1 Sistem – sistem - Blog Riana Rahmat S

Sistem Persamaan Linear dan Matriks
1. PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN CARA
MENYELESAIKANNYA
xy
Secara aljabar sebuah garis pada bidangdapat dinyatakan oleh sebuah
persamaan yang berbentuk
a1xa2yb
(1.1)
Persamaan ini dinamakan persamaan linear dalam variabel x dan y .

,x
1, x
2,
n didefinisikan
Secara umum, Persamaan Linear dengan n variabel x
dengan
a
x

a
x



a
x

b
1
1
2
2
n
n
(1.2)

,a
1, a
2,
ndan b adalah konstanta – konstanta riil.
dengan a
Perlu dicatat bahwa sebuah persamaan linear tidak melibatkan sesuatu hasil kali atau
akar variabel. Semua variabel hanya terdapat sampai dengan derajat pertama dan tidak
muncul sebagai argumen untuk fungsi trigonometri, fungsi logaritma, atau fungsi
eksponensial.
Contoh 1.1
Persamaan – persamaan berikut ini adalah linear :
x

3
y

7
x

2
x

3
x

x

7
1
2
3
4
1
y

x

3
z

1
2
x

x



x

1
1
2
n
sedangkan berikut ini bukanlah persamaan linear :
2
x

3
y

7
y

sin
x

0
3
x

2
y

z

xz

4
x

2
x

x

1
1
2
3
Menyelesaikan persamaan linear (1.2) adalah upaya mendapatkan n bilangan

, sn sehingga persamaan (1.2) bernilai benar. Artinya bila
katakan s1, s2,

s
,
x

s
,


,x

s
1
1
2
2
n
npada persamaan (1.2) ruas kiri
disubstitusikan nilai-nilai x

, sn dinamakan
sama dengan ruas kanan. Himpunan semua bilangan s1, s2,
himpunan penyelesaian sistem persamaan linear.
Contoh 1.2
Carilah himpunan pemecahan setiap persamaan yang berikut :
4
x
7
x
5
1
2
3
(i) 4x2y 1
(ii) x
Untuk mencari solusi persamaan (i), dapat dilakukan dengan cara menetapkan
sembarang nilai untuk x . Kemudian dengan nilai tersebut nilai y dapat diperoleh. Atau
dengan cara sebaliknya. Sebagai ilustrasi cara yang dimaksud, misalkan sebuah nilai
t yang sembarang untuk x , maka diperoleh
(1.3)
x
t,
1
y
2
t
2
Solusi secara khusus dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai – nilai tertentu untuk
t . Misalnya, jika t  3 maka persamaan (1.3) menghasilkan x3, y112 dan jika
t  1 2 maka akan diperoleh x


1
2
,y

3
2
.
Untuk mendapatkan solusi dari persamaan (ii) dapat dilakukan dengan cara yang
sama yaitu menetapkan sembarang nilai untuk dua variabel tertentu dan
mensubsitusikannya ke persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel ketiga.
Sebagai ilustrasi cara yang dimasksud, misalkan ditetapkan nilai – nilai s dan t untuk
masing-masing x2 dan x3 yaitu
x2 s, x3 t
untuk mendapatkan nilai variabel x1 subsitusikan x2  s dan x3  t ke persamaan (ii)
akan diperoleh
x1 54s7t
Definisi 1.1 (Sistem Persamaan Linear):
Sebuah himpunan berhingga dari persamaan – persamaan linear dalam variabel- variabel
x

,x
1, x
2,
n dinamakan sebuah sistem persamaan linear atau sebuah sistem linear
dan ditulis dalam bentuk
a
x
a
x

a
b
11
1
12
2
1
nx
n
1
(1.3)
a
x
a
x

a
b
21
1
22
2
2
nx
n
2




a
x
a

a
x
b
m
1
1
m
2x
2
mn
n
m
dengan a dan b yang berindeks bawah menyatakan konstanta – konstanta.
Persamaan (1.4) disebut sebuah sistem linear yang terdiri dari m persamaan linear
dengan n bilangan yang tak diketahui.
Berdasarkan definisi di atas sistem linear berikut
(1.4)
4
x
x
3
x

