Nama Penulis (JudulMakalah) Seminar Nasional Matematika dan

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Universitas Diponegoro 2015
UJI SUFFICIENT FOLLOW-UP
UNTUK ANALISIS CURE RATE PENDERITA KANKER PAYUDARA
Nurkaromah Dwidayati
Jurusan Matematika FMIPA UNNES
e-mail: [email protected]
Abstract. Cure rate atau surviving fraction merupakan probabilitas untuk sembuh (cure), didefinisikan
sebagai nilai asimtotik dari fungsi survival untuk waktu menuju tak hingga. Model survival yang
dikembangkan untuk estimasi proporsi pasien yang sembuh dalam studi klinik dikenal dengan cure
models. Model ini selain digunakan untuk mengestimasi proporsi pasien yang sembuh juga digunakan
untuk mengestimasi probabilitas survival pasien yang tak sembuh (uncure) sampai pada batas waktu yang
diberikan. Oleh karena itu model ini dinamakan model mixture. Sufficient follow-up merupakan problem
yang secara alami akan menyertai dalam analisis cure rate. Inferensi statistik nonparametrik yang
dikembangkan didasarkan pada model mixture biner. Statistik uji yang dikembangkan membantu praktisi
menentukan apakah periode observasi cukup panjang atau tidak, untuk mendeteksi cured (immune)
individual dalam studi populasi. Uji ini tak dapat diselesaikan berdasar estimasi probabilitas cure dengan
estimator Kaplan- Meier pada titik observasi terakhir. Sedangkan uji yang dikembangkan Maller & Zhou
tidak memberikan solusi yang memuaskan, karena solusi yang diberikan tidak stabil dan mempunyai
kecenderungan monoton jika durasi follow-up naik. Pada kajian ini dikemukakan alternatif sufficient
follow-up yang memberikan batas bawah ekspektasi proporsi subyek memperoleh kekebalan (immune)
dalam ruang yang luas pada cure models.
Kata Kunci: cure rate, cure models, model mixture, sufficient follow-up
1. Pendahuluan
Untuk estimasi proporsi pasien
yang sembuh (cure) dan probabilitas
survival pasien yang tak sembuh (uncure)
dalam studi klinik dikembangkan model
mixture
berdasar
distribusi
life
time
penderita kanker payudara (PKPD). Pada
penelitian sebelumnya (Dwidayati, 2009)
telah
dikembangkan
model
diketahui
missing
data.
dalam
Parameter
model
tak
diestimasi
menggunakan algoritma EM (Expectation
Maximization Algorithm), yang meliputi 2
langkah yaitu: E-step dan M-step. Pada
EM,
E-step
menghitung
ekspekstasi fungsi log likelihood untuk
estimasi fungsi densitas, fungsi survival
dan proporsi pasien yang tak sembuh,
sedangkan M-step memuat maksimasi
fungsi likelihood terkait dengan estimasi
fungsi
densitas,
fungsi
survival
dan
proporsi pasien yang tak sembuh.
mixture
Weibull untuk analisis cure rate PKPD
dengan
algoritma
Penyelesaian
persamaan
yang
diperoleh dari turunan pertama pada
ekspektasi fungsi log-likelihood dalam
bentuk
not
close
form.
Untuk
menyelesaikan persamaan ini diperlukan
iterasi yang tidak dapat dikerjakan secara
manual,
diperlukan
software
untuk
Nama Penulis (JudulMakalah)
melakukan algoritma yang akurat. Pada
2.1. Analisis Survival Penderita Kanker
penelitian sebelumnya (Dwidayati, 2012),
Payudara
telah
dikembangkan
iterasi
Analisis survival adalah kumpulan
dengan
beberapa prosedur uji statistik untuk
algoritma EM berbantuan software Matlab.
menganalisis data dengan variabel outcome
Program komputer yang dikembangkan
nya adalah waktu sampai suatu kejadian
digunakan untuk menemtukan estimator
muncul (Murti, 1995). Dalam hal ini yang
parameter dalam model mixture Weibull.
dimaksud dengan kejadian (event) adalah
Newton
Raphson
Sufficient
program
terintegrasi
follow-up
merupakan
meninggal, sakit, sembuh, kembali bekerja,
problem yang secara alami akan menyertai
kembali mengulang pekerjaan yang sama
dalam analisis cure rate. Inferensi statistik
atau kejadian apapun
nonparametrik
muncul dalam diri seseorang.
yang
dikembangkan
didasarkan pada model mixture biner.
