[Manipulasi Formula Proposisional] BNDP

Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Bentuk daripada suatu formula proposisional perlu di
manipulasi sehingga bentuk menjadi lebih sederhana,
tetapi mempunyai tabel kebenaran yang tetap sama,
sehingga tetap ekuivalen dengan formula aslinya.
Bentuk sederhana dimaksud adalah bentuk jumlahan
hasilkali minimal, yaitu bentuk jumlahan hasilkali dan
tak ada bentuk yang lebih sederhana daripada ia.
Sederhana artinya cacah literalnya serta cacah yang
dijumlahkan paling sedikit.
(lihat buku “Essential Computer Mathematics”, Schaum’s out
line Series, Seymour Lipschutz, Ph.D. hal 194)
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Identitas Baku (Standard Identities)
Andaikan p, q, r suatu proposisi, maka
konsekuen si-konsekuensi dan ekuivalensiekuivalensi di bawah ini benar :
1. Hukum Tetapan :
pT T p , pF T F , pT T T, pF T p ,
2. Hukum excluded middle :
p  ¬p TT
3. Hukum Kontradiksi :
p ¬p T F
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Identitas Baku(Standard Identrities
4. Hukum negasi ganda :
¬¬ p T p
5. Hukum Idempotensi :
p  p T p , p  p T p
6. Hukum Komutatif :
pq T qp , pq T qp
7. Hukum Asosiatif :
p(qr) T (pq)r , p(qr) T (pq)r
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Identitas Baku (Standard Identities
8. Hukum Distributif :
p(qr) T (pq)(pr)
p(qr) T (pq)(pr)
9. Hukum De Morgan :
¬(pq) T (¬p¬q)
¬(pq) T (¬p¬q)
10. Hukum Implikasi
p→q T ¬pq
GP DALIYO
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Identitas Baku (Standard Identities)
11. Hukum De Morgan :
¬(pq) T (¬p¬q)
¬(pq) T (¬p¬q)
12.Hukum Implikasi
p→q T ¬pq
13. Hukum Kontraposisi/Kontrapositif :
p→q T ¬q→¬p
GP DALIYO
14. Hukum Bikondisional :
p↔q T (p→q)(q→p)
Logika Proposisional
Contoh
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Contoh
Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukan bahwa :
p  ((r  s)  (r  s))  (p  q) =T p  q  r
Jawab :
p  ((r  s)  (r  s))  (p  q)
=T ((r  s)  (r  s))  p  (p  q) Aturan 6
=T (r  (s  s))  p  (p  q)
Aturan 8
=T (r  T)  p  (p  q)
Aturan 13
=T r  p  (p  q)
Aturan 12
=T r  ((p  p)  (p  q))
Aturan 8
GP DALIYO
=T r  (F  (p  q)
Aturan 14
=T r  (p  q)
Aturan 11
=T p  q  r
Aturan 6
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Contoh
Contoh
Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukan bahwa :
p  (p  q) =T p
Jawab :
p  (p  q)
=T (p  F)  (p  q)
Aturan 11
=T p  (F  q)
Aturan 7
=T p  F
Aturan 10
=T p
Aturan 11
GP DALIYO
GP DALIYO
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Soal
Kerjakan tanpa menggunakan tabel kebenaran
1. p  (p  (p  q))  q =T p  q
2. (p  q)  (p  q)
=T (p  q)  (p  q)
3. p  q
=T (p  q)  (p  q)
4. (p  q)
=T p  q
5. (p  q)  r
=T (p  r)  q
GP DALIYO
Logika Proposisional
GP DALIYO
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Himpunan pengandeng lengkap
Himpunan lengkap daripada penggandeng
Definisi
(a). Jika suatu himpunan daripada operator-operator da
pat digunakan untuk mendefinisikan semua fungsi ke
benaran (formula proposisional) yang mungkin, maka
ia dikatakan Himpunan Operator lengkap (pada bebera
pa buku dikatakan cukup/adequate)
(b). Metasimbol =df , dibaca “didefinisikan sebagai” misal
GP DALIYO
nya P =df Q berarti bahwa pernyataan P didefinisikan
sebagai pernyataan Q. Perhatikan perbedaannya dng
=T . Untuk P =T Q berarti dua formula proposisional P
dan Q mempunyai tabel kebenaran yang sama/identik.
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Himpunan penggandeng  dan  yaitu { , } dapat di
gunakan untuk mendefinisikan semua operator diadika
seperti dilihat dibawah ini :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
pq
pq
pq
p/q
pq
pq
pq
=df pq;
GP DALIYO
=df (pq);
=df (pq);
=df pp; (Buku Arindama Singh menggunakan )
=df (pq);
=df (pq)(pq) =df((p  q))  ((pq))
=df (pq)
=df[(p  q)  (p  q)]
Perhatikan di ruas kiri semua operator diadika sedang
diruas kanan hanya muncul operator  dan 
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Teorema :
Himpunan {  ,  } adalah suatau Himpunan Lengkap dp Penggandeng Logis ( Himpunan Operator
Lengkap (HOL) )
Bukti :
Berdasarkan teorema diatas ( yaitu sebarang fung
si kebenaran f(p1 ,p2 , . . pn) daripada n variabel pro
posisional p1 ,p2 , . . pn dapat diekspresikandalam
fungsi kebenaran monadika dan diadika ) dan dari
pembicaraan diatas maka teorema terbukti.