1
1
2
3
3
x
x
9
x

4
1
2
3
mempunyai dua persamaan linear dengan tiga variabel.
1
,x
2
,x


1karena nilai – nilai ini
1
2
3
Persamaan (1.5) mempunyai solusi x
1
,x
8
,x
1bukanlah sebuah
1
2
3
memenuhi kedua – dua persamaan. Akan tetapi, x
solusi karena nilai – nilai ini hanya memenuhi persamaan yang pertama dari kedua
persamaan di dalam sistem tersebut. Perlu dicatat bahwa tidak semua sistem persamaan
linear mempunyai solusi misalnya sistem linear berikut
x y  4
x y 3
Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai solusi dikatakan tak konsisten
(inconsistent). Sebaliknya sistem yang mempunyai solusi dinamakan konsisten
(consistent).
Tinjaulah sebuah sistem umum dari dua persamaan linear dalam bilangan –
bilangan yang tak diketahui x dan y :
a
xb

yc

a
,b
0

1
1
1
1
1
(1.5)
a
xb

yc

a
,b
0

2
2
2
2
2
Kedua persamaan ini memberikan grafik berbentuk garis lurus. Namakan garis–garis
tersebut g1 dan g 2 . Dari posisi letak kedua garis, ada tiga kemungkinan yang dapat
dibuat yaitu kedua garis sejajar atau kedua garis berhimpit/berpotongan di satu titik atau
kedua garis berhimpit/berpotongan di banyak titik. Perhatikan Gambar 1.1.
g1
g2
g1
g2
a.
Gambar 1.1
g1
g2
b.
c.
Dari Gambar 1.1
(a) Tidak ada satu titikpun yang yang bersinggungan/berpotongan antara garis g1 dan
g 2 . Sebagai konsekuensi kondisi ini tidak ada solusi untuk sistem tersebut.
(b) Hanya ada satu titik singgung/potong. Konsekuensi kondisi ini adalah sistem
tersebut persis mempunyai satu solusi.
(c) Ada banyak titik singgung/potong yang diberikan kedua garis g1 dan g 2 . Di
dalam kasus ini maka ada banyak solusi untuk sistem tersebut.
Dari kemungkinan (b) dan (c), titik  x, y  dikatakan terletak pada garis g1 dan g 2 jika
dan hanya jika x dan y memenuhi persamaan-persaman garis pada persamaan (1.6).
Hasil yang sama berlaku untuk sembarang sistem. Singkatnya, ada tiga kemungkinan
yang dapat terjadi di dalam mendapatkan solusi sistem persamaan linear yaitu sistem
mempunyai satu solusi, atau banyak solusi, atau tidak ada solusi.
Kembali kepada sistem persamaan linear (1.4).
Jika semua suku konstan
b
i
1
,2
, ,m
sama dengan nol yaitu sistem tersebut mempunyai bentuk
i 
a
x
a
x
a
0
11
1
12
2
1
nx
n
(1.6)
a
x
a
x
a
0
21
1
22
2
2
nx
n




a
x
a

a
x
0
m
1
1
m
2x
2
mn
n
maka sistem persamaan linear (1.7) dikatakan sebagai Sistem Persamaan linear
Homogen.
Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya bahwa tiap–tiap sistem persamaan linear
mempunyai satu solusi, atau banyak solusi, atau tidak ada solusi sama sekali.
Berkenaan dengan konsisten atau tidak konsisten, sistem persamaan (1.7) adalah sistem

