MATRIKS Bahan Pengantar Kuliah Analisis Multivariat Heri Retnawati
advertisement
MATRIKS
Bahan Pengantar Kuliah Analisis Multivariat
Heri Retnawati
Pengenalan matriks
1. Definisi matriks
Matriks adalah salah satu konsep dalam matematika yang banyak diterapkan pada konsep
matematika yang lain seperti penyelesaian program linier dan vektor.
Matriks didefinisikan sebagai berikut:
Matriks adalah suatu susunan bilangan yang berbentuk persegi panjang yang diatur
menurut aturan baris dan kolom.
Matriks dilambangkan dengan huruf besar atau alfabet kapital.. Bilangan-bilangan di dalam
matriks disebut dengan elemen matriks. Bilangan-bilangan ini diletakkan dalam tanda kurung
ataupun tanda kurung siku (bukan kurawal atau tanda mutlak)
Perhatikan penulisan matriks berikut ini:
a 11
a 21
A a 31
a m1
a 12
a13
...
a 22
a 23
a 32
a 33
a m2
a m3
a 1n
a 2n
a 3n
a mn
Sebanyak m baris
a 1n
a 2n
a 3n
a mn
Sebanyak m baris
Sebanyak n kolom
Atau
a 11
a
21
A a 31
a m1
a12
a 13
...
a 22
a 23
a 32
a 33
a m2
a m3
a11 adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke-1 kolom ke-1
a21 adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke-2 kolom ke-1
a32 adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke-3 kolom ke-2
.
.
.
amn adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke-m kolom ke-n
amn dengan m = n yaitu yang terletak pada nomor baris dan nomor kolom yang sama dikatakan
elemen-elemen matriks yang terletak pada diagonal utama atau elemen diagonal utama.
Ukuran matriks disebut dengan ordo matriks. Karena matriks A mempunyai baris sebanyak m
dan kolom sebanyak n maka matriks A dinyatakan berordo m x n. Jika m = n, biasanya ukuran
matriks hanya ditulis “m” saja.
Catatan:
Ordo matriks ditulis dengan “banyaknya baris x banyaknya kolom”. Tanda “x” tersebut bukan
tanda operasi bilangan.
Contoh:
Tentukan ordo dari matriks:
1 2 3
1. A = 0 8 4
2. B = 1 2 3 4
1 2 2
Jawab.
1. Banyaknya baris matriks A adalah 3, banyaknya kolom matriks A adalah 3 maka ordo
matriks A adalah 3x3 atau A3
2. Banyaknya baris matriks B adalah 1, banyaknya kolom matriks B adalah 4 maka ordo
matriks B adalah 1 x 4 atau A1x4
2. Macam-macam matriks istimewa
Ada matriks-matriks yang dikatakan istimewa karena ukurannya maupun elemen-elemennya.
Matriks-matriks istimewa antara lain:
a. Matriks persegi yaitu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Contoh
matriks persegi adalah:
3
1 4
2 4
, B3 = 0 5 4
A2=
1 9
1 6 2
b. Matriks baris yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Contoh matriks baris adalah:
A1x5 = (2 3 4 6 -1) , B1x3 = (0 0 0)
c. Matriks kolom yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Contoh matriks kolom
adalah:
4
1
4
A2x1= , B4x1=
0
2
0
d. Matriks nol yaitu matriks yang semua elemennya adalah bilangan nol. Matriks nol diberi
nama O. Contoh matriks nol adalah:
0 0
O3x2 = 0 0 , O1x5=(0 0 0 0 0)
0 0
e. Matriks segitiga atas yaitu matriks yang elemen-elemen di bawah elemen diagonal utama
adalah bilangan nol. Contoh matriks segitiga atas adalah:
3
1 4
K3 = 0 5 4
0 0 2
f. Matriks segitiga bawah yaitu matriks yang elemen-elemen di atas elemen diagonal utama
adalah bilangan nol. Contoh matriks segitiga bawah adalah:
0
1 0
Q3x3 = 2 5 0
1 4 2
g. Matriks diagonal yaitu matriks yang semua elemennya adalah nol kecuali paling sedikit
terdapat bilangan bukan nol pada diagonal utama. Contoh matriks diagonal adalah:
3 0 0
B3X3 = 0 2 0
0 0 4
h. Matriks satuan atau matriks identitas yaitu matriks yang diagonal utamanya adalah
bilangan satu dan selain elemen diagonal utama adalah bilangan nol. Suatu matriks yang
dikalikan dengan matriks identitas hasilnya adalah matriks itu sendiri. Matriks identitas
diberi nama O. Contoh matriks identitas adalah:
1 0 0
I = 0 1 0
0 0 1
Operasi aljabar matriks
Pada pembahasan operasi aljabar matriks pada bagian ini, dikhususkan untuk matriks ordo 2.
namun pada prinsipnya berlaku sama untuk matriks yang lain.