GP DALIYO
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Himpunan Operator Lengkap lainnya :
1)
2)
3)
4)
{,}
{,}
{,}
{ , Disjungsi terkondisi} ; Disjungsi terkon
disi yaitu : If … Then … Else … yaitu [p,q,r]
Kebenarannya dapat ditunjukan ????
GP DALIYO
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Fungsi Sheffer
Perhatikan simbol ↑ yang merupakan simbol
Incompatibilitas atau NAND serta simbol ↓ yang me
rupakan simbol Joint Denial atau NOR.
Dengan menggunakan inkompatibilitas maka da
pat didefinisikan  sebagai berikut :
p =df p↑p
Juga
p  p =df (p)↑(p)
p  p =df (p↑p)↑(p↑p)
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Fungsi Sheffer
Dari :
dan
p =df p↑p
p  p =df (p)↑(p)
p  p =df (p↑p)↑(p↑p)
karena kita dapat didefinisikan  dan  dalam sim
bol ↑ maka didapat bahwa simbol ↑ adalah komplit
sendirian. Hal tersebut disebut fungsi Sheffer.
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Fungsi Sheffer-Pseudo
Bentuk lain adalah :
Jika dibenarkan menggunakan tetapan logis T dan
F maka kita dapat mendifinisikan :
p =df T → p dan p  q =df (p  q)
ini berarti bahwa → merupakan fungsi Sheffer-Pse
udo
Yang lain adalah Disjungsi terkondisi :
p =df [F,p,T] dan p  q =df [T,p,q]
Logika Proposisional
GP DALIYO
[Manipulasi Formula Proposisional]
Bentuk Normal
Agar dapat membandingkan formula, maka sangat diperlukan
adanya bentuk baku dimana formula-formula dapat diekspresi
kan .
Bentuk Normal Disjungtif (BND) dan
Bentuk Normal Disjungtif Penuh (BNDP)
Untuk sebarang formula dalam n variabel proposisional p1, p2, .
. . pn yg bukan absorditi (yaitu bhw ia mempunyai suatu model)
terdapatlah suatu formula yang ekuivalen logis daripada bentuk :
U  W  V . . . . (suatu disjungsi daripada sejumlah suku) dima
na disjungan U, V, W, . . . masing-masing mempunyai bentuk :
P1  P2  . . .  Pn (suatu konjungsi daripada tepat n suku) dima
na Pi adl salah satu pi atau pi (negasi dp variabel ke i)
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Bentuk Normal Disjungtif Penuh (BNDP).
Perhatikan bahwa formula : U  V  W  . . . Tidak di
tentukan berapa banyak suku, tetapi dalam formula :
P1  P2  . . .  Pn , banyaknya suku tepat n buah ;
Formula berbentuk tsb disebut dengan :
Bentuk Normal Disjungtif Penuh (BNDP).
Jika
P1  P2 . . .  Pn ada yang kurang dari n suku
ataupun lebih maka dinamakan :
Bentuk Normal Disjungtif (BND).
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Untuk menuliskan suatu formula dalam bentuk BDNP,ambil
setiap entri T dalam tabel kebenarannya, ekspresikan entri
tsb sbg suatu konjungsi dp semua variabel-2 (T) atau nega
si mereka (F) , dan kemudian disjoinkan mereka
Contoh : ((p  q)  ((p)  (r)))
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p q r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p   q  r
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
BNDP – nya adalah :
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p q r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p   q  r
( p  q  r)  ( p  q  r)
 (p  q  r)  (p  q  r)
 (p  q  r)  (p   q  r)
Perhatikan bhw cacah disjungan dlm suatu BNDP
adl smdng cacah T pada entri di tabel kebenaran
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
BNDP :
( p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q  r)
 (p  q  r)  (p  q  r)  (p   q  r)
Perhatikan bhw cacah disjungan dalam suatu BNDP adl sm dgn
cacah T pada entri di tabel kebenaran. Setiap konjungsi dr pd variabel-2 atau
negasi mereka mempunyai nilai kebenaran T hanya
pada satu satu titik pada tabel kebenaran, sehingga ekpresi
p  q  r ,sebagai contoh mempunyai nilai T hanya pada baris
dimana p, q, dan r masing-2 bernilai T, F, dan F. Bilamana kita
kombinasikan beberapa dr pd mereka dgn di disjungsi kan maka
formula yang diperoleh akan T disetiap titik-2 seperti dimaksud
diatas dalam tabel kebenaran , tetapi akan tetap F diluar titik-2 tsb
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p
q r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p   q  r
Ambil p  q  r , maka untuk p=T, q=T, r=F (brs 2) nilai kebe
naran F ; untuk brs/titik ke 3, nilai kebenarannya F; dst, tetapi
untuk baris 1 nilainya T, jadi p  q  r bernilai T hanya di sa
tu titik/baris yaitu brs ke 1 saja. Contoh lainnya adl ambil
p  q  r , maka untuk p=T, q=T, dan r=T , nilainya F dan
lainnya kecuali di baris ke 6 (tunjukan!!).