0
,x

0
,
,
x

0
1
2
n
yang konsisten, karena x
selalu merupakan sebuah solusi. Solusi
tersebut dinamakan solusi trival (trival solution). Selanjutnya jika ada solusi lain, maka
solusi tersebut dinamakan solusi non-trivial (non-trival solution).
Untuk sebuah sistem persamaan linear homogen salah satu diantara pernyataan
berikut bernilai benar.
1. Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.
2. Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan yang tak trivial
sebagai tambahan kepada pemecahan trivial tersebut.
Pada kasus khusus dimana sebuah sistem homogen dipastikan mempunyai solusi nontrivial yaitu ketika sistem tersebut memiliki variabel lebih banyak daripada persamaan
yang dilibatkan.
2. PENULISAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM BENTUK MATRIKS
Definisi 1.2 (Matriks}:
Sebuah matriks adalah sebuah susunan segi empat siku–siku dari bilangan–bilangan yang
disebut entri.
Ukuran sebuah matriks dinyatakan dengan menyatakan baris (arah horisontal)
dan banyaknya kolom (arah vertikal) yang terdapat di dalam matriks tersebut. Matriks
pertama di dalam Contoh 1.3 mempunyai 3 baris dan 2 kolom sehingga ukurannya
dinyatakan dengan "3x2". Angka "3" menunjukan banyaknya baris dan angka "2"
menunjukkan banyaknya kolom. Lebih lanjut, pada Contoh 3 matriks yang berikutnya
berturut – turut berukuran "1x4", "3x3", "2x1", dan "1x1".
Pada konteks matriks umumnya digunakan huruf–huruf bold-uppercase
(misalnya, A, B, C, dst) untuk menyatakan suatu matriks dan digunakan huruf–huruf
lowercase (a, b, c, dst) untuk menyatakan skalar (kuantitas–kuantitas numerik). Sebagai
contoh dari ketentuan ini penulisan matriks
27
i 
a
b
c



A

a
t
a
u
C





3
4
2
d
e
f




adalah dibenarkan. Sebaliknya penulisan matriks sebagai berikut
27
I
A
b
c



A

a
t
a
u
c





D
4
2
d
e
F




adalah salah.
Bila digunakan notasi aij untuk menyatakan entri dengan posisi baris ke- i dan
kolom ke- j dari matriks A , maka sebuah matriks A berukuran 3x4 dapat ditulis sebagai
a
1
1 a
1
2 a
1
3 a
1
4 


A
a
2
1 a
2
2 a
2
3 a
2
4


3
1 a
3
2 a
3
3 a
3
4
a
Dengan cara yang sama sebuah matriks B
berukuran
b
i

1
,
2
, ,;
n
j

1
,
2
,,
m
dapat dituliskan sebagai
i
j 
m x n dengan entri
b11 b12
b b
B  21 22


bm1 bm2

b1n 
b2n 



bmn

Tinjau kembali sistem persamaan linear (1.4). Penulisan indeks bawah ganda pada
skalar aij adalah menyatakan posisi di dalam sistem tersebut. Indeks bawah pertama (i)
pada skalar aij menunjukan letak persamaan dimana bilangan tersebut muncul dalam hal
ini aij berada pada persamaan ke-i. Selanjutnya indeks bawah kedua (j) menunjukan
koefisien untuk variabel ke-j. Sebagai contoh, skalar a12 terdapat dalam persamaan
pertama dan merupakan koefisien dari variabel x2 .
Dengan beranggapan bahwa pada sistem persamaan (1.4) tanda "  ", dan tanda