1. Transpose matriks
Transpose matriks Amxn adalah matriks ATnxm yaitu dengan menukarkan elemen-elemen
baris menjadi elemen-elemen kolom matriks Amxn
a 12
a 21
a
a
maka AT = 11
Jika diketahui matriks A = 11
a 21 a 22
a 12 a 22
Contoh:
Tentukan transpose matriks:
2
1. P = 3
4
Jawab.
T
1. P = (2 3 4)
3 3
2. Q =
2 2
1 1 1
3. R =
3 3 3
3 2
2. Q =
3 2
1 3
3. R = 1 3
1 3
T
T
2. Kesamaan dua matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika dan hanya jika elemen-elemen yang seletak dari
kedua matriks bernilai sama.
a 12
b12
a
b
dan matriks B = 11
,
Jika diketahui matriks A = 11
a 21 a 22
b 21 b 22
a 12
a
=
A = B atau 11
a 21 a 22
b11
b 21
b12
a11 = b11 ; a12 = b12 ; a21 = b21 ; a22 = b22
b 22
3. Penjumlahan
Penjumlahan dua matriks dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak
pada kedua matriks yang dijumlahkan. Syarat dua buah matriks dapat dijumlahkan adalah ukuran
kedua matriks sama.
a 12
b12
a
b
dan matriks B = 11
,
Jika diketahui matriks A = 11
a 21 a 22
b 21 b 22
a 12 b11 b12 a11 b11 a12 b12
a
+
=
maka A + B = 11
a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 b 21 a 22 b 22
Contoh:
1 2 0
2 1 2
1 4 1
, Q =
dan R =
, hitunglah:
Jika P =
3 2 8
5 3 1
2 0 3
1. P + Q
2. Q + R
3. P + (Q + R)
Jawab.
1 2 0 2 1 2 3 3 2
+
=
1. P + Q =
3 2 8 5 3 1 2 5 7
2 1 2 1 4 1 1 5 3
+
=
2. Q + R =
5 3 1 2 0 3 3 3 4
1 2 0 2 1 2 1 4 1
+
3. P + (Q + R) =
3 2 8 5 3 1 2 0 3
1 2 0 1 5 3
+
=
3 2 8 3 3 4
2 7 3
=
0 5 4
Tugas Proyek 1. Menyelidiki sifat-sifat penjumlahan matriks
Dengan menggunakan sifat-sifat penjumlahan pada bilangan riil dan definisi penjumlahan
matriks, tunjukkanlah bahwa:
a 12
b12
a
b
, matriks B = 11
dan
Jika diketahui matriks A = 11
a 21 a 22
b 21 b 22
c
matriks C = 11
c 21
c12
maka
c 22
1. A + B = B + A
2. A + (B + C) = (A + B) + C
3. A + O = O + A = A
4. A + (-A) = O
Dari tugas proyek 1 di atas, dapat dibuktikan lebih lanjut sifat-sifat penjumlahan matriks secara
lebih umum.
Sifat-sifat penjumlahan matriks
Jika diketahui matriks Amxn, Bmxn dan Cmxn, maka berlaku:
1. Sifat komutatif yaitu A + B = B + A
2. Sifat asosiatif yaitu A + (B + C) = (A + B) + C
3. Setiap matriks mempunyai elemen identitas terhadap operasi
penjumlahan yaitu matriks O
4. Invers dari matriks A adalah –A sehingga A + (-A) = (-A) + A = O
4. Lawan matriks
a 12
a
, maka lawan dari matriks A adalah –A =
Jika diketahui matriks A = 11
a 21 a 22
a 11 a 12
a 21 a 22
Contoh:
2
1
Tentukan lawan dari matriks A = 1 2
3 4
Jawab.
