matematika teknik i - Blog Riana Rahmat S

MATEMATIKA TEKNIK I
Penerapan Konsep Fasor Dalam Rangkaian Listrik
Disusun Oleh :
Antonius Vendhy
I1A006034
Nuna Danial
I1A006040
Riana Rahmat Saleh
I1A006060
Ayatul Fauziyah
H1C009004
KEMENTRIAN PENDIDIKAN NASIONAL
UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN
FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK
JURUSAN TEKNIK
TEKNIK ELEKTRO
PURWOKERTO
2010
I. Pendahuluan
Dalam berbagai pembahsan rangkaian listrik dengan sumber searah, dimana untuk
selang waktu dari nol sampai tak hingga,polaritasnya akan selalu tetap konstan.pada makalah
atau pembahasan ini akan di bahas rangkain listrik dengan sumber bolak – balik,dimana untuk
waktu tertentu, akan didapat polaritas yang berubah – ubah.Sumber bolak balik atau sumber
AC (Alternating Current) akan mempengaruhi komponen pasif yang digunakan. Pada saat
diberikan sumber DC, maka komponene pasif sepert5i L dan C akan menjadi rangkain
hubungan singkat dan rangkaian terbuka, tetapi dengan sumber AC, komponen L dan C akan
berbeda.
II. 1 Fungsi Periodik
Suatu fungsi bersifat periodik jika memenuhi
f (t )  f (t  nT )
Dimana:
n= integer 0,1,2,……
T= periode T =
1 2

f

Nilai Maksimum
Nilai maksimum ditulis sebagai Vmaks  Vm atau dalam arus I maks  I m . Dalam arus
bolak – balik terdapat dua nilai maksimum, yaitu maksimum positif dan maksimum negatif.
Bila dua nilai maksimum tersebut di jumlahkan, maka disebut sebagai nilai puncak ke puncak
(peak to peak).
Nilai Efektif (root mean square / rms)
Nilai tegangan / arus bolak balik(AC) yang dapat menghasilkan panas sama besar
dengan panas yang dihasilkan oleh tegangan / arus searah (DC).Secara matematis dapat
dinyatakan :
I eff  I rms 
1 2
 0 i (t )dt
T
Veff  Vrms 
1 2
 0 v(t )dt
T
Nilai sesaat
Nilai sesaat suatu tegangan atau adalah nilai tegangan atau arus pada sebarang waktu
peninjauan. Hal ini mengakibatkan munculnya daya sesaat : p(t )  v(t ) xi(t ) . Pengerrtian
besaran dalam persoalan pemindahan energi.
Nilai Rata – rata
Nilai rata – rata suatu arus i (t ) dalam satu periode merupakan arus konstan I av yang
dalam periode itu dapat memindahkan muatan Q yang sama
t T
T
t
0
I avxT  Q   i (t )dt   i (t ) dt
T
Q 1
  i (t )dt
T T0
1T
Vav   v(t )dt
T0
I av 
Untuk gelombang sinusoidal murni, nilai rata – rata satu periode penuh sama dengan
nol. Oleh karena itu nilai rata-rata diperoleh dari setengah periode (half-cycle period).
II.2 Konsep Fasor
Fasor adalah bilangn kompleks yang merepresentasikan besaran dan fasa gelombang
sinusoidal.
Fasor biasannya dinyatakan dengan sebuah notasi pada domain frekuensi yang hanya
terdiri dari besaran dan fasa.
Formula Euler:
e jt  cos t  j sin t  Re[ e jt ]  j Im[ e jt ]
e  jt  cos t  j sin t  Re[ e  jt ]  j Im[ e  jt ]
II.2.1 Bilangan Kompleks
Bilangan yang terdiri dari harga real (nyata) dan harga imajiner (khayal).
Contoh :
z  x  jy
Di mana :
j   1 atau j 2  1
Bentuk-bentuk bilangan kompleks:
1. Bentuk Kartesian/Rectangular
z  x  jy
2.Bentuk polar
z  r
Dimana :
x  r cos   r  x 2  y 2
y  r sin     tan 1
y
x
3. Bentuk Eksponensial
z  re j
Dimana :
x  jy  r cos   jr sin   r (cos   j sin  )  re j
4.Bentuk Trigonometri
z  r (cos   j sin  )
Konjugasi Bilangan Kompleks
z  z*
1. Bentuk kartesian /rectangular
z  x  jy  z *  x  jy
2. bentuk polar
z  r  z *  r  
3. bentuk eksponensial
z  re j  z *  re  j
4. bentuk trigonometri
z  r (cos   j sin  )  z *  r (cos   j sin  )
Operasi Bilangan Kompleks
Jumlah dan bilangan kompleks
Misal:
z1  x1  jy1
z 2  x 2  jy2
Maka:
z1  z 2  x1  jy1  x2  jy2  ( x1  x2 )  j ( y1  y 2 )
z 2  z 2  x1  jy1  ( x 2  jy2 )  ( x1  x2 )  j ( y1  y 2 )
Perkalian dan pembagian bilangan kompleks
z1  r1e j1
z 2  r2 e j1
Maka:
z1 z 2  r1e j1 r2 e j 2  r1 r2 e j (1  2
z1 r1e j1
r

