Paper Title (use style: paper title)
advertisement
Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455 PENDEKATAN GEOMETRI UNTUK MEMBANGUN KONSEP PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT BERDASARKAN PERSPEKTIF SEJARAH Achmad Dhany Fachrudin Pendidikan Matematika, STKIP PGRI Sidoarjo ([email protected]) Abstrak Tujuan penelitian ini adalah mengkaji secara teoritis bagaimana pendekatan geometri dapat membantu pemahaman siswa dalam memahami konsep menyelesaikan persamaan kuadrat. Penelitian ini merupakan kajian teoritis untuk menghasilkan suatu pendekatan pembelajaran yang dapat digunakan oleh praktisi pendidikan dalam mengajarkan konsep penyelesaikan persamaan kuadrat. Dari hasil kajian teori yang dilakukan, peneliti berkesimpulan bahwa untuk memahamkan konsep penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna melalui metode sejarah yang dikenal dengan naïve geometry, yang diinterpretasikan sebagai manipulasi bentuk persegipanjang menjadi bentuk persegi. Dimana hal tersebut dapat dilakukan melalui beberapa langkah, yaitu 1) Melakukan manipulasi geometris untuk menyelesaikan masalah, 2) Menggunakan metode naïve geometry untuk menyelesaikan masalah, 3) Mengaitkan masalah geometri dengan aljabar dan 4) menemukan rumus umum menyelesaikan persamaan kuadrat. Kata Kunci: pendekatan geometri, penyelesaian persamaan kuadrat, naïve geometry. Abstract The purpose of this research is to study theoretically how geometry method can help students’ understanding about the concept of solving quadratic equations. This research was a theoretical study to produce an learning approach that can be used by the teachers to teach the concept of quadratic equation. The results of the study, researchers concluded that in order to understand the concept of quadratic equation can be acquired by manipulating and reshaping the rectangle into square through historical method known as naïve geometry. This can be achieved through several activities, namely 1) manipulating geometric form to solve the problem , 2) Using the naïve geometry method to solve the problem, 3) Linking geometric problems with algebra ,4) Finding common formulas solving quadratic equations. Keywords: geometric approach, solving quadratic equation, naïve geometry. 215 Fachrudin, Pendekatan Geometri Kebanyakan pembelajaran aljabar yang PENDAHULUAN Aljabar merupakan cabang matematika berlangsung selama ini hanya menekankan tesebut pada penggunaan algoritma atau rumus ditunjukkan melalui penerapannya secara saja, terutama pada topik penyelesaian langsung pada bidang lain seperti sains, persamaan kuadrat (Zakaria, Ibrahim, & teknik, dan tentunya pada cabang lain Maat, 2010). Oleh karena itu, penguasaan dalam matematika itu sendiri (French, siswa terhadap konsep yang diajarkan 2002). Pada masa sebelum dikenal sistem masih penggunaan simbol yang merupakan salah merupakan salah satu cabang dalam satu elemen dalam argumentasi aljabar, aljabar. Secara umum persamaan kuadrat argumen suatu didefinisikan dalam bentuk ππ₯ 2 + ππ₯ + permasalahan dinyatakan dalam bentuk π = 0 , di mana π ≠ 0; π, π disebut verbal sehingga pencarian solusi masalah koefisien dan c adalah konstanta. Dalam tesebut menjadi kurang efektif. Di sisilain, persamaan ini aljabar merupakan pengembangan dan dinyatakan dalam bentuk variabel x. Kita penyempurnaan dari aritmatika (Wheeler, dapat mencari