1 2
–A= 1
2
3 4
5. Pengurangan
Pengurangan dua matriks dilakukan dengan mengurangkan elemen-elemen yang seletak
pada kedua matriks. Dengan demikian, syarat pengurangan dua matriks adalah ordo dari kedua
matriks sama.
a 12
b12
a
b
dan matriks B = 11
,
Jika diketahui matriks A = 11
a 21 a 22
b 21 b 22
a 12 b11 b12 a11 b11 a 12 b12
a
-
=
maka A - B = 11
a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 b 21 a 22 b 22
Contoh:
1 2 0
2 1 2
1 4 1
, Q =
dan R =
, hitunglah:
Jika P =
3
2
8
5
3
1
2
0
3
1. P – Q
2. Q – R
3. P – (Q + R)
Jawab.
1 2 0 2 1 2 1 1 2
–
=
1. P – Q =
3 2 8 5 3 1 8 1 9
2 1 2 1 4 1 3 3 1
–
=
2. Q – R =
5 3 1 2 0 3 7 3 2
1 2 0 2 1 2 1 4 1
–
3. P – (Q + R) =
3
2
8
5
3
1
2
0
3
1 2 0 1 5 3
–
=
=
3 2 8 3 3 4
0 3 3
6 1 12
6. Perkalian dengan skalar
Perkalian matriks dengan skalar dilakukan dengan mengalikan setiap elemen matriks
dengan skalar tersebut.
a 12
a
dan k suatu skalar (bilangan riil) maka perkalian
Jika diketahui matriks A = 11
a 21 a 22
ka
matriks A dengan skalar adalah k . A = 11
ka 21
Contoh 1:
2
1
Diketahui matriks A = 1 2 , hitunglah:
3 4
ka 12
ka 22
1. 2A
2. -5A
Jawab.
2 2
4
1
1. 2A = 2 . 1 2 = 2 4
3 4 6 8
2 5 10
1
2. -5A = -5 . 1 2 = 5
10
3 4 15 20
Contoh 2.
1 2 0
2 1 2
1 4 1
, Q =
dan R =
, hitunglah:
Jika P =
3 2 8
5 3 1
2 0 3
1. 2P + 3Q
2. Q – 5R
3. 10(P + Q)
Jawab.
1 2 0 2 1 2
+3
1. 2P + 3Q = 2
3 2 8 5 3 1
2 4 0 6 3 6
+
=
6 4 16 15 9 3
8 7 6
=
9 13 13
2 1 2
1 4 1
– 5
2. Q – 5R
=
5 3 1
2 0 3
2 1 2 5 20 5
–
=
5 3 1 10 0 15
7 19 3
=
15 3 14
1
3. 10(P + Q) = 10
3
3
=10
2
30
=
20
2 0 2 1 2
+
2 8 5 3 1
3 2
5 7
30 20
50 70
Tugas Proyek 2. Menyelidiki sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar
a 12
b12
a
b
, matriks B = 11
, k dan l adalah skalar
Jika diketahui matriks A = 11
a 21 a 22
b 21 b 22
(bilangan riil), dengan menggunakan definisi perkalian matriks dengan skalar dan sifat-sifat
perkalian bilangan riil, tunjukkan bahwa:
1. kA = Ak
2. k(lA) = (kl)A
3. k(A + B) = kA + kB
Dari tugas proyek 2 di atas, dapat dibuktikan lebih lanjut sifat-sifat perkalian matriks dengan
skalar secara lebih umum.
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar
Jika diketahui Amxn, Bmxn, k dan l adalah skalar (bilangan riil) maka berlaku
sifat-sifat:
1. kA = Ak
2. k(lA) = (kl)A
3. k(A + B) = kA + kB
7. Perkalian dua matriks
Perkalian dua matriks dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali elemen pada satu baris
matriks pertama dengan satu kolom pada matrimatriks kedua.
ks kedua. Dengan demikian, syarat dua buah matriks dapat dikalikan adalah banyak kolom pada
matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua.
a
Jika diketahui matriks A = 11
a 21
a 12 b11
a
Maka AB = 11
a 21 a 22 b 21
a 12
b12
b
dan matriks B = 11
,
a 22
b 21 b 22
b12 a 11b11 a 12 b 21 a 11b12 a12 b 22
=
=C
b 22 a 21b11 a 22 b 21 a 21b12 a 22 b 22
Perhatikan ukuran matrik hasilnya: A2x2B2x2 = C2x2 !
