sifat - sifat matriks uniter, matriks normal, dan matriks

SIFAT - SIFAT MATRIKS UNITER, MATRIKS NORMAL, DAN
MATRIKS HERMITIAN
Tasari*
Abstrak : Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui pengertian dan sifat­sifat dari matriks uniter,
matriks normal, dan matriks hermitian.
Metode penelitian yang digunakan adalah studi literature, yaitu semua bahan diambil dari buku referensi
yang mendukung dan berhubungan dengan pengertian dan sifat­sifat dari matriks uniter, matriks normal, dan
matriks hermitian.
Kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: Sebuah matriks bujur sangkar A dengan anggota­
anggota bilangan kompleks dinamakan matriks uniter jika A 1  A * , dinamakan matriks normal jika AA* =
A*A, dinamakan matriks hermitian jika A = A*. Sifat­sifat matriks uniter adalah invers dan transpose matriks
uniter adalah matriks uniter, hasil kali dua atau lebih matriks uniter adalah uniter, determinan matriks uniter
mempunyai nilai mutlak 1, vektor­vektor baris dan vektor­vektor kolom matriks uniter membentuk suatu
himpunan ortonormal pada Cn dengan hasil kali dalam Euclidean. Sifat­sifat matriks normal adalah jika terdapat
A matriks normal dan U matriks uniter, maka B = U*AU adalah matriks normal, jika Xi adalah vektor invarian
yang berhubungan dengan akar karakteristik Xi dari suatu matriks normal A, maka Xi juga vektor invarian
dari A* yang berhubungan dengan akar karakteristik  i , jika A normal maka suatu matriks bujur sangkar A
similar secara uniter terhadap suatu matriks diagonal, vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda dari matriks
normal adalah ortogonal. Sifat­sifat matriks hermitian adalah nilai eigen dari suatu matriks hermitian adalah
bilangan real, vektor­vektor invarian yang berhubungan dengan akar­akar karakteristik yang berlainan dari
suatu matriks hermitian adalah saling ortogonal.
Kata kunci: Matriks uniter, Matriks normal, Matriks hermitian
PENDAHULUAN
CARA PENELITIAN
Salah satu cabang ilmu matematika adalah
Metode penelitian yang digunakan adalah studi
Aljabar. Didalamnya dipelajari tentang matriks. Jenis­
literature, yaitu semua bahan diambil dari buku
referensi yang mendukung dan berhubungan dengan
pengertian dan sifat­sifat dari matriks uniter, matriks
normal, dan matriks hermitian.
jenis matriks ada bermacam­macam, antara lain
matriks bujur sangkar, matriks simetris, matriks
diagonal dan lain sebagainya. Dimana matriks­matriks
tersebut mempunyai sifat­sifat tertentu.
Pada penelitian ini peneliti tertarik untuk
melihat sifat­sifat Matriks Uniter, Matriks Normal dan
Matriks Hermitian yang merupakan matriks­matriks
dengan anggota­anggota bilangan kompleks.
PEMBAHASAN
Berikut akan dibahas sifat­sifat Matriks Uniter,
Matriks Normal, dan Matriks Hermitian.
* Pendidikan Matematika UNWIDHA Klaten
32
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
A.
Pengertian Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian merupakan matriks dengan anggota­anggota
bilangan kompleks. Sebelum membahas pengertian Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
dijelaskan terlebih dahulu definisi dan sifat­sifat dasar transpose konjugat dari A sebagai berikut:
Definisi 1 (Anton, 2000:335)
Jika A adalah suatu matriks dengan anggota­anggota kompleks, maka transpose konjugat dari A,
yang dinyatakan dengan A*, didefinisikan oleh
A* = AT
Dimana A adalah matriks yang anggota­anggotanya adalah konjugat kompleks dari anggota­anggota
yang berpadanan pada A dan AT adalah transpose dari .
Contoh 1
2 
1  i
T

