GP DALIYO Logika Proposisional [Manipulasi - E

GP Daliyo
GP Daliyo
SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER
GP
Da
li
yo
AKAK
M
GP Daliyo
Jln Raya Janti 143, Jogjakarta 55193, Telp (0274)486664 (Hunting)
Fax. (0274) 486438, e-mail : [email protected], Website : www.akakom.ac.id
GP
Da
li
yo
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Bentuk daripada suatu formula proposisional perlu di
manipulasi sehingga bentuk menjadi lebih sederhana,
tetapi mempunyai tabel kebenaran yang tetap sama,
sehingga tetap ekuivalen dengan formula aslinya.
Bentuk sederhana dimaksud adalah bentuk jumlahan
hasilkali minimal, yaitu bentuk jumlahan hasilkali dan
tak ada bentuk yang lebih sederhana daripada ia.
Sederhana artinya cacah literalnya serta cacah yang
dijumlahkan paling sedikit.
(lihat buku “Essential Computer Mathematics”, Schaum’s out
line Series, Seymour Lipschutz, Ph.D. hal 194)
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Identitas Baku (Standard Identities)
Andaikan p, q, r suatu proposisi, maka
konsekuen si-konsekuensi dan ekuivalensiekuivalensi di bawah ini benar :
1. Hukum Tetapan :
pT T p , pF T F , pT T T, pF T p ,
2. Hukum excluded middle :
p  ¬p T T
3. Hukum Kontradiksi :
p ¬p T F
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Identitas Baku(Standard Identrities
4. Hukum negasi ganda :
¬¬ p T p
5. Hukum Idempotensi :
p  p T p , p  p T p
6. Hukum Komutatif :
pq T qp , pq T qp
7. Hukum Asosiatif :
p(qr) T (pq)r , p(qr) T (pq)r
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Identitas Baku (Standard Identities
8. Hukum Distributif :
p(qr) T (pq)(pr)
p(qr) T (pq)(pr)
9. Hukum De Morgan :
¬(pq) T (¬p¬q)
¬(pq) T (¬p¬q)
10. Hukum Implikasi
p→q T ¬pq
GP DALIYO
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Identitas Baku (Standard Identities)
11. Hukum De Morgan :
¬(pq) T (¬p¬q)
¬(pq) T (¬p¬q)
12.Hukum Implikasi
p→q T ¬pq
13. Hukum Kontraposisi/Kontrapositif :
p→q T ¬q→¬p
14. Hukum Bikondisional :
p↔q T (p→q)(q→p)
GP DALIYO
Logika Proposisional
Contoh
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Contoh
Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukan bahwa :
p  ((r  s)  (r  s))  (p  q) =T p  q  r
Jawab :
p  ((r  s)  (r  s))  (p  q)
=T ((r  s)  (r  s))  p  (p  q) Aturan 6
=T (r  (s  s))  p  (p  q)
Aturan 8
=T (r  T)  p  (p  q)
Aturan 13
=T r  p  (p  q)
Aturan 12
=T r  ((p  p)  (p  q))
Aturan 8
GP DALIYO
=T r  (F  (p  q)
Aturan 14
=T r  (p  q)
Aturan 11
=T p  q  r
Aturan 6
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Contoh
Contoh
Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukan bahwa :
p  (p  q) =T p
Jawab :
p  (p  q)
=T (p  F)  (p  q)
Aturan 11
=T p  (F  q)
Aturan 7
=T p  F
Aturan 10
=T p
Aturan 11
GP DALIYO
GP DALIYO
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Soal
Kerjakan tanpa menggunakan tabel kebenaran
1. p  (p  (p  q))  q =T p  q
2. (p  q)  (p  q)
=T (p  q)  (p  q)
3. p  q
=T (p  q)  (p  q)
4. (p  q)
=T p  q
5. (p  q)  r
=T (p  r)  q
GP DALIYO
Logika Proposisional
GP DALIYO
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Himpunan pengandeng lengkap
Himpunan lengkap daripada penggandeng
Definisi
(a). Jika suatu himpunan daripada operator-operator da
pat digunakan untuk mendefinisikan semua fungsi ke
benaran (formula proposisional) yang mungkin, maka
ia dikatakan Himpunan Operator lengkap (pada bebera
pa buku dikatakan cukup/adequate)
(b). Metasimbol =df , dibaca “didefinisikan sebagai” misal
GP DALIYO
nya P =df Q berarti bahwa pernyataan P didefinisikan
sebagai pernyataan Q. Perhatikan perbedaannya dng
=T . Untuk P =T Q berarti dua formula proposisional P
dan Q mempunyai tabel kebenaran yang sama/identik.