Untuk lebih jelasnya, perhatikan perkalian matrik berikut ini:
q11 q11 q11
p11 p12 p12
dan Q3x3 = q11 q11 q11
Jika diketahui matriks P2x3 =
p 21 p 22 p 23
q
11 q11 q11
p
PQ = 11
p 21
p12
p 22
q11 q12
p13
q 21 q 22
p 23
q 31 q 32
p q p12 q 21 p13 q 31
= 11 11
p 21q11 p 22 q 21 p 23q 31
q13
q 23
q 33
p11q12 p12 q 22 p13q 32
p 21q12 p 22 q 22 p 23q 32
p11q13 p12 q 23 p13q 33
p 21q13 p 22 q 23 p 23q 33
Misal hasil kalinya adalah matriks R maka P2x3Q3x3=R2x3.
Jadi, jika hasil kali matriks Amxk dan matriks Bkxn adalah C maka
AmxkB kxn = Cmxn (Perhatikan ordo matriks hasil kalinya)
Contoh 1:
Hitunglah:
5 1 6 1
1.
2 8 1 2
3 1
2 2 1 0 4
2.
1 5 3 0 2
0 1
Jawab.
5 1
6 1
30 1 5 2 29 7
1.
=
2 8 2 x 2 1 2 2 x 2 12 8 2 16 20 14 2 x 2
3 1
3 3 0 0 12 2 0
1 0 4
2 2
2 6 0 0 84 8
2.
=
1 5
3 0 2 2 x 3 1 15 0 0 4 10 14
0
1
0
3
0
0
0
2
4x 2
3
0 10
0 12
0 6
0 2 4 x 3
Tugas Proyek 3.
Menyelidiki sifat-sifat perkalian matriks ordo 2
a 12
b12
c12
a
b
c
, matriks B = 11
, matriks C = 11
, I adalah
Diketahui matriks A = 11
a 21 a 22
b 21 b 22
c 21 c 22
matriks identitas berordo 2, O adalah matriks nol dan k adalah skalar (bilangan riil), selidikilah apakah:
1. AB = BA
2. A(BC) = (AB)C
3. IA = A dan AI = A
4. AO = OA
5. k(AB) = (kA)B
6. A(B + C) = AB + AC
7. (B + C)A = BA + CA
Dari tugas proyek 3 di atas, secara umum dapat disimpulkan sifat-sifat perkalian matriks dengan
matriks berikut ini:
Sifat-sifat perkalian matriks
Perkalian dua matriks yang memenuhi syarat dapat dikalikan berlaku:
1. Sifat asosiatif, misalnya A(BC) = (AB)C
2. I adalah matriks identitas perkalian, misalnya IA = AI = A
3. Sifat distributif perkalian terhadapa penjumlahan/pengurangan, misalnya
A(B + C) = AB + AC
4. Sifat distributif penjumlahan/pengurangan terhadap perkalian, misalnya
(B + C)A = BA + CA
Ingat: syarat dua matriks dapat dikalikan adalah banyaknya kolom matriks
pertama sama dengfan banyaknya baris matriks kedua
Contoh 2.
1 1
5 3
, matriks B =
, matriks C =
Diketahui matriks A =
2 3
1 2
dan I adalah matriks identitas ordo 2.
4
0
3 1
Hitunglah:
1. a. AB
b. BA
2. a. A(BC)
b. (AB)C
3. a. IA
b. AI
4. a. 2(AB)
b. (2A)B
5. a. A(B + C)
b. AB + AC
Jawab.
1 1 5 3 4 1
=
1. a. AB=
2 3 1 2 13 12
5 3 1 1 11 4
=
b. BA=
1 2 2 3 3 5
Simpulan: AB BA
4 1 1 9 17 3 15
1 1 5 3 0
=
=
2. a. A(BC)=
2 3 1 2 3 1 2 3 6 2 36 40
1 1 5 3 0
4 4 1 0
4 3 15
=
=
b. (AB)C=
2 3 1 2 3 1 13 12 3 1 36 40
Simpulan: A(BC) = (AB)C
1 0 1 1 1 1
=
3. a. IA =
0 1 2 3 2 3
1 1 1 0 1 1
=
b. AI =
2 3 0 1 2 3
Simpulan: IA=AI
1 1 5 3 4 1 8 2
=2
=
4. a. 2(AB) = 2
2
3
1
2
13 12 26 24
1 1 5 3 2 2 5 3 8 2
=
=
b. (2A)B = 2
2 3 1 2 4 6 1 2 26 24
Simpulan: 2(AB) = (2A)B
4 1 1 5 7 7 6
1 1 5 3 0
+
=
=
5. a. A(B + C) =
2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 4 3
1 1 5 3 1 1 0
4
+
b. AB + AC =
2
3
1
2
2
3
3
1
5
4 1 3
+
=
13 12 9 15
7 6
=
4 3
Simpulan: A(B + C) = AB + AC
Latihan 1.
