Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan

Hatane Semuel
FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS KRISTEN PETRA
TEORI EKONOMI, MATEMATIKA EKONOMI, DAN
STATISTIKA
• Teori Ekonomi mengungkapkan hubungan antar
variabel ekononomi secara kualitatif
• Misalnya, jika harga naik/turun kuantitas permintaan
berkurang/naik
• Teori Ekonomi tidak memberikan ukuran kekuatan
hubungan secara tegas antara variabel ekonomi
tersebut.
• Matematika Ekonomi dapat membantu
menyederhanakan hubungan tersebut dalam model
matematika, misal Q = f(P), dengan Q adalah
kuantitas permintaan dan P harga yang kemudian
dapat diperjelas dengan model linear
Q = a + bP
• Sehingga model teori ekonomi yang kualitatif dapat
didekati dengan model kuantitatif matematika.
TEORI EKONOMI, MATEMATIKA
EKONOMI DAN STATISTIKA
• Menemukan nilai parameter a dan b
dalam persamaan matematika Q = a + bP
di atas dapat didekati dengan konsep
matematika maupun statistika
• Untuk itu dalam matematika ekonomi perlu
dipelajari konsep-konsep persamaan,
pertidaksamaan, dan konsep lainnya
yang dibutuhkan.
PERSAMAAN DERAJAT SATU
DENGAN SATU VARIABEL
• SEBUAH PERNYATAAN PERSAMAAN
ADALAH KESAMAAN DARI DUA EKSPRESI
ALJABAR, DAPAT DINYATAKAN DALAM
SATU ATAU LEBIH VARIABEL
sebagai contoh :
3x – 10 = 22 – 5x (satu variabel derajat satu)
2r − 5s + 8t
= 100
3
(tiga variabel derajat satu)
w2 – 5w = -16
(satu variabel derajat 2)
JAWABAN PERSAMAAN
• JAWABAN DARI SEBUAH PERSAMAAN TERDIRI
ATAS ANGKA ATAU BILANGAN, KETIKA
DISUBSTITUSI UNTUK VARIABEL DALAM
PERSAMAAN AKAN MENJADI BENAR
• BILANGAN ATAU NILAI DARI VARIABEL YANG
MEMBUAT PERSAMAAN ITU MENJADI BENAR
DISEBUT DENGAN AKAR PERSAMAAN
IDENTIFIKASI JENIS PERSAMAAN
• PERSAMAAN YANG BENAR UNTUK SETIAP
NILAI UNTUK VARIABEL DALAM PERSAMAAN
5(X+Y) = 5X + 5Y
• PERSAMAAN YANG HANYA MEMPUNYAI NILAI
TUNGGAL UNTUK VARIABEL
X+3=5
• PERSAMAAN YANG MERUPAKAN PERNYATAAN
YANG SALAH, TIDAK TERDAPAT SATU
NILAIPUN YANG MEMENUHI
X=X+5
ATURAN MANIPULASI
PERSAMAAN
• NILAI JAWABAN PERSAMAAN TIDAK BERUBAH JIKA
KEDUA SISI PERSAMAAN DITAMBAH DENGAN BILANGAN
YANG SAMA
• NILAI JAWABAN PERSAMAAN TIDAK BERUBAH JIKA
KEDUA SISI PERSAMAAN DIKALIKAN ATAU DIBAGI
DENGAN BILANGAN KONSTAN YANG SAMA (≠ 0)
• KEDUA SISI PERSAMAAN DIKUADRATKAN ATAU
DIAKARKAN ATAU DILAKUKAN OPERASI YANG SAMA
(LOGARITMA)
• KEDUA SISI PERSAMAAN DAPAT DIBAGI DENGAN
VARIABEL YANG SAMA, DENGAN SYARAT NILAINYA ≠ 0
PERSAMAAN LINEAR
BEBERAPA ALASAN PERLUNYA PERSAMAAN
LINEAR
• KEBANYAKAN FENOMENA NYATA DAPAT
DIREPRESENTASIKAN SECARA MATEMATIK,
SALAH SATUNYA ADALAH HUBUNGAN LINEAR,
ATAU PALING TIDAK DAPAT DIDEKATI SECARA
LINEAR
• APLIKASI KONSEP LINEAR CUKUP LUAS
PENERAPANNYA
• LEBIH MUDAH MENGINTERPRETASI
HUBUNGAN LINEAR DIBANDING NON LINEAR
KARAKTERISTIK PERSAMAAN LINEAR
• BENTUK UMUM PERSAMAAN LINEAR DUA
VARIABEL
ax + by = c; x,y adalah variabel
a,b dan c konstante
• LINEAR KARENA PANGKAT VARIABEL
DALAM PERSAMAAN ADALAH PANGKAT
SATU (1) DAN TIDAK TERDAPAT BENTUK
PERKALIAN ANTAR VARIABEL
REPRESENTASE MENGGUNAKAN
PERSAMAAN LINEAR
• SUATU PERSAMAAN LINEAR ax+by=c
MEMPUNYAI HIMPUNAN JAWABAN
PASANGAN TERURUT (x,y) YANG
MEMENUHI PERSAMAAN TERSEBUT
• JIKA S ADALAH HIMPUNAN JAWABAN
DAPAT DITULIS;
S = {(x,y)/ax + by = c}
PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR
• UNTUK MENDAPATKAN NILAI PASANGAN
TERURUT (x,y) ASUMSIKAN SALAH SATU
NILAI DAN SUBSTITUSIKAN KE PERSAMAAN
UNTUK MENDAPATKAN PASANGAN
NILAINYA
contoh: persamaan 2x + 4y = 16;
untuk x = -2; y = 5
untuk y = 0; x = 8
APLIKASI PADA BIDANG PRODUKSI
• SEBUAH PERUSAHAAN MEMPUNYAI DUA
JENIS PRODUK; YAITU A DAN B, MINGGU
DEPAN PERUSAHAAN ALOKASIKAN 120
JAM KERJA UNTUK MENGHASILKAN DUA
PRODUK TERSEBUT. DALAM MENGEJAR
TARGET, PERUSAHAAN
MENGALOKASIKAN WAKTU 3 JAM UNTUK
PRODUK A DAN 2.5 JAM UNTUK PRODUK
B. BAGAIMANA MODEL PERSAMAANNYA?
• Jawaban :
• Jika didefinisikan variabel:
y = banyak unit produk A yang diproduksi
x = banyak unit produk B yang diproduksi
Maka alokasi jam produksi untuk dua jenis
produk tersebut adalah :
2.5 x + 3 y = 120
Jika produksi produk B, x = 30 unit, maka
produk A diproduksi, y = 15 unit
PERSAMAAN LINEAR DENGAN n VARIABEL
• Persamaan linear dengan n variabel meliputi x1,
x2, x3, …….., xn, mempunyai bentuk umum :
a1x1+ a2x2+ a3x3+ ……..+ anxn = b, dengan
a1 , a2 , a3, ………… ,an dan b adalah bilangan
konstan dan a1 , a2 , a3, ………… ,an tidak semuanya
nol.
Sebagai contoh:
(1).3x1- 2x2+ 5x3 = 0; (2). 2x1+ 5x3+ 2x4+ 4x5 = 10
JAWABAN PERSAMAAN LINEAR
•
Jawaban Persamaan linear dengan n variabel
adalah mentukan himpunan
S = {(x1,x2,x3, ….., xn)| a1x1+ a2x2+ a3x3+ ..+ anxn =
b}
Contoh: diberikan persamaan linear 2x1+ 3x2 - x3+ x4 =
16,
a. Berapakah derajat bebas persamaan ?
b. Tentukan himpunan jawaban untuk setiap
kombinasi nilai tiga variabel yang sama dengan
nol.
KARAKTERISTIK GRAFIK PERSAMAAN LINEAR
• Suatu persamaan linear yang mengandung dua
variabel digambarkan sebagai grafik garis lurus
dalam dua dimensi.
• Garis lurus dapat digambarkan melalui dua
pasangan titik (x,y) yang memenuhi persamaan
linear
• Pasangan titik (x,y) yang terletak pada garis
akan merupakan kombinasi x dan y yang
memenuhi persamaan, artinya tidak ada
jawaban tunggal.
CONTOH GRAFIK PERSAMAAN LINEAR
• Buat grafik dari persamaan
2x + 4y = 16
y
(0,4)
(8.0)
x
• Gambarkan grafik 4x-7y = 0
y
4
4x
y=
7
-
0
(7,4)
x
7
PERSAMAAN KONSTAN
• PERSAMAAN x = k
y
x=k
(k,0)
x
PERSAMAAN KONSTAN
• PERSAMAAN y = k
y
(0,k)
y=k
x
SLOPE GARIS LURUS
• Sebuah garis lurus kecuali garis vertikal ,
dapat dikarakterisasi berdasarkan slope
garisnya.
• Dengan slope garis dapat diketahui garis
bergerak naik atau turun dari kiri ke kanan
sepanjang sumbu x
• Slope garis lurus dapat positip, nol,
negatip, atau tidak terdefenisikan.
SLOPE GARIS LURUS
y
(+)
x
y
(-)
x
y
(tidak didefinisikan)
y
(0)
x
x
• PERSAMAAN KUADRAT
PENYELESAIAN PERSAMAAN
KUADRAT SATU VARIABEL
• BENTUK UMUM DARI PERSAMAAN KUADRAT
DENGAN SATU VARIABEL X SEBAGAI BERIKUT:
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
Identifikasi nilai a, b, dan c dari persamaan berikut:
6x2- 2x + 1 = 0; 3x2- 12= 0; 2x2-1= 5x+9
• SEBUAH PERSAMAAN KUADRAT DAPAT
MEMPUNYAI KONDISI JAWABAN (AKAR
PERSAMAAN):
1. TIDAK MEMPUNYAI JAWABAN NYATA
2. MEMPUNYAI SATU JAWABAN NYATA
3. MEMPUNYAI DUA JAWABAN NYATA
PENYELESAIAN PERSAMAAN
KUADRAT SATU VARIABEL
• TERDAPAT BEBERAPA PROSEDUR YANG
DAPAT DIGUNAKAN UNTUK MENENTUKAN
AKAR PERSAMAAN KUADRAT.
• PROSEDUR YANG SANGAT UMUM DIGUNAKAN
ADALAH METODE FAKTORISASI DAN
PENGGUNAAN RUMUS abc.
• METODE FAKTORISASI MENCOBA MEMBUAT
PERSAMAAN KUADRAT MENJADI PERKALIAN
DARI DUA FAKTOR SAMA DENGAN NOL,
SEHINGGA HASIL PERKALIAN TERSEBUT
DAPAT TERJADI KARENA PALING SEDIKIT
SALAHSATU FAKTOR SAMA DENGAN N0L
PENYELESAIAN PERSAMAAN
KUADRAT SATU VARIABEL
• CONTOH:
AKAR PERSAMAAN X2 – 4X = 0, DIFAKTOR
X(X-4) = 0; SEHINGGA X = 0 ATAU X-4=0, ATAU
X=4.
UNTUK MEMBEDAKAN KEDUA AKAR
PERSAMAAN DISEBUT X1 = 0, DAN X2 = 4
• AKAR PERSAMAAN X2 – 10X + 24 = 0,
DIFAKTORKAN
(X-4)(X-6)=0; SEHINGGA, (X-4)=0 ; X1 = 4; ATAU
(X-6)=0 ; X2=6.
PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT
SATU VARIABEL
• PENGGUNAAN RUMUS abc
Akar-akar persamaan kuadrat:
ax2 + bx + c = 0, adalah:
− b ± b − 4 ac
=
2a
2
x1, 2
b2 – 4ac disebut Diskriminan atau D
INTERPRETASI DISKRIMINAN D
• Jika D > 0, terdapat dua akar nyata
• Jika D = 0, terdapat satu akar nyata
• Jika D < 0, tidak ada akar nyata
Tentukan akar-akar persamaan:
1. x2 + 3x + 1 = 0
2. 3x2 - 2x + 5 = 0
3. x2 + 10x + 25 = 0
KETIDAKSAMAAN
• Ketidaksamaan adalah ekspresi dua kuantitas yang
tidak sama. Satu cara untuk menyatakan hubungan
ketidaksamaan adalah “<“ (lebih kecil) atau “>”
(lebih besar)
Ketidaksamaan
Interpretasi
3<5
3 kurang dari 5
x > 100
Nilai x lebih besar
dari 100
0<y<10
Nilai y lebih besar
dari 0 dan kurang
dari 10
INTERVAL TERBUKA DAN
TERTUTUP
• Notasi interval terbuka;
(a,b) = {x/a<x<b}
• Notasi interval tertutup kiri;
[a,b) = {x/a≤x<b}
• Notasi interval tertutup kanan;
(a,b] = {x/a<x≤b}
• Notasi interval tertutup;
[a,b] = {x/a≤x≤b}
PENYELESAIAN
KETIDAKSAMAAN
•
•
•
•
•
•
•
2X + 3 ≥ -5 , JAWAB [-4,~)
-3 < x-2 < 2, JAWAB (-1,4)
3X + 14 ≤ 5x, JAWAB [7, ~)
2x – 5 ≥ 3x + 2, JAWAB (-~,-7]
(x-2)(x-3) ≤ 0, JAWAB [2,3]
X2 + x – 12 ≥ 0
x − 2
≤ 0
x − 3
(x−2)
≤0
(x −3)(x +1)
NILAI ABSOLUT
• NILAI ABSOLUT ADALAH SEBUAH BILANGAN
SEBAGAI JARAK, YANG HARUS LEBIH BESAR
ATAU SAMA DENGAN NOL, ATAU DARI NOL KE
SEBUAH BILANGAN NYATA PADA GARIS
BILANGAN
• NILAI ABSOLUT DARI a DITULIS |a|
• DEFINISI DARI NILAI ABSOLUT a ADALAH:
a jika a>0
|a| =
0 jika a=0
-a jika a<0
SIFAT NILAI ABSOLUT
•
•
•
•
•
|a| ≥ 0
|-a| = |a|
|X-Y| = |Y-X|
|ab| = |a||b|
a
b
=
a
b
HIMPUNAN
Ruang Lingkup
•
•
•
•
•
Pengertian Himpunan
Penyajian Himpunan
Himpunan Universal dan Himpunan Kosong
Operasi Himpunan
Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan
HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan
benda-benda atau obyek yang
didefinisikan dengan jelas.
Benda atau obyek yang dimuat
suatu himpunan disebut anggota
himpunan atau elemen.
Notasi Himpunan
Himpunan : Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek.
• Secara umum himpunan dilambangkan Æ A, B, C, ...... Z
- A
A Æ p anggota A
∩
- p
B Æ A himpunan bagian dari B
-
∩
- A = B Æ himpunan A sama dengan B
∩
• Notasi :
∩
• Obyek dilambangkan Æ a, b, c, ..... z
= Æ ingkaran
Penyajian Himpunan
• Penyajian Himpunan
a. cara deskripsi (kata-kata)
A= {himpunan bilangan prima
kurang dari 10}
b. cara daftar (roster) Æ A = {1,2,3,4,5}
berarti himpunan A beranggotakan bilanganbilangan bulat positif 1,2,3,4, dan 5.
c. cara kaidah (rule) Æ A={x / 0 < x < 6; x bil bulat}
berarti himpunan A beranggotakan obyek x,
dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif
yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari
enam.
Himpunan Universal dan Himpunan
Kosong
U adalah himpunan universal atau himpunan
besar dan dapat terdiri dari beberapa himpunan
bagian
{ } atau Ø adalah himpunan kosong (tidak punya
satu anggota), selain itu himpunan kosong juga
merupakan himpunan bagian dari setiap hipunan
apapun.
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
A = {0,1,2,3,4}
B = {5,6,7,8,9 }
C = {0,1,2,3,4 }
Contoh Soal – Soal :
1. Dari kumpulan hewan dibawah ini, manakah yang
merupakan himpunan yang memiliki anggota atau
himpunan kosong.
a. Kumpulan hewan melata
b. Kumpulan hewan herbivora
c. Kumpulan hewan langka
d. Kumpulan hewan yang hidup di air
e. Kumpulan hewan berkaki tiga
f. Kumpulan hewan bermata satu
Pembahasan :
Yang merupakan himpunan yang memilki
anggota :
a. Kumpulan hewan melata
b. Kumpulan hewan herbivora
c. Kumpulan hewan yang hidup di air
d. Kumpulan hewan langka
Yang merupakan himpunan kosong:
a. Kumpulan hewan berkaki tiga
b. Kumpulan hewan bermata satu
2. Nyatakan himpunan dibawah ini dengan :
metode deskripsi, metode rule, metode Roster
a. A adalah himp bilangan genap positip kurang dari
12
b. B adalah himp bilangan prima kurang dari 8
c. C adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 8
d. D adalah himpunan huruf vokal
Pembahasan :
A adalah himp bilangan genap kurang dari 12
A = { himpunan bilangan genap kurang dari 12 }
A = { x | x himp bilangan genap kurang dari 12 }
A = { 2, 4, 6, 8, 10 }
Pembahasan :
B adalah himp bil. prima kurang dari 8
B = { himpunan bil. prima kurang dari 8}
B = { x | x himp bil. prima kurang dari 8}
B = { 2, 3, 5, 7 }
Pembahasan :
C adalah himp bilangan cacah kurang dari 8
C = { himpunan bilangan cacah kurang dari 8 }
B = { x | x himp bilangan cacah kurang dari 8}
C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
Pembahasan :
D adalah himpunan huruf vokal
D = { himpunan huruf vokal }
D = { x | x himpunan huruf vokal }
D = { a, e, i, o, u }
LATIHAN - 1
• P = { faktor dari 30 yang habis dibagi
3 }. Pernyataan yang benar dibawah
ini adalah…
• a. 6 ∉ P
• b. 9 ∈ P
• c. 12 ∉ P
• d. 15 ∈ P
Pembahasan
• Faktor 30 yang habis dibagi 3 adalah
bilangan kelipatan 3 yang habis membagi 30
yaitu : 3, 6, 12, 15, 30. Jadi :
• P = { 3,6, 15, 30 }, maka :
• 6 ∉ P ( salah )
• 9 ∈ P ( salah )
• 12 ∉ P ( salah )
• 15 ∈ P ( benar ).
LATIHAN - 2
• Q = { huruf pembentuk kalimat “
SAHABAT SAYA BAIK SEKALI “ }.
Nilai n(Q) = . . .
• a. 10
• b. 12
• c. 15
• d. 21
Pembahasan
• Kalimat : SAHABAT SAYA BAIK
SEKALI,
• Huruf penyusunnya :
• S, A, H, B, T, Y, I, K, E, L
• P = { s, a, h, b, t, y, i, k, e, l }
• n ( Q ) = 10
• Jadi jawabannya adalah A
LATIHAN - 3
• Diketahui K = { bilangan asli kuadrat
kurang dari 60 } . Himpunan K
dinyatakan dengan Roster adalah . .
.
• a. { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 }
• b. { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 }
• c. { 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 }
• d. { 4, 9, 16, 25, 36, 49 }
Pembahasan
• K = { bilangan asli kuadrat kurang dari
60 }
• K = { 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72 }.
• K = { 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 }
• Jadi jawaban yang benar adalah C
Operasi Himpunan
• Gabungan (Union)
A U B = {x; x Є A atau x Є B}
• Irisan (Intersection)
A ∩ B = {x; x Є A dan x Є B}
• Selisih
A - B = A|B = {x; x Є A tetapi x ∉ B}
• Pelengkap (Complement)
Ā = {x; x Є U tetapi x ∉ A} = U – A
Diagram Venn
Gabungan ( A U B )
Irisan
Lanjutan ........
• Selisih ( A – B = A|B )
• Pelengkap / complement ( Ā )
Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian
Himpunan
Kaidah Idempoten
a. A U A = A
b. A ∩ A = A
Kaidah Asosiatif
a. ( A U B ) U C = A U ( B U C )
Kaidah Komutatif
a. A U B = B U A
b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
b. A ∩ B = B ∩ A
Kaidah Distributif
a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C )
b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )
Lanjutan ............
Kaidah Identitas
a. A U Ø = A
b. A ∩ Ø = Ø
c. A U U = U
d. A ∩ U = A
Kaidah Kelengkapan
a. A U Ā = U
b. A ∩ Ā= Ø
c. ( Ā ) = A
d. U = Ø
Ø=U
Kaidah De Morgan
a. (A U B)= Ā ∩ B
b. (A ∩ B) = Ā U B
Soal
1. Gambarkan sebuah diagram venn untuk
menunjukkan himpunan universal U dan
himpunan-himpunan bagian A serta B jika :
U = {1,2,3,4,5,6,7,8 }
A = {2,3,5,7}
B = {1,3,4,7,8 }
Kemudian selesaikan :
(a) A – B
(c) A ∩ B
(b) B – A
(d) A U B
(e) A ∩ B
(f) B ∩ A
Soal
2. Dari 200 mahasiswa fakultas ekonomi ada yang mengikuti semester
pendek, paling banyak mengambil 3 mata kuliah, yaitu A, B, dan C.