dua akar dari setiap 1996). Dikatakan seperti itu karena dalam persamaan kuadrat yang diberikan, dimana prakteknya ada beberapa permasalahan menemukan akar dari persamaan kuadrat yang melibatkan prosedur aritmatik, tapi sama tidak dapat diselesaikan tanpa melibatkan persamaan kuadrat. Dalam menemukan aljabar. akar yang sangat penting. atau Untuk situasi Hal dalam menekankan betapa kurang. halnya tersebut, Persamaan kuadrat terdapat dua akar yang dengan bentuk menyelesaikan abstrak dari pentingnya pembelajaran aljabar, Tall dan persamaan kuadrat seringkali membuat Thomas menyatakan: “there is a stage in siswa kesulitan dalam memahami konsep the curriculum when the introduction of menyelesaikan algebra may make simple things hard, but Berkaitan dengan hal tersebut, French not teaching algebra will soon render it (2002) impossible to make hard things simple” kesalahan dasar yang sering dilakukan (French, oleh siswa adalah menganggap bahwa 2002). penguasaan Dengan aljabar dapat kata lain, persamaan memberikan contoh kuadrat. umum (π + π)2 adalah sama dengan π2 + π2 . membuat permasalahan yang rumit menjadi lebih Beberapa peneliti juga telah melakukan mudah. kajian mengenai pembelajaran persamaan 216 Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455 kuadrat (Lian & Yew, 2012; Olteanu, C., bermakna karena dalam PMRI, & Olteanu, L., 2012; Radford, 2002; permasalahan atau konteks Radford & Guerette, 2000; Zakaria et al, digunakan sebagai langkah awal untuk 2010). Beberapa hasill dari kajian tersebut membangun konsep menunjukkan masih banyaknya kesalahan (Gravemeijer, & siswa dalam menyelesaikan persamaan Sembiring, 2010; Van Den Heuvel- kuadrat yang disebabkan oleh pemahaman Panhuizen, 2003; Zulkardi, 2002). Salah sifat dan konsep aljabar yang masih satu rendah. mengisyaratkan realistik prinsip matematika Doorman, dalam 1999; PMRI untuk juga memberi Dalam menyikapi hal ini, peneliti kesempatan pada siswa mengalami proses melihat dua hal utama yang dapat dijadikan yang sama sebagaimana konsep-konsep landasan mendukung pemahaman siswa matematika terhadap konsep persamaan kuadrat untuk 1994). Senada dengan hal tersebut, dalam selanjutnya dapat digunakan praktisi dalam Kurikulum merancang pembelajaran di kelas. Hal diamanatkan menggunakan pendekatan pertama adalah berkenaan dengan aspek ilmiah, pembelajaran, bahwa proses belajar hanya pembelajaran ilmiah adalah berbasis fakta akan terjadi ketika pengetahuan yang atau permasalahan realistik (Kemdikbud, dipelajari 2013). bermakna bagi siswa (Freudenthal, 1991). Di samping itu, Suatu ditemukan 2013, dimana Sembiring salah (Gravemeijer, pembelajaran satu (2010) kriteria menyatakan pengetahuan akan menjadi bermakna bagi bahwa pembelajaran dengan pendekatan siswa jika proses pembelajaran dilakukan PMRI akan memiliki beberapa karakter, dengan melibatkan suatu situasi atau yaitu: konteks 1. Siswa lebih aktif berpikir (CORD, 1999). Realistic Mathematics Education (RME) atau di Indonesia dikenal dengan 2. Konteks dan bahan ajar terkait Pendidikan langsung dengan lingkungan sekolah Matematika Realistik Indonesia (PMRI), dan siswa merupakan pendekatan pembelajaran yang 3. Peran guru lebih aktif dalam memungkinkan terjadinya kaitan antara merancang bahan ajar dan kegiatan konteks dengan pembelajaran sehingga kelas. dapat tercapai pembelajaran yang 217 Fachrudin, Pendekatan Geometri Sedangkan hal kedua adalah aspek sejarah. Menurut perspektif Sejarah matematika memberikan sisi sejarah, aktivitas manusia dan tradisi/ konsep penyelesaian persamaan kuadrat kebudayaan manusia. Pada sisi ini, dibangun berdasarkan landasan geometri siswa merasa menjadi bagiannya (French, 2002; Krantz, 2006; Merzbach & sehingga menimbulkan antusiasme Boyer, dan motivasi tersendiri. 