Document

DIFERENSIAL FUNGSI
SEDERHANA
A. Elastisitas
Elastisitas merupakan persentase perubahan y terhadap
persentase perubahan x.
1. Elastisitas Permintaan
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya
perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya
perubahan harga (rasio antara persentase perubahan
jumlah barang yang diminta terhadap persentase
perubahan harga).
Jika Qd = f(P) maka elastisitas permintaannya adala
ηd = %∆Qd = EQd = lim (∆Qd /Qd)= dQd . P
%∆P
EP ∆P→0 (∆P /P)
dP Qd
Dimana dQd /dP = Q’d atau f’(P)
Contoh 1
• Fungsi permintaan ditunjukkan dengan persamaan Qd =
75 – 5P2. tentukan elastisitas permintaan pada harga P =
20
• Penyelesaian :
Qd = 75 – 5P2
→
Q′d = - 10P
→ P = 20
ηd = %∆Qd = EQd = lim
= Q′d . P
%∆P
EP
∆P→0
Qd
ηd = - 10P . P/ Qd
ηd = - 10(20) . 20/ (75 – 5(20) 2)
ηd = - 200 . 20/ - 1925 = 2
(2 > 1 ...... elastik)
• Jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik (turun)
sebesar 1% sehingga jumlah barang yang diminta akan
berkurang (bertambah) sebanyak 2%.
Catatan :
Dalam elastisitas permintaan, untuk menentukan jenis
elastisitas yang dibandingkan adalah angka hasil
perhitungan sehingga tanda yang dihasilkan (+/-) dapat
diabaikan karena tanda tersebut hanya mencerminkan
hukum permintaan bahwa jumlah yang diminta bergerak
berlawanan arah dengan harga.
Fungsi permintaan juga sering dinotasikan dengan
persamaan D = f(P).
2. Elastisitas Penawaran
• Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang
besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan
akibat adanya perubahan harga (rasio antara persentase
perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap
persentase perubahan harga).
• Jika Qs = f(P) maka elastisitas penawarannya adalah :
ηs = %∆Qs = EQs = lim (∆Qs /Qs)= dQs . P
%∆P
EP
∆P→0 (∆P /P)
dP Qs
• jika |ηs| > 1 maka elastik, jika |ηs| < 1 maka inelastik dan
jika |ηs| = 1 maka elastik-uniter.
Contoh 2 :
• Fungsi penawaran ditunjukkan dengan persamaan Qs = -75 +
5P2. tentukan elastisitas penawaran pada harga p = 20
• Penyelesaian :
Qs = -75 + 5P2 →
ηs = %∆Qs = EQs =
%∆P
EP
Q′s = 10P
lim
∆P→0
→ P = 20
= Q′s . P
Qs
ηs = 10P . P/ Qs
ηs = 10(20) . 20/ (-75 + 5(20) 2)
ηs = 200 . 20/ 1925
=2
(2 > 1 ...... elastik)
• Jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik sebesar 1%
sehingga jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah
sebanyak 2%.
3. Elastisitas Produksi
• Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang
besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang
dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan
(input) yang digunakan (rasio antara persentase
perubahan jumlah keluaran terhadap persentase
perubahan jumlah masukan).
• Jika P = jumlah produk yang dihasilkan & X = jumlah
faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi P =
f(X) maka elastisitas produksinya adalah :
ηp = %∆P = EP = lim (∆P /P)= dP . X
%∆X EX ∆X→0(∆X /X) dX P
• jika |ηs| > 1 maka elastik, jika |ηs| < 1 maka inelastik dan
jika |ηs| = 1 maka elastik-uniter.
Contoh 3:
• Hitunglah elastisitas produksi dari fungsi produksi P = 5X2 –
5X3 pada tingkat faktor produksi sebanyak 2 unit!
• Penyelesaian :
P = 5X2 – 5X3 →
P′ = 10X - 15X2
ηp = %∆P = EP =
lim
= P′ . X
%∆X EX
∆X→0
P
ηp = (10X - 15X2) . (X/ (5X2 – 5X3))
ηp = (10(2) – 15(2)2) . (2/ (5(22)– 5(23))
ηp = -40 . -0,1
= 4
→P=2
jadi, dari kedudukan X = 2, faktor produksi yang
digunakan naik sebesar 1% sehingga produk yang dihasilkan
bertambah sebanyak 4%.
