PENERAPAN INTEGRAL A plikasi integral dalam bidang ekonomi

9
PENERAPAN
INTEGRAL
A
plikasi integral dalam bidang ekonomi dan bisnis dalam bagian ini meliputi
penerapan integral taktentu, yaitu untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu
variabel ekonomi apabila persamaan marginalnya diketahui. Sedangkan
penerapan untuk integral tertentu yaitu mencari keuntungan lebih yang dinikmati konsumen
maupun produsen, atau dalam ekonomi biasa disebut dengan surplus konsumen dan surplus
produsen.
9.1.
Penerapan Ekonomi Integral Tak Tentu
Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total
dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marjinalnya diketahui. Karena
fungsi marjinal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan
proses sebaliknya, yaitu integrasi dapatlah dicari fungsi asal dari fungsi turunan
tersebut atau fungsi totalnya.
9.1.1
Fungsi Biaya
Biaya total : C  f (Q )
Biaya Marjinal : MC = C'=
Matematika Bisnis
dC
 f ' (Q)
dQ
75
Biaya
total
tak
lain
adalah
integral
dari
biaya
marjinal
:
C   MC dQ   f ' (Q) dQ
Contoh 9.1.
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 – 6Q + 4.
Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya!
Penyelesaian :
Biaya Total : C   MC dQ
  (3Q 2 - 6Q  4) dQ
 Q 3 - 3Q 2  4Q  c
Biaya Rata-rata : AC 
C
c
 Q 2 - 3Q  4 
Q
Q
Konstanta c tak lain adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap tersebut
sebesar 4, maka :
C  Q 3 - 3Q 2  4Q  4
AC  Q 2 - 3Q  4 
4
Q
9.1.2. Fungsi Penerimaan
Penerimaan total : R  f (Q )
Penerimaan Marjinal : MR = R’ =
dR
 f ' (Q)
dQ
Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marjinal :
R   MR dQ   f ' (Q) dQ
Contoh 9.2.
Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu
perusahaan jika persamaan marjinalnya MR = 16 – 4 Q.
Penyelesaian :
76
Penerapan Integral
Penerimaan total :
R   MR dQ
  (16 - 4Q) dQ
 16Q - 2Q 2
Penerimaan rata-rata : AR 
R
 16 - 2Q
Q
Dalam persamaan penerimaan total kontanta c = 0, sebab penerimaan tidak
akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.
9.2.
Penerapan Ekonomi Integral Tertentu
9.2.1. Surplus Konsumen
Surplus Konsumen mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang
dinikmati konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu
barang.
Fungsi permintaan P = f(Q) menunjukkan jumlah suatu barang yang akan
dibeli oleh konsumen pada tingkat harga tertentu. Jika tingkat harga pasar
adalah Pe , maka bagi konsumen tertentu yang sebetulnya mampu dan
bersedia membayar dengan harga lebih tinggi dari Pe hal ini akan merupakan
keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar barang tadi dengan Pe.
Keuntungan lebih macam inilah yang disebut surplus konsumen. Secara
geometri, besarnya surplus konsumen ditunjukkan oleh luas area di bawah
kurva permintaan tetapi di atas tingkat harga pasar.
Matematika Bisnis
77
P
D(0, P̂ )
Surplus
Konsumen (Cs)
E (Qe,Pe)
Pe
)
D( Q̂ ,0)
Q
0
Qe
Gambar 9.1 Surplus Konsumen
Besarnya surplus konsumen adalah :
Cs  
Qe
0
f (Q)dQ  Qe .Pe
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f(Q)
Atau
P̂
C s   f(P) dP
Pe
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk Q = f(P) ; P̂ adalah nilai P untuk Q =
0 atau penggal kurva permintaan pada sumbu harga.
Dengan demikian
Cs  
Qe
0
f (Q)dQ  Qe .Pe 

P̂
Pe
f(P) dP
Contoh 9.3.
Hitunglah surplus konsumen dari fungsi permintaan Q = 40 – 2 P yang tingkat
harga pasarnya 10.
Penyelesaian :
Cara I
78
Penerapan Integral
Cs  
Qe
0
f (Q )dQ  Qe .Pe
20
  (20  0,5 Q) dQ  (20) (10)

0
 20 Q  0,25 Q 2

20
0
 200
 ( 20.20  0,25 (20) 2 )  ( 20.0  0,25 (0) 2 )  200
 400 - 100 - 200  100
Cara II
P̂
C s   f(P) dP
Pe
20
  (40  2P) dP
10