2010). Al-Khawarizmi juga menjelaskan pondasi dan pembuktian 3. Skills (keterampilan) penyelesaian persamaan kuadrat secara Yang dimaksud dengan skills di sini geometris untuk penyelesaian persamaan bukan hanya keterampilan matematis kuadrat dalam bukunya yang berjudul semata, tetapi keterampilan dalam hal: Hisob al-jabr wa’l muqabalah (Krantz, keterampilan research dalam menata 2006; Merzbach & Boyer, 2010). informasi, keterampilan menafsirkan Terdapat banyak manfaat yang dapat diambil dari penggunaan secara kritis berbagai anggapan dan sejarah hipotesis, keterampilan matematika dalam pembelajaran. Fauvel secara (dalam Sumardyono, 2012) menyatakan mempresentasikan terdapat tiga dimensi besar pengaruh keterampilan positif sejarah matematika dalam proses menerima suatu konsep pada level belajar siswa: yang berbeda-beda. Keterampilan- 1. Understanding (pemahaman) koheren, menulis keterampilan keterampilan kerja, menempatkan di atas Perspektif sejarah dan perspektif diantisipasi matematika (struktur modern) saling konvensional/tradisional. melengkapi untuk memberikan Secara gambaran yang jelas dan menyeluruh, mengatasi konsep-konsep dan teorema-teorema jarang pembelajaran pengintegrasian permasalahan dalam pembelajaran matematika yang dijelaskan dalam matematika, serta pemahaman oleh (Grugnetti, 2000) yaitu: yang lebih baik tentang bagaimana matematika eksplisit dan Sejarah matematika juga berperan untuk yaitu pemahaman yang rinci tentang konsep-konsep dalam dan 1. saling Dengan menggunakan masalah lama, siswa dapat membandingkan strategi berhubungan dan bertemu. mereka dengan yang asli. Ini adalah 2. Enthusiasm (antusiasme) cara yang menarik untuk memahami 218 Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455 2. keefektifan proses aljabar yang kita mendukung gunakan sekarang (karena pada zaman menyelesaikan persamaan kuadrat dengan dahulu mengintegrasikan belum mengenal simbol- pemahaman konsep aspek simbol aljabar). Dalam mengamati matematika evolusi suatu konsep secara historis, metode geometri Babylonian atau yang siswa bahwa dikenal dengan Naïve geometry yang matematika itu sesungguhnya tidak dikenalkan oleh J. HΗΏyrup (1990). Hal ini tetap dan definitif. dimaksudkan untuk memudahkan siswa akan Sejarah menemukan untuk membangun dan konsep-konsep keterampilan (history of sejarah mathematics) dalam memahami ide dari memfaktorkan persamaan kuadrat melalui pendekatan geometris. matematika. Dengan melibatkan unsur sejarah diharapkan siswa juga dapat Dengan mengetahui pengetahuan memperluas pengetahuan dalam mencari dan koneksi apa yang sedang dipelajarinya perkembangan konsep matematika, terhadap akan meningkatkan keterampilan dan pola pikir membantu keterampilan 3. penemuan sejarah meningkatkan dan pola pikir lingkungan terhadap suatu konsep (persamaan kuadrat) bagaimana suatu konsep tersebut sebelum ditemukan dulunya. memudahkan Sebuah analisis ditemukannya (aljabar). konsep yang Selain itu sejarah matematika juga dan penggunaan epistemologis