i
0
i
0
1  i
1  i
3  2i  .
, maka A  
. Sehingga A* = A   i
Jika A  


 2 3  2i i 
 2 3  2i  i 
 0
 i 
Sifat­sifat dasar dari operasi transpose konjugat adalah sebagai berikut:
Teorema 1 (Anton, 2000:336)
Jika A dan B adalah matriks­matriks dengan anggota­anggota kompleks dan k adalah sebarang bilangan
kompleks, maka:
(a) (A*)* = A
(b) (A+B)* = A* + B*
(c) (kA)* = k A*
(d) (AB)* = B*A*
Dibawah ini dijelaskan pengertian Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian:
1.
Pengertian Matriks Uniter
Diberikan definisi sebagai berikut:
Definisi 2 (Ayres, 1989:113)
Matriks bujur sangkar
disebut uniter jika A*A = AA* = I, yaitu jika A* = A­1.
Contoh 2
1  i

A 2
1 i
Diketahui

 2
1 i 
2 
1 i 

2 
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
33
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
Akan ditunjukkan bahwa A adalah matriks uniter.
1  i

A 2
1 i

 2
1  i 
 1 i

T

2
A  A*   2

1 i
Þ
1 i


2 
 2
1  i

AA*   2
1 i
Maka

 2
 1 i

A* A   2
1 i

 2
1 i
2 
1 i 

2 
1 i 
2 
1 i 

2 
 1 i
 2
1 i

 2
1  i
 2
1  i

 2
1 i 
2 
1 i 

2 
1 i
2  1 0
1 i = 

 0 1
2 
1  i 
2   1 0
1  i  0 1

2 
karena AA* = A*A = I maka terbukti bahwa A adalah Matriks Uniter.
2.
Pengertian Matriks Normal
Sebuah matriks bujur sangkar A dengan anggota­anggota kompleks disebut normal jika
AA* = A*A
Jadi setiap matriks uniter merupakan matriks normal.
Contoh 3
Setiap matriks uniter A adalah matriks normal karena AA* = I = A*A
Jadi contoh di atas juga termasuk matriks normal
1  i

A 2
1 i

 2
3.
1 i 
2 
1  i  adalah Matriks Normal

2 
Pengertian Matriks Hermitian
Suatu matriks bujur sangkar A dengan anggota­anggota kompleks disebut Hermitian jika
A = A*
Jelas bahwa setiap matriks hermitian A adalah normal karena berlaku AA* = AA = A*A
34
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
Contoh 4
i
1 i 
 1

A
A    i  5 2  i  ,
maka
Jika
1  i 2  i
3 
 i 1 i
 1
 i
 5 2  i 

1  i 2  i
3 
i
1 i 
 1

A*  A    i
 5 2  i   A
Sehingga
. Yakni A adalah Hermitian
1  i 2  i
3 
T
B. Sifat-sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
Pada bagian ini akan dijelaskan sifat­sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian.
1.
Sifat-sifat Matriks Uniter
Untuk menunjukkan sifat­sifat dari Matriks Uniter diberikan beberapa teorema sebagai berikut:
Teorema 2 (Ayres, 1989:113)
Invers dan transpose dari matriks uniter adalah uniter.
Bukti:
 Invers matriks uniter adalah uniter.
A uniter  A­1 Uniter
A uniter artinya AA* = A*A = I
Akan dibuktikan A­1 uniter sebagai berikut:
A­1 merupakan invers dari suatu matriks A artinya AA1  A1 A  I .
Jadi A­1 uniter yakni A1 A1 *  A1 * A1  I
   

Transpose matriks uniter adalah uniter.
A uniter  AT uniter
A uniter artinya AA* = A*A = I
Akan dibuktikan AT uniter sebagai berikut:
AT merupakan transpose dari matriks A. Jadi AT uniter yakni AT AT *  AT * AT  I maka
   
T
T
A A  AA  I
Contoh 5
 i 0
 Þ A* 
0 i 
Misal A  
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
 i 0 
 0  i  , maka invers dari A adalah:


35
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
A1 
1
i2
 i 0
1  i 0   i 0 
0 i  =  1 0 i  =  0  i 



 

Bukti bahwa A­1 adalah uniter sebagai berikut:
 i 0 
 i 0
1
A1  
Þ A * 


 0  i
0 i 
 
 
 i 0   i 0 1 0



 0  i  0 i  0 1
1
1
Maka A . A *  
A * .A
1
1
 i 0  i 0  1 0




0 i   0  i  0 1
   
Jadi terbukti bahwa A­1 adalah uniter karena A1 A1 *  A1 * A1  I
 Transpose dari A adalah:
 i 0
 i 0
T
A
 A 