Dalam analisis survival variabel
Statistik uji yang dikembangkan membantu
waktu,
praktisi
(survival
menentukan
apakah
periode
yang mungkin
dapat
berarti
time),
waktu
karena
survival
variabel
ini
observasi cukup panjang atau tidak, untuk
menunjukkan waktu dari seseorang untuk
mendeteksi cured (immune) individual
bertahan dalam periode waktu tertentu
dalam studi populasi. Uji ini tak dapat
(Kleinbaum,
diselesaikan berdasar estimasi probabilitas
individu sering dapat diketahui tetapi
cure dengan estimator Kaplan-Meier pada
waktu survival secara umum tidak dapat
titik
yang
diketahui secara pasti. Hal ini dikenal
dikembangkan Maller & Zhou tidak
dengan sebutan sensor, yaitu bila studi
memberikan
memuaskan,
berakhir tetapi tidak tidak muncul kejadian
karena solusi yang diberikan tidak stabil
yang diinginkan, subjek yang diteliti
dan mempunyai kecenderungan monoton
mengundurkan diri dari penelitian, atau
jika durasi follow-up naik. Oleh karena itu,
subjek hilang dari pengamatan.
observasi
terakhir.
solusi
yang
Uji
perlu dicari alternatif sufficient follow-up
1996).
Distribusi
Waktu
waktu
survival
survival
yang memberikan batas bawah ekspektasi
digambarkan atau dicirikan dengan 3 (tiga)
proporsi subyek memperoleh kekebalan
fungsi (Lee, 1980), yaitu: probability
(immune) dalam ruang yang luas pada cure
density function, survivorship function, dan
models.
hazard function. Ketiga fungsi ini secara
matematis
2. Pembahasan
ekuivalen, jika salah satu
diketahui maka dua yang lain dapat dicari.
Secara praktis, ketiga fungsi survival
Nama Penulis (JudulMakalah)
tersebut
dapat
menggambarkan
digunakan
untuk
dimulai dari awal pengobatan penyakit
aspek-aspek
yang
kanker payudara (dapat dilihat dari rekam
berbeda dari data.
Tolok
medik yaitu saat kunjungan pertama)
ukur
keberhasilan
sampai dengan kunjungan terakhir ke
penyembuhan kanker lazim digambarkan
rumah sakit. Status penderita dinyatakan
dengan angka ketahanan hidup (year
dengan 1 untuk cure dan 0 untuk uncured.
survival rate) (Pratt, 1994). Pada setiap
kasus, ketahanan hidup lebih tinggi pada
Dalam
ilmu
kedokteran,
cure
diartikan jika pasien memberikan respons
kanker yang masih terlokalisir, bila terjadi
penyebaran, ketahanan
rendah.
Penentuan
hidup menjadi
ketahanan
hidup
tergantung pada tingkat keganasan serta
probabilitas
kematian
pada
positip (membaik) terhadap treatmen yang
diberikan,
dan
sebaliknya
dikatakan
uncured. Jadi jika pasien memburuk
penyakit
kanker tersebut. Ketahanan hidup pada
penyakit kanker dengan keganasan tinggi,
seperti kanker hati dan paru-paru adalah
kesehatannya atau bahkan meninggal, atau
hillang dari pengamatan (mising) dikatakan
uncured. Hilang dari pengamatan yaitu
one year survival dan three year survival,
sedangkan untuk kanker payudara five year
tidak diketahui status kehidupannya pada
akhir pengamatan.
survival.
Ketahanan hidup penderita kanker
Data
yang
digunakan
dalam
payudara dimulai dari awal pengobatan
penyakit
kanker
payudara
sampai
pengamatan 5 tahun. Setelah 5 tahun
dilakukan
penilaian
terhadap
status
penelitian ini adalah data sekunder (rekam
medik). Sesuai dengan sifat data sekunder
mempunyai keterbatasan yaitu tidak semua
kehidupan penderita. Penderita dikatakan
meninggal apabila telah disahkan oleh
pihak rumah sakit. Bila informasi dari
rekam medik tidak ada, maka kematian
hal yang berhubungan dengan ketahanan
hidup 5 tahun penderita kanker payudara
dapat diperoleh. Salah satu keterbatasan
dinilai dari pernyataan keluarga terdekat
yang telah dihubungi. Penderita dikatakan
hidup bila pada akhir pengamatan 5 tahun
terdapat informasi mengenai statusnya.