" " sebagai pemisah antar kolom, maka sistem tersebut dapat disingkat dengan hanya
menuliskan susunan empat persegi panjang dari skalar-skalarnya:
Dinamakan matriks yang diperbesar (augmented matrix) untuk sistem tersebut.
Perlu diingat bahwa anggapan di atas bukanlah alasan matematis untuk menulis matriks
augmented tersebut. Alasan yang sebenarnya akan dibicarakan pada bab berikutnya.
Untuk sistem persamaan linear berikut
x1 x2 2x3 9
(1.7)
2x1 4x2 3x3 1
3x1 6x2 5x3 0
Ide dasar untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear adalah mengganti
sistem tersebut dengan sebuah sistem yang baru yang mempunyai himpunan pemecahan
yang sama, tetapi lebih mudah untuk diselesaikan. Sistem baru yang dimaksud umumnya
diperoleh dengan operasi-operasi:
1. Mengalikan sebuah persamaan dengan sebuah konstanta yang tak sama dengan
nol.
2. Mempertukarkan dua persamaan.
3. Menambahkan kelipatan dari satu persamaan kepada yang lainnya.
Operasi – operasi ini dinamakan operasi baris elementer. Contoh berikut melukiskan
bagaimana operasi – operasi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear (disadur dari buku Elementary Linear Algebra by Howard Anton alih bahasa
Pantur Silaban, 1981).
Contoh 1.3
Pada kolom sebelah kiri sebuah sistem persamaan linear (persamaan (1.8)) diselesaikan
dengan melakukan operasi – operasi pada persamaan tersebut. Sedangkan pada kolom
sebelah kanan sistem yang sama terlebih dahulu diterjemahkan dalam bentuk matriks
yang diperbesar lalu dilakukan operasi–operasi pada baris-baris dari matriks tersebut.
xy2z 9
2x4y3z 1
3x6y5z 0
Tambahkan –2 kali persamaan pertama kepada persamaan kedua untuk
mendapatkan
xy2z 9
Tambahkanlah –2 kali baris
pertama kepada baris kedua
untuk mendapatkan
2y7z 17
3x6y5z 0
Tambahkanlah –3 kali persamaan pertama kepada persamaan ketiga untuk
mendapatkan
x y 2z 9
Tambahkanlah –3 kali baris
pertama kepada baris ketiga
untuk mendapatkan
2y 7z  17
3y 11
z  27
Kalikanlah persamaan kedua dengan
½ untuk mendapatkan
x  y  2z  9
Kalikanlah baris kedua dengan ½ untuk mendapatkan
7
17
z
2
2
3y 11z  27
y
Tambahkanlah –3 kali persamaan kedua kepada persamaan ketiga untuk
mendapatkan
x  y  2z  9
Tambahkanlah –3 kali baris kedua kepada barais ketiga
untuk mendapatkan
7
17
z  
2
2
1
3
 z  
2
2
y
Kalikanlah persamaan ketiga dengan
-2 untuk mendapatkan
x  y  2z  9
y
7
17
z
2
2
z 3
Tambahkanlah –1 kali persamaan kedua kepada persamaan pertama untuk
mendapatkan
x
Kalikanlah baris ketiga dengan –2 untuk mendapatkan
11
35
z
2
2
7
17
y z 
2
2
z 3

Tambahkanlah –1 kali baris
kedua kepada baris pertama
untuk mendapatkan
11
11
Tambahkanlah  2 kali persamaan
baris
Ketiga kepada persamaan pertama
Tambahkanlah  2
kali
ketiga kepada baris pertama
7
dan 2 kali persamaan ketiga persa-
7
dan 2 kali
kepada
maan kedua untuk mendapatkan
baris
ketiga
baris kedua untuk mendapatkan
1
x
y
2
z 3
Jadi, solusi sistem persamaan linear (1.9) adalah
x
1
, y
2
, z
3
Contoh berikut ditujukan kepada sistem persamaan linear homogen. Pada contoh ini akan
diperlihatkan bahwa mengapa sistem dengan variabel lebih banyak daripada persamaan
memiliki solusi non-trivial.
Contoh 1.4
Selesaikanlah sistem persamaan linear homogen berikut dengan menggunakan operasi
baris elementer.
2x
2x
x
1
2
3
(1.8)
x
0
5
x
2x
3
x
x
0
1 x
2
3
4
5
x
2x
1 x
2
3
x
0
5
x
x
0
3 x
4
5
Perhatikan bahwa sistem (1.9) memiliki lima variabel dan empat persamaan.
x
1x
2
(1.9)
x5 0
x5 0
x3
x4
0
Dengan memecahkannya untuk variabel – variabel utama maka akan menghasilkan
x1   x2  x5
(1.10)
x3  x5
x4  0
Dengan demikian himpunan penyelesaian sistem (1.10) adalah
x