3
3 1
6
0 4
, matriks B =
dan matriks C =
,
1. Diketahui matriks A =
2 5
1 2
7 3
tentukan:
a. A + B
f. 2A + B
k. A + B + C
b. B + A
g. –A + 2C
l. A + 2B + C
c. A + C
h. B + 3C
m. –A + 3B +2C
d. C + A
i. –C + 4A
n. –A + (-B) + (-C)
e. A + 2B
j. 2A + 3B
o. 2(A + B) + C
2. Tentukan ordo matriks hasil penjumlahan pada soal nomor 1.
1 1 5
4 2 1
2 3 0
, matriks Q =
dan matriks R=
, tentukan:
3. Jika matriks P =
3
0
8
2
1
2
1
5
1
a. P – Q
f. 2(P – R)
k. P – Q – R
b. P – R
g. 3R – P
l. P – 2(Q – R)
c. Q – R
h. Q – 5P
m. 4P – 2Q – 2R
d. 2P – R
i. -2R – P
n. 3(P – Q) – 5R
e. P – 3Q
j. -5P – 3Q
o. Q – R – P
4. Tentukan ordo matriks hasil pengurangan pada soal nomor 2.
5. Hitunglah hasil kali dari matriks-matriks berikut ini:
2
3
a. (1 1 1 1)
4
5
3 1 1 1 5
c.
2 5 3 1 7
1
b. 2 2 4 5 7
3
1 0 0 4
d.
2 4 1 0
1
2 1 4 5
2
dan matriks B = ,
6. Jika matriks A =
4
3 1 3 0
3
a. Apakah hasil dari perkalian matriks A dan B?
b. Apakah AB = BA? Jelaskan pendapatmu.
3
7 6
3 5
1
, matriks B =
, matriks C =
dan I
7. Diketahui matriks A =
4 3
1 2
1 3
adalah matriks identitas ordo 2, hitunglah:
a. (i) AB
(ii) BA
b. (i) AC
(ii) CA
c. (i) A(BC)
(ii) (AB)C
d. (i) IA
(ii) AI
e. (i) CBI
(ii) BCI
f. (i) 3(AB)
(ii) (3A)B
g. (i) A(B + C)
(ii) AB + AC
h. (i) A(B - C)
(ii) AB - AC
4 3
2
0 2 1
8. Diketahui matriks P = 1 3 0 ,matriks Q = 6 1 0 dan I adalah matriks
1 2 5
1 3 4
identitas ordo 3, tentukan:
a. P + Q
e. PQ
b. P – Q
f. QP
c. 2P + 3(PQ)
g. P(IQ)
d. P(P+Q)
h. Q(PI)
1 1 3
, agar AB = BA tentukan:
9. Jika matrika A =
3 1 5
a. ordo matriks B
b. matriks B
10. Tentukan matriks A jika:
2 1 3 5
6 3 2 5
+ A =
a.
3
1
3
0
3
1
1
7
8 3 2 4 2
5
b. A + 3 6 1 = 1 3 5
1 1 5 6
0 0
a c
3 5 1 0
, tentukan a, b, c dan d jika A
=
11. Misal matriks A=
b d
1 2 0 1
a c
2 3
1 0
, tentukan a, b, c dan d jika
B=
12. Misal matriks B=
b d
2 6
0 1
Determinan matriks ordo 2
a b
, maka determinan dari matriks A adalah:
Jika diketahui matriks A2 =
c d
a b
det A = |A| =
= ad – bc
c d
Jika ad = bc maka det A = 0. Suatu matriks yang determinannya sama dengan nol disebut dengan
matriks singular. Matriks singular dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut ini:
Jika A adalah suatu matriks, I adalah matriks identitas yang berordo sama dengan
matriks A, k adalah skalar, maka A – kI adalah suatu matriks singular.