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Himpunan penggandeng  dan  yaitu { , } dapat di
gunakan untuk mendefinisikan semua operator diadika
seperti dilihat dibawah ini :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
pq =df pq;
GP DALIYO
pq =df (pq);
pq =df (pq);
p/q =df pp; (Buku Arindama Singh menggunakan )
pq =df (pq);
pq =df (pq)(pq) =df ((p  q))  ((pq))
pq =df (pq)
=df [(p  q)  (p  q)]
Perhatikan di ruas kiri semua operator diadika sedang
diruas kanan hanya muncul operator  dan 
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Teorema :
Himpunan {  ,  } adalah suatau Himpunan Lengkap dp Penggandeng Logis ( Himpunan Operator
Lengkap (HOL) )
Bukti :
Berdasarkan teorema diatas ( yaitu sebarang fung
si kebenaran f(p1 ,p2 , . . pn) daripada n variabel pro
posisional p1 ,p2 , . . pn dapat diekspresikandalam
fungsi kebenaran monadika dan diadika ) dan dari
pembicaraan diatas maka teorema terbukti.
GP DALIYO
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Himpunan Operator Lengkap lainnya :
1)
2)
3)
4)
{,}
{,}
{,}
{ , Disjungsi terkondisi} ; Disjungsi terkon
disi yaitu : If … Then … Else … yaitu [p,q,r]
Kebenarannya dapat ditunjukan ????
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Fungsi Sheffer
Perhatikan simbol / atau ↑ yang merupakan simbol
Incompatibilitas atau NAND serta simbol ↓ yang me
rupakan simbol Joint Denial atau NOR.
Dengan menggunakan inkompatibilitas maka da
pat didefinisikan  sebagai berikut :
p =df p↑p
Juga
p  p =df (p)↑(p)
p  p =df (p↑p)↑(p↑p)
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Fungsi Sheffer
Dari :
dan
p =df p↑p
p  p =df (p)↑(p)
p  p =df (p↑p)↑(p↑p)
karena kita dapat didefinisikan  dan  dalam sim
bol ↑ maka didapat bahwa simbol ↑ adalah komplit
sendirian. Hal tersebut disebut fungsi Sheffer.
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Fungsi Sheffer-Pseudo
Bentuk lain adalah :
Jika dibenarkan menggunakan tetapan logis T dan
F maka kita dapat mendifinisikan :
p =df T → P dan p  q =df (p  q)
ini berarti bahwa → merupakan fungsi Sheffer-Pse
udo
Yang lain adalah Disjungsi terkondisi :
p =df [F,p,T] dan p  q =df [T,p,q]
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Bentuk Normal
Agar dapat membandingkan formula, maka sangat diper
lukan adanya bentuk baku dimana formula-formula dapat
diekspresikan .
Bentuk Normal Disjungtif (BND) dan
Bentuk Normal Disjungtif Penuh (BNDP)
Untuk sebarang formula dalam n variabel proposisional
p1 ,p2 , . . pn yg bukan absorditi ( yaitu bahwa ia mempu
nyai suatu model) terdapatlah suatu formula yang ekuiva
len logis daripada bentuk : U  W  V . . . . (suatu disjung
si daripada sejumlah suku) dimana disjungan U, V, W, . . .
masing-masing mempunyai bentuk : P1  P2  . . .  Pn
(suatu konjungsi daripada tepat n suku) dimana Pi adalah
salah satu pi atau pi (negasi dp variabel ke i)
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Bentuk Normal Disjungtif Penuh (BNDP).
Perhatikan bahwa formula : U  V  W  . . . Tidak di
tentukan berapa banyak suku, tetapi dalam formula :
P1  P2  . . .  Pn , banyaknya suku tepat n buah ;
Formula berbentuk tsb disebut dengan :
Bentuk Normal Disjungtif Penuh (BNDP).
Jika P1  P2 . . .  Pn ada yang kurang dari n suku
ataupun lebih maka dinamakan :
Bentuk Normal Disjungtif (BND).