0 i 
0 i 
Karena A = AT, jadi jelas bahwa transpose dari A adalah uniter.
Teorema 3 (Ayres, 1989:113)
Hasil kali dua atau lebih matriks uniter adalah uniter.
Bukti:
A uniter artinya AA* = A*A = I
B uniter artinya BB* = B*B = I
Dar i A uniter dan B uniter di atas, dapat dibuktikan AB uniter sebagai berikut:
AB AB *   AB  * AB  I
Contoh 6


 i 0

B

Misal A  
 dan

0
i




 i 0 
AB  

0 i  

36
i
2
i
2
i
2
i
2
1 
2

1  adalah matriks uniter, maka
2 
1   1

2  
2
 
1   1
2   2
i 
2

i 
2 


( AB)*  


1
2
i
2
1 
2 

i 

2 
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
Sehingga
i 
2

i 
2 
 1
 2
AB  ( AB)*  
 1
 2


( AB) *  AB  


1
2
i
2





1 
2 

i 

2 
1
2
i
2
1 
2   1 0
i  0 1

2 
 1
 2

 1
 2
i 
2   1 0
i  0 1
2 
Jadi terbukti bahwa hasil kali dua atau lebih matriks­matriks uniter adalah uniter karena
AB  ( AB )*  ( AB ) *  AB  I
Teorema 4 (Ayres, 1989:113)
Determinan matriks uniter mempunyai nilai mutlak 1.
Bukti:
A uniter artinya AA*  A * A  I
Akan dibuktikan determinan matriks uniter mempunyai nilai mutlak 1 sebagai berikut
AA*  A * A  I , maka
det (AA*) = det (I)
det (A) det (A*) = det (I)
det (A) =
1
det  A* 
Maka nilai mutlak dari det (A) =
1
1
det  A* 
Contoh 7
 i 0
 , maka det (A) = i2 = ­1
0 i 
Misal A  
det A   1  1
1  i

A 2
Misal
1 i

 2
1  i 
2 
1 i 

1  i  , maka det(A)= 

 2 
2 
 1 i   1 i 



 2   2 
1 i  1 1
=  1

 2  2 2
det  A  1  1
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
37
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
Teorema 5 (Anton, 2000:336)
Jika A adalah suatu matriks nxn dengan anggota­anggota kompleks, maka yang berikut ini ekuivalen:
a) A adalah matriks uniter
b) Vektor­vektor baris dari A membentuk suatu himpunan ortonormal pada Cn dengan hasil kali
dalam Euclidean.
c) Vektor­vektor kolom dari A membentuk himpunan ortonormal pada Cn dengan hasil kali dalam
Euclidean.
Bukti:
a) b) Anggota pada baris ke­i dan kolom ke­j­ dari hasil kali matriks AA* adalah hasil kali titik
dari vektor baris ke­i dan vektor kolom ke­j dari A*. Tetapi, kecuali karena perbedaan notasi,
vektor kolom ke­j dari A* adalah vektor baris ke­j dari A. Jadi jika vektor­vektor baris dari A
adalah r1 , r2 ,, rn , maka hasil kali matriks AA* bisa dinyatakan sebagai :
 r1  r1 r1  r2  r1  rn 
r  r r  r  r  r 
2
n
AA*   2 1 2 2
 

 


rn  r1 rn  r2  rn  rn 
Jadi AA*=I jika dan hanya jika r1  r1  r2  r2    rn  rn  1 dan ri  rj  0 jika i  j . Yang
ang
berarti jika dan hanya jika r1 , r2 ,, rn  adalah suatu himpunan ortonormal pada C n .
b)  c) Anggota pada baris ke­i dan kolom ke­j­ dari hasil kali matriks AA* adalah hasil kali titik
dari vektor baris ke­i dan vektor kolom ke­j dari A*. Kecuali karena perbedaan notasi, vektor
baris ke­­i dari A* adalah vektor kolom ke­i dari A. Jadi vektor­vektor kolom dari A adalah
r1 , r2 ,, rn , maka hasil kali matriks AA* bisa dinyatakan sebagai
 r1  r1
r  r
AA*   1 2
 

r1  rn
r2  r1  rn  r1 
r2  r2  rn  r2 

 

r2  rn  rn  rn 
Jadi AA*=I jika dan hanya jika r1  r1  r2  r2    rn  rn  1 dan ri  rj  0 jika i  j . Yang
ang
berarti jika dan hanya jika r1 , r2 ,, rn  adalah suatu himpunan ortonormal pada C n
Contoh 8
a)
38
1  i