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
BNDP – nya adalah :
(p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)
 (p  q  r)  (p   q  r)
= (p  q  r)  ( p  q  r)  ((p  q)  r)  ((p  q)  r)
 ((p  q)  r)  ((p   q) r)
= (p  q  r)  ( p  q  r)  ((p  q) (r  r)
 ((p  q)  (r  r)
= (p  q  r)  ( p  q  r)  ((p  q)  T)
 ((p  q)  T)
= (p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q)  (p  q)
= (p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q)  (p  q)
= (p  q  r)  ( p  q  r)  (p  ( q  q))
= (p  q  r)  ( p  q  r)  (p  T)
= (p  q  r)  ( p  q  r)  p
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
BNDP :
(p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)
 (p  q  r)  (p   q  r)
disederhanakan menjadi BND :
(p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)
 (p  q  r)  (p   q  r)
= (p  q  r)  ( p  q  r)  p
perhatikan bahwa suku terakir hanya memuat 1 (satu) lite
ral yaitu p sedang yang pertama dan keduanya memuat 3
(tiga) literal. Sehingga disebut sebagai bentuk normal disjung
si (tidak penuh/full)
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
BNK/BNKP
Bentuk normal yang lain adalah :
Bentuk Normal Kunjungtif (BNK) dan
Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP)
Dengan konsep yang similar dengan BND/BNDP maka di
dapat konsep sebagai berikut :
Untuk sebarang formula dalam n variabel proposisional
p1 ,p2 , . . pn yg bukan tautologi ( yaitu setiap interpretasi
nya merupakan suatu model) terdapatlah suatu formula
yang ekuivalen logis daripada bentuk : U  W  V . . . .
(suatu disjungsi dp sejumlah suku) dimana disjungan U,
V, W, . . Yg masing-masing mempunyai bentuk : P1  P2 
. . .  Pn , (suatu konjungsi daripada tepat n suku) dimana
Pi adalah salah satu pi atau pi (negasi dp variabel ke i)
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Bentuk Normal Kusjungtif Penuh (BNKP).
Perhatikan bahwa formula : U  V  W  . . . tidak di
tentukan berapa banyak suku, tetapi dalam formula :
P1  P2  . . .  Pn , banyaknya suku tepat n buah ;
Formula berbentuk tsb disebut dengan :
Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP).
Jika
ada yang kurang dari n suku
ataupun lebih maka dinamakan :
Bentuk Normal Kunjungtif (BNK).
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Untuk menuliskan suatu formula dalam bentuk BKNP,ambil
setiap entri F dalam tabel kebenarannya, ekspresikan entri
tsb sbg suatu disjungsi dp semua variabel-2 (jika F) atau
negasi mereka (jika T) , dn kemudian konjungsikan mereka
Contoh : ((p  q)  ((p)  (r)))
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p q r
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
BNKP – nya adalah :
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p  q  r
p q r
(p  q  r)  (p  q  r)
Perhatikan bahwa cacah konjungan dalam suatu
BNKP adl samadengan cacah F pada entri di tabel
kebenaran
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
p
q
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
((p  q)  ((p)  (r)))
T
F
F
T
T
T
T
T
Konjungan
p  q  r
p  q  r
-
Perhatikan bahwa satu suku untuk setiap entri F pada tabel kebenaran
dan masing-2 disajikan dengan disjungsi daripada negasi daripada ni
lai variabel (kalau nilainya T maka dinegasikan jika F tidak dinegasikan)
untuk entri tersebut. Setiap suku seperti mis. p  q  r sekarang
bernilai T disemua baris kecuali disatu baris tertentu yaitu baris dimana
p = T, q = T, dan r = F , (cek : p = T, q = T, r = T (brs ke 1) maka ia bernilai
T, yang lainnya silahkan dicoba!!!)
Logika Proposisional
[Manipulasi Formula Proposisional]
Sekali lagi kita gunakan BNK (Bentuk Normal
Konjungtif) sebagai lawan/pasangan daripada
BNKP (Bentuk Normal Kongjungsi Penuh) untuk
menggambarkan formula dimana tidak semua va
riabel diperlukan untuk muncul dalam setiap kon
jungan