Logika Proposisional [Manipulasi Formula - E

GP DALIYO
DALIYO
GP
GP DALIYO
GP DALIYO
GP DALIYO
ILMU
KOM
PUTER
FAK
MIPA
UGM
GP DALIYO
GP DALIYO
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
BNK/BNKP
Bentuk normal yang lain adalah :
Bentuk Normal Kunjungtif (BNK) dan
Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP)
Dengan konsep yang similar dengan BND/BNDP maka di
dapat konsep sebagai berikut :
Untuk sebarang formula dalam n variabel proposisional
p1 ,p2 , . . pn yg bukan tautologi ( yaitu setiap interpretasi
nya merupakan suatu model) terdapatlah suatu formula
yang ekuivalen logis daripada bentuk : U  W  V . . . .
(suatu disjungsi dp sejumlah suku) dimana disjungan U,
V, W, . . Yg masing-masing mempunyai bentuk : P1  P2 
. . .  Pn , (suatu konjungsi daripada tepat n suku) dimana
Pi adalah salah satu pi atau pi (negasi dp variabel ke i)
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Bentuk Normal Kusjungtif Penuh (BNKP).
Perhatikan bahwa formula : U  V  W  . . . tidak di
tentukan berapa banyak suku, tetapi dalam formula :
P1  P2  . . .  Pn , banyaknya suku tepat n buah ;
Formula berbentuk tsb disebut dengan :
Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP).
Jika
ada yang kurang dari n suku
ataupun lebih maka dinamakan :
Bentuk Normal Kusjungtif (BNK).
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Bentuk Normal Kusjungtif Penuh (BNKP).
Perhatikan bahwa formula : U  V  W  . . . tidak di
tentukan berapa banyak suku, tetapi dalam formula :
P1  P2  . . .  Pn , banyaknya suku tepat n buah ;
Formula berbentuk tsb disebut dengan :
Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP).
Jika
ada yang kurang dari n suku
ataupun lebih maka dinamakan :
Bentuk Normal Kusjungtif (BNK).
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Untuk menuliskan suatu formula dalam bentuk BKNP,ambil
setiap entri F dalam tabel kebenarannya, ekspresikan entri
tsb sbg suatu disjungsi dp semua variabel-2 (jika F) atau
negasi mereka (jika T) , dn kemudian konjungsikan mereka
Contoh : ((p  q)  ((p)  (r)))
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
BNKP – nya adalah :
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p q r
(p  q  r)  (p  q  r)
Perhatikan bahwa cacah konjungan dalam suatu
BNKP adl samadengan cacah F pada entri di tabel
kebenaran
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p  q  r
p  q  r
-
Perhatikan bahwa satu suku untuk setiap entri F pada tabel kebenaran
dan masing-2 disajikan dengan disjungsi daripada negasi daripada ni
lai variabel (kalau nilainya T maka dinegasikan jika F tidak dinegasikan)
untuk entri tersebut. Setiap suku seperti mis. p  q  r sekarang
bernilai T disemua baris kecuali disatu baris tertentu yaitu baris dimana
p = T, q = T, dan r = F , (cek : p = T, q = T, r = T (brs ke 1) maka ia bernilai
T, yang lainnya silahkan dicoba!!!)
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Sekali lagi kita gunakan BNK (Bentuk Normal
Konjungtif) sebagai lawan/pasangan daripada
BNKP (Bentuk Normal Kongjungsi Penuh) untuk
menggambarkan formula dimana tidak semua va
riabel diperlukan untuk muncul dalam setiap kon
jungan
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Negasi daripada formula proposisional
Definisi :
Diberikan suatu formula P , negasi daripada P ada
lah P.
Jika suatu formula dinegasikan diperlukan metodemetode seperti disebutkan/dibicarakan diatas
Contoh :
Tuliskan dalam logika proposisional dan kemudian
negasikan kalimat
“ Jika makluk hidup bertelinga panjang dan bergigi besar ia adalah
kelinci”
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Negasi daripada formula proposisional
Jawaban :
Andaikan
: p adalah “Makluk hidup bertelinga panjang”
: q adalah “Makluk hidup bergigi besar”
: r adalah “Makluk hidup adalah kelinci”
maka
: (pq)r = (pq)r = pqr ,
dinegasikan : (pqr) = pqr
didapat
: “ Makluk hidup mempunyai telinga panjang,
(dan) gigi besar dan adalah bukan kelinci”
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Negasi daripada formula proposisional
“Perlu memiliki password yg sjah agar Anda bisa log on ke server.”
a. Nyatakan pernyataan diatas dalam bentuk proposisi Jika…maka …
b. Tentukan negasinya, inversinya, dan kontraposisinya.
Jwb :
Misalkan : p = Anda bisa log on ke server
q = Anda memiliki password yg syah.
a. Jika Anda bisa log on ke server maka Anda memiliki password yg
syah.
i). Negasi : Anda bisa log on ke server dan Anda tidak memiliki
password yang syah.
ii). Inversi : Jika Anda tidak bisa log on ke server maka Anda tidak
memiliki password yang syah.
