BAB III MATRIKS HERMITIAN Pada bab ini, akan

BAB III
MATRIKS HERMITIAN
Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian
dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks
Hermitian merupakan kelas dari matriks persegi khusus. Sebelum membahas
matriks Hermitian, ada konsep yang perlu diketahui, yaitu konjuget transpos.
Seperti yang telah dibahas pada bab sebelumnya, jika matriks
berukuran
dengan entri-entri bilangan kompleks, konjuget transpos
didefinisikan dengan
̅ adalah matriks berukuran
(
)
yang
dimana entri ke
nya adalah ̅̅̅̅.
Contoh 3.1 : Perhatikan matriks kompleks
(
Konjuget transpos
adalah
̅
3.1
)
(
)
Matriks Uniter
Definisi 3.1.1 (Anton & Rorres, 2005: 818). Suatu matriks persegi
entri-entri bilangan kompleks disebut uniter jika
.
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
dengan
25
Pernyataan dalam Definisi 3.1.1 ekuivalen dengan matriks
uniter jika
disebut matriks
. Berikut ini adalah contoh dari matriks uniter:
Contoh 3.1.2: Diberikan matriks
(
)
(
)
Maka
Akibatnya kita peroleh bahwa
(
)(
(
(
Sehingga matriks
)
)
)
adalah matriks uniter.
Teorema 3.1.3 (Anton & Rorres, 2005: 819). Jika
adalah matriks berukuran
dengan entri-entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen
(a)
adalah uniter
(b) vektor-vektor baris
membentuk sebuah himpunan ortonormal di
hasilkali dalam Euclidean
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
dengan
26
(c) vektor-vektor kolom
membentuk suatu himpunan ortonormal di
dengan
hasilkali dalam Euclidean.
Definisi 3.1.4 (Anton & Rorres, 2005: 820).
berukuran
.
matriks uniter
sedemikian sehingga
matriks
3.2
adalah matriks kompleks
dikatakan secara uniter dapat didiagonalisasi jika terdapat
adalah matriks diagonal;
dikatakan secara uniter mendiagonalisasi .
Matriks Hermitian
Kajian mengenai matriks Hermitian menjadi sangat penting karena matriks
Hermitian memiliki beberapa karakteristik. Salah satu karakteristik yang paling
utama dari matriks Hermitian yaitu memiliki nilai eigen berupa bilangan real
sehingga kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi dari matriks Hermitian.
Definisi 3.2.1 (Anton & Rorres, 2005: 821). Suatu matriks persegi
dengan entri-
entri bilangan kompleks disebut matriks Hermitian atau disebut juga self-adjoin
jika
.
Contoh: Matriks
(
)
(
)
adalah matriks Hermitian, sebab
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
27
Definisi 3.2.2 (Anton & Rorres, 2005: 821). Matriks persegi
dengan entri-entri
bilangan kompleks disebut normal jika
Setiap matriks Hermitian
setiap matriks uniter
adalah normal karena
adalah normal karena
Teorema 3.2.3 (Anton & Rorres, 2005: 822). Jika
dan
.
matriks persegi dengan entri-
entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen
(a)
secara uniter dapat didiagonalisasi.
(b)
memiliki sebuah himpunan ortonormal yang terdiri dari
(c)
adalah matriks normal.
vektor eigen.
Kita perlu memperhatikan bahwa suatu matriks normal
dapat
didiagonalisasi secara uniter dimana vektor-vektor kolomnya merupakan vektor
eigen dari
dan vektor-vektor eigen yang berbeda dalam ruang eigen
adalah
orthogonal.
Adapun prosedur untuk mendiagonalisasi sebuah matriks normal adalah
sebagai berikut:
Langkah 1. Tentukan basis dari setiap ruang eigen dari matriks .
Langkah 2. Gunakan proses Gram-Schmidt pada setiap basis dalam Langkah 1
untuk mendapatkan basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
28
Langkah 3. Bentuk matriks
yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis
yang diperoleh dari langkah 2. Matriks ini secara uniter mendiagonalisasi .