s

t
,
x

s
,
x


t
,x

0
,x

t
1
2
3
4
5
(1.11)
Dengan memilih nilai s  t  0 , pemecahan trival dapat diperoleh.
Teorema 1.1. Sebuah sistem persamaan linear homogen dengan bila banyak bilangan
yang tak diketahui melebihi banyaknya persamaan selalu mempunyai tak terhingga
banyaknya solusi.
3. METODE MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR:
ELIMINASI GAUSS
Metode Eliminasi Gauss didasarkan pada pemikiran untuk mereduksi matriks yang
diperbesar menjadi sebuah bentuk yang cukup sederhana sehingga suatu sistem
persamaan dapat diselesaikan dengan memeriksa sistem tersebut.
Di dalam langkah terakhir dari Contoh 1.4 diperoleh bentuk matriks berikut ini
1 0 0 1
0 1 0 2


0 0 1 3
Bentuk matriks seperti ini adalah sebuah contoh dari suatu matriks yang dikatakan dalam
bentuk eselon baris yang direduksi (reduced row-echelon form).
Perhatikan bentuk-bentuk matriks dalam contoh berikut
Contoh 1.5
Diberikan sejumlah matriks dalam bentuk sebagai berikut
0
1

2
0
1


1 0
0
4
1
0
0



 0
0
0
0
1
3
1






0
1
0
7
,
0
1
0
,
,
.






0
0
0
0
0
0
0




0
01

1
0
0
1




0
0
0
0
0


Matriks–matriks tersebut dikatakan berada di dalam bentuk eselon baris yang direduksi.
dikatakan berada dalam bentuk eselon baris.
Dari dua bentuk matriks yang berbeda di atas, suatu matriks dikatakan dalam bentuk
eselon baris tereduksi bila entri aij tersusun sebagai berikut
1. Entri pada baris ke-i tidak seluruhnya bernilai nol tetapi bilangan tak nol pertama
di dalam baris tersebut untuk urutan kolom ke-j terkecil adalah 1 (baca: 1 utama).
Bila kondisi ini terpenuhi maka baris tersebut ditempatkan di baris ke-i terkecil. Hal
yang sama dilakukan pada kolom ke-j terkecil berikutnya untuk diletak pada baris kei terkecil berikutnya lagi. Demikian untuk seterusnya.
2. Jika ada satu atau lebih baris yang seluruh entri-entrinya bernilai nol, maka baris
tersebut ditempatkan di baris-baris akhir matriks.
3. Matriks pada sembarang dua baris yang berturutan yang tidak terdiri seluruhnya
dari nol, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh kekanan
dari pada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi.
4. Setiap kolom yang mengandung sebuah 1 utama mempunyai nol ditempat lain.
Sebuah matriks yang mempunyai sifat–sifat 1, 2, dan 3, dikatakan berada di dalam bentuk
eselon baris (row-echelon form).
Perlu diingat bahwa sebuah matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris ia harus
mempunyai nilai nol di bawah setiap 1 utama. Sebaliknya suatu matriks dikatakan dalam
bentuk eselon baris yang direduksi ketika ia mempunyai nilai nol di atas dan di bawah
setiap 1 utama.
Suatu sistem persamaan linear yang diterjemahkan ke dalam matriks yang
diperbesar yang oleh sebuah urutan operasi baris elementer matriks tersebut berbentuk
eselon baris yang direduksi maka solusi untuk sistem tersebut dapat dengan mudah
diperoleh. Matriks yang diperbesar berikut merupakan hasil reduksi oleh operasi baris
elementer dari suatu sistem persamaan linear menjadi bentuk eselon baris yang direduksi
seperti apa yang diberikan.
Penyelesaian:
(a). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah
5
x1
x2
 2
x3  4