B. Biaya marginal, Penerimaan marginal, Utilitas
marginal, & Produk marginal
1. Biaya Marginal
• Adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk
menghasilkan satu unit tambahan produk. Fungsi biaya
marginal adalah turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika
fungsi biaya total adalah C = f(Q) maka biaya marginalnya
adalah :
MC = C′ = dC
dQ
• Notes: Pada umumnya fungsi biaya total yang non linear
berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi biaya marginal akan
berbentuk fungsi kuadrat. Dalam kurvanya, kurva biaya
marginal akan mencapai titik minimum tepat pada saat
kurva biaya total berada pada titik beloknya.
Contoh 4:
• Fungsi biaya total dinyatakan dalam persamaan C = 2Q3 – 6Q2 + 8Q + 8.
Tentukanlah persamaan biaya marginal serta berapa titik minimumnya?
• Penyelesaian :
C = 2Q3 – 6Q2 + 8Q + 8
MC minimum jika MC′ = 0
Untuk Q = 1
→
→
→
MC = C′ = 6Q2 - 12Q + 8
MC′ = C′′ = 12Q – 12
0 = 12Q – 12
Q=1
MC = 6Q2 - 12Q + 8
MC = 6(1)2 – 12(1) + 8
C = 2Q3 – 6Q2 + 8Q + 8
C = 2(1)3 – 6(1)2 + 8(1) + 8
= 2
= 12
• Jadi, persamaan biaya marginalnya adalah MC = 6Q2 - 12Q + 8. Fungsi
biaya marginal mencapai titik minimum pada koordinat (1,2) pada saat
fungsi biaya total berada pada titik belok di koordinat (1,12).
2. Penerimaan marginal
• Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh akibat
bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi (terjual).
Fungsi penerimaan marginal adalah turunan pertama dari
fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total adalah
R = f(Q) maka penerimaan marginalnya adalah :
MR = R′ = dR
dQ
• Notes: Pada umumnya fungsi penerimaan total berbentuk
fungsi kuadrat sehingga fungsi penerimaan marginal akan
berbentuk fungsi linear. Dalam kurvanya, kurva
penerimaan marginal akan mencapai 0 tepat pada saat
kurva penerimaan total berada pada titik ekstrimnya.
Contoh 5:
• Fungsi permintaan dinyatakan dalam persamaan P = 20 – 5Q. tentukanlah
persamaan penerimaan total & marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi
penerimaan totalnya?
• Penyelesaian :
P = 20 – 5Q
→
R = Q.P
R = Q (20 – 5Q)
R = 20Q – 5Q2
• Jika R = 20Q – 5Q2
→
MR = R′ = 20 – 10Q
• R maksimum jika MR = 0
• Untuk Q = 2
→
→
0 = 20 – 10Q
Q=2
P = 20 – 5Q
P = 20 – 5(2)
R = 20Q – 5Q2
R = 20(2) – 5(2)2
= 10
= 20
Jadi, titik ekstrim fungsi penerimaan total berada pada koordinat (2,20)
3. Utilitas marginal
• Adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen akibat
bertambahnya satu unit barang yang dikonsumsi. Fungsi
utilitas marginal adalah turunan pertama dari fungsi utilitas
total. Jika fungsi utilitas total adalah U = f(Q) maka utilitas
marginalnya adalah :
MU = U′ = dU
dQ
• Notes: Pada umumnya fungsi utilitas total yang non-linear
berbentuk fungsi kuadrat sehingga fungsi utilitas marginal
akan berbentuk fungsi linear. Dalam kurvanya, kurva
utilitas marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva
utilitas total berada pada titik ekstrimnya.
Contoh 6:
• Fungsi utilitas dinyatakan dalam persamaan U = 15Q – 5Q2. tentukanlah persamaan
utilitas marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi utilitas totalnya!. Berapa
utilitas marginal jika barang yang diproduksi ditambah dari 2 unit menjadi 3 unit?
• Penyelesaian :
U = 15Q – 5Q2
U maksimum jika MU = 0
Untuk Q = 1,5
• Jika Q = 2
• Jika Q = 3
MU = U′ = 15 – 10Q
→
→
→
→
→
0 = 15 – 10Q
= 1,5
U = 15Q – 5Q2
U = 15(1,5) – 5(1,5)2 = 11,25
MU = 15 – 10(2)
MU = 15 – 10(3)
= -5
= -15
• Jadi, titik ekstrim fungsi utilitas total berada pada koordinat (1,5;11,25). Pada saat
konsumen mengkonsumsi 2 unit barang utilitas tambahan sudah menurun dan akan
semakin menurun jika ditambah 1 unit lagi, sehingga konsumen harus mengurangi
konsumsi terhadap produk tersebut untuk meningkatkan kembali utilitas
tambahannya.