A 2
1 i

 2
1 i 
2 
A* 
1 i  

2 
1  i
 2
1  i

 2
1 i 
2 
1 i 

2 
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
1  i

AA*   2
1 i
Maka

 2
1  i

A* A   2
1 i

 2
1 i 
2 
1 i 

2 
1 i 
2 
1 i 

2 
1  i
 2
1  i

 2
1  i
 2
1  i

 2
1 i 
2   1 0 
 1  i  0 1 

2 
1 i 
2   1 0 
 1  i  0 1 

2 
Karena AA* = A*A = I, terbukti bahwa A adalah uniter.
1  i

A 2
b) Matriks
1 i

 2
1 i 
2 
1  i 1 i 
1 i 1 i 
,
,

 ; r2 
 1  i  mempunyai vektor­vektor baris r1  
2 
2 

 2
 2
2 
Hasil kali dalam Euclidean pada Cn mempunyai
2
2
r1 
1 i
1 i

2
2
r2 
1i
1  i

2
2
1 1
 1
2 2

2
2

1 1
 1
2 2
1  i   1­ i  1  i   ­1  i 




 2  2   2  2 
dan r1  r2  
1  i  1  i   1  i   ­1 ­ i 





 2  2   2  2 

i i
 0
2 2
Sehingga vektor­vektor baris tersebut membentuk suatu himpunan ortonormal pada C2.
1  i

A 2
1 i
c) Matriks

 2
1 i 
1  i 
 1 i 





2
r1   2  r2   2 

 1  i mempunyai vektor­vektor kolom
1i ,
1 i





2 
 2 
 2 
Hasil kali dalam Euclidean pada Cn mempunyai
2
r1 
1 i
1i

2
2
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
2

1 1
 1
2 2
39
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
2
r2 
1 i
1  i

2
2
2

1 1
 1
2 2
 1  i  1  i   1  i   1  i 




 2  2   2  2 
dan r1  r2  
 1  i  1  i   1  i   1  i 




=
 2  2   2  2 
=
2  2
   = 0
4  4
Sehingga vektor-vektor kolom tersebut membentuk suatu himpunan ortonormal pada C2.
2.
Sifat-sifat Matriks Normal
Sebelum menunjukkan sifat­sifat dari matriks normal, tetapkan A sebagai matriks normal dan U sebagai
matriks uniter dan tuliskan B  U * AU , maka B*  U * A * U dan B*B = U*A*U × U*AU =
U*A*AU = U*AA*U = U*AU × U*A*U = B B*.
Sifat 1 (Ayres, 1989:168)
Jika A adalah matriks normal dan U adalah matriks uniter, maka B = U*AU adalah matriks normal.
Bukti:
A normal artinya AA* = A*A
U uniter artinya AA* = A*A = I
Akan dibuktikan B = U*AU normal sebagai berikut
B*B = U*A*U × U*AU = U*A*AU = U*AA*U = U*AU × U*A*U = B B*
Jadi terbukti bahwa B = U*AU normal, karena BB* = B*B
Contoh 9
1  i

A 2
1 i
Misal

 2


U 


40
i
2
i
2
1 i 
2 
1 i 

2 
1 
2  U* 

1  Þ
2 
 i
 2

 1
 2
i 
2

1 
2 
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
Maka B = U*AU
i 1  i 1  i  i