yang muncul yaitu penelusuran status
kehidupan
penderita
akibat
tidak
lengkapnya alamat penderita atau telah
Waktu tahan hidup dinyatakan
dalam satuan bulan. Waku tahan hidup
pindah alamat yang tidak jelas, atau ketika
Nama Penulis (JudulMakalah)
datang
berobat
menggunakan
alamat
saudara/ tempat menginap yang tersedia
yang tak sembuh sampai pada batas waktu
yang diberikan. Oleh karena itu, model ini
dinamakan model mixture.
dekat ruang Tulip di sekitar RSUP Dr.
Sardjito-Yogyakarta.
penderita
tidak
Status
diketahui
kehidupan
juga
dapat
Model tersebut dikembangkan oleh
Boag
(1949)
proporsi
dengan
pasien
mengestimasi
yang
sembuh
pada
treatment penderita kanker mulut dan
disebabkan karena penderita tidak datang
lagi berobat karena bosan atau penyebab
lain padahal pada kunjungan terakhir
kerongkongan,
leher,
kandungan
dan
payudara. Model ini dinamakan model
mixture
karena
dapat
mengestimasi
proporsi pasien yang sembuh dan fungsi
masih belum sembuh.
survival pasien tak sembuh.
Penyebab yang lain dari tidak
diketahuinya status kehidupan penderita
Model mixture dikatakan model
cure mixture parametrik jika menggunakan
distribusi
adalah tidak tersedianya sarana komunikasi
(keluarga penderita tidak memiliki sarana
telepon yang bisa dihubungi), sementara
probabilitas
standar
seperti
distribusi eksponensial, Weibull, Gompertz
dan generalized F. Diskusi tentang model
mixture parametrik dapat dilihat pada Boag
(1949), Jones, et.al (1981), Farewell (1982,
terkendala komunikasi via pos karena
ketidakjelasan alamat penderita. Akibatnya
1986), Cantor dan Shuster (1992), Ghitany,
et al (1994) dan Zhang dan Liu (2006).
Problem yang terkait dengan model
terjadi missing data.
parametrik
adalah
kesulitan
dalam
memverifikasi distribusi yang digunakan
2.2. Cure Models
Cure
model
dalam model. Secara umum, distribusi
rate
survival
models
yang
merupakan
memuat
cured
yang digunakan adalah generalized gamma
(Yamaguchi,1992).
fraction dan uncured fraction. Model ini
dikembangkan untuk estimasi proporsi
pasien yang sembuh (cured) dalam studi
klinik. Model ini selain digunakan untuk
mengestimasi
sembuh
proporsi
juga
pasien
digunakan
yang
untuk
mengestimasi probabilitas survival pasien
Model mixture tanpa menggunakan
distribusi probabilitas standar dinamakan
model cure mixture nonparametrik. Model
mixture nonparametrik untuk estimasi cure
rate
diperkenalkan oleh Kuk dan Chen
(1992) dengan mengaplikasikan
asumsi
proportional hazard (PH) ke distribusi
Nama Penulis (JudulMakalah)
failure time pasien yang tak sembuh.
periode follow up dan tidak mungkin
Diskusi
menemukan
tentang
model
mixture
proporsi
data
terakhir
nonparametrik dapat dilihat pada Maller
tersensor yang dihasilkan dari subyek yang
dan Zhou (1992)
sembuh.
Peluang
untuk
sembuh,
yang
biasanya dikenal dengan cure rate atau
surviving fraction, didefinisikan sebagai
3. Analisis Cure rate Penderita Kanker
Payudara
nilai asimtotik dari fungsi survival untuk t
Data yang diperoleh dari rekam
(waktu) menuju tak hingga, ditulis lim S t 
t 
medik (tahun 2004 -2009) dan studi klinik
Misal
survival
penderita kanker payudara di RSUP Dr.
terobservasi,maka inferensi statistika pada
Sardjito – Yogyakarta, dengan mengambil
cure rate didasarkan pada sebarang fungsi
sampel
survival S (t )  P(T  t ) dapat dinyatakan
digambarkan dalam histogram berdasa
dalam bentuk:
umur, tahan hidup, stadium dan tindakan
tersebut,
60
40
0
20
BANYAK PENDERITA
20
15
0
30
40
50
60
70
0
20
40
60
80
100
40
30
20
10
BANYAK PENDERITA
TAHAN HIDUP
0
BANYAK PENDERITA
UMUR
0
Untuk mengestimasi parameter tak
dapat
sebagaimana tersaji pada Gambar 3.1.