Data yang diperoleh adalah sebagai berikut :
Mengikuti mata kuliah A sebanyak 45 mahasiswa
Mengikuti mata kuliah B sebanyak 50 mahasiswa
Mengikuti mata kuliah C sebanyak 75 mahasiswa
Mengikuti mata kuliah A dan B sebanyak 20 mahasiswa
Mengikuti mata kuliah A dan C sebanyak 15 mahasiswa
Mengikuti mata kuliah C dan B sebanyak 20 mahasiswa
Mengikuti mata kuliah A,B, dan C sebanyak 10 mahasiswa
Tentukan : a) Jumlah mahasiswa yang tidak kuliah semester pendek
b) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 1 mata kuliah
c) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 2 mata kuliah
GAMBARAN DIAGRAM VENN
S
75
A
20
10
20
10
B
10
5
50
C
n(AUBUC) = 125
n(AUBUC)’ = n(S) – n(AUBUC) =200 -125 = 75
CARTESIAN PRODUCT
(PERKALIAN KARTESIAN)
• Notasi: A × B = {(a, b) ⏐ a ∈ A dan b ∈ B }
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A × B = himpunan semua titik di bidang datar
CARTESIAN PRODUCT
(PERKALIAN KARTESIAN)
• Jika A dan B merupakan himpunan berhingga,
maka: ⏐A × B⏐ = ⏐A⏐ . ⏐B⏐.
• Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a),
dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a).
• Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A × B ≠ B
× A dengan syarat A atau B tidak kosong.
• Jika A = ∅ atau B = ∅, maka A × B = B × A = ∅
CARTESIAN PRODUCT
(PERKALIAN KARTESIAN)
Contoh : Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gadogado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t =
teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan
minuman yang dapat disusun dari kedua
himpunan di atas?
Jawab: 4 x 3 = 12
yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m,
c), (m, t), (m, d)}.
CARTESIAN PRODUCT
(PERKALIAN KARTESIAN)
Contoh : Daftarkan semua anggota himpunan
berikut:
(a) P(∅) (b) ∅ × P(∅) (c) {∅}× P(∅)
(d)
P(P({3}))
• Penyelesaian:
(a) P(∅) = {∅}
(b) ∅ × P(∅) = ∅
(ket: jika A = ∅ atau B = ∅ maka A × B = ∅)
(c) {∅}× P(∅) = {∅}× {∅} = {(∅,∅))
(d) P(P({3})) = P({ ∅, {3} }) = {∅, {∅}, {{3}}, {∅,
{3}} }
CARTESIAN PRODUCT
(PERKALIAN KARTESIAN)
Perkalian Cartesian himpunan A dan B ditulis A x B =
{(a,b)/ a є A dan b є B}
1.Jika A = { a1,a2,a3} dan B = { b1,b2 } Tentukan himpunan
AxB
AxB = {(a1,b1), (a1,b2), (a2,b1), (a2,b2), (a3,b1), (a3,b2)}
2. Jika A = {x/x bilangan ganjil 2 < x < 10}
B = { y/y bilangan kelipatan 3 dengan 0 < y < 10}
tentukan himpunan A x B
A = {3,5,7,9};
B = {3,6,9}
AxB = {(3,3), (3,6), ……………., (9,9)}
FUNGSI
•
Dalam model matematika, relasi khusus dapat
direpresentasikan dengan fungsi matematika
atau fungsi.
•
Definisi Fungsi
Suatu fungsi dapat ditunjukan sebagai suatu
proses input menjadi output.
“input”
fungsi
“output”
Defenisi fungsi
•
•
Jika y = x2 + 2x + 1, maka akan ditemukan sebagai berikut :
Input
Hubungan Output
Jika x =1
y = (1)2 + 2(1) + 1 = 4
Jika x = -1
y = (-1)2 + 2(-1) + 1 = 0
Jika x = 2
y = (2)2 + 2(2) + 1 = 9
Persamaan di atas menunjukan suatu aturan yang
mentransformasikan satu nilai dari x kepada satu nilai y
•
Jadi defenisi fungsi adalah : merupakan suatu aturan yang
menghubungkan setiap nilai input kepada satu dan hanya satu
nilai output
•
Defenisi Domain/Range
Domain dari sebuah fungsi adalah suatu himpunan yang terdiri
dari seluruh nilai input yang dimungkinkan.
Range dari sebuah fungsi adalah suatu himpunan yang terdiri
dari seluruh nilai output yang dimungkinkan.
PENGERTIAN FUNGSI
• Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan
takkosong. Fungsi dari A ke B adalah
aturan yang mengaitkan setiap anggota A
dengan tepat satu anggota B.
• ATURAN :
– setiap anggota A harus habis terpasang dengan
anggota B.
– tidak boleh membentuk cabang seperti ini.
A
B
ILUSTRASI FUNGSI
A
f
Input
Kotak hitam
B
Output
Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain,
B disebut kodomain (range). Elemen a A disebut argumen dan f(a)
B disebut bayangan(image) dari a.
Himpunan Rf:= { y B : y = f(x) untuk suatu x A } disebut daerah
jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S A maka himpunan
f(S) := { f(s) : s S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.
ILUSTRASI FUNGSI (LANJ)
A
B
Fungsi
Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang
mempunyai 2 kawan.
Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang
tidak mempunyai kawan.
GRAFIK FUNGSI
• Misalkan f: A Æ B. Grafik fungsi f adalah
himpunan pasangan terurut {(a,f(a))/a A}
• Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1,
2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1.
Maka grafik fungsi f dapat digambarkan
sbb:
B
A
CONTOH FUNGSI
1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) := x2+x+1.
⎧ x jika x ≥ 0
2. Fungsi nilai mutlak f : R → R+ , dimana f ( x) := ⎨
⎩ − x jika x < 0
fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|.
3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua
kota di dunia, f : A → B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysia
maka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London.
4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan
perintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b
tsb”. Ini mendef. fungsi f : A → Z+ dimana f(x) = banyak koma yang ada
pada buku x.
5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif
Fungsi f : A Æ B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S.
Bila S = (1001101) maka f(S) = 4.
6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?
FUNGSI FLOORING dan CEILING
1.
Fungsi flooring f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terbesar yang kurang dari atau sama
dengan x. Ditulis juga f(x) = ⌊ x ⌋.
2.
Fungsi ceiling f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terkecil yang lebih dari atau sama
dengan x. Ditulis juga f(x) = ⌈ x ⌉.
CONTOH : Beberapa nilai fungsi flooring dan fungsi ceiling:
⌊0.5⌋ = 0, ⌈0.5⌉ = 1,
⌊-0.5⌋ = -1, ⌈-0.5⌉ = 0
⌊3.1⌋ = 3, ⌈3.1⌉ = 4,
⌊ 6 ⌋ = 6, ⌈ 6 ⌉ = 6.
Grafik flooring
Grafik ceiling
SIFAT-SIFAT FUNGSI FLOORING DAN
FUNGSI CEILING
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
⌊x⌋ = n bila n ≤ x < n+1
⌈x⌉ = n bila n-1< x ≤ n
⌊x⌋ = n bila x-1 < n ≤ x
⌈x⌉ = n bila x ≤ n < x+1
x-1 < ⌊x⌋ ≤ x ≤ ⌈x⌉ < x+1
⌈-x⌉ = - ⌊x⌋
⌊-x⌋ = -⌈x⌉
⌊x+n⌋ = ⌊x⌋+n
⌈x+n⌉ = ⌈x⌉ + n
•
CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinyatakan
dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte
yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit.
PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus
dibulatkan ke atas, yaitu dibuthkan ⌈100/8⌉ = ⌈12.5⌉ = 13 byte.
•
CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone
network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte.
Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1
menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik.
PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar
500,000 * 60*8 = 240,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53
byte, masing-masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak
ATM yang dapat ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu
⌊240,000,000/424⌋ = 70,754 ATM.
OPERASI ALJABAR FUNGSI
• Misalkan f, g : A → B maka fungsi f + g , cf dan f g
didefinisikan oleh :
(f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x),
(fg)(x):=f(x) g(x).
• Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x2 dan g(x) :=
x – x2. Diperoleh (f+g)(x) = x,
(fg)(x) = x3-x4.
• Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan
kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam
domainnya.
• Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x2-4)/(x+2) sama ?
FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF)
Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila
[f(x) = f(y) → x = y ], atau [x y → f(x) f(y)].
Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE:
x y [f(x) = f(y) Æ x = y] atau x y [x y → f(x) f(y)]
maka fungsi f disimpulkan satu-satu.
Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak
satu-satu.
•
A
B
satu-satu
A
B
tidak satu-satu
•
CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan
f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?
PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai
pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif.
•
CONTOH: Apakah fungsi f: R Æ R dengan f(x) = x2 satu-satu ?
PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1.
Jadi ada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini
tidak satu-satu.
•
CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?
PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y , diperoleh
x + 5 ≠ y + 5 Æ g(x)≠ g(y). Jadi g injektif.
FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF)
•
Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y B terdapat
x A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan
anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut:
y B x A sehingga y = f(x)
maka f surjektif. Namun, bila ada y B sehingga setiap x A, f(x)≠ y
maka f tidak surjektif.
A
B
kepada
A
B
tidak kepada
• CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x2 dari R
ke R surjektif ?
PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu
bilangan real. Maka untuk setiap bilangan
real x, berlaku x2 = f(x)≠ y. Jadi, f tidak
surjektif.
• CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3
dari R ke R surjektif?
PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y,
maka
y = x-3 Æ x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi
h surjektif.
INVERS FUNGSI
•
Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang
mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen
pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana
f -1 : B → A. DKL,
y = f(x) ↔ x = f -1 (y)
f(a)
b=f(a)
f -1(b)=a
A
•
f -1(b)
B
Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.
FUNGSI BIJEKTIF
•
Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif.
Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu prabayangan di A.
A
B
fungsi bijektif
•
CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d}Æ {1,2,3,4} dengan f(a)=4,
f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.
PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satusatu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif.
Jadi fungsi ini bijektif.
• CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke
{1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan
f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan
inversnya.
PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia
invertibel
dengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.
• CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z
dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel.
PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif
maupun bijektif maka ia tidak invertibel. Jadi
invresnya tidak ada.
KOMPOSISI FUNGSI
• Misalkan g: A Æ B dan f: B Æ C.
Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g
adalah fungsi f ◦ g: A Æ C dengan (f ◦
g)(x):= f(g(x)).
g
f
• Bila f: A Æ B dan
g: D Æ E maka
fungsi
komposisi
A
f ◦ g terdefinisi
hanyaB bila f(A) D.C
f◦g
FUNGSI MERUPAKAN HUBUNGAN MATEMATIS ANTARA SUATU
VARIABEL DENGAN VARIABEL LAINNYA. UNSUR-UNSUR
PEMBENTUK FUNGSI ADALAH; VARIABEL, KOEFISIEN, DAN
KONSTANTE ATAU PARAMETER.
VARIABEL MERUPAKAN UNSUR YANG SIFATNYA BERUBAHUBAH DARI SATU KEADAAN KE KEADAAN LAINNYA, DAN
DALAM SUATU RUMUSAN FUNGSI DAPAT DIBEDAKAN
MENJADI VARIABEL BEBAS DAN TIDAK BEBAS.
VARIABEL BEBAS YAITU VARIABEL YANG DAPAT
MENERANGKAN VARIABEL LAINNYA (MEMPENGARUHI)
VARIABEL TIDAK BEBAS YAITU VARIABEL YANG
DITERANGKAN OLEH VARIABEL BEBAS (DIPENGARUHI)
KOEFISIEN IALAH BILANGAN ATAU
ANGKA YANG DILETAKKAN TEPAT
DIDEPAN SUATU VARIABEL, DAN TERKAIT
DENGAN VARIABEL YANG
BERSANGKUTAN.
KONSTANTA ADALAH SUATU BESARAN
BILANGAN ATAU ANGKA YANG SIFATNYA
TETAP DAN TIDAK TERKAIT DENGAN
SUATU VARIABEL
KONSTANTA DAN KOEFISIEN YANG
SIFATNYA UMUM DISEBUT SEBAGAI
PARAMETER, ARTINYA BESARANNYA
TETAP UNTUK SUATU KASUS, TETAPI
BERUBAH PADA KASUS LAINNYA
FUNGSI
FUNGSI NON ALJABAR
ATAU TRANSENDEN
FUNGSI ALJABAR
FUNGSI IRRASIONAL
FUNGSI POLINOM
FUNGSI LINEAR
FUNGSI KUADRAT
FUNGSI KUBIK
FUNGSI RASIONAL
FUNGSI PANGKAT
FUNGSI EKSPONEN
FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI
FUNGSI HIPERBOLA
PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR
Y
KONSTANTA
s
ba Y
e
kb
d
T
(0,4)
VARIABLE
0
Y
Y
(0,4)
4
+ 2 X
bebas
as
eb
kb
Td
(-2,0)
=
Xbeb
as
KOEFISIEN
=
4
–2
X
X
0
(2,0)
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR
MODEL UMUM FUNGSI LINEAR :
Y=a +bX;
a, b, konstanta (parameter)
X, Y variabel
UNTUK MENEMUKAN NILAI a DAN b PADA PERSAMAAN LINEAR DI
ATAS DAPAT DILAKUKAN DENGAN
1. ELIMINASI DAN SUBSTITUSI
CARA INI MEMBUTUHKAN DUA PERSAMAAN YANG MENGANDUNG
DUA NILAI YANG TIDAK DIKETAHUI, YAITU a DAN b, UNTUK ITU
DIBUTUHKAN DUA PASANGAN NILAI (X,Y)
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR
MISAL TERDAPAT HUBUNGAN ANTARA X
DAN Y DENGAN KONDISI X = 4, Y = 12,
DAN X = 8, Y = 20,
JIKA HUBUNGAN ANTARA X DAN Y
LINEAR, TENTUKAN PERSAMAAN ;
Y=a +
bX
PENYELESAIAN
X = 4 ; Y = 12; JADI 12 = a + 4b
(1)
X = 8 ; Y = 20; JADI 20 = a + 8b (2)
-8 =
-4b
b = 2
SUBSTITUSI b = 2 PADA PERSAMAAN (1)
DIPEROLEH ;
a = 12 – 8 = 4
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR Y = 4 + 2X
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR
2. Geometri garis lurus
Perhatikan gambar garis di bawah ini:
Terlihat bahwa garis lurus melalui pasangan titik
(x1,y1) dan (x2,y2), jika perubahan y ditulis ∆y =
y2-y1, dan perubahan x adalah ∆x = x2–x1, maka
terlihat bahwa tg(β) = ∆y/∆x.
Y
y2
y
y1
y = a + bx
∆y= y2–y1
tgβ =
β
∆x =x2-x1
y-y1
juga
tgβ =
x-x1
x1
x x2
∆y y 2 − y1
=
...(1)
∆x x 2 − x1
y − y1
....(2)
x − x1
X
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR
• Persamaan (1) dan persamaan (2) di atas
mempunyai nilai yang sama, sehingga dapat
ditemukan :
y 2 − y1
x 2 − x1
=
y − y1
x − x1
• atau
y − y1
y 2 − y1
=
x − x1
x2 − x1
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR
• Tentukan persamaan garis lurus yang melalui
titik (4,12) dan (8,20).
y − y1
y 2 − y1
y −12
20 −12
=
x − x1
x2 − x1
=
x−4
8− 4
Y = 2x + 4
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR
• Jika tgβ atau slope garis lurus
y = a + bx diketahui, maka tgβ = b, dan
persamaan garis lurus melalui (x1,y1) di
atas dapat ditulis sebagai berikut :
y – y1 = b(x – x1)
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR
• Misal Y = a + bx, mempunyai sifat apabila x berubah
satu satuan x maka y berubah 1/2 satuan y, dan
untuk x = 2, y = 5. tentukan persamaan linear
tersebut.
• ∆x = 1, ∆y = ½ , jadi
b = ∆y/∆x = ½ , sehingga persamaanya menjadi:
y-5 = ½(x-2)
y = ½ x -1 + 5
y=½x+4
HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS
LURUS
• Jika terdapat dua garis lurus:
y1 = a1 + b1X dan y2 = a2 + b2X
maka dapat terjadi :
y1 sejajar y2 pada saat b1 = b2
y1 berpotongan y2 jika b1≠b2,
dan khusus berpotongan tegak
lurus b1 = -1/b2
Gambar Grafik
• Garis Sejajar
• Y
Y2 = a2 + b2X
Y1 = a1 + b1X
α1
a2
a1
Y1 // Y2
α2
b1= b2 atau
tg α1 = tg α2
X
Gambar Grafik
• Garis Berpotongan tegak lurus
Y
a1
Y2 = a2 + b2X
Y1
Y2
b1 = -1/ b2
a2
Y1 = a1 + b1X
X
Gambar Grafik
• Garis Berpotongan
Y
Y2 = a2 + b2X
Y1 = a1 + b1X
a1
Y1 X Y2
a2
b1≠ b2
X
Menentukan Titik Potong
• Untuk menentukan titik potong dua garis
lurus y1 dan y2 pada gambar di atas, tidak
lain adalah mencari pasangan titik (x,y)
yang memenuhi persamaan y1 = y2.
• Misal, tentukan titik potong antara garis
lurus y = x - 10, dan y = 5 – x
Gambar Grafik
• Y = x – 10, titik potong sb-x; y = 0
x – 10 = 0, x=10, atau (10,0)
Titik potong sb-y; x=0, y = -10 atau (0,-10)
• Y = 5 – x, titik potong sb-x; y = 0
5 – x = 0, x=5, atau (5,0)
Titik potong sb-y; x=0, y = 5 atau (0,5)
Gambar Grafik
• Titik potong garis lurus, x-10=5-x;
2x = 15, x = 15/2.
Substitusi nilai x=15/2 pada salah satu
persamaan garis lurus; misal untuk y = x10, diperoleh y = 15/2-10 = -5/2
Jadi titik potong antara dua garis
lurus tersebut adalah (15/2,-5/2)
Gambar Grafik
Y
5
Y = x - 10
0
5
15/2
10
-5/2
Y=5-x
-10
X
Fungsi Kuadrat
• Fungsi Kuadrat, adalah fungsi yang
variabel bebasnya berpangkat tertinggi
dua (kuadrat).
• Bentuk
Y =umumnya
aX2 + bX + c untuk
; a ≠ 0 y = f(x) adalah :
• Grafik dari fungsi kuadrat adalah parabola,
dengan sumbu simetri sejajar sumbu-Y
Parabola Dengan Sumbu Simetri
Sejajar Sumbu Y
Y
Y = aX2 + bX + c
a<0
X
Sumbu simetri
Parabola Dengan Sumbu Simetri
Sejajar Sumbu Y
Y Sumbu simetri
Y = aX2 + bX + c
a>0
X
Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat
• Fungsi Kuadrat mempunyai nilai ekstrem
tunggal (mutlak), atau hanya satu-satunya
• Jenis Ekstrem fungsi Kuadrat akan sangat
bergantung pada nilai koefisien X2, yaitu
(a)
jika a > 0, maka ekstrem Minimum
jika a < 0, maka ekstrem Maksimum
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi
Kuadrat
• Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat dapat
didekati dengan dua pendekatan, yaitu
1. Pendekatan Model Kuadrat Sempurna
2. Pendekatan Penggunaan Rumus Diskriminan
(D)
• 1. Pendekatan Model Kuadrat Sempurna
Perhatikan model fungsi kuadrat:
Y = aX2 + bX + c, a≠0
jika b = 0, maka persamaan kuadrat di atas
menjadi : Y = aX2 + c, a≠0 dan disebut sebagai
persamaan kuadrat sempurna.
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi
Kuadrat
Nilai X2>0, untuk setiap nilai X
Jika a > 0, maka aX2 > 0, sehingga untuk :
c > 0, aX2 + c > c
c < 0, aX2 + c > c
dan pada saat x = 0, Y = aX2+ c
Y=0+c
Y = c, merupakan nilai terkecil
Jadi Y(minimum) = c untuk x = 0.
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi
Kuadrat
Nilai X2>0, untuk setiap nilai X
Jika a < 0, maka aX2 < 0, sehingga untuk :
c > 0, aX2 + c < c
c < 0, aX2 + c < c
dan pada saat x = 0, Y = aX2+ c
Y=0+c
Y = c, merupakan nilai terbesar
Jadi Y(maksimum) = c untuk x = 0.
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi
Kuadrat
• Analogi dengan bentuk kuadrat sempurna di
atas, maka:
Jika Y = aU2+c, akan memberikan
kesimpulan yang sama, yaitu, jika a>0, maka
y(minimum) = c untuk U = 0, dan jika a<0,
maka y(maksimum) = c untuk U = 0.
• Apabila U=X+b, maka, bentuk di atas
menjadi Y = a(X+b)2+ c
Bagaimana Nilai Y (minimum atau maksimum)?
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi
Kuadrat
• Jika a>0; Y(minimum) = c untuk U = 0, atau X+b=0,
atau X = -b.
• Jika a<0; Y(maksimum) = c untuk U = 0, atau X+b=0,
atau X = -b.
• Andaikan a = 1; b = 2, dan c = 4 bagaimana
penerapannya ?
• Andaikan a = -2, dan b = 3, dan c=10 bagaimana
penerapannya
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi
Kuadrat
† 2.
Pendekatan Penggunaan Rumus Diskriminan (D)
Perhatikan model fungsi kuadrat: Y = aX2 + bX + c, a≠0;
Model ini dapat dimanipulasi menjasi :
Y = a ( X 2 + ba X ) + c
Y = a ( X + 2ba ) 2 − 4b a + c
2
Y = a( X +
) −(
b 2
2a
b2
4a
Y = a ( X + 2ba ) 2 − ( b
2
− 4 ac
4a
D = b 2 − 4ac, maka :
Y = a ( X + 2ba ) 2 − 4Da
− c)
)
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi
Kuadrat
• Jadi untuk model fungsi kuadrat:
Y = aX2+bX+c, a≠0; atau
Y = a ( X + 2ba ) 2 − 4Da
nilai ekstremnya adalah: y = -D/4a
Dengan D = b2-4ac, disebut Diskriminan
D
−
Jika a > 0, Y(minimum)=4 a
untuk X=-b/2a
Jika a < 0, Y(maksimum)=
−D
untuk X=-b/2a
4a
Menentukan Nilai Ekstrem
Fungsi Kuadrat
•
•
•
•
•
•
Tentukan Ekstrem fungsi:
1. Y = 4 – 2x + x2
2. Y = 10 + 6x -3x2
3. Y = ½ x2 + x + 2
Gambar grafiknya
Peny. 1. Y = x2 -2x + 4
Y = (x-1)2+3
Y(min) = 3 untuk x = 1
Titik potong sumbu-y (0,4)
GAMBAR GRAFIK PARABOLA
Y
Y = x2 -2x + 4
Y = (x-1)2 + 3
4
3
1
X
GAMBAR GRAFIK PARABOLA
Y
Y = ½ x2 + x + 2
Y = ½ (x2 + 2x) + 2
2
Y = ½ (x + 1)2+ 3/2
3/2
X
-1
GAMBAR GRAFIK PARABOLA
Y
13
10
Y = 10 + 6x -3x2
Y = -3(x2 – 2x) + 10
Y = -3(x -1)2 + 13
X
1
Perpotongan Parabola
Dengan Garis Lurus
• Jika parobola y1=ax2 + bx +c, a>0, dan
garis lurus y2= px + q, p<0, yang saling
berpotongan, maka dapat terjadi seperti
gambar berikut :
Y
Y1 = Y2
Y1 = aX2 + bX + c
a>0
Y2 = px + q; p<0
X
Perpotongan Parabola Dengan Garis
Lurus
• Jika parabola y1=ax2+bx+c, a<0 dan garis lurus, y2 =
px + q, p>0, yang saling berpotongan, maka dapat
terjadi seperti gambar berikut:
Y
Y1=Y2
Y2 = px + q
Y1 = aX2 + bX + c
a<0
X
Perpotongan Parabola Dengan Parabola
• Jika parabola y1=ax2+bx+c, a>0 dan parabola y2 =
px2 + qx + r, p<0, yang saling berpotongan, maka
dapat terjadi seperti gambar berikut:
Y
Y1 = aX2 + bX + c
a>0
Y1 = y2
Y2 = pX2 + qX + r
p<0
X
HUBUNGAN FUNGSI EKSPONEN
DAN LOGARITMA
• FUNGSI EKSPONEN MEMPUNYAI HUBUNGAN YANG
ERAT DENGAN FUNGSI LOGARITMA, KARENA
MERUPAKAN KEBALIKAN SATU SAMA LAINNYA
• FUNGSI EKSPONEN BERBEDA DENGAN FUNGSI
PANGKAT
• FUNGSI PANGKAT ADALAH FUNGSI YANG
VARIABELNYA DIPANGKATKAN DENGAN BILANGAN
KONSTAN
• FUNGSI EKSPONEN ADALAH KONSTANNYA YANG
DIPANGKATKAN DENGAN VARIABEL
• Y = x1/2 ADALAH FUNGSI PANGKAT
• Y = 2X ADALAH FUNGSI EKSPONEN
BASIS EKSPONEN
• Fungsi eksponen mempunyai dua basis
eksponen, yaitu (1) basis konstante a dengan
0<a<1, dan a>1 (bilangan biasa), dan (2) basis
konstante e = 2.71828…..
• Y = ax dengan a>1, akan mempunyai perilaku
sebagai berikut :
• Nilai Y akan mendekati tak berhingga jika x
menuju tak berhingga positip, akan mendekati
nol apabila x menuju tak berhingga negatip
• Nilai Y = 1 untuk x = 0 untuk setiap a
GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
• Grafik dari fungsi Y = 2x
Y = 2x
Y
2
1
1
X
• Grafik fungsi eksponen Y = 2-x
Y = 2-x
Y
2
1
X
-1
KARAKTERISTIK FUNGSI
EKSPONENSIAL
• Jika terdapat a>0 dan b> 0 dan m dan n
bilangan nyata, maka berlaku :
1. bmbn = bm+n
2. bm/bn = bm-n
3. (bm)n = bmn
4. ambm = (ab)m
5. bm/n = (bm)1/n
6. am = an , maka m = n
FUNGSI LOGARITMA
• Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari
sebuah bilangan pokok untuk menghasilkan
bilangan tertentu yang diinginkan.
• Bilangan dasar atau basis dari logaritma adalah
bilangan bulat positip kecuali bilangan 1
• Dalam kasusus umum bilangan pokok yang
digunakan adalah 10 atau e
• Bilangan pokok atau basis 10 biasanya tidak
ditulis, sehingga log 10 = 1, karena 101= 10
• Bilangan pokok e juga tidak ditulis, tetapi
penulisan ln e = 1, artinya elog e = 1
GRAFIK FUNGSI LOGARITMA
• Grafik fungsi logaritma merupakan
kebalikan dari fungsi eksponensial, namun
grafik fungsi logaritma Y = log X hanya
berada pada nilai Domain: x > 0, dan nilai
Range -~<Y<~; sedangkan grafik fungsi
eksponen mempunyai Domain: 0<x<~
dan Range : -~<Y<~
GRAFIK FUNGSI LOGARITMA
• Grafik y = log x
y = logx
y
1
x
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
•
•
•
•
•
•
•
Untuk a dan b bilangan positip
log ab = log a + log b
log a/b = log a – log b
log ab = b log a
log 1 = 0 ; log 10 = 1
log a = log b maka a = b
Sifat yang sama berlaku untuk logaritma dengan
basis e atau (ln), misal ln e = 1, dst
APLIKASI FUNGSI LINEAR
DAN KUADRATIK
APLIKASI FUNGSI LINEAR PADA FUNGSI
PERMINTAAN DAN PENAWARAN
• BERIKUT INI DATA TENTANG HARGA,
KUANTITAS PERMINTAAN, DAN KUANTITAS
PENAWARAN SEBUAH KOMODITI
• TENTUKAN :
A. PERSAMAAN FUNGSI PERMINTAAN DAN
PENAWARANNYA
B. KESEIMBANGAN HARGA DAN KUANTITAS
C. GAMBAR GRAFIKNYA
D. ARSIR DAERAH SURPLUS KONSUMEN
DAN SURPLUS PRODUSEN
Harga
P
30
Permintaan
Qd
10
Penawaran
Qs
35
20
40
10
P
Qs = -40 + 2.5P
Keseimbangan 30 .
harga
E
25.4
20
.
Qd = 100 - 3P
.
10
.
.
23.8 35
.
40
Q
Keseimbangan
kuantitas
KESEIMBANGAN KUANTITAS DAN
HARGA
•
•
•
•
•
Qd = Qs
100 - 3P = -40 + 2.5P
5.5 P = 140
Pe = 25.4
Qe = 100 – 3(25.4) = 23.8
Fungsi Biaya, Penerimaan,
Keuntungan
• Suatu perusahaan mempunyai biaya tetap produksi
2000 dan biaya variabel per unit Q adalah 25. Harga
jual produknya 50 per unit Q.
• Tentukan :
-
-
Fungsi Biaya Total C
Fungsi Penerimaan R
Fungsi Keuntungan Π
Titik Pulang Pokok (BEP)
Gambar Grafiknya
Fungsi Biaya, Penerimaan, dan
Keuntungan
• Fungsi Biaya Total
TC = FC + VC; FC = biaya tetap
VC = total biaya variabel
Jadi TC = 2000 + 25 Q
• Fungsi Penerimaan
TR = p Q ; p = harga jual per unit Q
TR = 50 Q
• Fungsi Keuntungan Π = TR – TC
•
= 50Q – (2000+25Q)
•
= 25Q – 2000
• BEP dicapai pada Π = 0, jadi Q = 80
GRAFIK FUNGSI
TR = 50 Q
TC,Π,TR
TC = 2000 + 25Q
4000
BEP
Π = 25Q - 2000
2000
Q
80
-2000
Fungsi Biaya, Penerimaan, dan
Keuntungan
KUANTITAS
Q
50
TOTAL
BIAYA C
3500
100
4000
HARGA JUAL
P
25
Tentukan, fungsi Biaya C, Penerimaan R, Keuntungan π,
BEP, dan Gambar grafiknya
jawab
GRAFIK FUNGSI
TR = 25 Q
TC,Π,TR
TC = 3000 + 10Q
5000
BEP
Π = 15Q - 3000
3000
Q
200
-3000
FUNGSI PENDAPATAN, CONSUMSI
DAN TABUNGAN
• BERIKUT INI DATA PENDAPATAN,
CONSUMSI DAN TABUNGAN SUATU
NEGARA DENGAN SATUAN MATA
UANG TERTENTU.
• TENTUKAN :
A. FUNGSI CONSUMSI C = co + cY
B. FUNGSI TABUNGAN S = so + sY
C. KESEIMBANGAN PENDAPATAN
NASIONAL YE DAN GAMBAR GRAFIK
HUBUNGAN c DAN s, SERTA c0
DAN s0
Y=C+S
1 = c + s , sehingga s = 1-c
c = ∆C/∆Y disebut marginal propencity to consum (MPC) dan s
disebut marginal propencity to save
∆C = perubahan konsumsi C akibat perubahan
pendapatan Y
∆S = perubahan Tabungan S akibat perubahan
pendapatan Y
= ∆S/∆Y,
c0 adalah consumsi pada saat Y = 0,
s0 adalah tabungan pada saat Y = 0, jadi
s0 = - c0
Contoh: Jika Consumsi C = 2500 + 0.75 Y, maka
Tabugan S = -2500 + 0.25Y
Pendapatan Y
Consumsi C
Tabungan S
180
250
192
220
-12
30
C, Y, S
Y=Y
C = 120 + 0.4 Y
220
E
200
120
S = 0.6Y - 120
450
Y
Ye = 200 250
-120
P2
P
12
P2 = a(Q+1)2 + 1, P = 2 untuk Q = 0
P2 = Q2 + 2Q + 2
GAMBAR BERIKUT ADALAH
FUNGSI PERMINTAAN P1 DAN
FUNGSI PENAWARAN P2 DARI
SUATU KOMODITI, TENTUKAN :
a. FUNGSI PERMINTAAN DAN
PENAWARAN
b. KESEIMBANGAN HARGA DAN
KUANTITAS
Pe
2
1
-1
Q
Qe
12
P1
P1 = P2
Q2 + 2Q + 2 = 12-Q
Q2 +3Q-10 = 0
(Q+5)(Q-2) = 0
Qe = 2, Pe = 10
P1 = 12 - Q
Perpotongan Parabola Dengan
Parabola
P
P2
14
13
Pe
1
3/4
-1
-1/2
P1
GAMBAR BERIKUT ADALAH
FUNGSI PERMINTAAN P1 DAN
FUNGSI PENAWARAN P2 DARI
SUATU KOMODITI, TENTUKAN :
• a. FUNGSI PERMINTAAN DAN
•
PENAWARAN
b. KESEIMBANGAN HARGA DAN
•
KUANTITAS
Q
Qe
P1 = a(Q+1)2 + 14; Q = 0, P = 13
P2 = a(Q+1/2)2 + 3/4; Q = 0, P = 1
GAMBAR BERIKUT ADALAH
FUNGSI PERMINTAAN Q2 DAN
FUNGSI PENAWARAN Q1 DARI
Q1=a(P+1)2 -2 SUATU KOMODITI, TENTUKAN :
• a. FUNGSI PERMINTAAN DAN
Q
•
PENAWARAN
Q1=P2+2P-1
9
b. KESEIMBANGAN HARGA DAN
•
KUANTITAS
Qe
-1
-1
-2
P
Pe
Q2 = 9 – P2
Q1 = Q2
P2 + 2P -1 = 9 – P2
2P2 + 2P -10 = 0
P2 + P – 5 = 0
PAJAK DAN SUBSIDI
• PAJAK DAN SUBSIDI MERUPAKAN KEBIJAKAN FISKAL
PEMERINTAH
• PAJAK DAN SUBSIDI AKAN MENGUBAH FUNGSI
PENAWARAN
• JIKA FUNGSI PENAWARAN SEBELUM PAJAK DAN
SUBSIDI
Qs = F(P), MAKA:
a. setelah pajak t per unit Q yang terjual membuat
fungsi penawaran menjadi Qst = F(P-t)
b. setelah subsidi s per unit Q yang terjual membuat
fungsi penawaran menjadi Qss = F(P+s)
• JIKA FUNGSI PENAWARAN Ps = G(Q), MAKA:
a. setelah pajak t per unit Q yang terjual membuat
fungsi penawaran menjadi Pst = G(Q) + t
b. setelah subsidi s per unit Q yang terjual membuat
fungsi penawaran menjadi Pss = G(Q)-s
• Qs = 2P – 10, JADI Q = F(P)
• t = 2 , Qst = 2(P-2) -10 = 2P – 14
• s = 1, Qss = 2(P+1) – 10 = 2P – 8
• Ps = 5 + 3Q, P = G(Q)
• t = 2, Pst = 5+3Q+2 = 7 + 3Q
• s = 1, Pss = 5 +3Q-1 = 4 + 3Q
GAMBAR PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI
TERHADAP FUNGSI PENAWARAN
Qst = F(P-t)
Qs = F(P)
P
Qss = F(P+s)
t
Pet
Pe
Pes
s
Qd = G(P)
Q
Qet Qe Qes
PAJAK TANGGUNGAN KONSUMEN DAN
PRODUSEN
Pajak ditanggung
Konsumen
Qst = F(P-t)
Qs = F(P)
P
Pajak ditanggung
Produsen
Pet
t = Pet-Po
Pe
P0
Qd = G(P)
Q
Qet
Qe
SUBSIDI KONSUMEN DAN
PRODUSEN
SUBSIDI
PRODUSEN
Qs = F(P)
P
SUBSIDI
KONSUMEN
P1
Qss = F(P+s)
Pe
s = P1-Pes
Pes
Qd = G(P)
Q
Qe
Qes
SOAL
• Diketahui fungsi permintaan suatu barang Qd=80.5P, dan fungsi penawaran Qs=-2+P, dengan P
adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila
pajak t = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan
a. Titik keseimbangan sebelum pajak
b. Titik keseimbangan setelah pajak
c. Gambar grafik, dan tentukan pajak yang
ditanggung produsen dan konsumen
• Keseimbangan Harga Pe dan Kuantitas
Qe sebelum pajak
• (Qe,Pe)
Qd = Qs
8 – 0.5 P = -2 + P
1.5 P = 10
Pe = 10/1.5 = 20/3
Qe = 14/3
• Fungsi penawaran setelah pajak t = 2
Qst = -2 + (P – 2)
= -4 + P
• Keseimbangan harga setelah pajak Pst
dan kuantitas setelah pajak Qst adalah:
(Qet,Pet)
Qst = Qd
-4 + P = 8 – 0.5P
Pet= 8, Qet = 4
PAJAK TANGGUNGAN KONSUMEN DAN
PRODUSEN Pkon= 4 (8-20/3) = 16/3
Pajak ditanggung
Konsumen
Qst = -4 + P
Qs = -2 + P
P
Pajak ditanggung
Produsen
8
t = 8-6 =2
20/3
6
Qd = 8-0.5P
Q
4
14/3
Pprod = 4(20/3 – 6) = 8/3
LATIHAN SOAL
• Diketahui fungsi permintaan suatu barang P=20-0.5Q,
dan fungsi penawaran P= 4 + 2.5Q, dengan P adalah
harga dan Q adalah kuantitas. Apabila subsidi s = 2
untuk setiap Q yang terjual, tentukan
a. Titik keseimbangan sebelum subsidi
b. Titik keseimbangan setelah subsidi
c. Gambar grafik, dan tentukan subsidi yang dinikmati
produsen dan konsumen
• Keseimbangan Harga Pe dan Kuantitas
Qe sebelum subsidi
• (Qe,Pe)
Pd = Ps
20 – 0.5 Q = 4 + 2.5Q
3Q = 16
Qe = 16/3
Pe = 52/3
• Fungsi penawaran setelah subsidi s = 2
Pss = 4 + 2.5Q - 2
= 2 + 2.5Q
• Keseimbangan harga setelah subsidi Pss
dan kuantitas setelah subsidi Qss adalah:
(Qes,Pes)
Pss = Pd
2 + 2.5Q = 20 – 0.5Q
Qes= 18/3=6, Pes = 17
SUBSIDI KONSUMEN DAN
PRODUSEN
SUBSIDI
PRODUSEN
Ps =4+2.5Q
P
SUBSIDI
KONSUMEN
19
Pss = 2+2.5Q
52/3
Sprod. = 6(19-52/3)
17
Pd = 20-0.5Q
Q
16/3
6
Skon. = 6(52/3 -17)
SOAL
1.
Sebuah komoditi mempunyai perilaku permintaan dan penawaran sebagai
berikut; jika harganya Rp.5.000,- perusahaan akan menawarkan 300 unit,
dan permintaan barangnya 500 unit, sedangkan jika harganya naik
menjadi Rp.6.000,- perusahaan menawarkan sebanyak 600 unit dan
permintaannya menjadi 350 unit.
–
Buatlah persamaan permintaan & penawarannya.
–
Tentukan Keseimbangan harga dan kuantitasnya
–
Jika pajak yang ditarik pemerintah Rp. 300,- per unit tentukan pajak
yang ditanggung produsen dan ditanggung konsumen
–
Gambar grafiknya
–
Jika pada kasus di atas pemerintah memberikan susidi Rp 200,- per
unit yang terjual tentukan subsidi yang dinikmati produsen dan juga
konsumen
–
Gambar grafiknya
2. Sebuah negara mempunyai komponen pendapatan nasional sebagai
berikut; apabila pendapatan negara tersebut tidak ada maka konsumsi
700, sedangkan untuk setiap kenaikan satu satuan pendapatan, maka
90 % digunakan untuk konsumsi,
–
Tentukan fungsi konsumsi dan tabungannya
–
Gambarkan fungsi konsumsi dan tabungan tersebut
–
Tentukan keseimbangan pendapatan nasional
soal
3. Fungsi permintaan Qd = 26 – P2 dan fungsi
penawaran
Qs = P2 + 2P – 14
Tentukan keseimbangan harga dan kuantitas
(Qe;Pe) dan gambar grafiknya
4. Diketahui fungsi permintaan suatu barang Pd=12-2Q,
dan fungsi penawaran Ps=3+Q, dengan P adalah
harga dan Q adalah kuantitas. Apabila pajak t = 2
untuk setiap Q yang terjual, tentukan
a. Titik keseimbangan sebelum pajak
b. Titik keseimbangan setelah pajak
c. Gambar grafik, dan tentukan pajak yang
ditanggung produsen dan konsumen
5. Diketahui fungsi permintaan suatu barang P=100.5Q, dan fungsi penawaran P=4 + 2Q, dengan P
adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila
subsidi s = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan
a. Titik keseimbangan sebelum subsidi
b. Titik keseimbangan setelah subsidi
c. Gambar grafik, dan tentukan subsidi yang
dinikmati produsen dan konsumen
6. Cari titik keseimbangan fungsi
permintaan berikut : 2P=34-3Q dan
fungsi penawaran
Q = 2P-2 dalam (Q ; P), dan gambar
grafik
7. Jika fungsi permintaan 3P + 2Q = 27 cari
jumlah penerimaan R maksimum, jika
R = PQ, Gambar fungsi permintaan Qd
dan R
BARISAN DAN DERET
PENDAHULUAN
•
•
Barisan (sequence) adalah suatu susunan
bilangan yang dibentuk menurut suatu
urutan dan aturan tertentu. Bilanganbilangan yang tersusun tersebut dikatakan
suku dari barisan.
Perubahan teratur dari suku-suku secara
berurutan tersebut ditentukan oleh suatu
ketambahan bilangan tertentu atau suatu
kelipatan bilangan tertentu.
BARISAN ARITHMATIKA DAN GEOMETRI
• Apabila barisan bilangan mempunyai
tambahan bilangan yang besarannya tetap
untuk dua suku berurutan, maka disebut
barisan arithmatika, sedangkan untuk
barisan yang mempunyai kelipatan
bilangan tetap antara dua suku berurutan
disebut barisan geometri.
FINITE DAN INFINITE
• Berdasarkan banyaknya suku dari
barisan, maka barisan dapat dibagi
menjadi dua jenis yaitu; barisan tertentu
(finite) adalah barisan yang sukusukunya terbatas, dan barisan tak tentu
(infinite) adalah barisan yang sukusukunya tak terbatas.
DERET
Deret (series) adalah jumlahan suku-suku
dalam barisan, sehingga dapat dikelompokkan
menjadi dua jenis, yaitu deret arithmatika
(deret hitung) dan deret geometri (deret ukur).
Dari banyak suku, deret geometri juga
digolongkan manjadi deret geometri hingga
(finite geometric series) dan deret geometri
tak-hingga (infinite geometric series).
BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA
Barisan arithmatika adalah suatu susunan bilangan
yang dibentuk menurut urutan tertentu, misalnya :
2, 4, 6, 8, 10, …..
Tiap suku pada barisan di atas mempunyai beda yang
sama dengan suku sebelumnya, yaitu sebesar 2.
Hubungan bilangan pada suku barisan dengan suku
pertama dapat dijelaskan sebagai berikut :
U1 = 2
U2 = 2 + 2 = U1 + 1.2=4
U3 = U2 + 2 = U1 + 2 + 2 = U1 + 2(2) = 6
U4 = U3+2=U1+3(2)=8
U5 = U4+2=U1+4(2)=10
BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA
Seterusnya dapat ditentukan suku ke i+1 adalah suku ke i
ditambah 2, yaitu Ui+1 = Ui + 2 . Terlihat bahwa beda antara
dua suku berurutan adalah sama (konstan). Barisan seperti
ini disebut barisan arithmatika. Secara umum apabila setiap
suku barisan arithmetika dapat ditulis sebagai berikut :
U1, U2, U3, U4, U5, …..,Un maka hubungan yang
dapat dijelaskan adalah;
U2 = U1 + b
U3 = U1 + 2b
U4 = U1 + 3b
.
.
Un = U1 + (n-1)b, merupakan suku ke-n dengan b
adalah beda antara dua suku berurutan.
BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA
Contoh 1. Tentukan suku ke-15 dari
barisan arithmatika;
7, 10, 13, 16, ………..
Penyelesaian; Suku pertama U1 = 7 dan
beda b = 10-7 = 3. Dengan menggunakan
rumus Un = U1 + (n-1)b, maka;
U15 = 7 + (15-1)3
= 7 + 42
= 49.
• Contoh 2. Tentukan suku ke-20 dari barisan
arithmatika jika diketahui suku ke-5 = 17 dan suku
ke-8= 26.
• Penyelesaian ;
Suku ke-5 = 17 ditulis U5 = 17 artinya
17 = U1 + 4b
Suku ke-8 = 26 ditulis U8 = 26 artinya
26 = U1 + 7b
• Jika kedua persamaan di atas diselesaikan diperoleh
beda b = 3 dan suku pertama U1 = 5, sehingga suku
ke-20 dari barisan ini adalah;
U20 = U1 + 19 b
= 5 + 19(3)
= 5 + 57
= 62
DERET ARITHMETIKA
Deret arithmetika adalah jumlah dari suku-suku dalam
suatu barisan arithmatika, bentuk umumnya adalah;
Sn = U1 + U2 + U3+ U4 + U5 + …………+ Un, atau
jika digunakan beda b dan suku pertama U1,
Maka Sn dapat ditulis ;
Sn = U1 + (U1+b)+ (U1+2b) +(U1+3b) +(U1+4b)
+………+(U1+(n-1)b)
Jika U1 diganti dengan simbol a (sering digunakan),
maka deret tersebut dapat ditulis ;
Sn = a + (a+b)+ (a+2b) +(a+3b) +(a+4b)
+………+(a+(n-1)b)
Nilai dari Sn dapat ditentukan sebagai berikut ;
Sn = a +(a+b) + …+(a+(n-3)b)+ (a+(n-2)b)+ (a+(n1)b)
Sn =(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+.....+ (a+2b) + (a+b) + a
Sn = a +(a+b) + …......+(a+(n-3)b)+ (a+(n-2b)+ (a+(n-1)b)
Sn =(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+.........+ (a+2b) + (a+b) + a
__________________________________________
+
2Sn = (2a + (n-1)b)+ (2a+(n-1)b)+....... ........+ (2a+(n-1)b)
2Sn = n (2a + (n-1)b)
Sn = n/2(2a + (n-1)b)
atau
Sn = n/2 (U1 + Un)
BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA
• Contoh 1 ;
• Carilah jumlah 15 suku pertama dari
barisan arithmatika ;
•
13, 18, 23, 28, ……….
• Penyelesaian;
Pada kasus ini dapat diidentifikasi ;
a = 13 b = 5 dan n = 15, jadi
S15 = 15/2(26 + (15-1)5) = 720
BARISAN DAN DERET
GEOMETRI
• Barisan geometri adalah barisan dengan
rasio antara dua suku berurutan (r) sama
• Bentuk umum :
• a, ar, ar2 , ar3 , ar4 , .......… , arn-1
• Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku
dalam suatu barisan geometri, yaitu;
• Sn = a + ar +ar2 + ar3 + ar4 + … +arn-1
• r = ar/a = U2/U1 disebut rasio antara dua
suku berurutan, dan a = suku pertama
• Nilai dari Sn diperoleh sebagai berikut ;
Sn = a + ar +ar2 + ar3 + ar4 + ... +arn-1
rSn =
ar +ar2 + ar3 + ar4 + … +arn-1 + arn
_______________________________ Sn- rSn = a - arn
(1-r)Sn = a – arn = a(1 - rn)
Sn = a (1 – rn)/(1-r) , untuk r < 1; dan ditulis :
Sn = a (rn - 1)/(r – 1) , untuk r > 1
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Contoh 3.
Dengan adanya undang-undang tentang dampak
lingkungan, maka perusahaan Hatsam menyisihkan
dananya untuk mengawasi polusi udara disekitar pabriknya
pada tahun pertama (2003) sebesar Rp. 12.500.000,- dan
meningkat 15% setiap tahun berikutnya. Apabila komitmen
ini tidak berubah berapakah dana yang harus disiapkan
pada awal tahun 2008 ?
Jawaban :
Dalam kasus ini diketahui ;
a = 12.500.000, r = 1+0.15 = 1.15, dan n = 6
Jadi suku ke-6 U6 = 12.500.000 (1.15)5 ,
= 25.141.965; sehingga dana yang harus
disediakan pada tahun 2008 sebesar
Rp. 25.141.965,-
DERET DALAM HITUNGAN
KEUANGAN
Hitung
Keuangan
Bunga
Tunggal
Bunga
Majemuk
Anuitas
1. Bunga Tunggal
¾ Bunga adalah Selisih jumlah nominal uang yang
dipinjam dan jumlah yang dikembalikan.
¾ Bunga pinjaman merupakan beban ganti rugi bagi
peminjam. Hal ini disebabkan peminjam menggunakan
uang pinjaman tersebut untuk usaha.
Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang
dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku
bunga (persentase).
¾ Bunga tunggal adalah besarnya bunga sebagai jasa
peminjaman yang dibayarkan tetap untuk setiap
periode
Misalkan uang sebesar Rp100.000,00 dibungakan atas dasar bunga
tunggal dengan tingkat suku bunga 10% per bulan .
¾ Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan pertama:
Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00
= Rp100.000,00 (1 +10%)
¾ Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan kedua:
Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00
= Rp100.000,00 (1 + 2 × 10%)
¾ Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ketiga:
Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00
+ 10% × Rp100.000,00 = Rp100.000, 00 (1 + 3 × 10%)
¾ Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ke-t:
Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + ... + 10% ×
Rp100.000,00 = Rp100.000,00 ( 1+ t × 10%)
Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut.
B = Mo× t × i
M t = M o (1 + t × i)
Keterangan : Mo = modal
t = periode waktu dengan tingkat
B
Mt
suku bunga i
= bunga
= besar modal akhir periode t
Contoh 1:
Koperasi Jatra Lestari memberikan pinjaman kepada
anggotanya atas dasar bunga tunggal sebesar 2% per
bulan. Jika seorang anggota meminjam modal sebesar
Rp3.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 1
tahun, tentukan
a. besar bunga setiap bulannya;
b. besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka
waktu yang ditentukan.
Jawab:
Besar bunga dihitung setiap bulan.
Diketahui r = 2%, Mo = Rp3.000.000,00, dan t = 12 bulan.
a. Besar bunga setiap bulan adalah
B = Mo × 1 × r
= Rp3.000.000,00 × 1 × 2%
= Rp60.000,00
b. Besar uang yang harus dikembalikan
sesuai jangka 12 bulan adalah
M t = Mo (1 + t × r)
M12 = Rp3.000.000,00(1 + 12 × 2%)
= Rp3.000.000,00(1,24)
= Rp3.720.000,00
Contoh 2:
Cecep meminjam uang di suatu bank sebesar
Rp2.000.000,00 dengan suku bunga tunggal 30% per
tahun. Dalam waktu 60 hari, Cecep sudah harus
mengembalikan uang tersebut. Berapa bunga dan jumlah
uang yang harus dikembalikannya? (Asumsikan: 1 tahun =
360 hari)
Jawab:
Dari soal di atas diketahui Mo = Rp2.000.000,00, r = 30%
per tahun, dan t = 60 hari.
a. Bunga B = M o × t × r
1
= Rp2.000.000,00 ×
× 30%
6
= Rp100.000,00
b. Jumlah uang yang harus dikembalikan
Cecep adalah
Mt = Mo (1 + t × r)
= Mo + M × t × r
= Mo + B
= Rp2.000.000,00 + Rp100.000,00
= Rp2.100.000,00
2. Bunga Majemuk
¾ Bunga Majemuk, yaitu bunga yang dihitung atas dasar
jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi
bunga yang telah terjadi.
¾ Bunga semacam ini biasanya disebut bunga yang dapat
berbunga.
¾ Adapun perhitungannya dapat kalian pahami
melalui perhitungan deret geometri. Misalkan modal
sebesar Mo dibungakan atas dasar bunga
majemuk, dengan tingkat suku bunga i (dalam
persentase) per periode waktu. Besar modal pada
periode ke-t (M ) dapat dihitung dengan cara berikut.
t
M1 = Mo + M
o × i = oM (1 + i)
2
M = M1 (1 + i) = [M
o (1 + i)] (1 + i) =o M (1 + i)
2
2
3
M 3 = M2 (1 + i) = [M
o (1 + i) ](1 + i) o= M (1 + i)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
M t = Mt − 1 (1 + i) = [Mo (1 + i)t-1](1 + i) = Mo (1+ i)t
Jadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
M t = M o (1 + i)t
Keterangan : M= modal
i = dasar bunga majemuk dengan tingkat suk
bunga (dalam persen) per periode tertentu
M = besar modal pada periode ke-t
Contoh 1:
Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas
dasar bunga majemuk 36% per tahun. Jika seorang nasabah
meminjam modal sebesar Rp5.000.000,00 dan bank
membungakan majemuk per bulan, berapakah modal yang
harus dikembalikan setelah 1 tahun?
Jawab:
Diketahui M o = Rp5.000.000,00, i = 3% = 0,03, dan t = 12
bulan.
Dengan demikian, modal
yang harus dikembalikan setelah 1
t
tahun (12 bulan) adalah
Mt = Mo (1 + i)
M12 = Rp5.000.000,00(1 + 0,03) 12
= Rp5.000.000,00(1,42576)
= Rp7.128.800,00
Contoh 2:
Ramli meminjam uang di suatu bank sebesar
Rp2.000.000,00. Bank tersebut memberikan bunga atas
dasar bunga majemuk 20% per tahun dengan periode
pembungaan setiap catur wulan. Jika Ramli meminjam uang
dalam jangka waktu 3 tahun, tentukan jumlah uang yang
harus dikembalikan pada akhir tahun ke-3.
Jawab:
Diketahui Mo = Rp2.000.000,00 dan i = 20% = 0,2.
Pembungaan dilakukan setiap catur wulan (4 bulan). Jadi,
12
banyak periode pembungaannya dalam setahun ada
=3
4
kali. Jadi, jika lama peminjaman 3 tahun, banyak periode
pembungaannya 3 × 3 = 9 kali. Dengan demikian, jumlah
modal (uang) yang harus dikembalikan Ramli pada akhir
tahun ke-3 adalah
t
Mt = Mo (1 + i)
Mo = Rp2.000.000,00(1 +
0,2/4)
=
Rp2.000.000,00(1.55133)
= Rp 3,102,656.43
9
9
Perhitungan Bunga Majemuk
Mn = Mo(1 +
i)n
Jm
dengan i =
m
dengan
Mo
= Nilai pokok awal (principal)
Mn
= Nilai akhir
n
= Jumlah periode perhitungan bunga
m
= Frekuensi perhitungan bunga dalam setahun, yaitu
2 untuk semesteran, 4 untuk triwulanan, dst.
Jm
= Tingkat bunga nominal tahunan dengan periode
perhitungan m kali per tahun
i
= Tingkat bunga per periode perhitungan bunga
194
Contoh 3
a.
b.
Berapakah nilai Mn dari Mo sebesar Rp 10.000.000 jika
j12 = 12% selama :
5 tahun
25 tahun
a. Mo = Rp 10.000.000
12%
i =
= 1% = 0,01
12
n = 5 tahun × 12 = 60 bulan
Mn = P (1 + i )
b. Mo = Rp 10.000.000
i = 1% = 0,01
n = 25 tahun × 12 = 300 bulan
Mn = P (1 + i ) n
n
= Rp 10.000.000 (1 + 0,01)
= Rp 18.166.967
60
= Rp 10.000.000 (1 + 0,01) 300
= Rp 197.884.662,6
195
BUNGA EFEKTIF DAN
BUNGA NOMINAL
• Bunga Nominal Æ tingkat bunga tahunan yang
dinyatakan, dan tidak terpengaruh periode
perhitungan bunga
• Bunga Efektif Æ tingkat bunga tahunan j1 yang
ekuivalen, tingkat bunga sebenarnya atau yang
akan diperoleh
j1 = (1 + i)m – 1
atau
1 + j1 = (1 + i) m
196
Contoh
4
Hitunglah tingkat bunga efektif j yang ekuivalen dengan:
1
a. j2 = 10%
b. j12 = 12%
c. j365 = 13,25%
2
0 ,1 ⎞
⎛
a. j1 = ⎜1 +
⎟ −1
2 ⎠
⎝
j1 = (1,05 ) 2 − 1
j1 = 0 ,1025 = 10 14 %
Tingkat bunga efektif = 10 14 %
12
⎛ 0 ,12 ⎞
b . j1 = ⎜1 +
⎟ −1
12 ⎠
⎝
j1 = (1,01)12 − 1
j1 = 0 ,126825 = 12 ,68 %
Tingkat bunga efektif = 12 ,68 %
0 ,1325 ⎞
⎛
c. j1 = ⎜1 +
⎟
365 ⎠
⎝
365
−1
j1 = (1,14165 ) 365 − 1
j1 = 0 ,14165 = 14 ,17 %
Tingkat bunga efektif = 14 ,17 %
197
MENGHITUNG NILAI SEKARANG
Mn
−n
Mo =
= Mn (1 + i )
n
(1 + i )
Contoh 5.
Dengan menggunakan j12 = 12%, hitunglah nilai diskonto
dari uang sejumlah Rp 100.000.000 yang jatuh tempo :
a. 10 tahun lagi
b. 25 tahun lagi
198
Jawab:
a. S = Rp 100.000.000
n = 10 × 12 = 120
i
P
P
P
12%
=
= 1% = 0,01
12
S
=
(1 + i)n
Rp 100.000.000
=
(1 + 0,01)120
= Rp 30.299.477,97
b. S = Rp 100.000.000
n = 25 × 12 = 300
i
P
P
P
12%
=
= 1% = 0,01
12
S
=
(1 + i)n
Rp 100.000.000
=
(1 + 0,01)300
= Rp 5.053.448,75
199
MENGHITUNG TINGKAT BUNGA DAN
JUMLAH PERIODE
1
⎛ S ⎞n
i=⎜ ⎟
⎝P⎠
−1
S
log
P
n=
log (1 + i)
Contoh 6.
Berapa tingkat bunga j12 yang dapat membuat
sejumlah uang menjadi tiga kali lipat dalam 12 tahun?
200
Jawab:
Kita asumsikan uang tersebut sebagai x.
n = 12 x 12 = 144
Maka:
x (1+i)144
= 3x
(1+i)
= (3)1/144
i
= (3)1/144 – 1
i
= 0,00765843
j12 = 12 x i
j12 = 12 x 0,00765843 = 0,09190114
j12 = 9,19%
201
Contoh 7
Berapa lama waktu yang diperlukan untuk membuat
uang sebesar Rp 5.000.000 menjadi Rp 8.500.000
dengan j12 = 12%?
Jawab:
P
S
i
= Rp 5.000.000
= Rp 8.500.000
= 12% = 1% = 0,01
12
202
Jawab:
n
n
n
n
S
log
P
=
log (1 + i)
Rp 8.500.000
log
Rp 5.000.000
=
log (1 + 0,01)
log 1,7
=
log 1,01
= 53,3277 bulan
atau
n = 4 tahun 5 bulan 10 hari ≈ 4 tahun 6 bulan
203
CONTINUOUS COMPOUNDING
• Digunakan untuk kasus-kasus yang memiliki tingkat
pertumbuhan yang sangat cepat (continuous
compounding), misalnya per detik.
S = P er t
Contoh 8.
Berapakah jumlah penduduk Indonesia pada tahun
2010 apabila diketahui tahun 2004 Indonesia
memiliki penduduk 220.000.000 jiwa dengan tingkat
pertumbuhan penduduk per tahun 1,7%?
204
Jawab:
P2004
r
t
= 220.000.000
= 1,7%
= 6
P2010
P2010
P2010
P2010
=
=
=
=
P2004 er t
220.000.000 e(1,7%)(6)
220.000.000 e(10,2%)
243.624.364 jiwa
205
Contoh 9
• Sebuah deposito sebesar Rp.10.000.000
dapat memberikan pendapatan bunga
sebesar Rp.5.600.000 selama 36 bulan.
Hitunglah
tingkat
bunga
nominal
tahunannya apabila:
a. Perhitungan bunga tabungan
b. Continuos compounding.
206
KASUS-KASUS HITUNG KEUANGAN
BUNGA TUNGGAL
Contoh 1:
• Sebuah lembaga kredit memberikan pinjaman
selama 3 tahun kepada konsumen sebesar Rp.
10.000.000,- dengan bunga tunggal pada tingkat
suku bunga 25% per tahun. Pokok dan bunganya
dibayar pada akhir tahun ke-3.
Hitunglah bunga untuk periode 3 tahun itu?
Berapa jumlah yang harus dibayar oleh konsumen
pada akhir tahun ke-3?
Jawab :
P = Rp 10.000.000,i = 25% n = 3
I
= Rp 10.000.000,- x 25% x 3
= Rp. 7.500.000,F3 = Rp 10.000.000,- + Rp 7.500.000,= Rp 17.500.000,-
HITUNG KEUANGAN BUNGA
TUNGGAL
1
2
n-1
P
P
P
n
P
F1 =P(1+i)
F2 =P(1+2i)
Fn-1=P(1+(n-1)i)
Fn =P(1+ni)
Sn = n/2 (F1 + Fn)
Dana diterima sebesar P setiap awal tahun
Bunga i per tahun.
Berapakah besar dana pada akhir tahun ke-n
•
P = 1 jt setiap awal bulan selama satu tahun dengan bunga 12%
tunggal/ tahun, Jadi bunga 12%/12 = 1% per bulan. Dana akan
dikembalikan pada akhir tahun.
S12 = 12/2(1.01 jt + 1.12 jt) = 6(2.13 jt)
= 12.78 jt
Lama
pinjaman
1jt
1jt
1jt
1jt
12
11
2
1
Pokok+Bunga
1.010 jt
1.020 jt
1.110 jt
1.120 jt
•
P = 2 jt disetor selama 12 bulan bunga 6% tunggal/tahun, Jadi bunga per
bulan 6%/12 = 0.5%, dan seluruh dana akan dibayar pada akhir bulan ke-6
setelah penerimaan terakhir
S12 = 12/2(2.06 + 2.17)jt = 6(4.23) jt = 25.38 jt
2jt
Bulan ke
1
2jt
11
2jt
Pokok+Bunga
12
2.06 jt
2.07 jt
2.17 jt
•
P = 5 jt disetor selama 10 bulan bunga 12% tunggal/tahun, Jadi bunga per
bulan 12%/12 = 1 %, dan total dana tabungan akan dibayar pada akhir
bulan ke-60 setelah penerimaan pinjaman pertama
S10 = 10/2(7.55+8.0)jt = 5(15.55) jt = 77.75 jt
5jt
1
5jt
9
5jt
Pokok+Bunga
10
7.55 jt
7.60 jt
8.0 jt
Seorang pengusaha mendapat pinjaman sebesar $90.000,- untuk
setiap awal semester selama 5 tahun dengan bunga tunggal 8%
Per tahun, dana akan dikembalikan pada akhir semester 11,
berapakah dana yang harus dibayar pengusaha tersebut?
$90
Semester
ke
1
$90
2
$90
9
$90
10
97.2
100.8
126
129.6
S10 = (10/2)(97.2 +129.6) = 1.134 atau $1.134.000,-
Dana $ 10.000,- dibungakan 12% secara tunggal
dalam bentuk kwartalan selama 5 tahun, berapakah
dana tersebut setelah akhir tahun ke-5.
P = $ 10.000,i = 0.03 per quartal
5 tahun = 5 x 4 kwartal = 20 kwartal
Jadi n = 20
F20 = 10.000(1+20(0.03))
= 10.000(1.6)
= $16.000,Q1
Q2
Q3
KONSEP BUNGA SEDERHANA
(SIMPLE INTEREST – SI)
• 1. BUNGA TEPAT (exact interest method)
atau SIe dengan:
t=
jumlahhari
365
• 2. BUNGA BIASA (ordinary interest
method) atau SIo
t =
jumlahhari
360
KONSEP BUNGA SEDERHANA
(SIMPLE INTEREST – SI)
• Contoh:
• Hitung bunga tepat dan bunga biasa dari
sebuah pinjaman sebesar Rp. 40 juta selama 50
hari dengan bunga 9%.
• P = 40 jt, r = 9%, dan t = 50 hari.
Bunga tepat SIe = 40 jt x 9% x 50/365
Bunga biasa Sio = 40 jt x 9% x 50/360
KONSEP BUNGA SEDERHANA
(SIMPLE INTEREST – SI)
• Manipulasi Persamaan Bunga Sederhana
SI = Prt
P = SI/rt
r = SI/Pt, atau
t = SI/Pr
• Jika S merupakan nilai akhir dari suatu modal yang
dibungakan, maka S = P + I
S = P + Prt
S = P(1+rt), jadi dapat dibuat
P = S/(1+rt)
• Model ini dapat dikembangkan untuk bentuk
angsuran
TINGKAT DISKON DAN DISKON TUNAI
• DISKON (discount) atau potongan dilakukan
untuk menarik minat pembeli
• Diskon juga biasa diberikan untuk pembeli
kredit agar dapat cepat melunasi kreditnya
• Diskon dapat digunakan untuk menghitung
bunga wesel atau bunga penjamin yang
dipotong dimuka
TINGKAT DISKON DAN DISKON
TUNAI
• Rumus-Rumus
• D = S – P, D = Diskon, S = Nilai untuk
periode waktu tertentu, P = nilai pokok
atau nilai awal
• D = Sdt
• P = S – D, jadi P = S – Sdt, atau
P = S(1-dt)
• Juga S = P/(1-dt)
TINGKAT DISKON DAN DISKON
TUNAI
• Contoh:
• Tuan Johan meminjam Rp. 20 juta
selama 5 bulan dari bank dengan
bunga 12%.
• Berapa besar diskon yang diterima
• Berapa nilai pinjaman jika tuan Johan
ingin menerima 20 juta secara utuh
TINGKAT DISKON DAN DISKON
TUNAI
• S = 20 jt, d = 12%, t = 5 bulan
• Besar diskon D = Sdt
D = 20 jtx 12% x 5/12
Jadi dana yang diterima P = S-D
P = 20 jt – 1 jt = 19 jt
• Agar dana 20 jt diterima secara utuh
S = P/(1-dt)
S = 20 jt/(1-0.05)
S = 21,052,631.58
TINGKAT DISKON DAN DISKON
TUNAI
• Contoh:
• Tentukan Nilai Sekarang dari 10 jt yang
jatuh tempo 1 tahun
• Dengan : a. tingkat bunga 10%
b. tingkat diskon 10 %
TINGKAT DISKON DAN DISKON
TUNAI
a. S = 10 jt, r = 10%, t = 1
P = S/(1+rt)
P = 10 jt/(1+0,1)
P = 9,900,990.10
b. S = 10 jt, d = 10%, t = 1
P = S(1-dt)
P = 10 jt (1-0.1)
P = 9 jt
WESEL
• WESEL atau promissory notes adalah janji
tertulis debitor kepada kreditor atau
penerima wesel sejumlah uang, dengan
bunga atau tanpa bunga pada tanggal
tertentu.
Rp. 200,000,000,-(dua ratus juta rupiah) Surabaya, 1 January 2007
Seratus hari terhitug dari hari ini, saya berjanji untuk membayar kepada tuan
Samuel
Dua ratus juta Rupiah
Beserta bunga sebesar 10% p.a
Tanda tangan
Yanty Karmila
WESEL
• Contoh: Jika wesel yang ditanda tangani
oleh Yanty Karmila di atas akan dijual pada 1
Maret 2007 kepada Bank ‘MAN’ dengan
menggunakan tingkat diskon 16%, berapa
besar dana yang akan diterima tuan
Samuel? Berapa tingkat bunga yang akan
diterima bank, jika wesel jatuh tempo?
• Berapa tingkat bunga yang diterima tuan
Samuel pada saat menjual wesel tersebut?
WESEL
1 JANUARI 2007
200 JUTA
1 Maret 2007
202,862,645.90
10 APRIL 2007
206,575,342.47
WESEL
• Bank menerima keuntungan sebesar
206,575,342.47
-
202,862,645.90
=
3,712,69.57
Tingkat suku bunga yang didapat bank adalah:
3,712,69.57/ (206,575,342.47(41/365)) = 16%
Future value ANUITAS
• Dana diterima sebesar A setiap tahun Bunga majemuk i per
tahun.
• Berapakah besar dana pada tahun ke-n
1
2
n-1
A
A
A
n
A
F1 = A
F2 =A(1+i)
Fn-1=A(1+i)n-2
Fn =A(1+i)n-1
ANUITAS
•
ΣFk = A + A(1+i) + A(1+i)2 + . . . . + A(1+i)n-1
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ……………… + arn-1
Sn = a(rn -1)/(r-1)
Analogi dengan Sn, diperoleh a = A(1+i) dan
r = (1+i)
Jadi ΣFk =………..
Seorang membayar cicilan pada setiap awal
bulan sebesar Rp. 1.5 juta selama 5 tahun,
bunga bank 12% secara majemuk per tahun,
berapakah total dana tersebut jika dihitung
pada awal bulan ke 12 tahun ke-5?
S60
= 1.5jt + 1.5jt(1.01)1 + 1.5jt(1.01)2 …. +
1.5jt(1.01)59
= 1.5jt((1.01)60-1)/0.01
= ………
PRESENT VALUE DARI ANUITAS PEMBAYARAN
PERTAMA DILAKUKAN DI AKHIR
1
2
n-1
A
A
A
A
P1 =A/(1+i)
P2=A/(1+i)2
Pn-1=A/(1+i)n-1
Pn=A/(1+i)n
ΣPk = P1 + P2 + P3 + ……….. + Pn
= A (1- 1/(1+i)n)/i
n
A
PRESENT VALUE DARI ANUITAS CICILAN PERTAMA
DI AWAL PINJAMAN
1
2
n-1
A
A
A
n
A
P1 = A
P2=A/(1+i)
Pn-1=A/(1+i)n-2
Pn=A/(1+i)n-1
ΣPk = P1 + P2 + P3 + ……….. + Pn
= A(1+i) (1- 1/(1+i)n)/i
Future dan Present Value
Mn = M(1+i)n dan M = Mn/(1+i)n
FV dari M
M
PV dari Mn
Mn
Toni ingin mendepositokan uang sebanyak Rp 600.000,- pada permulaan
dari setiap tahun selama 4 tahun dengan pembayaran bunga 12% per tahun
secara majemuk.
Penempatan deposito pertama akan dilakukan tgl 1 januari 1998 dan terakhir
pada tgl 1 januari 2001.
Berapa nilai dari deposito toni pada 1 januari 2002
Jawab :
A = Rp 600.000,F = 600.000(1.12)
i = 12%
( 1+ 0,12 )4 – 1
0,12
= 672.000 ( 4,77933 )
= Rp 3.211.708,42-
n=4
•
Sebuah perusahaan ingin menyisihkan dananya mulai pada akhir tahun ini.
Jika dana itu didepositokan dengan bunga 8% per tahun dimajemukkan
secara annually ( tahunan ), berapa uang yang harus didepositokan setiap
tahun untuk mendapatkan dana $ 12 juta pada akhir tahun ke-10? Berapa
bunga yang diperoleh perusahaan tersebut ?
Jawab :
F10 = $12.000.000
A = 12.000.000
i = 8%
n = 10
__ 0,08______
( 1 + 0,08 )10 – 1
= 12.000.000 ( 0,06902 )
= $ 828.240
jadi yang didepositokan setiap tahun adalah sebesar $ 828.240
sedangkan total yang didepositokan selama 10 tahun = $ 828.240 x 10
= $ 8.282.400
Bunga yang diperoleh selama 10 tahun :
= $ 12.000.000 - $ 8.282.400
= $ 3.717.600
Bila perusahaan itu mendepositokan secara kuartalan, berapa
uang yang harus didepositokan setiap kuartalnya? Berapa
bunga yang diperoleh dari deposito tersebut?
Jawab :
F40 = $ 12.000.000
A = 12.000.000
i = 0,08/4 = 0,02
n = 10.4 = 40
__ 0,02______
( 1 + 0,02 )40 – 1
= 12.000.000 ( 0,01655 )
= $ 198.600
jadi yang didepositokan setiap kuartalnya $ 198.600
sedangkan total yang didepositokan = $ 198.600 x 40
= $ 7.944.000
Bunga yang diperoleh = $ 12.000.000 - $ 7.944000
= $ 4.056.000
Si Budi memenangkan lottery dan ia akan menerima
pembayaran setiap akhir tahun $ 20.000,- selama 4 tahun .
Apabila Budi dapat mengambil uang tersebut sekaligus
saat ini, dengan perhitungan tingkat bunga 6% per tahun ,
berapa nilai saat ini dari pembayaran 4 tahun tersebut?
Jawab :
A = $ 20.000
PA = 20.000
i = 6%
( 1 + 0,06 )4 – 1
0,06 ( 1 + 0,06 )4
= 20.000 ( 3,46510 )
= $ 69.301,65
n=4
ALJABAR MATRIKS
1. MATRIKS
1.1 PENGERTIAN
Matriks dapat didefinisikan sebagai suatu set yang unsur-unsurnya disusun dalam
suatu daftar persegi menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan kurung biasa ( )
atau kurung siku [ ], atau dengan kata lain ( a matrix is a common device for
summarizing and displaying numbers or data ).
Bentuk umum matriks :
A =
a11
a12
a21
.
.
am1
a22
.
.
am2
.
.
.
.
.
.
a1n
.
.
.
.
a2n
.
.
amn
Matriks A mempunyai m baris dan n kolom.
Matriks A ini terdiri dari elemen-elemen aij yang menunjukkan lokasi dari
elemen-elemen di dalam matriks dimana i menunjukkan baris ke-i dan j
menunjukkan kolom ke-j
ALJABAR MATRIKS
Contoh :
Elemen a21 berada di baris ke-2 dan kolom ke-1
Elemen a53 berada di baris ke-5 dan kolom ke-3
Pada umumnya Nama matriks dilambangkan dengan huruf besar.
Suatu matriks A yang jumlah barisnya m dan jumlah kolomnya n dikatakan
berdimensi atau berordo m x n dan ditulis Amxn.
Contoh :
test
1
2
3
student
1
2
3
4
5
75
91
65
59
75
82
95
70
80
76
86
89
68
99
74
TIPE-TIPE MATRIKS
1.2 TIPE-TIPE KHUSUS DARI MATRIKS
A. VEKTOR
Vektor adalah suatu matriks yang hanya mepunyai 1 baris atau 1 kolom saja.
Vektor baris : sebuah matriks yang hanya mempunyai 1 baris.
Sebuah vektor baris R mempunyai n elemen rij mempunyai dimensi (1 x n ) dan
mempunyai bentuk umum :
R = ( r11 r12 r13 . . r1n )
Contoh :
ke tiga nilai test untuk student 1 dapat ditulis dalam vektor baris (1x3)
A = ( 75 82 86 )
TIPE-TIPE MATRIKS
Vektor kolom : sebuah matriks yang hanya mempunyai 1 kolom.
Sebuah vektor kolom C mempunyai m elemen cij mempunyai dimensi (m x 1)
dan mempunyai bentuk umum :
C=
c11
c21
c31
.
.
cm1
Contoh :
Pada test yang pertama nilai untuk ke-5 student dapat ditulis dalam vektor kolom
( 5x1 )
T=
75
95
65
59
75
TIPE-TIPE MATRIKS
B. MATRIKS BUJURSANGKAR
ƒ
Matriks bujursangkar adalah sebuah matriks yang jumlah baris dan kolomnya
sama.
Jika matriks berdimensi ( mxn ), maka untuk matriks bujursangkar, nilai
m=n
Contoh :
A = ( 3)
B=
1
-5
3
4
C=
2
1
0
0
-4
2
-3
5
6
Bila elemen-elemen aij dengan i = j maka aij disebut diagonal utama.
Contoh :
elemen-elemen diagonal utama dari matriks B adalah b11 = 1 dan b22 = 4
elemen-elemen diagonal utama dari matriks C adalah c11= 2, c22= -4, c33= 6
TIPE-TIPE MATRIKS
ƒ Matriks identitas (matriks satuan) adalah matriks bujursangkar dimana
elemen-elemen diagonal utamanya adalah 1 dan elemen-elemen lainnya
adalah 0.
Contoh :
I (2x2) =
1
0
0
1
dan
1
0
0
I (3x3) =
0
1
0
0
0
1
C. TRANSPOSE MATRIKS
Matriks A(mxn) dengan elemen-elemen aij, jika ditranspose dapat ditulis At, akan
menghasilkan matriks dengan ordo (nxm) dimana at ij = aji atau dengan kata lain
unsur baris dari matriks A menjadi unsur kolom pada matriks A transposenya dan
unsur kolom dari matriks A menjadi unsur baris pada matriks A transpose.
Contoh :
A (3x2) =
3
4
1
2
0
-2
maka A
t
(2x3)
=
3
2
4
0
1
-2
OPERASI MATRIKS
2. OPERASI MATRIKS
2.1 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS
Dua buah matriks hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan bila kedua matriks
tersebut mempunyai dimensi yang sama.
Contoh :
A=
1
4
3
-2
A+B =
1
4
3
-2
dan
+
B=
-3
0
1+(-3)
3+2
4+0
-2+4
=
2
4
-3 - 1
--
1
4
-2
4
5
2
=
-4
-4
3
-2
2–3
=
0-4
2
4
2
4
=
B – A = -3
0
-3
0
4 - (-2)
-1
6
OPERASI MATRIKS
2.2 PERKALIAN SKALAR
Perkalian skalar dari sebuah matriks adalah mengalikan sebuah matriks dengan
sebuah skalar ( real number ).
Contoh :
kA = k .
5
–2
0
3
1
4
=
5k
-2k
0
3k
k
4k
2.3 PERKALIAN MATRIKS
Suatu matriks A yang berdimensi mA x nA hanya dapat dikalikan dengan suatu
matriks B yang berdimensi mB x nB, jika jumlah kolom dari matriks A sama dengan
jumlah baris dari matriks B atau nA=mB , sehingga hasil perkalian dari matriks A
dengan matriks B merupakan matriks C yang berdimensi mA x nB.
A
(mA x nA)
.
=
B
(mB x nB)
=
C
(mA x nB)
OPERASI MATRIKS
Contoh :
A =
2
3
A
(2 x 2)
4
1
x
dan
B
(2 x 1)
=
B =
-4
2
C
(2 x 1)
=
2
3
4
1
-4
2
= c11
c21
2.(-4) + (4.2)
=
0
=
3.(-4) + (1.2)
-10
PERSAMAAN LINEAR
2.4 REPRESENTASI PERSAMAAN LINIER
Suatu persamaan linier yang berbentuk :
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ..... + anxn = b
Dapat dinyatakan dalam bentuk matriks :
(a1 a2 a3 ... an)
x1
x2
x3
.
.
xn
= b
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
2.5 REPRESENTASI SISTEM PERSAMAAN LINIER
Suatu sistem persamaan linier (m x n) yang berbentuk :
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.............................
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks :
AX = B
a11
a21
a12 . . . a1n
a22 . . . a2n
............... .
am1 am2 . . amn
A
x1
x2
.
.
xn
X
b1
b2
=
.
.
bm
B
DETERMINAN DARI MATRIKS BUJURSANGKAR
2.6 DETERMINAN ( ∆ atau | A | )
Determinan hanya dapat didefinisi untuk matriks bujursangkar.
ƒ
Determinan dari matriks ( 1 x 1)
Determinan dari matriks (1x1) adalah nilai dari elemen yang terdapat dalam
matriks itu sendiri.
Jika A = ( 5 ) maka | A | = 5
B = ( -10 ) maka | B | = -10
ƒ
Determinan dari matriks ( 2 x 2 )
A =
a11
a12
a21
a22
| A | = a11a22 – a21a12
Contoh :
1
-2
3
4
A=
| A | = (1) (4) - (3) (-2)
= 4 + 6
= 10
DETERMINAN
ƒ
Deteminan dari matriks ( 3 x 3 )
A =
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
Determinan dapat dicari dengan proses SARUS (khusus ordo 3x3) sbb :
(i)
Tulis kembali 2 kolom pertama di sebelah kanan dari matriks
(ii)
Letakkan elemen-elemen dari diagonal utama ( P1, P2, P3) dan diagonal
lainnya ( S1, S2, S3 ).
(iii)
Kalikan elemen-elemen dari masing-masing diagonal tersebut.
(iv)
Determinan dari matriks tersebut adalah penjumlahan dari P1, P2, P3 dikurangi
dengan penjumlahan dari S1, S2, S3.
S1(-)
a11
a12
a13
a11
a21
a22
a23
a21
a31
a32
a33
a31
S2(-)
S3 (-)
a12
a22
a32
P1(+) P2(+)
P3(+)
DETERMINAN
| A | = ( a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ) ( a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12 )
Contoh :
3
-1
3
A=
1
2
-2
2
4
1
S1
3
-1
3
1
2
-2
2
4
1
3
-1
3
P1
|A|=
S2
S3
1
2
-2
P2
P3
3.2.1 + 1.4.3 + 2 (-1) (-2) -
= ( 6 + 12 + 4 ) - ( 12 - 24 – 1 )
= 22 – ( -13 )
= 35
3.2.2 + (-2).4.3 + 1 (-1) (1)
DETERMINAN
ƒ
Metode Ekspansi Kofaktor (Expansi Laplace)
Metode ini dapat digunakan untuk semua matriks bujursangkar dengan dimensi
(2x2 ) atau lebih.
Metode ini dikembangkan oleh Laplace, sehingga metode ini disebut juga ekspansi
Laplace
Kij = ( -1 ) i+j Mij
Kij disebut kofaktor dari unsur aij
Mij disebut Minor, adalah determinan dari matriks dengan i = unsur baris
yang dihilangkan dan j = unsur kolom yang dihilangkan dari matriks asal
Jika jumlah kedua indeks i dan j pada minor Mij genap, maka kofaktornya Kij = Mij,
bila ganjil, maka Kij = - Mij
a11
A =
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
| A | = a11 K11 + a12 K12 + a13 K13
= a11 M11 - a12 M12 + a13 M13
Ekspansi pada baris
Pertama
•
3
• A= -1
•
3
•
K=
1
2
-2
2
4
1
k11
k12
k13
k21
k22
k23
k31
k32
k33
2 4
-2 1
K=
-
1
-1 4
2
3
2
-2 1
3
1
3
2
1
2
2
4
-1 2
3 -2
- 3 1
-
-1 4
-
3
1
3 -2
3
1
-1 2
DETERMINAN
•
•
• K=
10
13
-4
-5
-3
9
0
-14
7
35
0
0
0
35
0
0
0
35
A.K’ =
1
10
-5
0
13
-3
-14
Adjoint A = K’ =
9
0
1
0
= 35
0
0
-4
0
7
= IAI.I
0
1
Contoh :
DETERMINAN
1.
A=
3
-1
3
1
2
-2
2
-2
|A|=3
2
4
1
4
1
= 3 ( 10 )
-- 1
-1
3
4
1
+ 2
-- 1 ( - 13 )
-1
3
2
-2
+ 2 ( -4 )
= 30 + 13 – 8 = 35
2.
3
6
-1
3
A=
0
-2
0
0
1
-5
2
-2
2
4
4
1
| A | = 0 C12 + (-2) C22 + 0 C32 + 0 C42
=
0
= -2
+ (-2) C22 + 0 + 0
3
-1
3
1
2
-2
2
4
1
= -2 . 35 = -70
SIFAT DETERMINAN
ƒ Sifat-sifat Determinan
1. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, maka |A| = 0
Contoh :
5
0
A=
maka |A| = 0
10 0
2. Jika dua baris atau kolom dipertukarkan, maka tanda determinan akan berubah.
Contoh :
1
5
-6
15
A=
maka |A| = 45
bila kolomnya dipertukarkan:
5
1
15
-6
A=
maka |A| = - 45
3. Mengubah unsur dari baris menjadi unsur kolom yang bersesuaian tidak akan
mempengaruhi nilai suatu determinan atau dengan kata lain | A | = | At |
Contoh :
4
3
5
6
4
5
3
6
A =
maka |A| = 9
sama
At =
maka |A| = 9
SIFAT DETERMINAN
4. Perkalian dari setiap satu baris ( atau satu kolom ) dengan suatu skalar k
akan menyebabkan determinan dari matriks sama dengan k. |A|
Contoh :
Lihat matriks A di no.3, tiap elemen di kolom ke-2 dikalikan dengan –5 :
4
-15
B =
5
-30
maka |B| = (4. –30) – (5. –15) = -45
= -5 . |A| = -5 . 9 = -45
5. Penambahan atau pengurangan dari kelipatan suatu baris atau
kolom dengan baris atau kolom lainnya, tidak merubah nilai determinan.
Contoh :
Lihat matriks A di no.3, kalikan baris ke-1 dengan –3 dan tambahkan ke baris 2
4
3
A =
4
3
-7
-3
=
5+(4)(-3)
6+(3)(-3)
= -12 – (-21) = 9
6. Jika suatu baris atau kolom merupakan kelipatan dari baris atau kolom
lainnya, maka determinannya sama dengan 0.
Contoh :
3
2
A=
baris ke-2 merupakan kelipatan 2 dari baris ke-1
6
4
| A | = 12 – 12 = 0
MATRIKS INVERS
2.7 MATRIKS INVERS A-1
Sebuah matriks A mempunyai invers jika :
a. matriks tersebut berbentuk matriks bujursangkar.
b. Nilai determinan bukan nol ( matriks A adalah matriks nonsingular ).
Matriks A-1 adalah invers matriks A, juga berupa matriks bujursangkar dan
mempunyai dimensi yang sama dengan matriks A dan memenuhi sifat :
A . A-1 = A-1. A = I
Untuk menentukan invers suatu matriks dapat menggunakan metode :
1. Metode Operasi Baris Elementer (Gauss )
2. Metode Matriks Adjoint
MATRIKS INVERS
2.7.1 OPERASI BARIS ELEMENTER ( GAUSS )
Langkah-langkahnya :
(i)
Gabungkan matriks A dengan matriks identitas yang berdimensi sama.
( A| I )
(ii)
Lakukan operasi baris elementer
mentransformasikan matriks menjadi :
pada
( I | A-1 )
dimana A-1 merupakan invers dari matriks A.
matriks
diatas
untuk
MATRIKS INVERS
Contoh :
3
7
2
5
3
7
1
0
2
5
0
1
1
7/3
1/3
0
2
5
0
1
1
7/3
1/3
0
0
1/3
-2/3
1
b2 x 3
1
7/3
1/3
0
b1 – 7/3 b2
0
1
-2
3
A=
b1 x 1/3
=
=
b2 – 2 b1
=
=
MATRIKS INVERS
1 0
5 -7
0 1
-2
=
Jadi A-1 =
5 -7
-2 3
3
MATRIKS INVERS
2.7.2 MATRIKS ADJOINT
Langkah-langkahnya :
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Hitung kofaktor untuk semua elemen A dan susun kofaktor tersebut dalam
suatu matriks K = [ Kij ]
Cari determinannya |A| , dimana |A| ≠ 0
Ubahlah matriks kofaktor K menjadi transpose Kt yang disebut matriks adjoint.
Hitung matriks invers A-1 dengan menggunakan rumus :
-1
A = 1 Adjoint A
|A|
Kontoh :
ƒ
MATRIKS INVERS
3
7
2
5
Karilah A-1
A =
| A | = 15 – 14 = 1
5
-2
t
5
-7
-2
3
maka adjoint A = K =
K =
-7
3
sehingga invers A-1 adalah :
A-1 = 1
|A|
= 1
1
Adjoint A
5
-2
-7
3
=
5
-2
-7
3
MATRIKS INVERS
ƒ
2
1
7
B =
|B| = 2
3
4
0
0
-2
5
4
0
-2
5
1
- 3 7
-2
5 + 0
= 2 (20) - 3 (19) + 0
= 40 - 57
= -17
K =
4
0
-2
5
1
- 7
-2
5
1
7
4
0
3
- 0
0
5
2
7
0
5
2
- 7
3
0
3
4
0
-2
2
- 1
0
-2
2
1
3
4
MATRIKS INVERS
20
-19
-28
-15
10
21
-6
4
5
K =
Adjoint B = Kt =
20
-15
-6
-19
10
4
-28
20
B-1 = 1
-17
-19
-28
21
5
-15
-6
10
4
21
5
=
-20/17
15/17
6/17
19/17
-10/17
-4/17
28/17
-21/17
-5/17
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN
LINEAR
2.8 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
Aljabar matriks hanya dapat diterapkan pada sistem persamaan linier.
AX = b ( A matriks Bujur Sangkar, X vektor kolom variabel, dan
b vektor kolom konstanta)
Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier dapat menggunakan :
1. Aturan Cramer
2. Matriks Invers
1. Menggunakan Aturan Cramer
Xj =
| Aj|
|A|
dimana , Xj = variabel ke-j yang ingin diketahui nilainya
| A | = determinan dari matriks koefisien
| Aij| = determinan dari matriks koefisien yang nilai kolom ke-j diganti
dengan nilai konstanta.
MENYELESAIKAN SISTEM
PERSAMAAN LINEAR
Contoh :
x1 + 2x2 + 3x3 = 28
-x1 + x2 + 2x3 = 14
3x1 - x2 + 5x3 = 32
ƒ
Carilah determinan dari matriks koefisien :
|A|=
1
-1
3
2
1
-1
3
2
5
1
= 1 -1
2
5
-1
- 2 3
2
-1
5 + 3 3
1
-1
= 1 ( 7 ) - 2 ( -11 ) + 3 ( -2 )
= 7
+ 22
- 6
= 23
ƒ
Buatlah |A1| ; |A2|; dan |A3| dengan cara menggantikan masing-masing vektor
kolom variabel x1, x2 dan x3 dengan vektor konstanta.
MENYELESAIKAN SISTEM
PERSAMAAN LINEAR
| A1 | =
28
14
32
2
1
-1
3
2
5
14
= -2 32
2
5
28
+ 1 32
3
28
5 - (-1) 14
=
=
=
-2 ( 6 ) + 1 ( 44 ) + 1 ( 14 )
-12 + 44
+ 14
46
| A2 | =
1
-1
3
28
14
32
3
2
5
=
92
| A3 | =
1
-1
3
2
1
-1
28
14
32
=
138
Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linier adalah :
x1 = | A1| = 46 = 2
|A|
23
x2 = | A1|
|A|
= 92 = 4
23
x3 = | A1|
|A|
= 138 = 6
23
3
2
MENYELESAIKAN SISTEM
PERSAMAAN LINEAR
(ii) Menggunakan Matriks Invers
Setiap sistem persamaan linier dapat dibawa ke dalam bentuk matriks :
AX
A AX
IX
X
-1
Contoh :
A
1
-1
3
2
1
-1
3
2
5
= B,
= A-1B
= A-1 B
= A-1 B
X
B
x1
x2
x3
28
14
32
=
Ditulis dalam sistem persamaan linear berikut:
X1 + 2X2 + 3X3 = 28
-X1 + X2 + 2X3 = 14
3X1 – X2 + 5 X3 = 32
MENYELESAIKAN SISTEM
PERSAMAAN LINEAR
X1
X2
X3
7/23
= 11/23
-2/23
X1
X2
X3
46/23
= 92/23
138/23
Jadi x1 = 2 ; x2 = 4 ; x3 = 6
-13/23 1/23
-4/23 -5/23
7/23
3/23
2
= 4
6
28
14
32
EKONOMI LINEAR
•
Aljabar Matriks dan vektor sangat
membantu dalam menyelesaikan
masalah ekonomi linear.
• Ekonomi Linear mempunyai tiga bagian
utama, yaitu :
1. Teori Permainan (Neumann, 1928)
2. Analisa Input-Output (Leontief, 1936)
3. Program Linear (Dantzig, 1947)
Analisa Input Output
• Sebuah ekonomi terdiri atas berbagai
industri, dan sebuah industri terdiri dari
berbagai usaha produksi.
• Suatu ekonomi adalah keseluruhan
industri suatu masyarakat, sedangkan
suatu industri ialah keseluruhan usaha
produksi sejenis suatu masyarakat
ANALISA INPUT OUTPUT
• Suatu usaha produksi atau perusahaan
menggunakan input tertentu dan
menghasilkan output tertentu, demikian
juga untuk suatu industri.
• Output suatu industri sebagian dipakai
sebagai input industri-industri dari
ekonomi yang ditinjau, selebihnya untuk
permintaan masyarakat
ANALISA INPUT OUTPUT
• Misalkan suatu ekonomi terdiri atas n industri
yang masing-masing memproduksi satu jenis
barang, dapat dibuat dalam tabel berikut :
Industri
Produksi
i=1
2
3
.
.
n
Input Industri
J = 1, 2, …., n
b11 b12 ….b1n
b21 b22 ….b2n
b31 b32 ….b3n
.
.
.
.
.
.
.
.
bn1 bn2 ….bnn
Permintaan
Akhir Ci
c1
c2
c3
.
.
cn
Output total
Xi
x1
x2
x3
.
.
xn
ANALISA INPUT-OUTPUT
• Nilai bij = nilai dalam Rp. output industri i yang
dipakai industri j sebagai input, sedangkan ci =
permintaan masyarakat atas output industri i,
dan:
• xi = bi1 + bi2 + bi3 + ……. + ci, ialah total output
industri ke- i.
• Kalau dimisalkan aij = bij/xj , jadi bij = aijxj
• Sehingga xi dapat ditulis :
• xi = ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ….. + ainxn + ci
• (1- a11)x1 – a12x2 – a13x3 - ….. - a1nxn = c1; (i =1)
APLIKASI PADA ANALISA
INPUT-OUTPUT
APLIKASI ( ANALISA INPUT-OUTPUT )
ƒ
ƒ
„
Tujuan : untuk menentukan berapa banyak tingkat output dari setiap industri
yang harus diproduksi dalam suatu perekonomian, agar dapat memenuhi total
permintaan produk.
Permintaan total x untuk produk i akan merupakan penjumlahan dari semua
permintaan antara / permintaan antar individu dan ditambah permintaan akhir b
untuk produk tersebut.
Jika aij adalah suatu koefisien teknis (elemen matriks koefisien) yang
menyatakan harga input i yang diperlukan untuk memproduksi produk j seharga
satu rupiah, maka permintaan total untuk produk i dapat dinyatakan :
xi = ai1x1 + ai2x2 ..... + ainxn + ci
dalam bentuk matriks dapat dinyatakan :
X = AX + C
X – AX = C
IX - AX = C
(I–A)X =C
X = ( I – A )-1 C
untuk i = 1,2, ..., n
APLIKASI PADA ANALISA
INPUT-OUTPUT
Contoh :
Tentukan permintaan total x untuk industri 1, 2 dan 3 dengan mengetahui :
0,3
A = 0,5
0,1
0,4
0,2
0,3
0,1
0,6
0,1
C=
20
10
30
X = ( I – A )-1 C
(I -A) =
-1
(I–A) =
1
0
0
1__
0,151
0
1
0
0
0
1
0,54
0,51
0,23
-
0,3
0,5
0,1
0,4
0,2
0,3
0,39
0,62
0,25
0,32
0,47
0,36
0,1
0,6
0,1
=
0,7
-0,5
-0,1
-0,4
0,8
-0,3
-0,1
-0,6
0,9
APLIKASI PADA ANALISA
INPUT-OUTPUT
X =
=
1__
0,151
0,54
0,51
0,23
1__
0,151
24,3
30,5
17,9
0,39
0,62
0,25
=
0,32
0,47
0,36
20
10
30
160,93
201,99
118,54
Jadi industri 1 memproduksi output $ 160,93 ; industri 2 $ 201,99 ; industri 3 $
118,54.
SOAL-SOAL
MATRIKS
Tentukan dimensi dari masing-masing matriks dibawah ini dan cari transposenya!
1. ( 8
3.
5.
6.
-8
2
-3
6
8
1
0
0
0
1
0
-6
2
2
3
3
-1
5
3)
2.
1
2
4.
1
2
3
4
0
0
1
2
3
5
4
4
8
7.
1
6
0
4
5
3
4
5
6
3
4
1
6
1
5
2
2
3
2
7
8
9
10
SOAL-SOAL
OPERASI MATRIKS
1. -
4
5
-2
8
3.
5
2
-8 + -6
14
10
5.
4
-2
0
9
2
1
3
-1
0
-2
7.
-
3
8
12
4
-2 - -10
-4
21
2
-7
6
-4
-1
2. –3
6
8
1
0
1
5
-8
4. ( 7
6.
0
-3
4
10
0
1
4
-1
-3
-4
-3 )
10
0
8. ( 1
12
-2
10
-4
4
8
-5
13
8
+ 8
1
0
-2 )
0
3
1
0
1
-2
-4
2
1
0
7
10
-3
SOAL-SOAL
9. Seorang instruktur memberikan 3 test kepada 5 siswanya dan memberikan bobot
30% untuk test 1 dan test 2, sedangkan test 3 sebesar 40%.
Instruktur itu akan memberikan rata-rata/nilai akhir kepada ke-5 siswa itu dengan
menggunakan matriks.
Matriks dari nilai-nilai itu adalah sbb :
G=
75
91
65
59
75
W = ( 0,30
82
95
70
80
76
0,30
86
100
68
99
74
0,40 )
berapa nilai akhir untuk masing-masing siswa?
SOAL-SOAL
Tulis kembali dalam bentuk matriks.
11. 5x3 - 2x2 + x1 = 100
= -18
3x3
= 125
5x2
10. x - 3y = 15
2x + 3y = -10
DETERMINAN
Carilah determinannya !
1. T =
3. A =
5. N =
7. A =
8
-2
3
-4
2. B =
-1
2
3
2
-4
-6
-3
1
9
2
1
3
6
7
-2
3
-3
-2
-3
6
-2
0
0
9
0
0
3
2
3
2
0
0
6
-3
3
8
2
-2
4
12
0
0
0
0
1
4. C =
6. D =
0
9
-6
3
-4
40
30
8
6
3
1
1
0
4
1
5
-2
1
7
0
4
6
-4
0
-1
2
2
-3
2
8
-3
0
4
4
INVERS MATRIKS
1. T =
3. A =
1
2
1
2
2
-1
-3
2. B =
1
-1
3
1
1
4
4. C =
2
4
3
7
3
4
-9
5
1
-15
2
0
-6
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
Tentukan solusi dari sistem persamaan linier dengan aturan Matriks Invers.
1. 8x1 + 3x2 = 10
-2x1 – 4x2 = 12
2. 40x1 + 8x2 = 80
30x1 + 6x2 = 60
3. –x1 + 2x2 – 3x3 = 24
2x1 – 4x2 + x3 = 12
3x1 – 6x2 + 9x3 = 16
4. 3x1
+ 5x3 = 14
x1 + 4x2 – 2x3 = -10
x1 + x2 + x3 = 2
S0AL-S0AL
Tentukan solusi dari sistem persamaan linier dengan invers matriks.
1. x1 – x2 = -1
2x1 – 3x2 = -5
2. 2x1 + 3x2 = 1
4x1 + 7x2 = 3
3. x1 + x2 + x3 = 2
2x1 - x2 + x3 = 9
2x1 + 3x2 + 4x3 = 4
4. 3x1 + 5x2 + 2x3 = 20
4x1 + x2
= 40
-9x1 – 15x2 – 6x3 = 30
„ Data dari suatu perusahaan yang menghasilkan 3 jenis produksi adalah sbb :
Faktor
Produksi
I
K
L
M
2
4
6
jenis produk
II
III
4
2
3
5
3
9
kapasitas
tersedia
65
65
120
a. Rumuskan data diatas dalam bentuk persamaan linier dan nyatakan dalam
bentuk Ax = b
b. Apabila kapasitas yang tersedia harus dihabiskan, berapa banyak yang dapat
dihasilkan untuk masing-masing produk dalam satu periode produksi?
SOAL-SOAL
APLIKASI
1.
Tentukan permintaan total untuk industri 1, 2 dan 3 bila diketahui matriks
koefisien teknis A dan vektor permintaan akhir B adalah sbb :
A=
2.
0,4
0,2
0,2
0,3
0,2
0,4
0,1
0,3
0,2
B=
140
220
18
Perusahaan penyewaan mobil merencanakan untuk program maintenance
tahun depan.
Pihak manajemen tertarik untuk menentukan kebutuhan perusahaan untuk
sparepart dan costs untuk masing-masing sparepart . Matriks N
mengindikasikan jumlah tiap ukuran mobil yang tersedia untuk 4 wilayah.
Sedangkan matriks R menunjukkan rata-rata jumlah sparepart yang yang
dibutuhkan setiap kendaraan per tahunnya.
N =
Besar
16,000
15,000
10,000
12,000
Sedang
40,000
30,000
10,000
40,000
Kecil
50,000
20,000
15,000
30,000
East
Midwest
South
West
SOAL-SOAL
R =
1.7 1.6
12.0 8.0
0.9 0.75
4.0 6.5
1.5
5.0
0.5
6.0
A
B
C
D
a. Tentukan berapa jumlah masing-masing sparepart yang dibutuhkan untuk
setiap wilayah.
b. Berapa biaya yang harus dikeluarkan oleh masing-masing wilayah dan
jumlah keseluruhan biaya yang harus ditanggung manajemen untuk keempat
wilayah tersebut bila diketahui biaya/unit untuk masing-masing spareparts :
C = ($1.25
$0.80
$30.00
$35.00)
„ Data dari suatu perusahaan yang menghasilkan 3 jenis produksi adalah sbb :
Faktor
Produksi
K
L
M
jenis produk
I
II
III
2
4
6
4
2
3
5
3
9
kapasitas
tersedia
65
65
120
a. Rumuskan data diatas dalam bentuk persamaan linier dan nyatakan dalam
bentuk Ax = b
b. Apabila kapasitas yang tersedia harus dihabiskan, berapa banyak yang dapat
dihasilkan untuk masing-masing produk dalam satu periode produksi?
