Pertemuan Ke-6

POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si.
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
Mahasiswa dapat memahami konsep Algoritma Euclid
dan menerapkannya dalam permasalahan matematika
yang relevan
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
Kita akan mencari fpb(90, 78) dengan tanpa mendaftar faktorfaktornya.
Langkah 1: Terapkan Algoritma Pembagian pada 90 dan 78
90 = 1 . 78 + 12
MATERI
ILLUSTRASI
0 ≤ r < 78
Langkah 2: Terapkan Algoritma Pembagian pada 78 dan 12
78 = 6 . 12 + 6
0 ≤ r < 12
Langkah 3: Terapkan Algoritma Pembagian pada 12 dan 6
LATIHAN
12 = 2 . 6
0≤r<6
Kita dapat memperoleh bahwa fpb(90, 78) = 6
SELESAI
Lakukan langkah di atas pada bilangan 756 dan 528
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
Lemma : Jika a = qb + r, maka fpb(a, b) = fpb(b, r).
Pembuktian
Misalkan fpb(a, b) = d. Adb fpb(b, r) = d
(a) Karena fpb(a, b) = d, maka d|a dan d| b.
Dari sini kita memperoleh d | a dan d|qb.
Sehingga d|(a – qb) atau d|r
Dengan demikian, d|b dan d|r
(1)
(b) Misalkan c|b dan c|r. Dari sini kita memperoleh c|qb.
Sehingga c|(qb + r) atau c|a.
Karena fpb(a, b) = d, maka untuk c|a dan c|b akan diperoleh
c ≤ d.
Jadi, jika c|b dan c|r maka c ≤ d
(2)
Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa fpb(b, r) = d = fpb(a, b)
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
Kita akan mencari fpb(a, b) dengan tanpa mendaftar faktorfaktornya.
Langkah 1: Terapkan Algoritma Pembagian pada a dan b
a = q 1 . b + r1
0 ≤ r1 < b
MATERI
Langkah 2: Terapkan Algoritma Pembagian pada b dan r1
b = q2 .r1 + r2
0 ≤ r2 < r1
ILLUSTRASI
Langkah 3: Terapkan Algoritma Pembagian pada r1 dan r2
r1 = q3 .r2 + r3
0 ≤ r3 < r2
LATIHAN
Langkah n+1: Terapkan Algoritma Pembagian pada rn dan rn-1
rn-1 = q3 .rn
0 ≤ rn+1 < rn
SELESAI
fpb(a, b) = fpb(b, r1) = . . . = fpb(rn-1 , rn ) = fpb(rn , 0) = rn
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
Ilustrasi 1 : Carilah bilangan bulat x dan y sehingga
fpb(90, 78) = 90x + 78y
Pembahasan
90 = 1 . 78 + 12
78 = 6 . 12 + 6
12 = 2 . 6
fpb(90, 78) = 6 = 78 – 6 . 12
= 78 – 6. (90 – 1.78)
= 7.78 – 6.90
= 90 (–6) + 78(7)
Jadi, nilai x = -6 dan y = 7
POKOK
BAHASAN
Illustrasi 2: Carilah fpb(1769, 2378). Kemudian carilah bilangan
bulat x dan y sehingga
TUJUAN
fpb(1769, 2378) = 1769x + 2378y
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
Pembahasan
2378 = 1 . 1769 + 609
1769 = 2 . 609 + 551
609 = 1 . 551 + 58
551 = 9 . 58 + 29
58 = 2 . 29
Jadi, fpb (1769, 2378) = 29
29 = 551 – 9.58
= 551 – 9.(609 – 1.551)
= 10.551 – 9.609
= 10.(1769 – 2.609) – 9.609
= 10.1769 – 29.609
= 10.1769 – 29.(2378 – 1.1769)
= 1769(39) + 2378(–29)
Jadi nilai x = 39 dan y = –29
POKOK
BAHASAN
1.
Misalkan a, b bilangan bulat yang keduanya tidak sama dengan nol,
dan k > 0. Tunjukkan bahwa
fpb(ka, kb) = k fpb(a, b)
TUJUAN
2.
Misalkan a, b bilangan bulat yang keduanya tidak sama dengan nol,
dan k ≠ 0. Tunjukkan bahwa
MATERI
fpb(ka, kb) = |k| fpb(a, b)
3. Carilah bilangan bulat x dan y sehingga
ILLUSTRASI
a. fpb(306, 657) = 306x + 657y
b. fpb(272, 1479) = 272x + 1479y
c. fpb(12378, 3054) = 12378x + 3054y
LATIHAN
4. Misalkan fpb(a, b) = 1, buktikan pernyataan berikut ini:
a. fpb(a + b, a – b) = 1 atau 2
SELESAI
b. fpb(2a + b, a + 2b) = 1 atau 3
c. fpb(a + b, ab) = 1
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
5. Misalkan a, b, c bilangan bulat yang dua diantaranya tidak sama
dengan nol. Kita akan memperoleh bahwa
fpb(a, b, c) = fpb(fpb(a, b), c) = fpb(a, fpb(b, c)) = fpb(fpb(a, c), b)
a. Periksa kebenaran pernyataan itu untuk fpb(108, 60, 72)
b. Carilah bilangan bulat x, y, dan z yang memenuhi
MATERI
fpb(198, 288, 512) = 198x + 288y + 512
Petunjuk: Misalkan d = fpb(198, 288). Carilah bilangan bulat u dan
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
v sehingga fpb(d, 512) = du + 512v
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
Terima kasih