2  2
2  2


1  1 i 1 i  i


2  2
2  2
 i
 2

=  1
 2
 2  2i
 4
=  2  2i

 4
 2  2i 
4 
2  2i 

4 
1  i
 2
B = 1  i

 2
1  i 
2 
1 i 

2 
1
2 
1
2 
2

 2 2

=  2
 2 2
2i  
2 2 

2i  

2 2  
i
2
i
2
1 
2

1 
2 
Jadi terbukti bahwa B = U*AU adalah matriks normal.
Sifat 2 (Ayres, 1989:168)
Jika Xi adalah vektor invarian yang berhubungan dengan akar karakteristik Xi dari suatu matriks nomal
A, maka Xi juga vektor invarian dari A* yang berhubungan dengan akar karakteristik  i .
Bukti:
Karena A normal, maka
I  AI  A*  I  AI  A *
=   I  A *  A  AA *
= I  A *  A  A * A
= I  A * I  A
Sehingga I  A adalah normal.
Misal B  i I  A
sehingga diperoleh BX i  i I  AX i  0 , maka
BX i  * BX i   X i * B * BX i

 X i * B  B * X i  B * X i  *  B * X i   0 dan

B * X i  i I  A * X i  0
Jadi, Xi adalah vektor invarian dari A* yang berhubungan dengan akar karakteristik i .
Sifat 3 (Ayres, 1989:168)
Suatu matriks bujur sangkar A similar secara uniter terhadap suatu matriks diagonal jika dan hanya
jika A normal.
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
41
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
Bukti:
Andai A normal, terdapat suatu matriks U sedemikian sehingga:
1 b12
0 
2
U * AU  
0 0

0 0
b13
b23
0
0
 b1, n 1 b1n 
 b2, n 1 b2 n 
B
 n 1 bn 1, n 


0
n 
Menurut sifat 1 di atas, B adalah normal sehingga B*B=BB*. Sekarang elamen pada baris pertama dan
kolom pertama B*B adalah 1 sedangkan elemen yang berpadanan di BB* adalah
1 1  b12 b12  b13 b13    b1n b1n
Karena elemen­elemen ini sama dan karena setiap bij bij  0, disimpulkan bahwa setiap bij = 0.
Selanjutnya dengan elemen­elemen yang berpadanan pada baris kedua dan kolom kedua dan seterusnya,
disimpulkan bahwa setiap bij dari B adalah nol. Jadi, B = diagonal 1 , 2  , n  . Sebaliknya, tetapkan
A diagonal; maka A normal.
Diberikan teorema sebagai berikut:
Teorema 6 (Anton, 2000:339)
jika A adalah suatu matriks bujur sangkar dengan anggota­anggota kompleks, maka yang berikut ini
ekuivalen:
a) A dapat didiagonalkan secara uniter.
b) A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal.
c) A adalah normal.
Bukti:
a)  b)
Karena A dianggap dapat didiagonalkan secara uniter, maka ada suatu matriks yang dapat dibalik atau
konjugat dari A
 P11
P
P   21
 

 Pn1
P12  P1n 
P22  P2 n 

 

P2n  Pnn 
Sedemikian sehingga P–1AP (=P*AP) diagonal, katakanlah P–1AP (=P*AP) = D, dimana
1 0  0 
0   0 
2

D
 
  adalah matriks diagonal


 0 0  n 
42
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
n vektor kolom dari A adalah vektor eigen dari A karena P ortogonal, maka vektor­vektor kolom ini
ortonormal, sehingga A mempunyai n vektor eigen yang ortonormal.
b)  a)
Anggap A mempunyai n vektor eigen yang ortonormal, P1 , P2 ,   ,Pn. Matriks P dengan vektor eigen
ini sebagai kolom mendiagonalkan A secara sama. Karena vektor eigen ini ortonormal, maka vektor P
dapat dibalik atau merupakan konjugat transpose dari A. Jadi P–1AP (=P*AP) = D; yaitu, A dapat
didiagonalkan secara uniter.
a)
 c)
Pada bukti a)  b) ditunjukkan bahwa suatu matriks Anxn, yang dapat didiagonalkan secara uniter
oleh suatu matriks Pnxn, yang kolom­kolomnya membentuk himpunan­himpunan ortonormal dari
vektor­vektor eigen A. Anggap D adalah suatu matriks diagonal D = P–1AP (=P*AP)
Jadi A = PD P–1 (=PD P*)
Dengan demikian
AA* = PD P–1 (=PD P*)* = PD P* PD* P* = PD I D* P*
= PD D* P* = P I P*
Sebuah matriks normal A didiagonalisasi oleh suatu matriks uniter yang vektor­vektor kolomnya adalah
vektor­vektor eigen dari A. Dibawah ini diberikan prosedur mendiagonalkan suatu matriks normal
adalah sebagai berikut
Langkah 1. Cari suatu basis untuk masing­masing ruang eigen dari A.
Langkah 2. Terapkan proses Gram­Schmidt pada masing­masing basis untuk mendapatkan suatu
basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.
Langkah 3. Bentuk matriks P yang kolom­kolomnya adalah vektor­vektor basis yang disusun pada
langkah 2. Matriks ini secara uniter mendiagonalkan A.
Contoh 10
 2 1  i
Þ A* 
3 
1  i
Diketahui A  
 2 1  i
1  i
3 