memungkinkan guru diaharapkan untuk memahami mengapa suatu pengetahuan konsep tertentu sulit bagi siswa membantu dalam mengembangkan suatu (misal, desain pembelajaran yang lebih bermakna, konsep historis sekitarnya, fungsi, konsep dapat guru yang memperluas akan dapat pecahan, konsep limit dan lain-lain) inovatif dan menarik bagi siswa. dan Metode Geometris Babilonia: Naïve dapat pengembangan membantu suatu dalam pendekatan Geometry didaktik. Secara implisit persamaan kuadrat Pada penelitian ini, peneliti mencoba telah dikenal dan dikembangkan pada pada melakukan kajian literatur terkait dengan masa Babilonia. Hal tersebut ditunjukkan bagaimana dengan penemuan beberapa naskah atau peran geometri dalam 219 Fachrudin, Pendekatan Geometri prasati (Gambar 2.5). HΗΏyrup (1990) _online/collection_object_details/collection_imag e_gallery.aspx?partid=1&assetid=324556&objec tid=798589 menyatakan bahwa masyarakat Babilonia pada masa Babilonia kuno (2000 B.C.- Berikut adalah contoh dari permasalahan 1600 B.C.) telah mengenal dan mampu Babilonia memecahkan persamaan kuadrat (walau waktu matematikawan itu berupa Babilonia metode (sudah diterjemahkan), yaitu menemukan panjang masih terbatas). Metode yang digunakan para sederhana sisi dari persegi, yang ditemukan pada pada naskah (prasasti) yang tersimpan di British geometri Meseum yang dikenal dengan BM 13901. sederhana dan mereka gunakan untuk My confrontation inside of the surface I have torn out: 14`30°. 1 the wasitum; You pose. The moiety (half) of 1 you break, 30’ and 30’ you make span; 15’ to 14`30° you append: 14`30°15′ makes 29°30′ equilateral. 30′which you have made span to 29`30° you append; 30 the confrontation. menyelesaikan permasalahan aljabar yang juga mirip dengan metode yang digunakan oleh al-Khawarizmi yang telah dibahas sebelumnya. Metode ini dikenalkan oleh J. HΗΏyrup dengan nama Naïve geometry. Keterangan: 1 2 14`30° = 870 , 30′ = 1 1 , 15′ = 4 , 14`30°15′ = 870 4 , wΔsitum: sesuatu yang dikeluarkan. Berikut adalah interpretasi secara geometris dan simbol aljabar permasalahan di atas (HΗΏyrup,1990). Gambar 1. Naskah Babilonian BM 13901 Sumber Gambar: http://www.britishmuseum.org/research/collection 220 Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455 Tabel 1. Interpretasi Permasalahan BM 19301 No.2 Pernyataan My confrontation inside of the surface I have torn out: ππ`ππ° (πππ) . 1 the wasitum; Interpretasi Geometris Simbol Aljabar π₯ 2 − π₯ = 870 1 π₯ π₯ You pose. The moiety of 1 π you break, ππ’ (π) and 1 1 β1 = 2 2 1 2 1 ( ) = 2 4 1 2 π ππ’ (π) you make span; 1 2 1 π₯− π ππ’ ( ) to ππ`ππ° (πππ) π you append: ππ`ππ°ππ′ π (πππ π) makes ππ°ππ′ equilateral 1 2 1 1 1 π₯ 2 − 2 β β π₯ + = 870 2 4 4 π₯− 1 π₯− 2 1 1 1 = √870 = 29 2 4 2 1 1 = 29 2 2 π₯ = 30 π ππ′ (π) which you have made span to ππ°ππ′ π (ππ π) you append; 30 the confrontation. π₯− π₯ 221 Fachrudin, Pendekatan Geometri Ide dasar dari metode yang digunakan oleh matematikawan adalah contoh dari pada permasalahan serupa yang muncul pada masalah yang terdapat pada BM 13901 Arithmetica Book I Problem 27 yang ditulis No.2 dengan oleh Diophantus (sekitar tahun 250 M) sempurna (Radford, 1996): “Find two numbers such persegi). that their sum and their product equal the tersebut melengkapkan adalah kuadrat (menyempurnakan Interpretasi Babilonia Berikut bentuk secara geometris juga given