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Negasi daripada formula proposisional
iii) Kontraposisi : Jika Anda tidak memiliki password yang syah
maka Anda tidak bisa log on ke server.
iv) Konversi : Jika Anda memiliki password yang syah maka Anda
bisa log on ke server.
Pernyataan : Untuk mendapatkan satu kupon undian, Anda cukup
membeli dua barang seharga Rp. 50.000,00
i). Jika Anda membeli dua barang seharga Rp. 50.000,00 maka Anda
mendapatkan dua kupon undian
ii). Negasi. ((pq)) = (p  q) = p  q jadi Anda membeli dua
barang seharga Rp. 50.000,00 dan Anda tidak mendapatkan dua
kupon undian.
iii) Konverse : q p
iv) Inversi : p  q v). Kontraposisi : q  p
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Generalisasi Hukum de Morgan
Andaikan P suatu formula yang menggunakan ku
rung penuh (berarti untuk setiap kemunculan dari
pada suatu operator baik monadika maupun diadi
ka, operator tersebut dan operannya dikurung dlm
satu kurung) yang hanya memuat operator-opera
tor , , dan  ; Kita telah tahu bahwa setiap for
mula dapat disajikan dalam bentuk ini (ingat him
punan operator lengkap).
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Generalisasi Hukum de Morgan
Selanjutnya kita definisikan P* sebagai formula yg
didapat dari formula P dengan menggunakan dua
aturan dibawah ini :
1). Gantikan setiap kemunculan  dengan  dan
kemunculan  dengan 
2). Gantikan setiap variabel proposisional terne
gasikan p dengan P dan sebaliknya setiap
variabel proposisional tak ternegasikan p de
ngan p
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Generalisasi Hukum de Morgan (Contoh)
P
P*
((p  q))
((p  q))
(p  q)
(p  q)
(((p1  p2 ))  p3
(((p1  p2 ))  p3 )
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Generalisasi Hukum de Morgan (Teorema)
Negasi selain pada level daripada suatu variabel
proposisional tidak dipengaruhi/tetap. Formula
harus dikurung penuh agar keterikatan operator
(yaitu operan pada mana mereka mengoperasi
kan) tidak merubah dibawah tranformasi (lihat
contoh pada slide sebelum ini)
Teorema :
Bukti
P* adalah negasi aripada P
: menggunakan induksi lengkap !!!!
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Disjungsi dan Konjungsi diperluas
Dengan menggunakan notasi  (sigma) dan 
(produk) maka hukum de Morgan secara umum
dapat dituliskan sebagai berikut :
n
n
 (pi ) =T  (  pi )
i=1
i=1
n
n
 (pi ) =T  (  pi )
i=1
i=1
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Dualiti (Definisi menurut Alan Rose)
Untuk mencari Dual (ditulis PD) drpd sebarang for
mula atau fungsi, ambil tabel kebenarannya dan
gantilah T dengan F dan F dengan T dimana-mana
[baik didalam (dalam formula/fungsi tersebut) maupun
diluar (nilai daripada variabel-variabelnya)].
Contoh sederhana :
p q pq
p q
T
T
F
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
F
T
(p  q)D
F
T
T
T
p q
T
T
F
F
T
F
T
F
(p  q)D p  q
T
T
T
F
T
T
T
F
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Dualiti (Definisi menurut Alan Rose)
p q pq
p q
T
T
F
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
F
T
(p  q)D
F
T
T
T
p q
T
T
F
F
T
F
T
F
(p  q)D p  q
T
T
T
F
T
T
T
F
Terlihat bahwa : (p  q)D =T p  q ;
Dikatakan bahwa  adalah operator dual drpd 
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Dualiti (Definisi menurut Alan Rose)
Contoh lain : (p  q)  r
Kita bentuk tabek kebenaran sebagai berikut :
p q r (p  q)  r
p q r ((p  q)  r)D
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Dualiti (Definisi menurut Alan Rose)
p q r ((p  q)  r)D
p q r ((p  q)  r)D
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
Apa masih ada fungsi/formula lain ???
Selain (p  q)  r
F
F
T
F
T
F
T
F
(p  q)  r
FT
F T FF
T F TT
T F FF
T TT T
T T FF
T F TT
F F FF
T F T
T
T
T
F
F
F
F
Tunjukan !!!!
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Dualiti (Definisi menurut Alan Rose)
Didapat :
((p  q)  r)D =T
(p  q)  r
Secara umum untuk sebarang fungsi f didapat :
f(p,q,r)D =T f(p, q, r)
karena dual dapat diperoleh dengan menegasikan
variabel-variabelnya )p, q, r) dan juga hasilnya (f)
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Dualiti (Definisi altenatif)
Dual daripada fungsi/formula f didefinisikan seba
gai fungsi/formula yang diperoleh dengan meng
gantikan simbol  dengan simbol  dan simbol 
dengan simbol  dimana-mana . Formula harus
dikurung penuh untuk menghindari masalah peng
asosiasian dengan prioritas daripada operator, dan
juga harus terdiri hanya operator-operator , ,
dan .