 40 P - P 2

20
10
 { 40(20) - (20) 2 }  { 40(20) - (10) 2 }  400 - 300  100
9.2.2
Surplus Produsen
Surplus Produsen mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang
dinikmati produsen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang
yang ditawarkannya.
Fungsi penawaran P = f(Q) menunjukkan jumlah suatu barang yang akan
dijual oleh produsen pada tingkat harga tertentu. Jika tingkat harga pasar
adalah Pe , maka bagi produsen tertentu yang sebetulnya bersedia menjual
dengan harga lebih rendah dari Pe hal ini akan merupakan keuntungan
baginya, sebab ia kini dapat menjual barangnya dengan harga Pe (lebih tinggi
dari harga jual semula yang direncanakan). Keuntungan lebih macam inilah
yang disebut surplus produsen. Secara geometri, besarnya surplus produsen
ditunjukkan oleh luas area di atas kurva penawaran tetapi di bawah tingkat
harga pasar.
Matematika Bisnis
79
P= f(Q)
Pe
E (Qe,Pe)
D(0, P̂ )
Surplus
Produsen (Ps)
Q
0
Qe
Gambar 9.1 Surplus Produsen
Besarnya surplus produsen adalah :

Ps  Qe .Pe 
Qe
0
f (Q)dQ
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk P = f(Q)
Pe
Atau Ps   f(P) dP
P̂
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk Q = f(P) ; P̂ adalah nilai P untuk Q = 0
atau penggal kurva penawaran pada sumbu harga.
Dengan demikian
Ps  Qe .Pe 

Qe
0
Pe
f (Q)dQ   f(P) dP
P̂
Contoh 9.4.
Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,5 Q + 3. Berapa
surplus produsen jika tingkat harga keseimbangan di pasar adalah 10 ?
80
Penerapan Integral
Penyelesaian :
Cara I
Ps  Qe .Pe  
Qe
f (Q)dQ
0
14
 (14) (10)   (0,5 Q  3) dQ
0


14
 140  0,25 Q 2  3 Q 0
 140  { 0,25 (14) 2  3( 14 ) }  { 0,25 (0) 2  3 (0)}
 400 - 91 - 0  49
Cara II
Pe
Ps   f(P) dP
P̂
10
  (6  2P) dP

3
 - 6P  P 2

10
3
:
 { - 6(10)  (10) 2 }  { - 6(3)  (3) 2 }  40 - (-9)  49
Contoh 9.5.
Penawaran dan permintaan akan suatu barang di pasar masing-masing
ditunjukkan oleh Q = -30 + 5P dan Q = 60 – 4P. Hitunglah masing-masing
surplus yang diperoleh konsumen dan produsen
Penyelesaian :
Penawaran :
Q = – 30 + 5P
P = 6 + 0,2 Q
Permintaan
Q = 60 – 4P
P = 15 – 0,25Q
Matematika Bisnis
81
Keseimbangan Pasar :
Qs = Qd
– 30 + 5P = 60 – 4P
9P
= 90
P = 10  Pe
Q = 60 – 4 P = 60 – 4(10) = 20  Qe
Surplus Konsumen
Cs  
Qe
0
f (Q)dQ  Qe .Pe
20
  (15 - 0,5 Q) dQ  (20) (10)

0
 15 Q  0,125 Q 2

20
0
 200
 250 - 200  50
Surplus Produsen
Ps  Qe .Pe  
Qe
0
f (Q)dQ
20
 (20) (10)   (0,2 Q  6) dQ

0

20
 200  0,1Q 2  6 Q 0
 200 - 160  40
9.3.
Soal-Soal Latihan
1. Carilah persamaan fungsi biaya total dan biaya rata-rata suatu perusahaan, jika
biaya marginalnya adalah MC = 1,5 Q2 – 4 Q +12, sedangkan biaya tetap totalnya
sebesar 20 !
2. Carilah persamaan fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan dari sebuah
perusahaan yang penerimaan marginalnya MR = 900 – 28 Q
3. Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 40 – 2P.
Hitunglah Surplus Konsumen jika tingkat harga pasar adalah 10.
82
Penerapan Integral
4. Hitunglah Surplus Konsumen pada tingkat harga pasar setinggi 50. Jika fungsi
permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 60 – 0,5 P.
5. Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,5 Q + 3. Berapa surplus
produsen bila tingkat harga keseimbangan di pasar adalah 10 ?
6. Fungsi penawaran suatu barang dari seorang produsen adalah Qs = - 45 + 3P.
Berapa surplus produsen bila tingkat harga keseimbangan di pasar adalah 25 ?
7. Penawaran dan permintaan akan suatu barang di pasar masing-masing ditunjukkan
oleh Qs = -30 + 5P dan Qd = 60 – 4P. Hitunglah masing-masing surplus yang
diperoleh konsumen dan produsen.
8. Penawaran dan permintaan akan suatu barang di pasar masing-masing ditunjukkan
oleh Qs = -100 + 20P dan Qd = 200 – 5P. Hitunglah masing-masing surplus yang
diperoleh konsumen dan produsen.
Matematika Bisnis
83