Apakah matriks A dapat didiagonalkan secara uniter? Jika dapat maka carilah matriks P yang
mendiagonalisasi secara uniter matriks A tersebut!
Penyelesaian:
 2 1  i
maka A adalah matriks Hermitian, sehingga A adalah matriks normal.
3 
1  i
Karena A*  
Polinom karakteristik dari A adalah
1 0  2 1  i   0   2 1  i     2  1  i 

=
=

3   0   1  i
3    1  i   3 
0 1 1  i
I  A   
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
43
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
   2  1  i
Det I  A  Det 
 =   2  3   1  i  1  i  = 2  5  4
 1  i   3 
Sehingga persamaan karakteristiknya adalah
2  5  4  0
  1  4  0
Dan nilai eigennya adalah l = 1 dan l=4
 x1 
 x2 
Berdasarkan definisi x   
Akan menjadi suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan  jika dan hanya jika x adalah
penyelesaian tak terivial dari
   2  1  i   x1  0
  1  i   3   x   0

 2   
Untuk mencari vektor eigen yang berpadanan dengan   1 , disubtitusikan nilai  pada
   2  1  i   x1  0
  1  i   3   x   0

 2   
  1  1  I   x1  0

 1  i
 2   x2  0

1  i
  1  1  i
 1
1 1  i 
  1  i  2  B1(­1)   1  i  2  B2+(1 – i)B1 





0 0 
 x1 + (1+i)x2 = 0
x1 =  (1+i)x2
x1 = (1i)x2
Misal x2 = s ,  x1 = (1i)s
Sehingga vektor eigen dari A yang berpadanan dengan  =1 adalah vektor­vektor tak nol dalam C2
yang berbentuk
 1  i s 
 1  i 
x
 s


 s 
 1 
 1  i 

 1 
Jadi ruang eigennya berdimensi satu dengan basis u  
44
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
Untuk mencari vektor eigen yang berpadanan dengan  = 4, disubtitusikan nilai  pada
   2  1  i   x1  0
  1  i   3   x   0

 2   
 1  i   x1  0
 2

 1  i
1   x2  0


 1  i
 2
1  1

B
 1  i
1  1  2  

 1  i
1 i 

1

B2+(1 – i)B1 
2
0
1 

1  i 
2 
0 
 1 i 
 x2  0
 x1  
 2 
 1 i 
x1  
 x2
 2 
1  i 
x1  
 x2
 2 
1  i 
s
 2 
Misal x2 = s ,  x1 = 
Sehingga vektor eigen dari A yang berpadanan dengan  =4 adalah vektor­vektor tak nol dalam C2
yang berbentuk:
 1  i  
s

x   2   


 s 
1  i 
s 2 
 1 


1  i 
 2 
u

Jadi ruang eigennya berdimensi satu dengan basis
 1 


1

i


 1  i 


u

u

Maka 1 
dan 2  2 

 1 
 1 
Dengan menerapkan proses Gram­Schmidt yaitu menormalkan vektor­vektor di atas diperoleh
u1 
P1 
2
 1  i ,1
3
2
u2 
2
1 i  1  2 1  3
 1  i 1 

,

3
 3
1 i
2
1 
2
2
6
1 
4
2
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
45
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
1 i 
,1

2  1 i 2 

,
P2 


6
 6 6
2
Jadi
P  P1
1 i

P2    3
 1
 3
1  i

P * AP   3
Dari sini
 1 i
 6
1 i
 3

=  4  4i
 6
1 1  i
3   3
8  1
6   3
1 i 
6 
P* 
2  
6 
1 i
 3

 1 i
 6
1 
1 i

i
2
1

 3
3 


2  1  i
3   1
 3
6 
1 
3 
2 
6 
1 i
6 
2 
6 
1 i
6  1 0
2 =

0 4
6 
Jadi P dapat mendiagonalkan A secara uniter.
Teorema 7 (Anton, 2000:340)
Jika A adalah suatu matriks normal maka vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda dari A adalah
ortogonal.
Bukti:
Anggap v­1 dan v2 adalah vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen 1 dan 2 yang berbeda dari
matriks A. Akan ditunjukkan bahwa v1 v2 = 0.
Untuk membuktikan ini diawali dengan ekspresi A v1 v2 ,diawali dengan pengertian matrriks Hermitian A
adalah Normal. Jadi bahwa A v1 v2 = v1 A* v2 = v1 A v2 , tetapi v1 adalah suatu vektor eigen dari A yang
berpadanan dengan 1 dan v2 adalah suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan 2, sehingga
dihasilkan hubungan 1 v1 v2 = v1 2 .v2 yang bisa ditulis ulang sebagai ( 1 ­ 2 )( v1 v2 ) = 0, tetapi 1 ­ 2
 0 karena 1 dan 2 dianggap berbeda. Jadi dari ( 1 ­ 2 ) ( v1 v2 ) = 0 diperoleh bahwa v1 v2 = 0.
Contoh 11
 2 1  i
A
adalah matriks normal, mempunyai vektor eigen yang berpadanan dengan 1  1
3 
1  i
1  i 
 1  i 


dan 2  4 adalah sebagai berikut u1  
 dan u2   2  akan ditunjukkan bahwa vektor
1


 1 
eigen dari ruang eigen yang berbeda dari A adalah ortogonal maka u1  u2  0
46
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
1  i 
1 i 
  1 =  1 + 1= 0
u1  u2   1  i 
  11 =  1  i 
 2 
 2 
jadi terbukti bahwa vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda dari A adalah ortogonal.
3.
Sifat-sifat Matriks Hermitian
Sekarang akan dibahas sifat­sifat dari matriks hermitian. Diberikan teorema di bawah ini.
Teorema 8 (Anton, 2000:343)
Nilai eigen dari suatu matriks hermitian adalah bilangan real.
Bukti:
Jika  adalah suatu nilai eigen dan v adalah vektor eigen yang berpadanan dari suatu matriks hermitian
Anxn , maka Av  v . Dengan mengalikan setiap ruas dari persamaan, dari kiri transpose tasrif dari v
diperoleh v * Av  v *  v   v * v
Ditunjukkan bahwa matriks 1 x 1, v*Av dan v*v, keduanya mempunyai anggota­anggota real sehingga
dari diperoleh bahwa  pastilah suatu bilangan real.
Contoh 12
  2 1  i
 adalah matriks hermitian
1  i  3 
Misal A  
Polinom karakteristik dari A adalah
1 0   2 1  i 

=
0 1 1  i  3 
I  A   
 0    2 1  i 
 0    1  i  3  =

 

