutuan
terkecil dua bilangan bulat adalah bilangan bulat
positip yang habis dibagi kedua bilangan tersebut.
• Hal ini ditulis:
m = KPK (p,q)
Contoh :
KPK (5,4)= 20
KPK (7, 6) =42
KPK (15, 12) = 60.
KPK (2)
• Cara Menentukan KPK
1. Menemukan himpunan kelipatan
persekutuan dan kemudian memilih yang
terkecil
2. Pemfaktoran Prima
3. Rumus
[FPB (p,q)] x [KPK (p,q)] = p x q
KPK (3)
1. Menemukan himpunan kelipatan persekutuan dan
kemudian memilih yang terkecil
• contoh
Kelipatan Persekutuan Terkecil dari: 10, 12, dan 18
Kelipatan dari 10
: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80,
90, 100, 110, 120, 130, 140, 150,
160, 170, 180,190
Kelipatan dari 12
: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,
108, 120, 132, 144, 156, 168, 180,
192, 204
Kelipatan dari 18
: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126,
144, 162, 180, 198
Jadi KPK (10,12,18) = 180
KPK (4)
2. Pemfaktoran Prima
• KPK (3600, 1080, 672)
• Contoh menggunakan faktorisasi prima :
3600 = 24 x 32 x 52
1080 = 23 x 33 x 5
672 = 25 x 3 x 7
Bilangan yang merupakan faktor prima : 2,3,5, 7
Pangkat maksimum
2 adalah 5
3 adalah 3
5 adalah 2
7 adalah 1
Oleh karena itu,
KPK adalah 25 x 33 x 52 x 7 = 151.200
KPK (5)
3. Rumus: [FPB (p,q)] x [KPK (p,q)] = p x q
• KPK(146,124) = (146 x 124) ÷ FPB (146, 124
= 18104 ÷ 2
= 9052
KPK (6)
• KPK tiga atau lebih bilangan bulat positip dapat
ditemukan dengan terlebih dahulu mencari KPK dari
bilangan-bilangan itu; sepasang demi sepasang.
• Misalkan akan dicari KPK dari p, q, r, s,
maka dicari dulu KPK bilangan p dan q misalkan
terdapat m1, kemudian dicari KPK bilangan r dan s
misalkan terdapat m2.
• Maka KPK (p,q,r,s) = KPK (m1, m2 ).
• Contoh :
Carilah KPK dari 42, 96, 104. 18.
Jawab:
KPK (42. 96) = 672 dan KPK (104, 18) = 936
KPK (42, 96, 104, 18) = KPK (672, 936) = 26208