Representase pada (1) dinamakan model
mixture biner,
100
PKPD
10
sembuh, dan S0 (t )  P(T  t | X  ) .
penanganan
5
dengan a  P(T  ) adalah peluang untuk
untuk
BANYAK PENDERITA
(1)
sebanyak
30
S (t )  a  (1  a ) S 0 (t )
PKPD
20
waktu
10
T menyatakan
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
STADIUM
3.5
4.0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
TINDAKAN
diketahui dalam model tersebut, Maller&
Zhou menggunakan metode nonparametrik
dan memperoleh estimator untuk 𝑎 adalah:
Gambar 5.1 Histogram PKPD di
RSUP Dr. Sardjito-Yogyakarta
Tahun 2004-2009
𝑎̂𝑛 = 𝑆̂𝑛 (𝑡𝑛 )
dengan 𝑆̂𝑛 (𝑡𝑛 ) estimator Kaplan Meier
Berdasar
data
tersebut
diperoleh
gambaran tentang umur PKPD yang
(KME).
Estimator tersebut akan konsisten
jika dan hanya jikaL
𝜏𝐺0 = 𝜏𝐶
Dengan 𝜏𝐺0 dan 𝜏𝐶 ekstrim kanan dari
𝐺0 (𝑡) = 1 − 𝑆0 (𝑡) dan 𝐶(𝑡)
Jika kondisi tersebut tidak benar
maka terjadi kegagalan setelah maksimum
berobat di RSUP Dr. Sardjito-Yogyakarta
periode tahun 2004-2009 sebagaima tersaji
pada Tabel 3.1.
Nama Penulis (JudulMakalah)
Tabel 3.1. Ukuran Statistik Umur PKPD
RSUP Dr. Sardjito-Yogyakarta
Tahun 2004-2009
Berdasar Tabel 3.2 di atas terlihat
bahwa rata-rata ketahanan hidup PKPD
yang berobat di RSUP Dr. Sardjito-
Ukuran Statistik
Mean
Standart Deviasi
Minimum
Maksimum
Yogyakarta
Value (tahun)
46,79
9,83
27
74
periode
tahun
2004-2009
adalah 9,21 bulan (kurang dari 1 tahun).
Hal ini dipicu oleh faktor umur dan
stadium PKPD pada saat berobat di RSUP
Faktor penting yang ikut menentukan
Dr. Sardjito- Yogyakarta periode tahun
insidens kanker payudara adalah umur.
2004-2009.
Berdasar data sampel, rata-rata umur
Untuk mengetahui gambaran tahan
PKPD yang berobat di RSUP Dr. Sardjito-
hidup PKPD berdasarkan umur dapat
Yogyakarta 46,79 tahun. Hal ini sesuai
dilihat pada Gambar 3.2.
kanker
Graf ik Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Berdasarkan Umur
100
di
80
insidens
bahwa
payudara
yang produktif ( 40-49 tahun) dengan
0
20
tertinggi ditemukan pada umur wanita
60
Indonesia,
sebelumnya
tahan hidup
kajian
40
hasil
30
modus umur 40 tahun ke atas (Ramli,
1995). Sebagai bahan perbandingan, rata-
40
50
60
70
umur
Gambar 3.2. Tahan Hidup Penderita
rata umur PKPD yang ditemukan di
Kanker Payudara
Jakarta adalah 46 tahun, sedangkan di
Berdasarkan Umur
Surabaya 47 tahun.
Ketahanan
hidup
PKPD
yang
berobat di RSUP Dr. Sardjito-Yogyakarta
periode tahun 2004-2009 dapat dilihat
Tabel 3.2. Waktu Tahan Hidup PKPD
RSUP Dr. Sardjito Yogyakarta
Tahun 2004-2009
Mean
Standart Deviasi
Minimum
Maksimum
bahwa semakin bertambah umur PKPD,
waktu tahan hidupnya semakin rendah.