numbers”. (1996) membuat permasalahan tersebut menjadi menjelaskan lebih mudah dipahami. Matematikawan permasalahan tersebut dapat ditemukan pada masa itu memang belum mengenal melalui simbol aljabar, akan tetapi berdasarkan geometris. Dimana metode tersebut serupa interpretasi secara geometris dan aljabar dengan naïve geometry. Berikut adalah yang disajikan di atas, dapat dikatakan solusi dari permasalahan di atas apabila mereka telah mengenal persamaan kuadrat bilangan dan (diketahui jumlah dua bilangan 20 dan bagimana mencari solusinya, walaupun penggunaannya masih terbatas bahwa Radford interpretasi dimaksud solusi dan sudah dari manipulasi diberikan hasil kalinya 96). untuk bentuk persamaan kuadrat bentuk tertentu dan solusi bilangan positif saja. luas daerah yang berlebih 10 3 3 10 2 10 8 96 8 12 Dipindahkan Gambar 2. Metode Geometris pada pemecahan masalah problem 27 Book 1 Arithmetica 222 Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455 HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan pembelajaran kuadrat sempurna melalui interpretasi yang geometris dan metode naïve geometry merupakan sehingga siswa dapat memahami konsep penyelesaian memfaktorkan persamaan kuadrat. Secara persamaan kuadrat melalui pendekatan garis besar pembelajaran dilaksanakan geometris yang dikaji dari aspek sejarah. melalui Konteks geometry digunakan sebagai memiliki tujuan untuk: memahami konsep langkah dasar dibuat oleh pembangunan peneliti konsep awal untuk siswa dalam serangkaian persamaan aktifitas kuadrat yang melalui membangun konsep dan metode geometris pendekatan geometris, membangun model Babilonia kuno (metode naïve geometry) dan memahami bentuk lain dari suatu digunakan jembatan bagi persamaan kuadrat, menemukan rumus siswa untuk memahami dan menemukan rumus umum bentuk menyelesaikan persamaan kuadrat. persamaan kuadrat. Penanaman konsep dilakukan melalui serangkaian aktivitas pembelajaran, diberikan permasalahan yang mengacu pada permasalahan-permasalahan dalam sejarah matematika, tentunya dengan melakukan sedikit perubahan radaksi kalimat sehingga mudah dipahami oleh siswa. rumus bukanlah merupakan penekanan utama dalam desain pembelajaran yang dibuat, akan tetapi bagaimana siswa dapat memahami arti simbol aljabar (persamaan kuadrat) melalui intepretasi geometris, memahami bentuk lain dari suatu persamaan untuk menyelesaikan Tabel 2. Gambaran Umum Pembelajaran Persamaan Kuadrat Melalui Metode Naïve Geometry Aktivitas Konsep atau keterampilan yang dibangun Mengenal naïve Memahami prosedur geometry/ naïve geometry dan Menyelesaikan membangun permasalahan pengetahuan tentang awal yang aljabar geometris diberikan (developing algebraic geometric thinking) Menggunakan Meningkatkan metode naïve pemahaman tentang geometry untuk naïve geometry dan menyelesaikan penggunaannya, masalah. secara tidak langsung memahami ekuivalensi bentuk persamaan kuadrat dan memahami konsep faktorisasi dengan dimana pada tiap aktivitas tersebut akan Menemukan umum untuk memudahkan dalam memfaktorkan, dan memfaktorkan melalui ide melengkapkan 223 Fachrudin, Pendekatan Geometri Aktivitas Mengkontruksi rumus persamaan kuadrat Konsep atau keterampilan yang dibangun melengkapkan kuadrat sempurna. Memahami keterkaitan antara naïve geometry dan persamaan kuadrat (linking between geometry and algebra), membangun konsep menyelesaikan persamaan kuadrat. Siswa diminta untuk menyelesaikan permasalahan berkelompok yang harus digunakan oleh siswa. Pada hakikatnya, hal ini dimaksudkan agar bagaimana langkah pembelajaran secara mereka dapat memahami dan melakukan terurut berdasarkan kajian teoritis yang untuk eksplorasi permasalahan yang diberikan. mengenalkan Setelah memberi kesempatan pada tiap- kepada siswa konsep persamaan kuadrat. tiap kelompok untuk mempresentasikan Langkah pembelajaran ini kami bagi dan berdiskusi tentang jawaban beserta menjadi 4 bagian atau 4 pertemuan yang metode dijelaskan sebagai berikut. apa Selanjutnya Melakukan untuk Manipulasi Geometris Menyelesaikan Masalah yang mereka diharapkan gunakan, siswa dapat menemukan kembali metode manipulasi secara terbimbing melalui aktivitas yang terdapat pada LAS dan diskusi kelas. (Aktivitas I). Pembelajaran menggunakan tidak memberi batasan metode tertentu Pada bagian ini kami akan menjelaskan dilakukan dengan secara strategi apapun. Dengan kata lain guru Langkah Pembelajaran telah tersebut dimulai Setelah itu, guru dapat memberi informasi dengan kepada siswa bahwa metode yang telah pemberian soal geometri yang terinspirasi mereka temukan tersebut bernama “naïve dari permasalahan sejarah (Arithmetica geometry” Book I Problem 27 (Radford, 1996)). yang digunakan oleh matematikawan Babilonia pada sekitar Berikut adalah permasalahan pertama pada tahun 1500 SM. Guru juga memberi LAS. sedikit informasi sejarah tentang Babilonia 224 Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455 dengan harapan dapat memberi motivasi merupakan permasalahan sejarah yang kepada siswa. terdapat dalam prasasti Babilonia kuno. kali ini luas area berlebih yang harus ο· Tentukan ukuran panjang dan lebar sebuah persegi panjang apabila diketahui luasnya adalah 117 satuan luas dan selisih panjang dan lebarnya adalah 4 satuan? ο· Tentukan ukuran panjang dan lebar sebuah persegi panjang apabila diketahui luasnya adalah 60 dan selisih panjang dan lebarnya adalah 7 satuan? (merupakan permasalahan yang muncul pada Prasasti Babilonia YBC 6967 dengan sedikit redaksi yang diubah). Seperti pada aktivitas sebelumnya, siswa dibuang adalah 12 satuan luas, sebuah diminta untuk menemukan solusi dari luasan yang membuat siswa menemui permasalahan konflik karena pada dasarnya pada metode menggunakan metode naïve geometry naïve geometry luas daerah berlebih yang secara berkelompok. Permasalahan ini harus dibuang harus berupa persegi. bertujuan agar siswa lebih memahami Seperti sebelumnya, kegiatan dilanjutkan konsep dari metode naive geometry karena dengan presentasi dan diskusi kelas. sedikit Menggunakan Metode Naïve Geometry sebelumnya. untuk menentukan Kegiatan dilanjutkan menyelesaikan dan dengan mendiskusikan masalah kedua yang terdapat pada LAS. Berikut adalah permasalahannya. Tentukan panjang dan lebar suatu persegipanjang apabila diketahui diketahui luasnya adalah 52 satuan luas dan kelilingnya adalah 32 satuan? Pada hakikatnya permasalahan kedua ini sama dengan masalah sebelumnya, tetapi Menyelesaikan Masalah (aktivitas II) Pada terlebih aktivitas kedua ini, siswa tersebut berbeda Kali dimanipulasi dengan ini bentuk dahulu dengan siswa harus persegipanjang untuk menjadi masalah selanjutnya persegi untuk mengerjakan LAS secara berkelompok. menentukan ukuran panjang atau lebar permasalahan yang pada terlebih dahulu. Tidak hanya itu, siswa juga