 1 e j (1  2 )
j 2
z 2 r2 e
r2
II.2.2 Karakteristik Arus dan Tegangan sinusoidal Bentuk Kompleks
Pengaruh gelombang AC pada elemen R
Jika arus yang mengalir pada elemen resistor sebesar
 I m sin tA  notasi fasor I  I m 0 0 A ,
maka nilai tegangannya sebesar
VR  RI m sin tvolt  notasi fasor V R  RI m 0 0 volt
Antara arus dan tegangan tidak teredapat beda fasa.
Nilai impedansi pada elemen R
ZR 
VR RI m 0 0

R
I
I m 0 0
Pengaruh gelombang AC pada elemen L
Jika arus yang mengalir pada elemen resistor sebesar
i  I m sin t A  I  I m 0 0 A .
maka nilai tegangan sebesar
VL  LI m COSt  LI m sin( t  90 0 ) volt  notasi fasor V L  LI m 90 0 Volt.
Antara arus dan tegangan terdapat beda fasa, dimana fasa arus tertinggal sebesar 90 0
dari fasa tegangan (arus lagging).
Nilai impedansi pada elemen L
ZL 
VL LI m 90 0

 L90 0  jL
0
I
I m 0
Pengaruh gelombang AC pada elemen C
Jika arus yang mengalir pada elemen resistor sebesar
i  I m sin t A  notasi fasor I  I m 0 0 A ,
maka nilai tegangannya sebesar
VC 
Im
I
I
( cos t )  m sin( t  90 0 ) Volt  notasi fasor VC  m 90 0 volt.
C
C
C
Antara arus dan tegangan terdapat beda fasa, dimana fasa arus mendahului sebesar 90 0 dari
fasa tegangan (arus leading).
Nilai impedansi C
Im
  90 0
VC C
I
j
1
ZC 

 m   90 0 

0
I
C
C JC
I m 0
II.2.3 Impedansi Kompleks
Ketika rangkaian seri RL dihubungkan dengan gelombang AC
jika arus yang mengalir sebesar
i  I m sin t A  notasi fasor I  I m 0 0 A ,
maka dengan Hukum Kirchoff II:
v  0
v AC  v R  v L
Dimana v R  RI mt volt  notasi fasor V R  RI m 0 0 Volt
dan
VL  LI m cos t  LI m sin( t  90 0 ) volt  notasi fasor V L  LI m 90 0 volt
sehingga :
I m Z tot  RI m 0 0  LI m 90 0  RI m  jLI m
Z tot  R  jL
Ketika rangkaian seri RC dihubunmgkan dengan gelombang AC:
Jika arus yanmg menglir sebesar
i  I m sin t A  notasi fasor I  I m 0 0 A ,
maka dengan Hukum Kirchoff II:
v  0
v AC  v R  vC
Dimana v R  RI mt volt  notasi fasor V R  RI m 0 0 Volt
dan
VC 
Im
I
I
( cos t )  m sin( t  90 0 ) volt  notasi fasor VC  m   90 0 volt
C
C
C
sehingga :
I m Z tot  RI m 0 0 
Z tot  R 
Im
jI
  90 0  RI m  m
C
C
j
1
 R
C
jC
Ketika rangkain seri RLC dihubungkan dengan gelombang AC:
Jika arus yang mengalir sebesar
i  I m sin t A  notasi fasor I  I m 0 0 A ,
maka dengan Hukum Kirchoff II:
v  0
v AC  v R  vC
Dimana v R  RI mt volt  notasi fasor V R  RI m 0 0 Volt
dan
VC 
Im
I
I
( cos t )  m sin( t  90 0 ) volt  notasi fasor VC  m   90 0 volt
C
C
C
sehingga :
I m Z tot  RI m 0 0 
Z tot  R 
Im
jI
  90 0  RI m  m
C
C
j
1
 R
C
jC
II.3 Diagram Fasor
r45 0
r90 0
r0 0
a.diagram fasor fasa 0 0
b. Diagram fasor fasa 45 0
c. Diagram fasor fasa 90 0
jika beda antara arus dan tegangan sebesar θ, maka diagram fasornya
V10
0
0
I 2  20
a. diagram fasor arus dan tegangan
(arus lagging)
I10
V 20
b.diagram fasor arus dan tegangan
(arus leading0
III. kesimpulan
Penyeleseian analisis rangkaian listrik ternyata dapat menggunakan konsep fasor
yang di dalamnya terdapat penggunaan konsep vektor , untuk meentukan arah atau gaya
yanng terjadi.
IV. Daftar Pustaka
Ramdhani, Mohamad, S.T.,M.T. 2008.Rangkaian Listrik. Institut Teknologi Telkom
Bandung:. Erlangga,: Jakarta