4. Produk marginal
• Adalah produk tambahan yang dihasilkan akibat
bertambahnya satu unit faktor produksi yang digunakan.
Fungsi produk marginal adalah turunan pertama dari fungsi
produk total. Jika fungsi produk total adalah P = f(X) maka
produk marginalnya adalah :
MP = P′ = dP
dX
• Notes: Pada umumnya fungsi produk total yang non-linear
berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi produk marginal
akan berbentuk fungsi kuadrat. Dalam kurvanya, kurva
produk marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva
produk total berada pada titik ekstrimnya dan mencapai
titik ektrim tepat saat produk total berada pada titik
beloknya.
Contoh 7:
•
Fungsi produk dinyatakan dalam persamaan P = 9X2 – 3X3. tentukanlah persamaan produk
marginal serta berapa titik ekstrim dan titik belok dari fungsi produk totalnya!. berapa titik
ekstrim dari fungsi produk marginalnya serta berapa besar produk marginalnya?
•
Penyelesaian :
P = 9X2 – 3X3
P maksimum jika MP = 0
Untuk X = 2
P belok jika
•
MP = P′ = 18X – 9X2
MP′ = P′′ = 18 – 18X
→
→
→
MP′ = 0
0 = 18X – 9X2
X=2
(dicari dengan rumus abc)
P = 9X2 – 3X3
P = 9(2)2 – 3(2)3
→
Jika X = 1
→
Jika X = 1
→
= 12
0 = 18 – 18X
X=1
P = 9X2 – 3X3
P = 9(1)2 – 3(1)3
=6
2
MP = 18X – 9X
MP = 18(1) – 9(1)2 = 9
Jadi, titik ekstrim fungsi produk total berada pada koordinat (2,12), titik beloknya pada titik (1,6).
Fungsi produk marginal ada pada titik ekstrim di koordinat (1,9).
5. Analisis Keuntungan
• Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum atau
menimbulkan kerugian maksimum, dapat disidik dengan pendekatan
diferensial. Karena baik penerimaan total (R) maupun biaya total (C) samasama merupakan fungsi dari jumlah keluaran yang dihasilkan (Q), maka
dari sini dapat dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan (n).
Nilai ekstrim atau nilai optimum π dapat ditentukan dengan cara
menetapkan derivatif pertamanya sama dengan nol.
R= r(Q)
C= c(Q)
n = R-C =r(Q)-c(Q) = f(Q)
n optimum jika π’=0
f(Q)=dπ/dQ=0
• Untuk mengetahui apakah π’=0 mencerminkan keuntungan maksimum
ataukah justru kerugian maksimum, perlu diuji melalui derivatif kedua dari
fungsi π.
▫ Π=R – C = f(Q)
▫ Π optimum apabila π’=0 atau MR = MC
▫ Jika π”<0
π maks = keuntungan maks
▫ Jika π”>0
π min = keuntungan min
Contoh 8:
• Andaikan:
R = r(Q) = -20Q²+1000Q
C = c(Q) = Q³-59Q²+1315Q+2000
Maka:
π = R-C = -Q+57Q²-315Q-2000
Agar keuntungan maksimum:
π’ = 0
-3Q’ + 114Q – 315 = 0
- Q²+ 38Q – 105 = 0
(-Q+3)(Q-35)=0, diperoleh Q1=3 dan Q2=35
π’= -6Q+114
Jika Q=3, π” = -6(3)+114=96>0
Jika Q=35, π” = -6(35)+114=-96<0
Karena π”<0 untuk Q=35, maka tingkat produksi yang menghasilkan
keuntungan maks adalah Q=35 unit. Adapun besarnya keuntungan maks tsb:
π = -(35)³+57(35)²-315(35) – 2000 = 13.925
TUGAS
Kerjakan soal-soal berikut dan dikumpulkan:
1. Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan
oleh persamaan Qd=25-3P². Tentukan elastisitas
permintaannya pada tingkat harga P=5.
2. Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh
Qs=-200+7P². Berapa elastisitas penawarannya
pada tingkat harga P=10 dan P=15.
3. Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh
persamaan P=6X²-X². Hitunglah elastisitas
produksinya pada tingkat penggunaan faktor
produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.