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Untuk menuliskan suatu formula dalam bentuk BDNP,ambil
setiap entri T dalam tabel kebenarannya, ekspresikan entri
tsb sbg suatu konjungsi dp semua variabel-2 (T) atau nega
si mereka (F) , dan kemudian disjoinkan mereka
Contoh : ((p  q)  ((p)  (r)))
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p q r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p   q  r
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
BNDP – nya adalah :
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p q r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p   q  r
( p  q  r)  ( p  q  r)
 (p  q  r)  (p  q  r)
 (p  q  r)  (p   q  r)
Perhatikan bhw cacah disjungan dlm suatu BNDP
adl smdng cacah T pada entri di tabel kebenaran
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
BNDP :
( p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q  r)
 (p  q  r)  (p  q  r)  (p   q  r)
Perhatikan bahwa cacah disjungan dalam suatu BNDP adl
smdng cacah T pada entri di tabel kebenaran. Setiap konju
ngsi daripada variabel-2 atau negasi mereka mempunyai ni
lai kebenaran T hanya pada satu satu titik pada tabel kebe
naran, sehingga ekpresi p  q  r ,sebagai contoh memp
unyai nilai T hanya pada baris dimana p, q, dan r masing-2
bernilai T, F, dan F. Bilamana kita kombinasikan beberapa
daripada mereka
dengan didisjungsikan maka formula yang diperoleh akan T
disetiap titik-2 seperti dimaksud diatas dalam tabel kebena
ran , tetapi akan tetap F diluar titik-2 tersebut
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p
q r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p   q  r
Ambil p  q  r , maka untuk p=T, q=T, r=F (brs 2) nilai ke
benaran F ; untuk brs/titik ke 3, nilai kebenarannya F; dst,
tetapi untuk baris 1 nilainya T, jadi p  q  r bernilai T
hanya di satu titik/baris yaitu brs ke 1 saja. Contoh lainnya
adalah ambil p  q  r , maka untuk p=T, q=T, dan r=T ,
nilainya F dan lainnya kecuali di baris ke 6 (tunjukan!!).
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
BNDP – nya adalah :
(p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)
 (p  q  r)  (p   q  r)
=(p  q  r)  ( p  q  r)  ((p  q)  r)  ((p  q)  r)
 ((p  q)  r)  ((p   q) r)
=(p  q  r)  ( p  q  r)  ((p  q) (r  r)
 ((p  q)  (r  r)
=(p  q  r)  ( p  q  r)  ((p  q)  T)
 ((p  q)  T)
=(p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q)  (p  q)
=(p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q)  (p  q)
=(p  q  r)  ( p  q  r)  (p  ( q  q))
=(p  q  r)  ( p  q  r)  (p  T)
=(p  q  r)  ( p  q  r)  p
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
BNDP :
(p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)
 (p  q  r)  (p   q  r)
disederhanakan menjadi BND :
(p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)
 (p  q  r)  (p   q  r)
= (p  q  r)  ( p  q  r)  p
perhatikan bahwa suku terakir hanya memuat 1 (satu)
literal yaitu p sedang yang pertama dan keduanya
memuat 3 (tiga) literal. Sehingga disebut sebagai bentuk normal disjungsi (tidak penuh/full)
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
BNK/BNKP
Bentuk normal yang lain adalah :
Bentuk Normal Kunjungtif (BNK) dan
Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP)
Dengan konsep yang similar dengan BND/BNDP maka di
dapat konsep sebagai berikut :
Untuk sebarang formula dalam n variabel proposisional
p1 ,p2 , . . pn yg bukan tautologi ( yaitu setiap interpretasi
nya merupakan suatu model) terdapatlah suatu formula
yang ekuivalen logis daripada bentuk : U  W  V . . . .
(suatu disjungsi dp sejumlah suku) dimana disjungan U,
V, W, . . Yg masing-masing mempunyai bentuk : P1  P2 
. . .  Pn , (suatu konjungsi daripada tepat n suku) dimana
Pi adalah salah satu pi atau pi (negasi dp variabel ke i)
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Bentuk Normal Kusjungtif Penuh (BNKP).
Perhatikan bahwa formula : U  V  W  . . . tidak di
tentukan berapa banyak suku, tetapi dalam formula :
P1  P2  . . .  Pn , banyaknya suku tepat n buah ;
Formula berbentuk tsb disebut dengan :
Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP).
Jika P1  P2 . . .  Pn ada yang kurang dari n suku
ataupun lebih maka dinamakan :
Bentuk Normal Kusjungtif (BNK).
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Untuk menuliskan suatu formula dalam bentuk BKNP,ambil
setiap entri F dalam tabel kebenarannya, ekspresikan entri
tsb sbg suatu disjungsi dp semua variabel-2 (jika F) atau
negasi mereka (jika T) , dn kemudian konjungsikan mereka
Contoh : ((p  q)  ((p)  (r)))
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p q r
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
BNKP – nya adalah :
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p q r
(p  q  r)  (p  q  r)
Perhatikan bahwa cacah konjungan dalam suatu
BNKP adl samadengan cacah F pada entri di tabel
kebenaran
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p  q  r
p  q  r
-
Perhatikan bahwa satu suku untuk setiap entri F pada tabel kebenaran
dan masing-2 disajikan dengan disjungsi daripada negasi daripada ni
lai variabel (kalau nilainya T maka dinegasikan jika F tidak dinegasikan)
untuk entri tersebut. Setiap suku seperti mis. p  q  r sekarang
bernilai T disemua baris kecuali disatu baris tertentu yaitu baris dimana
p = T, q = T, dan r = F , (cek : p = T, q = T, r = T (brs ke 1) maka ia bernilai
T, yang lainnya silahkan dicoba!!!)