Pertemuan 1 2015

Metode Numerik
Kontrak Perkuliahan dan Pengenalan
Metode Numerik
Identitas Mata Kuliah
• Nama Mata Kuliah
: Metode Numerik
• Kode Mata Kuliah
: IF 34221
• Kredit
: 3 SKS
• Semester
: IV
• Jurusan
: Teknik Informatika/S1
Deskripsi Mata Kuliah
• Pengetahuan dasar tentang perbedaan pencarian solusi
secara analitis dan numerik
• Menjelaskan tentang galat dari suatu perhitungan solusi
secara numerik,
• Mengkaji tentang beberapa metode numerik yang
digunakan untuk menghampiri fungsi, menghitung akar
dari persamaan nonlinear, menyelesaikan sistem
persamaan linear, melakukan interpolasi, menghitung
nilai differensial dan integral secara numerik
Referensi
• Chapra, Steven, Applied Numerical Method with Matlab for
Engineers & Scientist, Mc Grawhill, 2012.
• Munir, Rinaldi, Metode Numerik, Penerbit Informatika, Bandung,
2004.
• Sasongko, Setia Budi, Metode Numerik dengan Scilab, Penerbit
Andi, Bandung, 2010
• H. Mathews., John, Numerical Methods for using Matlab, Prenticehall Inc., 1999.
• Hernardi, Julan, Matematika Numerik dengan Implementasi
Matlab, Penerbit Andi, 2012.
Aturan Perkuliahan
• Kehadiran minimal perkuliahan adalah 80 % dari total pertemuan
di kelas, kecuali sakit atau ijin tertulis.
• Tidak ada ujian perbaikan. Ujian susulan hanya diijinkan jika ada
ijin autentik yang bisa ditunjukkan setelah ujian.
• Mahasiswa yang terlambat lebih dari 15 menit tidak
diperkenankan masuk ke kelas, demikian juga dosen, kecuali telah
disepakati sebelumnya.
• Tugas masuk tepat waktu, toleransi keterlambatan penyerahan
tugas hanya satu hari dengan nilai dikurangi 40
• NA: 10% kehadiran + 30% Tugas atau Quis + 30% UTS + 30%
UAS
Materi yang akan dipelajari
1. Deret Taylor, Pendekatan dan3. Sistem Persamaan Linier
Kesalahan
Simultan
*SPL
2. Persamaan Non Linier
*Metode Eliminasi Gaus
*Metode Biseksi
*Sistem Persamaan Linier
*Metode Regula Falsi
*Simultan Metode Gauss *Metode Iterasi Ttk Tetap
Jordan
*Metode Newton Raphson
*Metode Dekomposisi LU
*Metode Sekan
*Iterasi Jacobi
*Iterasi Gauss-Seidel
Materi yang akan dipelajari
4. Penyajian Fungsi & Interpolasi
Polinomial
*Interpolasi Lagrange
*Interpolasi Newton Selisih
Terbagi
*Interpolasi Newton Menggunakan 6.
Tabel Selisih Terbagi
*Interpolasi Newton Greogry Maju
*Interpolasi Newton Greogy
Mundur
5.
Differansial Numerik
*Aproksimasi derivatif pertama
-Foward Difference
-Backward Difference
-Center Difference
-Aturan Lima Titik Terpusat
*Aproksimasi derivatif kedua
Integral Numerik
*Metode Empat Persegi Panjang
*Metode Trapesium
*Metode Midpoint
*Metode 1/3 Simpson
*Metode 3/8 Simpson
*Metode Kwadratur Gauss
Yang Diperlukan selama perkuliahan Metnum
• Kalkulator
• Aplikasi Scilab dapat diakses di www.scilab.org
• Prasyarat : Kalkulus 2 dan Alpro
• TAMBAHAN : telah mengambil ALIM sangat membantu
Alat penyelesaian masalah matematis
(Sulit secara analitis)
Paket Program (Perlu pengetahuan dasar
metnum)
Mengapa
perlu
mempelajari
Merancang aplikasi tanpa harus membeli
Metode
Numerik
Sarana belajar pemrograman komputer
Memperkuat pengertian matematika
?
Pengertian Metode Numerik
• Metode numerik adalah teknik-teknik yang
digunakan untuk memformulasikan masalah
matematis agar dapat diselesaikan dengan
menggunakan operasi perhitungan.
Metode Numerik Vs Metode Analitik
• Selalu Angka
• Solusi dalam bentuk fungsi
matematika yang dievaluasi
menghasilkan nilai dalam
bentuk angka
• Menghampiri solusi sejati,
dibuat seteliti mungkin ( ada
error/galat)
• Solusi sejati/eksak tidak selalu
ditemukan/dapat dihitung
Contoh Kasus 1
• Misalkan sebuah tabung diisi penuh air dengan tinggi
tabung 7 cm dan kedalamnya dimasukkan sebuah bola
sehingga air dari tabung tumpah sebanyak 10 cm3. Ingin
diketahui berapa ukuran diameter bola yang harus
dimasukkan. Permasalahan ini diformulasikan kedalam
persamaan matematika menjadi
Vtabung  Vbola  Vairtumpah
4 3
7 r   r  10
3
30
3
2
4r  21r 
0
2

Contoh Kasus 2
• Misalkan berikut ini adalah data dari jarak tempuh dan
kecepatan sebuah mobil
Waktu (detik)
Jarak (meter)
Kecepatan (m/det)
0
0
0
3
40
30
6
85
45
8
130
35
12
210
20
• Dari data yang dimiliki dapat ditentukan posisi mobil
pada detik ke-10 dengan menggunakan aproksimasi
Tahap – tahap Memecahkan Masalah dengan
Numerik
• Pemodelan masalah dunia nyata ke persamaan matematika
• Penyederhanaan model → mengabaikan beberapa
variabel/parameter
• Formulasi Numerik
Tentukan metode numerik yang akan dipakai (teliti, mudah
diprogram, waktu eksekusi cepat dan tidak peka terhadap
perubahan data cukup kecil.
Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih
• Pemrograman → menerjemahkan ke salah satu bahasa pemrograman
• Operasional program dijalankan dengan data uji coba
• Evaluasi bandingkan hasil run dengan prinsip dasar/hasil empiris
Sumber Kesalahan Aproksimasi dalam numerik
• Galat sebelum komputasi
Kesalahan Pemodelan, Keterbatasan alat ukur, data yang
diambil hasil aproksimasi
• Galat selama komputasi
Galat akibat pembulatan (rounded error)
Kesalahan akibat pembulatan
Galat akibat pemotongan (truncation error)
sering disebut Galat Metode
Penggunaan hampiran sebagai pengganti persamaan eksak
Cth: fungsi kontinu didiskritisasi dengan sejumlah titik,
menghampiri nilai fungsi dengan deret Taylor
Galat Akibat Pembulatan
• Pemotongan (Chopping)
• Pembulatan terdekat (Rounding)
Bilangan
Pemotongan
Pembulatan
Bilangan
Pemotongan
Pembulatan
2.749
2.7
2.7
2.849
2.8
2.8
2.750
2.7
2.8
2.850
2.8
2.8
2.751
2.7
2.8
2.851
2.8
2.9
2.799
2.7
2.8
2.899
2.8
2.9
Amati Tabel diatas dan simpulkan aturan pembulatan terdekat
untuk 1 desimal
Latihan (lakukan pembulatan 2 & 3 desimal)
Bilangan
Pemotongan
Pembulatan
Bilangan
5.3456
5.3456
28.6785
28.6785
52.5354
52.5354
235.7935
235.7935
7.245
7.245
Pemotongan
Pembulatan
Deret Taylor
• Tools untuk menurunkan metode numerik dan menghampiri fungsi
• Definisi
Andaikan f dan f ΄, f ΄΄,… kontinu pada selang [a,b]. Misalkan x0 ∈ [a,b]
maka untuk x disekitar x0, x ∈ [a,b] maka f(x) dapat diekspansi ke
dalam deret Taylor menjadi
m
( x  x0 )
( x  x0 ) 2
(
x

x
)
0
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )
 f ( x0 )
   f ( m ) ( x0 )

1!
2!
m!
Jika x - x0 = h maka deret Taylor dituliskan kembali menjadi
m
h
h2
h
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )  f ( x0 )    f ( m ) ( x0 )

1!
2!
m!
Jika x0 =0 maka deret Taylor ini disebut dengan deret
m
Maclaurin
x2
x
f ( x)  f (0)  f (0) x  f (0)    f ( m ) (0)

2!
m!
Contoh
• Hampiri fungsi f ( x)  sin( x) ke dalam deret Taylor disekitar x0=1
f ( x)  cos( x)
f ( x)   sin( x)
f ( x)   cos( x)
( 4)
f ( x)  sin( x)
( x  x0 )
( x  x0 ) 2
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )
 f ( x0 )

1!
2!
m
(
x

x
)
0
 f ( m ) ( x0 )

m!
( x  1)
( x  1) 2
( x  1)3
sin( x)  sin(1)  cos(1)
 (  sin(1))
 (  cos(1))
 ...
1!
2!
3!
h  x 1
 0.8415  0.5403h  0.4208h 2  0.0901h3  ...
f (2)  sin(2)  ?
Galat ?
Bagaimana menghitung galat
Et  aˆ  a
Et  galat mutlak
aˆ  nilai hampiran terhadap a
a  nilai sejati
Galat Mutlak
Galat Relatif Sejati
Et
Et
t 
atau  t  100%
a
a
Galat
 t  galat relatif
Galat Relatif
Galat Relatif Hampiran
ar 1  ar
 100%
ar 1
ar 1  ar
a 
berhenti jika  a   s
ar 1
a 
 s  toleransi galat
.
Latihan
• Hampiri nilai e x ke dalam deret Taylor disekitar x0  0 kemudian
aproksimasi nilaie1 dan lengkapi tabel dibawah ini
Suku ke -
Nilai Hampiran
Galat Eksak
Galat Relatif
Orde Hampiran
• Aproksimasi secara numerik dari solusi eksak  membangun
sebuah barisan x1 , x2 ,...., xn yang konvergen ke suatu nilai x.
• x1 , x2 ,...., xn hasil perhitungan numerik disetiap iterasi
• x nilai yang diharapkan adalah nilai solusi eksak
lim xn  x
n
• Banyak kemungkinan barisan xn  yang bisa konvergen menuju x
. Perbedaannya terletak dari kecepatan konvergensi.
• Untuk mengukur kecepatan konvergensi digunakan orde
kekonvergenan yang dinotasikan dengan O (big – O).
Orde Hampiran

• Misalkan  n n1 konvergen ke bilangan  untuk n
membesar. Jika terdapat konstanta positif p dan K
sehingga
1
   n  K . p untuk semua n besar
n

• Maka dikatakan  n n1 konvergen ke  dengan orde
kekonvergenan O  1 
n 
p
 1 
n    O  p 
n 
• Persamaan ini menyatakan  n   dengan kecepatan
konvergensi 1
np
Contoh
• Diberikan dua barisan berikut
1
xn 
n
• Memiliki xn  0  O(n1 ) dan
2
yn  3
n
yn  0  O  n3 
• Tentukan mana yang lebih cepat konvergen
• Persamaan diatas dapat dituliskan kembali menjadi
1
xn  0  O(h) dan yn  0  O  h  dengan h 
n
3
h<1 maka makin besar pangkat makin kecil galat
dan semakin teliti penghampiran fungsinya
Contoh
2
3
4
h
h
h
e h  1  h     O( h5 )
2! 3! 4!
h3 h5
sin(h)  h    O(h7 )
3! 5!
Contoh Galat Akhir
cos(0.2)  1  0.2 / 2  0.2 / 24  0.980067
2
Galat Pemotongan
4
Galat Pembulatan
Hasil akumulasi dari galat pemotongan dan galat
pembulatan -> Mengecek akurasi dan presisi
Akurasi-> Ketepatan (seberapa dekat hasil aproksimasi)
Presisi-> Stabilitas (seberapa rentan hasil aproksimasi)
Tidak akurat -> Bias
Tidak presisi ->Ketidak pastian (Uncertainty)
Hubungan akurasi dan presisi
Sumber Steven Chapra, Applied Numerical
Method with Matlab for Engineers & Scientist
Minggu depan
• Bawa Kalkulator
• Pelajari pengantar Scilab
• Aplikasi Scilab
• Kabel Roll