   2  1  i
 1  i   3 


   2  1  i
det I  A  det 
 =   2   3   1  i  1  i  = 2  5  6  2
 1  i   3 
= 2  5  4
Sehingga persamaan karakteristiknya adalah
 2  5  4  0
  1  4  0
dan nilai eigennya adalah l1 = ­ 1; l2 = ­ 4
Jadi bahwa nilai eigen dari A adalah bilangan real.
Teorema 9 (Ayres, 1989:168)
Vektor­vektor invarian yang berhubungan dengan akar­akar karakteristik yang berlainan dari suatu
matriks hermitian adalah saling ortogonal.
Bukti:
Tetapkan X1 dan X2 sebagai vektor­vektor invarian yang masing­masing dihubungkan dengan akar­
akar karakteristik l 1 dan l2 yang berlainan dari A. Maka
AX 1  1 X1 dan AX 2  2 X 2 , juga X 2 * AX 1  1 X 2 * X 1 dan X 1 * AX 2  2 X 1 * X 2
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
47
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
c.
Pengambilan konjugat transpose
mutlak 1.
X1 * AX 2  1 X 1 * X 2 dan
d.
X 2 * AX 1  2 X 2 * X 1
Maka 1 X 1 * X 2  2 X 1 * X 2 dan karena
1  2 , X 1 * X 2  0 . Jadi X 1 dan X 2
adalah ortogonal.
5.
Selain dari teorema­teorema di atas
b.
Jika X i adalah vektor invarian yang
berhubungan dengan akar karakteristik Xi
dari suatu matriks normal A, maka Xi juga
vektor invarian dari A* yang berhubungan
dengan akar karakteristik  i .
SIMPULAN
Berdasarkan pembahasan di depan dapat ditarik
beberapa kesimpulan sebagai berikut:
Matriks Uniter adalah suatu matriks bujur
sangkar A dengan elemen­elemen kompleks jika
artinya
bahwa
berlaku
A 1  A *
AA*  A * A  I .
Matriks Normal adalah sebuah matriks bujur
sangkar A dengan anggota­anggota kompleks jika
AA* = A*A. Jadi setiap matriks uniter merupakan
matriks normal.
Jika terdapat A matriks normal dan U matriks
uniter, maka B = U*AU adalah matriks
normal.
untuk i ¹ j dan aij = aij untuk i=j.
2.
Vektor­vektor baris dan vektor­vektor kolom
matriks uniter membentuk suatu himpunan
ortonormal pada Cn dengan hasil kali dalam
Euclidean.
Sifat­sifat Matriks Normal
a.
diberikan sifat matriks hermitian bahwa elemen­
elemen diagonalnya berupa bilangan riil aij ¹ aji
1.
Determinan matriks uniter mempunyai nilai
6.
c.
Suatu matriks bujur sangkar A similar secara
uniter terhadap suatu matriks diagonal jika
dan hanya jika A normal.
d.
Vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda
dari matriks normal adalah ortogonal.
Sifat­sifat Matriks Hermitian
a.
Nilai eigen dari suatu matriks hermitian
adalah bilangan real.
3.
Matriks Hermitian adalah suatu matriks bujur
sangkar A dengan anggota­anggota kompleks jika
A = A*. Jadi setiap matriks hermitian A adalah
normal karena berlaku AA* = AA = A*A.
b.
Vektor­vektor invarian yang berhubungan
dengan akar­akar karakteristik yang
berlainan dari suatu matriks hermitian adalah
saling ortogonal.
4.
Sifat­sifat Matriks Uniter adalah sebagai berikut:
c.
Elemen­elemen diagonalnya berupa
bilangan riil aij ¹ aji untuk i ¹ j dan aij = aji
untuk i=j.
a.
Invers dan transpose dari matriks uniter
adalah uniter
b.
48
Hasil kali dua matriks atau lebih matriks­
matriks uniter adalah uniter.
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian
DAFTAR PUSTAKA
Anton H., 2000. Dasar­dasar Aljabar Linier. Batam:
Interaksa.
Ayres F., 1982. Theory and Problems of Matriks.
Singapura: Mc Graw­Hill.
Horn A. Roger and Johnson R. Charles, 1985. Matrik
Analysis. Cambridge University Press.
H.S. Suryadi dan M. Harini, 1990. Teori dan Soal
Pendahuluan Aljabar Linier. Jakarta: Ghalia
Indonesia.
Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013
ISSN 0215-9511
Kartono, 2002. Aljabar Linier, Vektor dan
Eksplorasinya dengan Maple. Yogyakarta: Graha
Ilmu.
Mundit, Armawi K., 1986. Teori­teori Penyelesaian
Aljabar Linier. Bandung: CV. Armica.
Padmodisastro, Sudarinah, 1989. Aljabar Linier.
Surakarta: UNS Press.
Supranto S. 1998. Pengantar Matriks. Jakarta: PT.
Rineka Cipta.
49