Dengan kata lain, det(A-kI) = 0
Catatan:
Lambang determinan suatu matriks adalah dengan mengganti kurungnya menjadi kurung tanda
mutlak.
Contoh:
Hitunglah: a.
1 5
b.
2 1
Jawab.
1 5
a.
= 1 – 10 = –10
2 1
b.
6 3
2 1
6 3
2 1
= –6 – (–6) = 0
Invers matriks ordo 2
Jika invers dari matriks A adalah A-1 maka berlaku A A-1 = A-1 A = I
a b
, maka invers dari matriks A adalah:
Jika diketahui matriks A2 =
c
d
d
b
1
, dengan det A 0
A-1 =
det A c a
Jika det A = 0 maka matriks A tidak mempunyai invers.
Periksa bahwa A A-1 = I
a b 1 d b
A A-1 =
c
d
det
A
c
a
1 a b d b
{sifat perkalian matriks dengan skalar}
A A-1=
det A c d c a
1 ad bc ab ab
A A-1=
ad bc cd cd bc ad
0
1 ad bc
{sifat perkalian matriks dengan skalar}
A A-1=
ad bc 0
bc ad
1 0
A A-1=
0 1
A A-1 = I
Coba kalian periksa bahwa A-1 A = I!
Contoh 1.
1 3
Tentukan determinan dan invers dari matriks P =
2 5
Jawab.
det P = (1)(5) – (2)(-3) = 11
2
5
5
2
1
11
11
P-1=
1
11 3 1 3
11 11
Contoh 2.
2 2
2
B =
Tentukan matriks B jika
5 5
15
Jawab.
2 2
2
dan C = maka
Misal A =
5 5
15
AB= C
A-1 AB = A-1C
{kalikan kedua ruas dari arah kiri dengan A-1)
(A-1 A)B = A-1C {sifat asosiatif pada perkalian matriks}
I B = A-1C
{A-1 A = I}
B = A-1C
{IB = B karena I adalah matriks identitas}
5 2 1 5 2
1
maka
10 (10) 5 2 20 5 2
1 5 2 2 1 20 1
B=
20 5 2 15 20 40 2
1
Jadi B =
2
Karena A-1=
Catatan:
AB = C A-1 AB = A-1C
I B = A-1C
B = A-1C
AB = C AB B-1 = C B-1
A I = CB-1
A = CB-1
{kedua ruas dikalikan dengan A-1 dari kiri}
{kedua ruas dikalikan dengan B-1 dari kanan}
Latihan 2.
1. Tentukan determinan dan invers dari matriks-matriks berikut ini:
1 1
1 0
a.
f.
1 1
0 1
3 4
3 3
b.
g.
2 8
2 2
5 2
3 1
c.
h.
2 4
2 5
3 1
3 1
d.
i.
2 5
1 0
6 1
5 1
e.
j.
1
4
5 5
1
1
4 5
1 a
2
2c
, B=
, C=
dan D=
,
2. Diketahui matriks A=
3 6
b 3
43 3
c a 1
hitunglah determinan matriks D, jika A + B = CD
3 3
dan I adalah matriks identitas ordo 2. Jika A – kI adalah
3. Diketahui matriks A =
4
2
matriks singular, hitunglah nilai dari k.
4. Tentukan matriks X pada persamaan AX = B jika:
4 1
6 21
dan B =
a. A=
0
1
1
5
2 1
dan B =
b. A=
1 1
3 12
1 6
5 1
1 2 2
dan B =
c. A=
2 2
2 2 1
1 1
3 10 2
dan B =
d. A=
2 1
2 0 4
0 1
2
dan B =
e. A=
1 1
3
5. Tentukan matriks Y pada persamaan YP = Q jika
5 2
dan Q = (-13 -6)
a. P =
3
2
3
5
1 0
dan Q =
b. P =
1
5
3
1
3
3
1
0
dan Q =
c. P =
1 11
3 1
1
7
7 1
dan Q = 14 0
d. P =
1 0
0 7
1
1
0
4 3
5
dan Q =
e. P =
10 5
3 2
1 10
sin
cos
x
sin
, carilah nilai x dan y.