Berikut ini (Gambar 3.3) diberikan
pada Tabel 3.2.
Waktu Tahan Hidup
Berdasarkan Gambar 5.2, terlihat
Value
(bulan)
9,21
15,63
0,03
48,5
plot distribusi probabilitas tahan hidup
PKPD yang berobat di RSUP Dr. Sardjito
– Yogyakarta tahun 2004-2009.
Nama Penulis (JudulMakalah)
Four-way Probability Plot for C1
setelah menjalani pengobatan selama 12
No censoring
Lognormal
99
95
95
90
90
80
80
70
60
50
40
30
70
60
50
40
30
Percent
Percent
Normal
99
20
20
10
10
5
5
1
1
-25
0
25
50
75
100
bulan.
0.05
0.10
0.50
Exponential
1
5
10
Berdasarkan
hasil
perhitungan
baseline survival dan baseline hazard
50
Weibull
99
95
90
99
75
98
95
Percent
Percent
(Lampiran 6), diperoleh survival rate
60
97
90
40
30
20
10
So 12  0,15410455 dan
80
5
70
60
50
3
2
30
10
1
0
25
50
75
100
0.01
0.05 0.10
0.50
1
5
10
50
ho 12  1,8298352
Gambar 3.3. Four-way Probability Plot
Tahan Hidup PKPD
Dengan demikian:
S 12  0,15410455exp 0,0064848*65,0,0719014*4  0, 2665868*4   0,47
= 0,4789
Berdasar Gambar 3.3, waktu tahan
hidup PKPD berobat di RSUP Dr. Sardjito
Jadi peluang PKPD tersebut untuk survive
Yogyakarta tahun 2004-2009 diasumsikan
setelah bulan ke-12 adalah 47,89%.
berdistribusi Weibull dengan parameter 
Hazard
dan  .
berikut.
rate
dapat
dihitung
sebagai
h12  1,8298.exp( 0,0065.65  0,0719. 4  0,2666. 4)
Hubungan antar variabel umur,
 0,720208
stadium, treatment dan life-time PKPD di
Yogyakarta
Dengan demikian peluang PKPD tersebut
dinyatakan dengan pemodelan regresi PH
mengalami kematian setelah bulan ke-12
Cox sebagai berikut.
adalah 72,02%.
RSUP
Dr.
Sardjito–

ht   h0 t exp 0,0065 x 1  0,0719 x2  0,2666 x3

4. Uji Sufficient follow-up
Sufficient
dengan x1 : variabel umur
x2 : variabel stadium
x3 : variabel treatment
h0 t  : baseline hazard
Berdasarkan model regresi PH Cox
follow-up
merupakan
problem yang secara alami akan menyertai
dalam analisis cure rate. Inferensi statistik
nonparametrik
yang
dikembangkan
didasarkan pada model mixture biner.
Statistik uji yang dikembangkan membantu
di atas dapat dirumuskan fungsi survival
praktisi
rate sebagai berikut.
observasi cukup panjang atau tidak, untuk
S t   So t 
exp 0, 0064848x1  0, 0719014x2  0, 2665868x3 
Contoh:
menentukan
apakah
periode
mendeteksi cured (immune) individual
dalam studi populasi. Uji ini tak dapat
Misalkan seseorang berumur 65 tahun,
diselesaikan berdasar estimasi probabilitas
menderita kanker payudara pada stadium
cure dengan estimator Kaplan-Meier pada
IV, diberi treatment kemoterapi (4). Akan
titik
dihitung survival rate dan hazard rate
dikembangkan Maller & Zhou tidak
observasi
memberikan
terakhir.
solusi
yang
Uji
yang
memuaskan,
Nama Penulis (JudulMakalah)
karena solusi yang diberikan tidak stabil
dan mempunyai kecenderungan monoton
jika durasi follow-up naik.
Untuk analisis follow up pada
analisis
cure
rate
penderita
[1] Boag, J.W. Maximum Likelihood
Estimates of the Proportion of
Patients Cured by Cancer Therapy.
Journal of the Royal Statistical
Society 11, 15-53. 1949.
kanker
payudara menggunakan fungsi hazard rate
[2]
Cantor, A.B. and Shuster, J.J. 1992.