INPUT
INDUSTRI
PERMINTA
AN AKHIR
OUTPUT
I
II
III
Cj
Xj
I
20
40
30
15
105
II
25
10
5
20
60
III
15
25
15
25
80
industri
Tentukan Output Xj jika terjadi perubahan permintaan akhir cj, yaitu c1 = 20,
c2 = 30 dan c3 = 35
KALKULUS DIFERENSIAL
FUNGSI DENGAN SATU
VARIABEL BEBAS
KONSEP DIFERENSIAL
• DIFERENSIAL merupakan salah satu bidang
studi dari kalkulus selain integral
• Kalkulus DIFERENSIAL mempelajari tentang
perubahan rata-rata atau tingkat perubahan
seketika dari sebuah fungsi.
• Kalkulus Integral mempelajari tentang pencarian
nilai fungsi awal apabila diketahui nilai
perubahannya, selain itu dapat juga digunakan
untuk menghitung luas daerah, volume benda
ruang.
• Operasi matematika untuk kalkulus
DIFERENSIAL dan kalkulus integral saling
berbalik (invers)
KONSEP DIFERENSIAL
• Penerapan konsep kalkulus diferensial dalam
bidang ekonomi dan bisnis adalah untuk
membandingkan perubahan dari suatu
keseimbangan kepada keseimbangan lainnya
• Analisis ini biasanya termasuk dalam analisis
komparasi statis, gunanya untuk mencari tahu
suatu tingkat perubahan nilai keseimbangan
variabel tidak bebas (endogen) akibat perubahan
nilai satu atau lebih variabel bebas (eksogen)
KONSEP LIMIT
• Konsep DIFERENSIAL dimulai dari
konsep limit dan kontinuitas
• Konsep limit dan kontinuitas merupakan
dasar untuk memahami konsep
DIFERENSIAL dan integral
F(x)
DEFINISI LIMIT
•
F(x)
Lim F(x) = L jika dan hanya jika
c
x
L
Lim F(x) = L (limit kiri) dan
cx
L
cc
Lim F(x) = L (limit kanan)
c+
x
X
c+
LIMIT dan KONTINUITAS
• (1) Harga limit fungsi y = f(x) untuk x mendekati c
bernilai L artinya apabila x mendekati c dari kiri (c-)
dan x mendekati c dari kanan (c+) maka nilai y = f(x)
mendekati L, tidak diharuskan nilai y = f(c) = L di x=c.
• (2) Apabila pada kondisi di atas limit fungsi y = f(x)
untuk x mendekati c bernilai L dan nilai fungsi y = f(c)
= L untuk x = c, maka dapat dikatakan y = f(x) kontinu
di x = c.
• (3) Jika fungsi y = f(x) tidak memenuhi paling sedikit
salah satu syarat (1) dan (2), maka fungsi y = f(x)
dikatakan diskontinu di x = c
JENIS FUNGSI DISKONTINU
1. Diskontinu titik fungsi y = f(x) di x mendekati c, jika
limitnya ada, tetapi nilai fungsinya di x = c tidak ada
atau tidak sama dengan nilai limit.
2. Diskontinu melompat fungsi y = f(x) di x mendekati
c, jika nilai limitnya tidak ada, tetapi nilai limit kiri
ada dan nilai limit kanan ada dan keduanya tidak
sama.
3. Diskontinu tak berhingga fungsi y = f(x) di x
mendekati c, jika nilai limit kiri tak berhingga dan
nilai limit kanan tak berhingga yang pada
umumnya berlawanan tanda.
CONTOH LIMIT DAN KONTINUITAS
• SECARA GRAFIK
Y
Y
Y = f(x)
Y = f(x)
L
L
FUNGSI Y=F(X)
MEMPUNYAI LIMIT L DI X = C
diskontinu titik
FUNGSI Y=F(X)
KONTINU DI X = C
c
Y
X
Y = f(x)
L2
L1
c
Y
Y = f(x)
L
FUNGSI Y=F(X)
TDK MEMPUNYAI LIMIT DI X = C
Diskontinu melompat
c
X
X
FUNGSI Y=F(X)
DISKONTINU TAK BERHINGGA
DI X = C
Y = f(x)
c
X
DEFINISI KONTINUITAS
1. Suatu fungsi dikatakan kontinu pada
interval terbuka (a,b) apabila fungsi
kontinu pada setiap titik pada interval
tersebut
2. Jika f(x) = k, (k = konstanta), maka f(x)
kontinu untuk semua titik x
3. Jika f(x) = xn , n bilangan bulat positip,
maka f(x) kontinu untuk semua titik x
BEBERAPA CONTOH LIMIT DAN
KONTINUITAS
1.
x2 −4
x−2
lim
xα 2
2. Tentukan harga
lim f (x)
xα 1
Jika
⎧2 x; jika; x < 1
f ( x) = ⎨ x 2 −1
⎩ x −1 ; jika; x > 1
3. Selidiki apakah y = f(x) kontinu di x = c yang ditentukan
x
a. Y= f(x) =
− 27 untuk x ≠ 3
x − 3
3
b. Y= f(x) =
6x + 9 ; untuk x = 3
c. Y= f(x) =
x 3 + 8
x + 2
12 ;
untuk x ≠ -2
untuk x = -2
2 x − 2 ; untuk x ≠ 2
x−2
1/2 ;
untuk x = 2
Tingkat Perubahan
• Pandang sebuah fungsi y = f(x), dalam hal
ini y sebagai variabel respon atau variabel
tidak bebas dan x sebagai variabel bebas.
• Jika ∆x adalah perubahan dalam satuan x,
dan ∆y adalah perubahan dalam satuan y,
maka perubahan keseimbangan variabel
respon y akibat perubahan x adalah :
∆y = f(x+ ∆x) – f(x)
Tingkat Perubahan Rata-Rata
• Rasio antara perubahan y yaitu ∆y dengan
perubahan x yaitu ∆x, disebut perubahan
rata-rata ditulis ∆y/∆x
• Rasio tersebut dapat ditulis :
∆y
∆x
=
f ( x+∆x)− f ( x)
∆x
DERIVATIVE FUNGSI LINEAR DAN
NON LINEAR
y=f(x)
y
y
y=f(X)
∆y3
∆x
∆y
∆x
∆x
∆y
∆x
∆y
∆x
∆y2
∆y1
∆x
x
x
Besaran ∆y/∆x
Selalu sama untuk
fungsi linear
Besaran ∆y/∆x
Selalu tidak sama untuk
Fungsi non linear
DERIVATIVE
• Tingkat perubahan seketika dari suatu
fungsi y = f(x), disebut sebagai derivative
pertama, dan lebih disebut dengan
derivative
• Derivative dari fungsi y = f(x) adalah
mengukur perubahan rata-rata y akibat
perubahan x yang sangat kecil dan ditulis
dy/dx
Grafik Konsep Derivative
y
y=f(x)
f(x + ∆x)
∆y
∆y
∆x
∆y
∆x
f(x)
=
f ( x+ ∆x )− f ( x )
∆x
f(x + ∆x)
f(x)
x
x+∆x
x
DERIVATIVE
• Perubahan x terkecil artinya ∆x mendekati nol (0),
mengakibatkan ∆ y
∆x
dy/dx ;
•
=
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆x
dapat ditulis
jadi dy/dx mempunyai pengertian dengan konsep limit:
dy
dx
= lim
∆x α 0
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆x
• dy/dx sering ditulis y’ dan disebut turunan pertama dari
fungsi y = f(x)
• Contoh: Tentukan dy/dx dari y =f(x) = 2x2 + 1 dengan
konsep limit
Aturan DIFFERENSIAL Fungsi atau
Turunan Pertama Fungsi (y’)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1. y = C ; y’ = 0, c = konstante
2. y = cX; y’ = c ; c = konstante
3. y = cXn ; y’ = ncXn-1 ; c = konstante
4. y = U+V ; y’ = U’ + V’
5. y = Un ; y’ = nUn-1U’
6. y = UV; y’ = U’V + UV’
7. y = U/V; y’ = (U’V – UV’)/V2
8. y = eax ; y’ = aeax
9. y = eU ; y’ = eUU’
10. y = ln(ax); y’ = 1/x
11. y = ln(U); y’ = U’/U
Soal-soal
1. Y = x3 + 2x2 +1/x3 Y’ = 3x2 + 4x -3/x4
2. Y = (2x+1)6
3. y = (4-2x)/(x+2)
Y’ = 6(2x+1)5 .2 = 12(2x+1)5
Y’ = (U’V – UV’)/V2
= -8/(x+2)2
4. Y = x3(2x-5)6
Y’ = u’v + uv’
5. Y = ln (2x3-5x)
Y’ =
6. Y = 3x e3x
7. Y = x ln (2x3-5x)
8. Y = e3xln (2x3-5x)
u’/u
; u =2x3-5x ; u’ = 6x2-5
Y’ = u’v + uv’ ; u = 3X, v = e3x
u’ = 3; v’ = 3e3x
Y’ = u’v + uv’ ; u = X ; v = ln (2x3-5x)
Y’ = u’v + uv’ ; u =e3x ; v = ln (2x3-5x)
Fungsi Marginal
• Fungsi marginal merupakan turunan pertama dari fungsi
utamanya.
• Misal Fungsi Produksi P = f(Q), maka fungsi marginal
produk MP = dP/dQ
• Fungsi Biaya C = h(Q), maka fungsi marginal biaya MC
= dC/dQ
Jadi apabila fungsi ekonomi yang dapat dirumuskan
dengan fungsi matematika, maka fungsi marginal adalah
turunan pertama dari fungsi ekonomi tersebut.
Fungsi ekonomi optimal jika fungsi marginal bernilai nol
Jadi Produksi P maksimal jika marginal produk MP = 0,
Fungsi Biaya Minimum, jika Marginal Cost MC = 0, dan
berlaku untuk fungsi ekonomi lainnya
Hubungan antara fungsi dan Derivatifnya
• Dengan mengetahui hub. antara
fungsi dan derivatifnya Æ
besarnya turunan pertama dan
turunan kedua Æ akan bisa
dikenali bentuk gambar dari
fungsi tersebut
• Kita akan mengetahuiÆ kurva
menaik atau menurun, titik
ekstrim dan juga titik beloknya.
contoh :
3
2
1
y = f ( x) =
x − 4 x + 12 x − 5 → fungsi kubik
3
2
y ' = dy / dx = x − 8 x + 5 → fungsi kuadrat
y ' ' = d y / dx = 2 x − 8 → fungsi linear
2
2
y ' ' ' = d y / dx = 2 → konstanta
3
3
Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masingmasing turunannya
Fungsi Menaik dan Menurun
• Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear
dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva
dari fungsi yang bersangkutan menaik atau
menurun pada kedudukan tertentu.
Lereng nol
Lereng
positif fungsi
menaik
y = f(x)
Lereng negatif
fungsi menurun
Lereng nol
f’(a)>>0,0,yy==f(x)
f(x)menaik
menaik
f’(a)
f’(a)<<0,0,yy==f(x)menurun
f(x)menurun
f’(a)
Uji Tanda
• Apabila turunan pertama f’(x) = 0,
berarti
y = f(x) berada di titik ekstrim
• Untuk menentukan apakah titik ekstrim
tersebut merupakan titik maksimum
ataukah minimum, maka perlu dilakukan
uji tanda terhadap f’(a) = 0.
• Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x)< 0
untuk x > a, maka titik ekstrimnya
adalah titik maksimum.
• Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x)> 0
untuk x > a, maka titik ekstrimnya
adalah titik minimum.
Titik ekstrim fungsi parabolik
• Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x)
berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya.
• Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui
jenis titik ekstrim yang bersangkutan.
• Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunanturunannya, serta hubungan secara grafik.
y = f(x) = x2 - 8x + 12 ………….fungsi parabolik
y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear
y” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 ……….konstanta
• Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai
titik ekstrim – dalam hal ini titik minimum
yaitu (4, -4)
y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4.
x = 4 Æ
dimasukkan ke dalam persamaan Parabola Æ
didapat nilai y = -4
y
y = x2 – 8x + 12
12
y’= 2x - 8
y” = 2
2
0
-4
-8
2
4
(4,-4)
6
x
• Parabola y = f(x) mencapai titik
ekstrim pada y’ = 0
• Jika y” < 0 : bentuk parabolanya
terbuka ke bawah, titik
ekstrimnya adalah titik maksimum.
• Jika y” > 0 : bentuk parabolanya
terbuka ke atas, titik ekstrimnya
adalah titik minimum.
Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik
• Titik maksimum atau minimum fungsi
kubik, serta titik beloknya dapat
dicari melalui turunan pertama dan
kedua dari fungsi tersebut.
• Perhatikan fungsi kubik dan
turunannya berikut :
y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 ………….fungsi
kubik
y’ = x2 – 6x + 8 ……………………fungsi kuadratik
y” = 2x – 6 ………………………..fungsi linear
• Jika y’ = 0,
x2 – 6x + 8 = 0
(x – 2)(x – 4) = 0 Æ x1 = 2, x2 = 4
• Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik Æ
maka y = 3.67 (2, 3.67) Æ titik ekstrim
maksimum
• Untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan
ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua
negatif)
• Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik Æ
maka y = 2.33 (4, 2.33) Æ titik ekstrim
minimum
• Untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan
ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif)
• Jika y” = 0 Æ 2x – 6 = 0 Æ x = 3, nilai x = 3
dimasukkan dalam persamaan kubik Æ
didapatkannilai y = 3 Æ titik belok (3,3)
y
y’ = x2 – 6x + 8
8
y’’ = 2 x – 6
(2,3.67)
3.67
y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3
(3,3)
(4,2.33)
y” = 2
2
0
-2
-4
-6
2
3
(3,-1)
4
x
• Fungsi Kubik y = f(x) mencapai
titik ekstrim pada y’ = 0
• Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka
titik ekstrimnya adalah titik
maksimum
• Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka
titik ekstrimnya adalah titik
minimum
• Fungsi kubik y = f(x) berada di
titik belok pada y” = 0
R elationship between marginalcost and average-cost functions
• TC = C(Q)
• MC = C'(Q)
• AC = C(Q)/Q
total cost
marginal cost
average cost
d C (Q ) C ′(Q ) ⋅ Q − 1 ⋅ C (Q )
=
dQ Q
Q2
1⎡
C (Q ) ⎤
= ⎢C ′(Q ) −
Q ⎥⎦
Q⎣
1
= [MC − AC ] = 0
Q
C
MC
AC
Q
Penerapan lain :
• Elastisitas Æ dengan rumus umum :
lim ∆y / y dy x
Ey
=
•
η=
=
Ex ∆x → 0 ∆x / x dx y
PROGRAM LINIER DENGAN
GRAFIK
DEFINISI PROGRAM LINIER (1)
• Program tidak ada hubungannya dengan program
komputer.
• Program berarti memilih serangkaian tindakan/
perencanaan untuk memecahkan masalah dalam
membantu manajer mengambil keputusan.
• Contoh: masalah produksi, biaya, pemasaran, distribusi,
dan periklanan.
• Pimpinan perusahaan harus mampu memanfaatkan
sumber yang ada untuk menetapkan jenis dan jumlah
barang yang harus diproduksi sehingga diperoleh
keuntungan maksimal atau digunakan biaya minimal.
DEFINISI PROGRAM LINIER (2)
• Program linear dan variasinya merupakan kelompok
teknik analisis kuantitatif yang memakai model
matematika (model simbolik). Artinya setiap
penyelesaian masalah harus didahului dengan
perumusan masalah ke dalam simbol-simbol
matematika.
• Dalam program linier, pada umumnya masalah berasal
dari dunia nyata kemudian dibentuk menjadi model
simbolik yang merupakan dunia abstrak yang dibuat
mendekati kenyataan. Dikatakan linear karena peubahpeubah pembentuk model dianggap linear.
LANGKAH-LANGKAH (1)
1. Menentukan jenis permasalahan program linier
–
–
–
Jika permasalahan membicarakan keuntungan
(profit), maka jenis permasalahan PL adalah
maksimalisasi.
Jika permasalahan membicarakan biaya (cost),
maka jenis permasalahan PL adalah minimalisasi.
Jika ada informasi tentang selisih antara hasil
penjualan (sales) dan biaya dengan pokok
pembicaraan profit, maka jenis permasalahannya
adalah maksimalisasi.
LANGKAH-LANGKAH (2)
2.
Mendefinisikan peubah keputusan (decision variable),
yaitu pernyataan dalam permasalahan yang hendak
dicari penyelesaiannya
Beberapa hal yang harus diperhatikan adalah:
–
–
Banyaknya koefisien peubah keputusan membantu dalam
mengidentifikasikan peubah-peubah keputusan.
Jika x dimisalkan sebagai peubah keputusan berkaitan
dengan kursi yang diproduksi, maka x ≠ kursi, tetapi x =
banyaknya kursi yang diproduksi.
LANGKAH-LANGKAH (3)
3. Merumuskan fungsi
tujuan/sasaran (objective
function)
– Jenis permasalahan PL dan
definisi peubah keputusan akan
merumuskan fungsi tujuan.
– Jika peubah keputusan terdefinisi
dengan jelas, maka fungsi tujuan
akan mudah ditetapkan.
LANGKAH-LANGKAH (4a)
4. Merumuskan model kendala/syarat/
batasan (constraint)
Dua pendekatan umum perumusan
model kendala:
– Pendekatan “ruas kanan”
– Pendekatan “ruas kiri”
LANGKAH-LANGKAH (4b)
– Pendekatan ruas “kanan”
• Ruas kanan suatu kendala tunggal dan konstan.
• Maksimalisasi: ruas kanan sering menyatakan “total
sumber daya yang ada”. Prosedur pembentukannya:
– Identifikasikan nilai total sumber daya dan sesuaikan tanda
pertidaksamaan dengan masing-masing total sumber daya,
biasanya “≤”.
– Kelompokkan peubah keputusan yang terkait di sebelah kiri
tanda pertidaksamaan .
– Tentukan koefisien setiap peubah keputusan. Model
kendala terbentuk.
LANGKAH-LANGKAH (4b)
•
Minimalisasi: ruas kanan sering menyatakan
“minimal sumber daya yang dibutuhkan”.
Prosedur idem, kecuali tanda pertidaksamaan,
biasanya “≥”.
– Pendekatan “ruas kiri”
•
Semua nilai koefisien dan peubah-peubah
keputusan disusun dalam bentuk matriks.
Setelah matriks ini terbentuk, identifikasikan nilainilai ruas kanan dan tambahkan tanda
pertidaksamaan.
LANGKAH-LANGKAH (5)
5. Menetapkan syarat non negatif
– Setiap peubah keputusan dari kedua jenis
permasalahan PL tidak boleh negatif (harus
lebih besar atau sama dengan nol)
MODEL DASAR PL
• Maksimumkan atau minimumkan:
Z = c1x1 + c2x2 + ….+ cnxn
(1)
• Memenuhi kendala-kendala:
a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn ≥ atau ≤ b1
(2)
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn ≥ atau ≤ b2
.
.
am1x1 + am2x2 + …. + amnxn ≥ atau ≤ bm
dan xj ≥ 0 untuk j = 1,2,…,n.
(3)
Contoh :
Pabrik kayu menghasilkan dua produk ; pintu dan jendela
dengan proses sebagai berikut :
332
Lanjutan…
Tiap mesin di unit I dapat menghasilkan Æ 1 pintu tiap 3 jam
Tiap mesin di unit II dpt menghasilkan Æ 1 jendela tiap 2 jam
Tiap mesin di unit III dpt menghasilkan Æ 1 pintu tiap 2 jam
1 jendela tiap 1 jam
Terdapat 4 mesin di unit I
Terdapat 3 mesin di unit II
Terdapat 3 mesin di unit III
Tiap hari jam kerja yang tersedia adalah 9 jam.
Keuntungan tiap pintu adalah 20 ribu.
Keuntungan tiap jendela adalah 15 ribu.
Buat formulasi program liniernya sepaya didapat keuntungan
yang maksimum
333
Penyelesian :
x1
x2
z
: banyaknya pintu yang di produksi
: banyaknya jendela yang di produksi
: Keuntungan
z = 20 x1 + 15 x2
3 x1 ≤ 4 × 9
2 x2 ≤ 3 × 9
2 x1 + x2 ≤ 3 × 9
334
Formulasi Program Linier :
Max
kendala
z = 20 x 1 + 15 x 2
3 x 1 ≤ 36
2 x 2 ≤ 27
2 x 1 + x 2 ≤ 27
x1 , x 2 ≥ 0
335
Dalam Notasi Matrik :
[
]
c = 20 15
⎡36 ⎤
⎥
⎢
B = ⎢27 ⎥
⎢⎣27 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
x=⎢ ⎥
⎣ x2 ⎦
⎡3 0 ⎤
⎢ ⎥
H = ⎢0 2 ⎥
⎢2 1 ⎥
⎣ ⎦
336
Penyelesaian Program Linier
1. Metode Grafik
Pada umumnya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :
• Merumuskan masalah asli menjadi model matematika yang
sesuai dengan syarat-syarat yang diperlukan dalam model
Program Linier, yaitu mempunyai fungsi tujuan, fungsi
kendala, syarat ikatan non-negatif.