6. Jika
cos
sin
y
cos
7. Bilamana suatu matriks ordo 2 tidak mempunyai determinan? Jelaskan pendapatmu!
8. Bilamana suatu matriks ordo 2 tidak mempunayi invers? Jelaskan pendapatmu!
Menyelesaikan sistem persamaan linier dua veriabel dengan determinan matriks
Diketahui sistem persamaan linier dengan veriabel x dan y sebagai barikut:
a1x + b1 y = c1
a2x + b2 y = c2
Untuk memperoleh penyelesaiannya, sistem persamaan linier tersebut dapat dinyatakan dalam
perkalian matriks sebagai berikut:
a1
a 2
Matriks koofisien
b1 x c1
b 2 y c 2
Matriks variabel
Matriks hasil
Dari persamaan matriks tersebut, ditetapkan determinan-determinan sebagai berikut:
a
b1
c
b1
a
c1
D= 1
Dx= 1
Dy= 1
a 2 b2
c2 b2
a 2 c2
Maka penyelesaian dari sistem persamaan linier di atas adalah:
x=
Dx
D
dan
y=
Dy
D
Catatan:
D adalah determinan dari matriks koofisien
Dx adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen pada kolom pertama
dengan elemen-elemen pada matriks hasil
Dy adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen-elemen pada kolom
kedua dengan elemen-elemem pada matriks hasil
Menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan invers matriks
Diketahui sistem persamaan linier dengan veriabel x dan y sebagai barikut:
a1x + b1 y = c1
a2x + b2 y = c2
Untuk memperoleh penyelesaiannya, sistem persamaan linier tersebut dapat dinyatakan dalam
perkalian matriks sebagai berikut:
a1
a 2
a
1
a 2
b1 x c1
b 2 y c 2
b1
b 2
1
a1
a2
b1 x a 1
b 2 y a 2
b2
1 0 x
1
0 1 y a 1b 2 a 2 b1 a 2
x
y
x
y
b1
b 2
1
c1
c2
b1 c1
a 1 c 2
b 2 b1 c1
1
a1b 2 a 2 b1 a 2 a 1 c 2
b 2 c1 b1c 2
1
a 1b 2 a 2 b1 a 2 c1 a 1c 2
b 2 c1 b1c 2
x a1b 2 a 2 b1
y a 2 c1 a 1c 2
a b a b
1 2
2 1
Jadi, x =
b 2c1 b1c 2
a 2c1 a1c 2
dan y =
a1b 2 a 2 b1
a1b 2 a 2 b1
Ringkasnya:
b1
a
c
x
, X dan C 1
Misal A 1
a 2 b2
y
c2
-1
Jika AX = C maka X = A C
Contoh.
Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan menggunakan determinan matriks dan invers
matriks.
2x + y = 7
x – 3y = -7
Jawab.
Sistem persamaan linier tersebut dapat disusun dalam perkalian matriks sebagai berikut:
2 1 x 7
1 3 y 7
Cara 1. Penyelesaian dengan determinan matriks
2 1
D=
= -6 – 1 = -7
1 3
7
1
Dx=
= -21 + 7 = -14
7 3
2 7
Dy=
= -14 – 7 = -21
1 7
D y 21
D
14
x= x
y=
3
2 dan
D
7
D
7
Jadi, penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah x = 2 dan y = 3
Cara 2. Penyelesaian dengan invers matriks
2 1 x 7
1 3 y 7
2 1
1 3
1
2 1 x 2 1
1 3 y 1 3
1
7
7
1
x 2 1 7
I .
y 1 3 7
x
1 3 1 7
y 7 1 2 7
x 2
y 3
Jadi, penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah x = 2 dan y = 3
Latihan 3.
Selesaikanlah sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan determinan matriks dan
invers matriks.
4. 4a – 3b = 8
1. 2x + 3y = 11
a – 2b = 7
x – 2y = -12
x
+
y
=
3
2.
5. 3v + 3w = 6
2x + y = 1
v + 5w = -6
3. 2u + 5v = -5
u – 2v = -7
Determinan matriks ordo 3
a 11 a 12 a13
Jika diketahui matriks A3 = a 21 a 22 a 23 maka determinan dari matriks A adalah
a
31 a 32 a 33
Det A = | A | = (a11 a22a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) – (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12)
Rumus tersebut diperoleh dengan aturan sarrus sebagai berikut:
a 11 a 12 a13 a 11 a 12
a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
a 31
a 32
a 33 a 31
a 32
+
+ +
Cara penggunaan aturan sarrus:
1. Susun elemen-elemen matriks pada kolom pertama dan kedua di sebelah kanan kolom ketiga
2. Kalikan elemen-elemen matriks sesuai dengan arah panah
3. Determinannya adalah jumlah hasil kali elemen-elemen matriks arah panah ke bawah
dikurangi jumlah hasil kali elemen-elemen matriks arah panah ke atas.