aktivitas hampir dengan diminta untuk berdiskusi dalam kelompok permasalahan yang sebelumnya, tetapi dan menuliskan secara terurut langkah- yang diketahui adalah selisih panjang dan langkah penyelesaian dua macam masalah lebar dari persegipanjang. Berikut adalah yang telah mereka selesaikan. Siswa juga permasalahan pada aktivitas II yang diminta untuk berdiskusi lebih lanjut ini diberikan sama 225 Fachrudin, Pendekatan Geometri ο· Tuliskan tentang kondisi yang menyebabkan solusi langkah-langkah penyelesaian (pada permasalahan di atas) dalam bentuk simbol aljabar! dari permasalahan tidak dapat ditemukan. Mengaitkan Masalah Geometri dengan Aljabar (Persamaan Kuadrat) Seperti halnya pada aktivitas sebelumnya, (Aktivitas III) siswa Seperti aktivitas sebelumnya, siswa diberi kesempatan untuk diberi LAS yang berisi permasalahan dan mempresentasikan dan berdiskusi tentang bekerja hasil pekerjaannya. dalam kelompok untuk menyelesaikannya. Guru meminta siswa Menemukan menyelesaikan Menyelesaikan permasalahan tersebut Rumus Umum Persamaan Kuadrat (Aktivitas IV) menggunakan ide yang sama dengan yang telah mereka pelajari sebelumnya dan Pada aktivitas terakhir ini guru meminta menuliskan dan mendeskripsikan langkah- siswa untuk menyelesaikan permasalahan langkah yang serupa dengan permasalahan pada yang mereka menuliskannya dalam gunakan bentuk dan aktivitas simbol sebelumnya. Perbedaannya aljabar. Permasalahan yang diberikan adalah informasi dari masalah yang terinspirasi dari masalah yang terdapat diberikan berupa simbol aljabar. Berikut pada Prasasti Babilonia BM 13901 No.2 adalah masalah yang diberikan. Sebuah persegi yang sisinya π₯ apabila sebagian daerahnya yang berupa persegipanjang yang lebarnya π satuan dan panjangnya sama dengan sisi persegi dihilangkan (perhatikan gambar di bawah), maka luasnya menjadi π satuan luas. Tentukan a. Bentuk aljabar permasalahan tersebut. b. sebuah rumus (dalam bentuk simbol aljabar) untuk menentukan panjang sisi persegi tersebut! (gunakan metode naïve geometry) (HΗΏyrup, 1990). Berikut adalah masalah yang diberikan. ο· Sebuah persegi apabila sebagian daerahnya yang berupa persegipanjang yang lebarnya 2 satuan dan panjangnya sama dengan sisi persegi dihilangkan, maka luasnya menjadi 24 satuan luas. Tentukan panjang sisi persegi tersebut! (gunakan metode yang telah kalian pelajari sebelumnya) 2 226 Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455 π temukan tersebut pada permasalahan lanjutan pada LAS yang telah dibagikan, π₯ misal pada soal π₯ 2 − 7π₯ = 8 dan meminta mereka untuk membandingkan apabila mereka π₯ menggunakan naïve geometry. Siswa bekerja dalam kelompok seperti Terakhir, siswa diminta untuk mencari sebelumnya. Guru menganjurkan siswa rumus penyelesaian persamaan kuadrat untuk tidak lagi menggunakan alat peraga apabila persamaan yang diberikan adalah untuk menyelesaikan permasalahan yang ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 diberikan. Guru dan peneliti tetap berperan ππ₯ 2 − ππ₯ = π). sebagai pembimbing yang akan membantu (yang sebelumnya SIMPULAN dan mengarahkan siswa yang mengalami Pemahaman siswa terhadap konsep kesulitan juga. penyelesaian persamaan kuadrat dapat Setelah waktu yang digunakan untuk dibentuk mengerjakan dirasa cukup, guru memberi mempresentasikan hasil dengan memberikan permasalahan geometri sebagai masalah kesempatan pada salah satu