Persamaan Diophantine ax + by + cz = d

Persamaan Diophantine ax + by + cz = d
Kita akan memperluas Persamaan Diophantine linear untuk tiga variabel,
ax + by + cz = d.
Proses mencari solusi dari persamaan ini diharapkan juga merupakan perluasan dari
Persamaan Diophantine linear sebelumnya. Untuk itu kita akan menentukan suatu
persyaratan agar Persamaan Diophantine itu memiliki solusi.
Seperti halnya dalam Persamaan Diophantine dua variabel, kita misalkan fpb(a,
b, c) = m. Dari sini kita memiliki m | a, m | b dan m | c. Berdasarkan definisi pembagian,
terdapat bilangan bulat p, q, dan r sehingga
a = mp, b = mq, dan c = mr
Dengan mensubstitusikan nilai a, b, dan
c
ini pada Persamaan Diophantine, kita
memperoleh
mpx + mqy + mrz = d
⇔
m(px + qy + rz) = d
Agar persamaan Diophantine itu memiliki solusi, maka nila x, y, dan z haruslah
merupakan bilangan bulat. Dengan demikan, persamaan terakhir di atas menunjukkan
bahwa
m|d
atau
fpb(a, b, c) | d
yang merupakan persyaratan agar Persamaan Diophantine ax + by + cz = d memiliki
solusi.
Selanjutnya, untuk menentukan solusi dari Persamaan Diophantine ini kita
perhatikan contoh di bawah ini
Contoh 1 Tentukan solusi dari Persamaan Diophantine
15x + 12y + 30z = 24
Pembahasan
Kita akan menyatakan Persamaan Diophantine ini menjadi persamaan dalam dua
variabel. Untuk itu kita misalkan
12y + 30z = 6w.
Persamaan Diophantine ini memiliki solusi untuk setiap bilangan bulat w, sebab fpb(12,
30) | 6w. Dengan demikian, Persamaan Diophantine semula akan menjadi
15x + 6w = 24.
Karena fpb(15, 6) = 3 dan 3 | 24, maka Persamaan Diophantine ini memiliki solusi.
Mudah ditentukan bahwa x0 = 2 dan w0 = –1 merupakan salah satu solusi dari persamaan
itu. Dengan demikian, solusi secara umum dari Persamaan Diophantine 15x + 6w = 24
adalah
x = 2 + (6/3)t = 2 + 2t
dan
w = –1 – (15/3)t = –1 – 5t.
Kemudian, substitusikan nilai w ini ke persamaan 12y + 30z = 6w, diperoleh
12y + 30z = 6(–1 – 5t).
Dengan menerapkan Algoritma Euclid, kita memperoleh bahwa
6 = fpb(12, 30) = 12(–2) + 30(1).
Kalikan kedua ruas kesamaan itu dengan (–1 – 5t), dan diperoleh
12(2 + 10t) + 30(–1 – 5t) = –6 – 30t.
Oleh karena itu, solusi partikulir dari persamaan 12y + 30z = –6 – 30t adalah
y0 = 2 + 10t
dan z0 = –1 – 5t,
dan solusi umum Persamaan Diophantine itu adalah
y = 2 + 10t + 5s
dan
z = –1 – 5t – 2s.
Dengan demikian, solusi dari Persamaan Diophantine 15x + 12y + 30z = 24 adalah
x = 2 + 2t, y = 2 + 10t + 5s dan z = –1 – 5t – 2s