Contoh 3.2.4:
(
Matriks
)
adalah matriks Hermitian yang terdiagonalkan secara uniter. Perhatikan
bahwa polinomial karakteristik dari matriks
adalah
(
)
kemudian persamaan karakteristik dari matriks
adalah
dan diperoleh nilai-nilai eigen
. Kemudian akan dicari vektor
, dan
eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
Perhatikan bahwa untuk
dan
.
,
(
)(
)
( )
Dengan proses eleminasi Gauss-Jordan diperoleh
Misalkan
, maka diperoleh
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
29
Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
(
adalah
)
jadi, ruang eigen berdimensi 1 dengan basis
(
)
Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh
√
‖ ‖
( √
)
Dengan cara yang sama, dilakukan untuk nilai eigen
(
dan diperoleh basis
)
Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh
‖ ‖
√
( √
)
Kemudian bentuk matriks , diperoleh
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
30
√
√
( √
Sehingga matriks
√ )
yang diperoleh adalah matriks yang mendiagonalisasi
matriks .
3.3
Nilai Eigen pada Matriks Hermitian
Definisi 3.3.1 (Horn & Johnson, 1990: 35). Misalkan
vektor taknol
pada
disebut vektor eigen dari
. Maka sebuah
jika memenuhi persamaan
berikut
,
dimana
dan
adalah skalar real
atau kompleks . Skalar
disebut vektor eigen dari
disebut nilai eigen dari
yang bersesuaian dengan nilai eigen .
Perhatikan bahwa
ekuivalen dengan
.
Agar nilai
dapat menjadi nilai eigen, maka persamaan diatas harus memiliki
solusi yang taknol, yaitu
yang disebut sebagai persamaan
karakteristik matriks .
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
31
Teorema 3.3.2 (Horn & Johnson, 1990: 170). Misalkan
adalah matriks
Hermitian, maka
(a)
adalah bilangan real untuk setiap
(b) nilai eigen dari
,
adalah bilangan real
Bukti:
⟨
(a) Perhatikan bahwa
kemudian ̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
⟨
⟩
⟩
⟨
⟨
⟩
⟨
⟩.
̅̅̅̅̅̅̅, maka
⟩. Karena
adalah bilangan real.
(b) Misalkan nilai eigen dari
adalah
dan
dengan nilai eigen . Maka
⟨
Karena
3.4
⟩
⟨
adalah vektor eigen yang terkait
. Kemudian perhatikan bahwa
⟩
⟨
⟩
̅ , maka nilai eigen
⟨
⟩
⟨
⟩
̅⟨
⟩
adalah bilangan real.
Konsep Urutan pada Matriks Hermitian
Konsep urutan pada matriks Hermitian ini merupakan konsep yang paling
penting dalam mendefinisikan sebuah fungsi monoton operator. Sifat urutan yang
digunakan adalah semidefinit positif atau positif.
Sebelum membahas konsep urutan pada matriks Hermitian, akan dibahas
terlebih dahulu mengenai hasilkali dalam standar pada
Hasilkali dalam standar dari
. Misalkan
didefinisikan sebagai
⟨
⟩
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
.
32
⟨
dimana
adalah adjoin dari
Definisi 3.4.1. Misalkan
⟩
yang didefinisikan sebagai
adalah suatu matriks Hermitian. Matriks
) jika ⟨
semidefinit positif atau positif (ditulis
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa jika
berlaku ⟨
maka untuk setiap
⟨
̅ .
⟩
⟨
⟩
dikatakan
untuk setiap
.
adalah matriks Hermitian,
⟩. Perhatikan bahwa
⟩
⟨
⟩
Kemudian, akan dibahas mengenai konsep urutan pada matriks Hermitian.
Misalkan
dan
adalah Matriks Hermitian. Jika
positif atau ditulis dengan
⟨
untuk setiap
artinya
adalah
, maka berdasarkan Definisi 3.4.1 diperoleh
⟩
⟨
⟩
.
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu