3,Interpolasi dan Aproksimasi Fungsi

Interpolasi/Ekstrapolasi dan Aproksimasi Fungsi
Salah satu cara mengolah data yang didapat dari pengukuran atau ekperimen adalah penentuan apakah
data tersebut merupakan hasil dari suatu fungsi. Manfaatnya adalah memprediksi data yang akan datang
atau data yang lebih detail dari yang ada. Apabila data diyakini merupakan data deterministik, penentuan
jenis fungsi ini dapat dilakukan melalui 2 cara, yaitu Aproksimasi Fungsi (atau disebut juga curve fitting)
dan interpolasi/ekstrapolasi. Apabila data diyakini merupakan data stokastik, kita hanya dapat
menentukan distribusi dari data tersebut. Sekarang yang dibahas adalah penentuan jenis fungsi dari data
deterministik. Perbedaan antara curve fitting dan interpolasi/ekstrapolasi dapat dilihat pada contohcontoh berikut.
Contoh 1:
Dilakukan curve fitting: Pada tabel berikut merupakan proses menggunakan transformasi logaritma
seperti yang terlihat pada kolom 2, untuk mencari aproksimasi fungsi linier, yang hasilnya pada kolom 3.
Galat antara nilai dari fungsi (kolom 3) dengan nilai logaritma dari data sebenarnya (kolom 2) diberikan
kolom 4. Sedangkan galat antara nilai eksponensial dari fungsi (kolom 6) dengan nilai data sebenarnya
(kolom 5) dituliskan pada kolom 7. Besar galat terakhir lebih baik daripada yang sebelumnya.
Dari contoh di atas, curve fitting dilakukan untuk mendapatkan fungsi yang mendekati nilai-nilai data yang
ada. Fungsi tersebut tidak perlu melalui semua data yang ada karena diyakini data yang terkumpul
memuat galat dari pengukuran dan lainnya.
Beberapa contoh transformasi yang lain akan dijelaskan pada akhir bab ini.
Contoh 2:
Dilakukan interpolasi:
Dari contoh di atas, interpolasi dilakukan untuk mendapatkan fungsi yang secara tepat melewati semua
data yang ada karena diyakini data tersebut akurat.
Interpolasi Polinom, Lagrange dan Beda Terbagi/Newton
Interpolasi Polinom
Interpolasi linier: menggunakan 2 titik
( x0 , f 0 ), ( x1 , f1 )
diperoleh SPL dengan variabel a, b.
a  bx0  f 0
a  bx1  f1
p1 ( x)  a  bx  f 0 
f1  f 0
( x  x0 )
x1  x0
Interpolasi kuadratik: menggunakan 3 titik
variabel a, b, c.
a  bx0  cx02  f 0
a  bx1  cx12  f1
a  bx2  cx22  f 2
Jadi:
( x0 , f 0 ), ( x1 , f1 ), ( x2 , f 2 )
diperoleh SPL dengan
p2 ( x)  a  bx  cx 2 ,
c
f f
1  f 2  f 0 f1  f 0 

, b  1 0  c( x1  x0 ), a  f 0  bx0  cx02

x2  x1  x2  x0 x1  x0 
x1  x0
Interpolasi polinom dapat digambarkan sebagai berikut:
Diberikan n+1 titik yang berbeda
x0 , x1 ,, xn
f0 , f1,, f n . Suatu polinom pn (x)
1. derajat polinom
dan nilai fungsi yang berkaitan
dicari yang memenuhi:
pn ( x)  n
x0 , x1 ,, xn
pn ( xi )  fi , i  0,1,..., n
2. Nilai polinom di titik
sama dengan
f0 , f1,, f n , atau
Interpolasi Lagrange:
p1 ( x) 
x  x0
x  x1
f0 
f1  L0 ( x) f 0  L1 ( x) f1
x0  x1
x1  x0
Dapat ditunjukkan bahwa:
p1 ( x0 ) 
x0  x1
f 0  0. f1  f 0
x0  x1
p1 ( x1 )  0. f 0 
jadi dapat disimpulkan
x1  x0
f1  f1
x1  x0
0, i  k
Lk ( xi )  
1, i  k
p2 ( x)  L0 ( x) f 0  L1 ( x) f1  L2 ( x) f 2
L0 ( x) 
( x  x0 )( x  x2 )
( x  x0 )( x  x1 )
( x  x1 )( x  x2 )
, L1 ( x) 
, L2 ( x) 
( x0  x1 )( x0  x2 )
( x1  x0 )( x1  x2 )
( x2  x0 )( x2  x1 )
Untuk membuat polinom Lagrange
pn (x)
yaitu
pn ( x)  L0 ( x) f 0 
 Ln ( x) f n
dimana
Lk ( x) 
( x  x0 )...( x  xk 1 )( x  xk 1 )...( x  xn )
( xk  x0 )...( xk  xk 1 )( xk  xk 1 )...( xk  xn )
n
Lk ( x)  
i 0
ik
x  xi
, k  0,1,..., n
x k  xi
Latihan:
Diketahui data di bawah ini
x
1
-1
2
0
f(x)
0
-2
3
1
Konstruksi interpolasi kubik dan kuadratik dengan metode interpolasi polinom dan Lagrange. Cari nilai
di x= 2,3.
Diketahui terdapat n data untuk membuat interpolant berupa polinom berderajat (n-1). Misalkan ada
satu tambahan data
( xn1 , f n1 )
untuk digunakan dalam mengkonstruksi polinom interpolasi,
- Interpolasi biasa memberikan SPL baru dan perlu OBE
- Interpolasi Lagrange memerlukan penghitungan kembali koefisien Lagrange:
Li ( x), i  0,1, 2,
,n
.
Galat dalam Interpolasi Lagrange:
Jika turunan ke-(n+1) dari f(x) adalah kontinu di [a,b], dan semua titik  xi i  0 berada dalam interval
n
[a,b], maka untuk setiap
x [a, b] terdapat η sehingga
1) a < η < b
2)
 n ( x)  f ( x)  Pn ( x) 
( n 1)
(
x
)
f
( )

(n  1)!
Beberapa kelemahan polinom Lagrange:
1. Semakin besar derajatnya tidak berarti semakin kecil galatnya, karena semakin banyak
perhitungan dalam komputer, sehingga galat pembulatan bisa menjadi signifikan.
2. Adanya nilai yang ekstrim pada data.
Interpolasi Newton (Beda Bagi):
Interpolasi ini dapat mudah dimodifikasi dengan tambahan data. Jika terdapat n pasang data
( xi , fi )i 0 , bentuk umum interpolasinya adalah sebagai berikut:
n
pn ( x)  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )( x  x1 ) 
Jelas bahwa
pn ( xi )  f ( xi ), i  0,1,
dengan demikian dicari koefesien
 an ( x  x0 )( x  x1 )
( x  xn1 )
,n
{a0 , a1 , a2 ,
, an } .
Contoh:
pn ( x0 )  f ( x0 )  f0
maka
a0  f 0
pn ( x1 )  f ( x1 )  f1 maka a0  a1 ( x1  x0 )  f1 , jadi
a1 
f1  f 0
x1  x0
pn ( x2 )  f ( x2 )  f 2 ,
a0  a1 ( x  x0 )  x2 ( x2  x1 )( x2  x0 )  f 2 ,
f 2  f1 f1  f 0

x2  x1 x1  x0
a2 
x2  x0
Beda Terbagi didefinisikan sebagai berikut:
f [ x0 , x1 , x2 ] 
f 0  f [ x0 ] , f [ x0 , x1 ] 
f1  f 0
,
x1  x0
f [ x1 , x2 ]  f [ x0 , x1 ]
x2  x0
dan seterusnya.
Ingat deret Taylor:
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) 
f " ( x0 )
( x  x0 ) 2  ...
2
df ( x)
f ( x  h)  f ( x )
 f ' ( x)  lim
dx
h
h0
f ( x  h)  f ( x )
merupakan aproksimasi dari kemiringan garis singgung dari f di x.
h
Diberikan koleksi data
f ' ( xi )  f [ xi , xi 1 ] 
( x0 , f 0 ), ( x1 , f1 ),, ( xn , f n )
dimana
fi  f ( xi )
maka
f ( xi 1 )  f ( xi )
xi 1  xi
f [ xi , xi 1 ] merupakan aproksimasi dari kemiringan garis singgung dari f di x= x i .
f [ xi , xi 1 ] disebut beda terbagi orde pertama.
f [ x0 , x1 , x2 ] 
f [ x1 , x2 ]  f [ x0 , x1 ]
disebut beda terbagi orde kedua.
x2  x0
Misalkan sudah dibangun interpolasi orde 2. Apabila ada satu data tambahan maka interpolasi orde 3
dibangun dari interpolasi orde 2.
p3 ( x)  f [ x0 ]  f [ x0 , x1 ]( x  x0 )  f [ x0 , x1 , x2 ]( x  x0 )( x  x1 )  f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]( x  x0 )( x 
 p2 ( x)  f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]( x  x0 )( x  x1 )( x  x3 )
Jadi
pn ( x)  pn1 ( x)  f [ x0 , x1 , x2 ,, xn ]( x  x0 )( x  x1 )( x  xn1 )
Cara penulisan beda terbagi:
xi
fi
x0
f0
f [ xi , xi 1 ]
f [ xi , xi 1 , xi 2 ]
f [ x0 , x1 ]
x1
f [ x0 , x1 , x2 ]
f1
f [ x1 , x2 ]
x2

f [ x1 , x2 , x3 ]
f2



f n1
xn 1
f [ xn2 , xn1 ]
f [ xn1 , xn ]
f [ xn2 , xn1 , xn ]
fn
xn
Menghitung suku polinom dengan efisien:
pn ( x)  f [ x0 ]  ( x  x0 ){ f [ x0 , x1 ]  ( x  x1 ){ f [ x0 , x1 , x2 ]  ( x  x2 ){ f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] 
( x  xn1 ){ f [ x0 , x1 , x2 ,
, xn ]}}...}
Latihan:
Diketahui data di bawah ini
x
1
-1
2
3
0
f(x)
0
-2
3
2
1
Carilah nilai f(2.5) dengan konstruksi interpolasi kubik dengan metode interpolasi Newton dengan
mengisi tabel berikut ini:
xi
fi
-1
0
1
2
3
-2
1
0
3
2
f [ xi , xi 1 ]
f [ xi , xi 1 , xi 2 ]
Tiga contoh kasus interpolasi mengalami ketidakstabilan nilai
Polinom didefinisikan parsial (Rumus komposit polinom)
Untuk menghindari ketidakstabilan didefinisikan polinom pada sub-sub interval dari daerah domainnya.
Interval [
]
dengan
Polinom Lagrange diterapkan pada tiap sub-interval
{
dengan data (
.
)(
)(
)(
) yaitu
( )
( )
( )
( )
Syarat tambahan untuk keterdiferensialan di titik ujung:
( )
( )
adalah titik ujung tiap interpolasi
Aproksimasi Fungsi (Curve Fitting)
Pertama tentukan dahulu jenis aproksimasi fungsi yang akan dipakai. Misal polinom least squared, yaitu
linier least squared atau kuadrat least squared, lalu buat fungsinya menggunakan seluruh jumlah data
( )
yang ada.Misal pilih linier least quared:
, sedangkan misal data yang ada adalah
(
)(
)(
)(
). Jadi cari koefesien a dan b sehingga galat akar kuadratnya terkecil.
Galat = √[ ( )
)]
[ ( )
)]
[ ( )
)]
Galat ini menghitung merupakan beda/jarak antara fungsi aproksimasi dan datanya yang dikuadratkan,
agar
-
Beda positif tidak menghilangkan beda negatif
Turunannya tidak sulit (derajat 2)
Beda yang kecil akan diperkecil sedangkan beda yang besar akan diperbesar
Karena ( )
, misal
[
]
[
]
[
]
[
yang akan diminimumkan terhadap a dan b dengan cara mencari turunan pertama masing-masing
terhadap a dan b harus berharga nol. Akan didapat:
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Dua persamaan di atas merupakan SPL dengan variabel yang dicari adalah a dan b, sehingga solusinya
dapat mudah dicari menggunakan eliminasi atau OBE. Misal
∑
∑
∑
∑
SPL yang didapat adalah sistem persamaan yang disebut Persamaan Normal di bawah ini:
Koefesien b pada persamaan kedua merupakan jumlah dari data yang tersedia.
]
Untuk metode Kuadratik Least Squared, fungsi aproksimasinya adalah ( )
persamaan galatnya dari data yang sama dengan contoh sebelumnya adalah
[
]
[
]
[
, sehingga
]
[
]
Dengan mencari turunan pertama dari fungsi galat di atas masing-masing terhadap a, b dan c, Persamaan
Normal yang akan terbentuk adalah
(
)( )
(
)
Latihan:
Diketahui data sebagai berikut:
x
0
0,5
1
y
0
0,19
0,25
Buatlah aproksimasi fungsi berupa kuadratik least squared.
1,5
0,29
2
0,31
Petunjuk: lengkapi tabel berikut
0
0,5
1
1,5
2
0
0,19
0,25
0,29
0,31
Terapan Least Squared
Selain polinom least squared, terdapat regresi lain yang melakukan transformasi dari data aslinya yang
memiliki kecenderungan tertentu dalam hubungan antara x dan y, namun kecenderungan tersebut
ditransformasi menjadi linier least squared:
, di mana x ditransformasi menjadi w dan y
ditarnsformasi menjadi z. Konstanta a dan b dicari melalui metode least squared.
Contoh: diketahui data berikut, carilah y untuk x = 2500
1000
2000
3000
4000
25000
30000
15000
25000
Dengan menggunakan transformasi logaritma pada x dan y didapat
( )
( )
6,9078
10,1266
7,6009
10,3089
8,0064
9,6158
8,2941
10,1266
Untuk mendapatkan nilai a dan b dicari penyelesaian dari SPL berikut:
Lalu kembalikan ke data asli menggunakan hubungan sebagai berikut
( )
( ( ))
(
Jadi cari y sehingga
(
( )
( )
( (
)
))
)
Beberapa tranformasinya adalah sebagai berikut:
Diketahui data (
)
1. Transformasi pangkat (
.
)
( ( )
2. Transformasi eksponensial (
3. Transformasi laju pertumbuhan (
Persamaan laju pertumbuhan :
)
(
)
( ))
( ))
( ( ))
(
)
(
)
( )