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Dualiti (Definisi altenatif)
Formula : (pq)r
Ditulis kembali : (pq)r = ((p  q))  r
atau :
= (p  q)  r
Dengan transformasi dualiti maka didapat :
((p  q))  r = ((p  q))  r
dan
(p  q)  r = (p  q)  r
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Dualiti (Definisi altenatif)
Teorema : Dual daripada suatu formula adalah
suatu tautologi jika dan hanya jika
formula tersebut suatu absurditi
Teorema tersebut dapat diekspresikan sebagai
berikut :
| A jika dan hanya jika | AD
GP DALIYO
Bentuk Normal/Normal Forms
•
•
1.
2.
3.
4.
5.
Benarkan ke lima penghubung logika tersebut
diperlukan ? Apakah penghubung ¬, , , →, dan
↔ betul diperlukan ? (lihat slide sebelumnya)
Ternyata penghubung , →, ↔, dan juga tetapan
T dan F dapat di eliminasi dengan menggunakan
ekuivalensi karena :
p↔q  ¬(p¬q)¬(q¬p)
p→q  ¬(p¬q)
-Jadi kita dapat hapq  ¬(¬p¬q)
nya menggunakan
T  ¬(p¬p)
penghubung ¬ dan 
F  p¬p
-jadi {¬,} himpunan
konektiv yang cukup
GP DALIYO
Himpunan cukup lainnya, NAND dan NOR
• Tunjukan bahwa himpunan {¬,}, dan {¬,→)
,serta {F,→} juga himpunan yang cukup ?
• Terdapat suatu konektif lain yang disebut
NAND (not and) dan NOR (not or) yang
disajikan dng masing-masing  (buku Burke
menggunakan /) dan  , tabel kebenarannya
adalah :
p q
pq pq
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
T
T
F
F
F
T
GP DALIYO
Nand dan Nor
pq  ¬(pq) , berarti  not-and (NAND)
pq  ¬(pq) , berarti  not-or (NOR)
Selanjutan :
¬p  pp, pq  ¬¬(pq)  ¬(pq)
 (pq)(pq)
Karena {¬,} koneksicukup maka {} juga
cukup.
2. ¬p  pp, pq  ¬¬(pq)  ¬(pq)
 (pq)(pq)
Karena {¬,} koneksicukup maka {} juga
cukup.
•
•
•
1.
GP DALIYO
Definisi Literal
• Literal adalah salah satu, suatu variabel
proposisional atau negasi daripada variabel
proposisional. Untuk sebarang variabel
proposisional p , literal p dan ¬p adalah literal
saling komplemeter (complementary literal).
Suatu anak kalimat (clause) konjungtif adlh
suatu konjungtif daripada literal;suatu anak
kalimat (clause) disjungtif adalah suatu
disjungtif daripada literal
GP DALIYO
Definisi conjuctive clause dan
disjunctive cluse
• Suatu anak kalimat (clause) konjungtif
adlh suatu konjungsi daripada literal
• Suatu anak kalimat (clause) disjungtif
adalah suatu disjungsi daripada literal
GP DALIYO
Definisi CNF dan DNF
• CNF (Conjunctive normal form) adalah
suatu konjungsi daripada anak kalimat
disjungtif
• DNF (Disjunctive normal form) adalah
suatu disjungsi daripada anak kalimat
konjungtif
GP DALIYO
Contoh
• (¬p → q) → (pr → qs)
 ¬(¬p→q)  (pr → qs)
 (p¬q)  (¬(pr)  (qs))
 (p¬q)  ((¬p¬r)  (qs))
 (p¬q)  (¬p¬r)  (qs)
Dan didapat bentuk dnf
GP DALIYO
Teorema
• Setiap proposisi adalah ekuivalen dengan
suatu CNF dan juga ekuivalen dengan DNF
GP DALIYO
Prosedur merubah dari sebarang proposisi
menjadi bentuk CNF atau DNF
Prosedur NorFor :
Input : Sebarang proposisi w daripada PL
Output : Suatu CNF dan DNF yang ekuivalen dengan w
1. Eliminasi koneksi →, ↔ dengan menggunakan hukum
implikasi dan bikondisional
2. Gunakan hukum de Morgen untuk mendekatkan ¬
dekat/nempel pada variabel proposisional
3. Gunakan negasi ganda untuk memperoleh salah satu, ¬
atau tidak sama sekali dengan sebarang variabel
proposisional
4. Gunakan hukum distributif untuk memperoleh CNF atau
DNF diinginkan
GP DALIYO
Contoh
• (p → (¬q→r))  (p→¬q)
 (¬p(¬q → r))  (¬pq)
 (¬p(¬¬qr))  (¬pq)
 (¬pqr)  (¬pq)
Jadi merupakan bentuk CNF (bentuk normal konjungtif) ,
atau denag hukum distributif menjadi :
(¬p¬p)  (¬p¬q)  (q¬p)  (q¬q)  (r¬p)  (r¬q)
yang disederhanakan menjadi :
¬p  (¬p¬q)  (q¬p)  (r¬p)  (r¬q)