kelompok untuk metode kontekstual kerja pembelajaran, mereka dan dilanjutkan dengan diskusi. di awal. Pada pemahaman proses siswa berkembang dari tahap informal, yaitu Rumus yang diharapkan akan ditemukan pemahaman pada permasalahan geometri oleh siswa adalah dan metode naïve geometry, menuju pada 2 π π π₯ = √π + ( ) + 2 2 tahap formal yaitu pada bentuk aljabar persamaan kuadrat dan penyelesaiannya Guru menekankan kembali bahwa berdasarkan konsep melengkapkan bentuk bentuk permasalahan aljabar terbut apabila kuadrat. diubah dalam bentuk aljabar akan menjadi ππ₯ 2 − ππ₯ = π dan cara yang mereka DAFTAR PUSTAKA gunakan adalah penyelesaian dengan Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (2011). A history of mathematics. John Wiley & Sons. melengkapkan kuadrat sempurna. Setelah itu, guru meminta tiap kelompok untuk CORD.(1999). Teaching Mathematics Contextually. Waco:CORD. mengaplikasikan rumus yang telah mereka 227 Fachrudin, Pendekatan Geometri French, D. (2002). Teaching and Learning Algebra. London: Continuum. Radford, L. & Guerette, G. (2000). Second degree equations in the classroom: a Babylonian approach. In Katz, V. (Ed), Using history to teach mathematics: an international perspective (pp. 69-75). USA: The Mathematical Association of America. Freudenthal. (1991). Revisiting Mathematics Education: China Lectures. Dordrecht, the Netherlands: Kluwer Academic Publisers. Gravemeijer, K. (1994). Developing Realistic Mathematics Education. Utrecht: Technipress, Culemborg. Sembiring, R. K. (2010). PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK INDONESIA (PMRI): PERKEMBANGAN dan TANTANGANNYA. Journal on Mathematics Education, 1, 11-16. Gravemeijer, K., & Doorman, M. (1999). Context problems in realistic mathematics education: A calculus course as an example. Educational studies in mathematics, 39(1-3), 111129. Sumardyono. (2012). “Pemanfaatan Sejarah Matematika di Sekolah”. http://p4tkmatematika.org/2012/08/pe manfaatan-sejarah-matematika-disekolah/ (diakses tanggal 15 Juni 2013). Grugnetti, L.(2000). The History of Mathematics and its Influence on Pedagogical Problems. In Katz, V. (Ed), Using history to teach mathematics: an international perspective (pp. 29-35). USA: The Mathematical Association of America. Wheeler, D. (1996). Backwards and forwards: Reflections on different approaches to algebra. In Approaches to Algebra (pp. 317-325). Springer Netherlands. HΗΏyrup, J. (1990a). Algebra and naive geometry. An investigation of some basic aspects of old babylonian mathematical thought. Altorientalische Forschungen, 17, 27-69. Zakaria, E., & Maat, S. M. (2010). Analysis of Students’ Error in Learning of Quadratic Equations. International Education Studies, 3(3), P105. Zulkardi, Z. (2002). Developing A Learning Environment on Realistic Mathematics Education For Indonesian Student Teachers. Doctoral Thesis of Twente University. Enschede: Twente Univ HΗΏyrup, J. (1990b). Algebra and naive geometry. An investigation of some basic aspects of old babylonian mathematical thought II. Altorientalische Forschungen, 17, 262254. Lian, L. H., & Yew, W. T. (2012). Assessing Algebraic Solving Ability: A Theoretical Framework. International Education Studies, 5(6), p177. Olteanu, C., & Olteanu, L. (2012). Equations, functions, critical aspects and mathematical communication. International Education Studies, 5(5), p69. 228