• Kendala-kendala yang ada digambar hingga dapat
diperoleh daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi
Kendala(DMK)/Wilayah Kelayakan)/ Daerah Fisibel yang
titik-titik sudutnya diketahui dengan jelas.
• Nilai fungsi sasaran (fungsi tujuan) dihitung di setiap titik
sudut daerah penyelasaian (DMK).
337
Lanjutan…
•
•
Dipilih nilai yang sesuai dengan fungsi tujuan (kalau
memaksimumkan berarti yang nilainya terbesar dan
sebaliknya).
Jawaban soal asli sudah diperoleh.
Catatan :
Metode Grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan
masalah program linier yang ber “dimensi” : 2 x n atau m x
2, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam
“menyampaikan” sesuatu (sebenarnya grafik 3 dimensi
dapat digambarkan, tetapi sangat tidak praktis).
338
Contoh :
Max
s.t
x1 + 2 x2
x1 + x2 ≤ 4
x2 ≤ 2
x1 , x2 ≥ 0
339
Penyelesian :
1. Dengan Metode Grafik
Teknik Informatika Unijoyo
2010
340
Lanjutan…
Titik
Ekstrimnya
⎛0⎞
1) ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ z = 0 + 2.0 = 0
⎝0⎠
⎛0⎞
2) ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ z = 0 + 2.2 = 4
⎝ 2⎠
⎛ 2⎞
3) ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ z = 2 + 2.2 = 6
⎝ 2⎠
⎛ 4⎞
4) ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ z = 4 + 2.0 = 4
⎝0⎠
⎛ 2⎞
∴Titik ekstrim yang memenuhi ⎜⎜ ⎟⎟ dengan z = 6
⎝ 2⎠
341
:
METODE GRAFIK
• Selesaikan masalah program linear berikut ini
dengan metode grafik:
Maksimumkan Z = 5x1 + 4x2
dengan kendala
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
-x1 + x2 ≤ 1
x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0
METODE GRAFIK
Contoh :
“PT. Rakyat Bersatu” menghasilkan 2 macam produk. Baik
produk I maupun produk II setiap unit laku Rp. 3000,-. Kedua
produk tersebut dalam proses pembuatannya perlu 3 mesin.
Produk I perlu 2 jam mesin A, 2 jam mesin B, dan 4 jam
mesin C. Produk II perlu 1 jam mesin A, 3 jam mesin B, dan
3 jam mesin C. Tersedia 3 mesin A yang mampu beroperasi
10 jam per mesin per hari, tersedia 6 mesin B yang mampu
beroperasi 10 jam per mesin per hari, dan tersedia 9 mesin C
yang mampu beroperasi 8 jam per mesin per hari. Berikan
saran kepada pimpinan “PT. Rakyat Bersatu” sehingga dapat
diperoleh hasil penjualan yang maksimum ! Dan berapa unit
produk I dan produk II harus diproduksi ?
344
Penyelesian :
„
Merumuskan permasalahan Program Linier ke dalam
model Matematika :
Misalkan :
produk I akan diproduksi sejumlah X1 unit dan
produk II akan diproduksi sejumlah X2 unit
Maka Fungsi tujuannya adalah :
Max Z = 3000 X1 + 3000 X2
345
Lanjutan…
Keterangan :
Lama operasi adalah dalam jam/hari/mesin.
Total waktu operasi adalah sama dengan jumlah mesin x
lama operasi (dalam jam/hari/tipe mesin).
St 2X1 + X2 ≤ 30 ...........i)
2X1 + 3X2 ≤ 60 ..........ii)
4X1 + 3X2 ≤ 72 .........iii)
X1 ≥ 0; X2 ≥ 0
346
Lanjutan…
„
Menggambar fungsi-fungsi kendala sehingga diperoleh
daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/
Wilayah kelayakan). Titik potong-titik potong dari
ketidaksamaan fungsi kendalanya adalah :
…
…
Untuk persamaan 2X1 + X2 = 30 ….. (i), titik potong dengan
sumbu- X1 jika X2 = 0 : 2X1 + 0 = 30 diperoleh X1 = 15 maka titik
potong dengan sumbu-X1 adalah (15,0).
Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 : 0 + X2 = 30
diperoleh X2 = 30 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah
(0,30).
Untuk persamaan 2X1 + 3X2 = 60 ....(ii), titik potong dengan sb-X1
jika
X2 = 0 : 2X1 + 0 = 60 diperoleh X1 = 30 maka titik potong
dengan sumbu-X1 adalah (30,0).
Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 : 0 + 3X2 =
60 diperoleh X2 = 20 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah
(0,20).
347
Lanjutan…
Untuk persamaaan 4X1 + 3X2 = 72 ....(iii), titik
potong dengan sumbu-X1 jika X2 = 0 :
4X1 + 0 = 72 diperoleh X1 = 18 maka titik
potong dengan sumbu-X1 adalah (18,0).
Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0:
0 + 3X2 = 72 diperoleh X2 = 24 maka titik
potong dengan sb-X2
adalah (0,24).
…
348
Lanjutan…
Sehingga jika digambarkan pada Koordinat Cartesius
adalah :
z
z
349
Lanjutan…
Daerah Fisibel (Wilayah Kelayakan / Daerah yang Memenuhi
Kendala (DMK)) adalah daerah yang merupakan irisan
dari daerah yang memenuhi kendala :
1). 2X1 + X2 ≤ 30,
2). 2X1 + 3X2 ≤ 60 ,
3). 4X1 + 3X2 ≤ 72,
4). X1 ≥ 0;
5). X2 ≥ 0
Jadi daerah yang memenuhi ke-5 daerah tersebut terletak di
dalam daerah yang dibatasi oleh titik-titik O(0,0), A(15,0),
D(0,20), titik B yaitu titik potong antara garis 2X1 + X2 = 30
dan garis 4X1 + 3X2 = 72 , dan titik C adalah titik potong
antara garis 2X1 + 3X2 = 60 dan garis 4X1 + 3X2 = 72
350
Lanjutan…
Adapun cara menghitung titik B dan C tersebut dengan
menggunakan metode Eliminasi dan Substitusi sbb:
„
Titik B perpotongan antara garis 2X1 + X2 = 30 dan garis 4X1 + 3X2 =
72, dengan mengeliminasi X1, dapat dihitung :
4X1 + 2X2 = 60 ........i)
4X1 + 3X2 = 72 ….....iii)
__________________ - X2 = - 12 Æ X2 = 12
maka titik B adalah (9,12)
Titik C perpotongan antara garis 2X1 + 3X2 = 60 dan garis 4X1 + 3X2 =
72, dengan mengeliminasi X2, dapat dihitung :
Æ X1 = 9
„
2X1 + 3X2 = 60 ............i)
4X1 + 3X2 = 72 ............iii)
____________________ - 2X1 = - 12 Æ X1 = 6
Æ X2 = 16
maka titik C adalah (6,16)
351
Lanjutan…
Daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi
Kendala/Wilayah Kelayakan) adalah daerah OABCD yang
titik-titik sudutnya adalah : O(0,0), A(15,0), B(9,12),
C(6,16), dan D(0,20).
Penyelesaian dari soal diatas adalah menghitung nilai fungsi
sasaran (Z = 3000 X1 + 3000 X2) di setiap titik sudut-titik
sudut Daerah yang Memenuhi Kendala, sehingga:
„ Titik O (0,0) Æ Z (0,0) = 3000.(0) + 3000.(0) = 0,
„ Titik A (15,0) Æ Z (15,0) = 3000.(15) + 3000.(0) = 45.000
„ Titik B (9,12) Æ Z (9,12) = 3000.(9) + 3000.(12) = 63.000
„ Titik C (6,16) Æ Z(6,16) = 3000.(6) + 3000.(16) = 66.000
„ Titik D (0,20) Æ Z(0,20) = 3000.(0) + 3000.(20) = 60.000
352
Lanjutan…
Fungsi Tujuan adalah mencari nilai maksimumnya sehingga
nilai yang sesuai adalah :
„ Terletak pada titik C(6,16)
„ Dengan nilai fungsi tujuannya Rp. 66.000,00
Sehingga agar diperoleh laba yang maksimum maka
Pimpinan ”PT. Rakyat Bersatu” harus memproduksi :
„ Produk I sebanyak 6 unit dan
„ Produk II sebanyak 16 unit
sehingga mendapat laba maksimum sebesar Rp.66.000,00.
353
2. Metode Matriks
Untuk itu pertidaksamaan di ubah dulu menjadi persamaan
dengan menambahkan slack :
x1 + X2 ≤ 3
⇒
X1 + X2 + X3 ≤ 3
X1 , X2 ≥ 0
X1 , X2 , X3 ≥ 0
Bentuk yg diperoleh :
max
st
C1X1 + C2X2 + ……. + CnXn
a11X1 + a12X2 + ……. + a1nXn ≤ b1
a21X1 + a22X2 + ……. + a2nXn ≤ b2
:
:
:
am1X1 + am2X2 + …….+ amnXn ≤ bm
X1, X2,……………, Xn ≥ 0
354
Lanjutan…
Dengan menambahkan slack sebanyak kendalanya didapat :
Max C1X1 + C2X2 + ……. + CnXn + 0.Xn+1 + 0.Xn+2 + ……. + 0.Xn+m
st
a11X1 + a12X2 + ……. + a1nXn + Xn+1
= b1
:………slack…………...:
a21X1 + a22X2 + ……. + a2nXn + Xn+2
= b2
:
:
:
am1X1 + am2X2 + …….+ amnXn + Xn+m
= bm
X1, X2,……, Xn, Xn+1, ……+ Xn+m ≥ 0
355
Lanjutan…
Dalam bentuk matriks didapat :
max C′ X′
st
A′ X′ = b′
X′ ≥ 0
Dengan :
…
... Bentuk kanonik
...
C ' = [C Μ
0]
A' = [AΜI ], I = Matriks identitas
⎡x
⎤
⎢
⎥
x' = ⎢......... ⎥
⎢⎣ Slack ⎥⎦
356
2. Dengan Metode Matriks
Bentuk kanoniknya adalah sebagai berikut :
Max
s.t
x1 + 2 x2 + 0 x3 + 0 x4
x1 + x2 + x3 = 4
x2 + x4 = 2
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
357
Lanjutan…
Dengan :
[
c= 12 0 0
]
⎡ 4⎤
b=⎢ ⎥
⎣ 2⎦
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
2⎥
⎢
x=
⎢ x3 ⎥
⎢ ⎥
⎣ x4 ⎦
⎡1 1 1 0 ⎤
A=⎢
⎥
⎢⎣0 1 0 1⎥⎦
358
Kemungkinan 1
⎡1 1 ⎤
B=⎢ ⎥
⎢⎣0 1⎥⎦
1)
⎡1 − 1⎤ ⎡1 − 1⎤
1
B =
⎢
⎥=⎢
⎥
1.1 − 0.1 ⎢⎣0 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 1 ⎥⎦
−1
⎡1 − 1⎤
⎡ x1 ⎤
−1
xB = ⎢ ⎥ = B b = ⎢
⎥
⎢⎣0 1 ⎥⎦
⎣ x2 ⎦
⎡ x3 ⎤ ⎡0⎤
xn = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ x4 ⎦ ⎣0 ⎦
359
⎡ 4⎤ ⎡ 2⎤
⎢ 2⎥ = ⎢ 2⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Lanjutan…
⎡ x1 ⎤ ⎡2⎤
⎢x ⎥ ⎢ ⎥
2⎥
2⎥
⎢
⎢
x=
=
⎢ x3 ⎥ ⎢0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ x4 ⎦ ⎣0 ⎦
⎡ 2⎤
⎢ 2⎥
Cx = 1 2 0 0 ⎢ ⎥ = 6
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
[
]
360
Kemungkinan 2
⎡1 1 ⎤
B=⎢ ⎥
⎢⎣0 0⎥⎦
2)
⎡0 − 1⎤
1
B =
⎢
⎥
1.0 − 0.1 ⎢⎣0 1 ⎥⎦
−1
⇒ Tdk punya invers
⇒ Tdk memenuhi
361
Kemungkinan 3
⎡1 0⎤
B=⎢ ⎥
⎢⎣0 1⎥⎦
3)
⎡1 0⎤ ⎡1 0⎤
1
B =
⎢ ⎥=⎢ ⎥
1.1 − 0.0 ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦
−1
⎡1 0⎤
⎡ x1 ⎤
−1
xB = ⎢ ⎥ = B b = ⎢ ⎥
⎢⎣0 1⎥⎦
⎣ x4 ⎦
⎡ 4⎤ ⎡ 4⎤
⎢ 2⎥ = ⎢ 2⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ x2 ⎤ ⎡0 ⎤
xn = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ x3 ⎦ ⎣0⎦
362
Lanjutan…
⎡ x1 ⎤ ⎡4⎤
⎢x ⎥ ⎢ ⎥
0
2⎥
⎢
x=
=⎢ ⎥
⎢ x3 ⎥ ⎢0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ x4 ⎦ ⎣ 2 ⎦
⎡ 4⎤
⎢0 ⎥
Cx = 1 2 0 0 ⎢ ⎥ = 4
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 2⎦
[
]
363
Kemungkinan 4
⎡1 1 ⎤
B=⎢ ⎥
⎢⎣1 0⎥⎦
4)
⎡0 − 1⎤ ⎡0 1 ⎤
1
B =
⎢
⎥=⎢
⎥
1.0 − 1.1 ⎢⎣− 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣1 − 1⎥⎦
⎡0 1 ⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎡ 2 ⎤
⎡ x2 ⎤
−1
xB = ⎢ ⎥ = B b = ⎢
⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥
⎢⎣1 − 1⎥⎦ ⎣2⎦ ⎣2⎦
⎣ x3 ⎦
−1
⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
xn = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ x4 ⎦ ⎣0 ⎦
364
Lanjutan…
⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢x ⎥ ⎢ ⎥
2⎥
2⎥
⎢
⎢
x=
=
⎢ x3 ⎥ ⎢2⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ x4 ⎦ ⎣0 ⎦
⎡0 ⎤
⎢ 2⎥
Cx = 1 2 0 0 ⎢ ⎥ = 4
⎢ 2⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
[
]
365
Kemungkinan 5
⎡1 0⎤
B=⎢ ⎥
⎢⎣1 1 ⎥⎦
5)
⎡1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤
1
B =
⎥
⎢
⎥=⎢
1.1 − 0.1 ⎢⎣− 1 1⎥⎦ ⎢⎣− 1 1⎥⎦
−1
⎡1 0 ⎤
⎡ x2 ⎤
−1
xB = ⎢ ⎥ = B b = ⎢
⎥
⎢⎣− 1 1⎥⎦
⎣ x4 ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
xn = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ x3 ⎦ ⎣0⎦
366
⎡ 4⎤ ⎡ 4 ⎤
⎢ 2⎥ = ⎢ − 2⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Lanjutan…
⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢x ⎥ ⎢ ⎥
4
2⎥
⎢
x=
=⎢ ⎥
⎢ x3 ⎥ ⎢0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ x4 ⎦ ⎣ − 2 ⎦
⇒ x4 < 0
⇒ Tdk memenuhi
367
Kemungkinan 6
⎡1 0⎤
B=⎢ ⎥
⎢⎣0 1⎥⎦
6)
⎡1 0⎤ ⎡1 0⎤
1
B =
⎢ ⎥=⎢ ⎥
1.1 − 0.0 ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦
−1
⎡1 0⎤
⎡ x3 ⎤
−1
xB = ⎢ ⎥ = B b = ⎢ ⎥
⎢⎣0 1⎥⎦
⎣ x4 ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
xn = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ x2 ⎦ ⎣0 ⎦
368
⎡ 4⎤ ⎡ 4⎤
⎢ 2⎥ = ⎢ 2⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Lanjutan…
⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢x ⎥ ⎢ ⎥
0⎥
2⎥
⎢
⎢
x=
=
⎢ x3 ⎥ ⎢4⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ x4 ⎦ ⎣ 2 ⎦
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
Cx = 1 2 0 0 ⎢ ⎥ = 0
⎢ 4⎥
⎢ ⎥
⎣ 2⎦
[
]
369
Penutup
Dalam program linier ini tujuan yang ingin dicapai adalah
mencari nilai paling optimum yaitu memaksimumkan atau
meminimumkan fungsi tujuan.
Dalam penyelesaian persoalan program linier ini harus
diperhatikan kendala-kendala yang ada sehingga hasil
yang diperoleh merupakan hasil yang paling optimum
sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai.
Dalam penyelesaian persoalan program linier bisa digunakan
beberapa metode dimana diantaranya adalah:
• Metode Grafik
• Metode Matrik
370
Tugas
1. Suatu perusahaan akan memproduksi 2 macam barang
yang jumlahnya tidak boleh lebih dari 18 unit. Keuntungan
dari kedua produk tersebut masing-masing adalah Rp.
750,- dan Rp. 425,- per unit. Dari survey terlihat bahwa
produk I harus dibuat sekurang-kurangnya 5 unit
sedangkan produk II sekurang-kurangnya 3 unit.
Mengingat bahan baku yang ada maka kedua produk
tersebut dapat dibuat paling banyak 20 unit. Tentukan
banyaknya produk yang harus dibuat untuk mendapatkan
keuntungan yang maksimum ?
371
Lanjutan…
2. Sebagai contoh dalam memformulasikan permasalahan,
berikut ini akan dibahas perusahaan Krisna Furniture yang
akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh
dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang
diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-. Namun untuk
meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi
kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit
meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit
kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1
unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1
unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang
tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam
per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan
adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi
yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan
372
maksimum?
Lanjutan…
3. Sebuah indrusti kecil memproduksi dua jenis barang A dan
B dengan memakai dua jenis mesin M1 dan M2. Untuk
membuat barang A, mesin M1 beroperasi selama 2 menit
dan mesin M2 beroperasi selama 4 menit. Untuk membuat
barang B, mesin M1 beroperasi selama 2 menit dan mesin
M2 beroperasi selama 4 menit. Mesin M1 da M2 masingmasing beroperasi tidak lebih 8 jam tiap hari. Keuntungan
bersih untuk setiap barang A adalah Rp. 250, 00 dan untuk
barang B adalah Rp.500,00. Berapakah jumlah barang A
dan B harus diproduksi agar keuntungannya yang sebesarbesarnya dan besarnya keuntungan tersebut !
373
lanjutan
4. Perusahaan Indah Gelas memproduksi kaca untuk digunakan sebagai jendela dan pintu
kaca. Perusahaan ini memiliki 3 buah pabrik yaitu pabrik-1 membuat bingkai
aluminium, pabrik-2 membuat bingkai kayu, dan pabrik-3 memproduksi kaca dan
merakit keseluruhan. Saat ini perusahaan mendapat pesanan dua macam produk baru,
yaitu pintu kaca dengan bingkai aluminium (produk-1), dan jendela dengan bingkai kayu
(produk-2).
Berapa banyak produk-1 dan produk-2 harus dibuat untuk memenuhi pesanan dan
memperoleh keuntungan terbaik ? Selesaikan dengan metode grafik !
Data mengenai ketiga pabrik tersebut ada pada tabel dibawah ini :
Pabrik
1
2
3
Keuntungan per unit
Kapasitas yang digunakan
per unit produksi
Produk 1
Produk 2
1
0
0
2
3
2
3
5
374
Kapasitas yang
dapat digunakan
4
12
18
5. PT Auto Indah memproduksi 2 jenis mobil, yaitu sedan dan truk.
Untuk meningkatkan penjualan, perusahaan melakukan promosi dalam
dua macam acara TV, yaitu pada acara hiburan dan acara olah raga.
Promosi pada acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta pemirsa wanita
dan 2 juta pemirsa pria. Promosi pada acara olah raga akan disaksikan
oleh 2 juta pemirsa wanita dan 12 juta pemirsa pria. Biaya promosi pada
acara hiburan adalah 5 juta rupiah / menit, sedangkan pada acara olah
raga biayanya adalah 10 juta rupiah / menit. Jika perusahaan
menginginkan promosinya disaksikan sedikitnya oleh 28 juta pemirsa
wanita dan sedikitnya oleh 24 juta pemirsa pria, bagaimanakah strategi
promosi itu sebaiknya. Selesaikan dengan metode grafik
375
Daftar Pustaka
• Mulyono, Sri, 2002, Riset Operasi, Jakarta : Lembaga
Penerbit Fakultas UI.
• A Taha, Hamdy, 1996, Riset Operasi Jilid 1, Jakarta :
Binarupa Aksara.
376