Contoh:
Hitunglah determinan dari matriks:
8 3
5
1. A = 3 6 1
1 1 5
2
3
1
2. B = 1 2 3
0 1 5
Jawab.
1. dengan menggunakan atruran sarrus:
18 5 120
5
3
1
8
6
3 5
13
8
6
1 5 1
1
150
5
det A = 3
1
8
6
8
9
3
1 (150 + 8 + 9) – (18 – 5 – 120) = 274
1 5
2. dengan menggunakan aturan sarrus:
0
3 5
1
2
3 1
2
1 2 3 1 2
0
1
1
5 0
-10
0
3
1
2
3
det A = 1 2 3 = (-10 + 0 + 3) – (0 + 3 – 5) = -5
0
1
5
Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan determinan matriks
Diketahui sistem persamaan linier dengan variabel x, y dan z sebagai berikut:
a1x + b1 y + c1z = d1
a2x + b2 y + c2z = d2
a3x + b3 y + c3z = d3
Sistem persamaan linier tersebut dapat dinyatakan dalam perkalian matriks sebagai berikut:
a1
a 2
a
3
b1
b2
b3
Matriks koofisien
c1
c2
c 3
x d1
y =d2
z d
3
Matriks hasil
Matriks variabel
Dari persamaan matriks tersebut ditetapkan determinan-determinan sebagai berikut:
a 1 b1 c1
a 1 b1 c1
a 1 b1 c1
a 1 b1 c1
D = a 2 b2 c2
Dx = a 2 b 2 c 2
Dy = a 2 b 2 c 2
Dz = a 2 b 2 c 2
a 3 b3 c3
a 3 b3 c3
a 3 b3 c3
a 3 b3 c3
Maka penyelesaian dari sistem persamaan linier di atas adalah:
Dy
D
D
x= x
y=
z= z
D
D
D
Catatan:
D adalah determinan dari matriks koofisien
Dx adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen pada kolom pertama
dengan elemen-elemen pada matriks hasil
Dy adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen-elemen pada kolom
kedua dengan elemen-elemem pada matriks hasil
Dz adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen-elemen pada kolom
ketiga dengan elemen-elemem pada matriks hasil
Contoh:
Selesaikanlah sistem persamaan linier berikut menggunakan determinan matriks.
x+y+z=6
2x + 3y + z = 11
x + 2y + 3z = 14
Jawab.
Sistem persamaan linier tersebut dapat disusun dalam perkalian matriks sebagai berikut:
1 1 1 x 6
2 3 1 y = 11
1 2 3 z 14
1 1 1
D = 2 3 1 = (9 + 1 + 4) – (3 + 2 + 6) = 14 – 11 = 3
1 2 3
6 1 1
Dx = 11 3 1 = (54 + 14 + 22) – (42 + 12 + 33) = 90 – 87 = 3
14 2 3
1 6 1
Dy = 2 11 1 = (33 + 6 + 28) – (11 + 14 + 36) = 67 – 61 = 6
1 14 3
1 1 6
Dz = 2 3 11 = (42 + 11 + 24) – (18 + 22 + 28) = 77 – 68 = 9
1 2 14
Dy 6
Dx 3
D
9
y=
2
z= z 3
1
D
3
D
3
D
3
Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linier di atas adalah x = 1, y = 2 dan z = 3
x=
Latihan 4.
Selesaikanlah sistem persamaan linier tiga veriabel berikut dengan menggunakan determinan
matriks.
1. 2x + y + z = 7
x + 3y + z = 10
x + 5y + 3z = 20
2. u + v + w = 4
5u + 3v + w = 4
u + 2v + w = 6
3. -x + y + z = -3
x + 3y + z = -1
6x + 5y + 3z = 7
4. 2a + b = 8
a+b+c=5
7a - b + 5c = 5
5. p + q – r = 7
-p - q + r = -7
2p - q + 3r = 10
EKSPLORASI
2
1 1
Diketahui matriks A = 3 1 1 , matriks B =
2 0
3
Jika AB = I dan BA = I, carilah matriks B.
a1
a 2
a
3
b1
b2
b3
c1
1 0 0
c 2 dan I = 0 1 0
0 0 1
c 3