Perametric Versus Noparametric
Methods for Cure Rates Based on
Censored Survival Data. Statistics in
Medicine. Vol. 11: 931-937
[3]
Dwidayati, N. 2009. Aplikasi Model
Mixture dengan Missing Data untuk
Analisis Laju Perawatan (Cure Rate)
Penderita
Kanker.
Laporan
Penelitian DP2M Dkti (Dosen Muda).
𝜆(𝑡) untuk 𝑟(𝑡) yaitu fungsi 𝜑(𝑢) = 𝑒 −𝑢
Parameter 𝑡0 dipilih pada interval
[0, 𝑇/2] . Parameter ini dioptimalkan
dengan memaksimumkan batas bawah dari
𝑎̂𝑛∗ = max {1 −
Memaksimumkan
1 − 𝑆̂𝑛 (𝑡)
1 − 𝜑 (𝑇𝑅̂𝑛 (𝑡0 ))
𝑎̂𝑛∗
, 0}
Tidak diterbitkan.
tidak mempengaruhi
argumen probabilistik yang digunakan
[3]
untuk mendapatkan batas bawah untuk
Δ(𝑡) karen batas ini didasarkan statistik
Tidak diterbitkan
Kolmogorov yaitu jarak antara 𝑆(𝑡)dan
𝑆𝑛 (𝑡). Pilihan data memungkinkan untuk
[4]
Farewell, V.T. 1982. The Use of
Mixture Models for Analysis of
Survival Data with Long-term
Survivors. Biometrics 38, 10411046.
[5]
Farewell, V.T. 1986. Mixture Models
in Survival Analysis. Are they Worth
the Risk ? The Canadian Journal of
Statistics 14, 257-262.
[6]
Ghitany, M.E., Maller, R.A., and
Zhou, S. 1994. Exponential Mixture
Models with Long-term Survivor and
Covariates. Journal of Multivariate
Analysis 49, 218-241.
[7]
Jones, D.R., Powles, R.L., Machin,
D., and Sylvester, R.J. 1981. On
Estimating the Proportion of Cured
Patients
in
Clinical
Studies.
Biometrie-Praximetrie 21, 1-11.
meningkatkan power dari uji suffocient
follow-up dan memberikan kotroltingkat
signifikansi.
5. Kesimpulan
Berdasarkan
kajian
Dwidayati, N. 2012. Estimasi
Parameter dalam Model Mixture
Weibull untuk Analisis Cure Rate
Penderita Kanker Payudara. Laporan
Penelitian DP2M Dkti (Dosen Muda).
telah
dikemukakan alternatif sufficient follow-up
yang memberikan batas bawah ekspektasi
proporsi subyek memperoleh kekebalan
(immune) dalam ruang yang luas pada cure
models. Hasil ini dapat membantu praktisi
dalam
menentukan
apakah
periode
observasi cukup panjang atau tidak, untuk
mendeteksi cured (immune) individual
dalam studi populasi
5. DaftarPustaka
Nama Penulis (JudulMakalah)
[8]
Kuk, A.Y and Chen, C. 1992. A
Mixture Model Combining Logistic
Regression
and
Life
Model.
Biometrika 79, 531-541.
[9]
Lee, E.T. 1980. Statistical Methods
for
Survival
Data
Analysis.
Department of Biostatistics and
Epidemiology School of Public
Health University of Oklahoma
Lifetime
Learning
Publication
Belmont. California
[10] Maller, R.A. and Zhou, S. 1992.
Estimating the Proportion of
Immunes in a Censored Sample.
Biometrika 79, 731-739.
[11] Pratt, W.B. et al. 1994. The Cancer
Problem. The Anti Cancer Drugs.
Second Edition. Oxford University
Press. New York
[12] Yamaguchi, K. 1992. Accelerated
Failure-Time Regression Models
with a Regression Models of
Surviving Fraction. An application to
analysis of Permanent Employment
in Japan. Journal of American
Statistical Association. 37, 284-292
[13]
Zhang, L.J. and Liu, C. 2006. A
Finite Mixture of Two Weibull
Distributionfor
Modeling
the
Diameter Distribution of Rotated
Sigmoit,
Uneven-Age
Stands.
Cannadian Journal for Research 31,
54-1659
Nama Penulis (JudulMakalah)
56