5
, x


2
, x

4
1
2
3
Dengan pemeriksaan maka, x
(b). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah
4x4  1
x1
x2
2x4  6
x3 3x4  2
x3 bersesuaian dengan 1 utama di dalam matriks augmented,
Karena x1 , x2 dan
maka ia dinamakan variabel–variabel utama (leading variabels). Dengan memecahkan
variabel – variabel utama tersebut dalam x4 diperoleh
x1  1 4x4
(1.12)
x2  6  2x4
x3  2 3x4
Karena x4 dapat diberikan sebarang nilai, katanlah t , maka kita mempunyai tak
terhingga banyaknya pemecahan. Himpunan pemecahan ini diberikan oleh rumus –
rumus
x


1

4
t
,x

6

2
t
,x

2

3
t
,x

t
1
2
3
4
(1.13)
(c). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah
x
6
x
1
2
(1.14)

4
x
2
5
x
3

3
x
5 1
x
5
x
4 
5 2
Di sini variabel–variabel utama adalah x1 , x3 dan x4 . Dengan memecahkan variabel-
variabel dalam variabel lainnya maka akan memberikan
x1 24x5 6x2
(1.15)
x3  13x5
x4  25x5
dapat diberikan sebarang nilai t , dan x2
Karena x5
dapat diberika sebarang nilai s ,
maka akan ada tak terhingga banyaknya pemecahan. Himpunan pemecahan tersebut
diberikan oleh rumus – rumus
x


2

4
t

6
s
,
x

s
,
x

1

3
t
,
x

2

5
t
,
x

t
1
2
3
4
5
(1.16)
(d). Persamaan terakhir di dalam sistem persamaan – persamaan yang bersangkutan
adalah
0
x
0
x
0
x
1
1
2
3
Karena persamaan ini tidak pernah dapat dipenuhi, maka tidak ada pemecahan untuk
sistem tersebut.
Dari uraian di atas, sebuah sistem persamaan linear akan mudah diselesaikan
ketika matriks augmented berada dalam bentuk eselon baris yang direduksi. Untuk
sampai kepada matriks eselon baris tereduksi ada prosedur yang biasanya dipakai yang
dikenal dengan nama eliminasi Gauss-Jordan Prosedur ini dapat digunakan untuk
mereduksi sebarang matriks menjadi bentuk eselon baris yang direduksi. Contoh berikut
mendemonstrasikan prosedur yang dimaksud.
Langkah 1. Letakkanlah kolom yang paling kiri (garis vertikal) yang tidak terdiri
seluruhnya dari nol.
Langkah 2. Pertukarkanlah baris atas dengan sebuah baris lain, jika perlu, membawa
sebuah entri tak nol ke atas kolom yang didapatkan di dalam
Langkah 3. Jika entri yang sekarang ada diatas kolom yang didapatka di dalam
langkah
1 adalah a , kalikanlah baris pertama dengan 1 a untuk
memperoleh sebuah 1 utama.
Langkah 4. Tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris atas kepada baris – baris
yang dibawah sehingga entri di bawah 1 utama menjadi nol.
Langkah 5. Sekarang tutuplah baris atas di dalam matriks tersebut dan mulailah sekali
lagi dengan langkah 1 yang dipakaikan kepada submatriks yang masih
sisa. Teruskanlah dengan cara ini sampai keseluruhan matriks tersebut
berada di dalam bentuk eselon baris
Langkah 6. Dengan memulai dari baris tak nol terakhir dan bekerja kearah atas,
tambahkanlah angka pengali yang sesuai dari setiap baris kepada baris –
baris yang diatas untuk mendapatkan nol diatas 1 utama.
Contoh 1.6
Pecahkanlah dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
x
3
x
2
x
1
2
3
(1.17)

2
x
5
0
2
x
6
x
5
x
2
x
4
x
3
x

1
1
2
3
4
5
6
5
x
10
x
3
4
2
x
6
x
1
2

15
x
65
8
x
4
x
18
x
4
5
66
Dengan menambahkan –2 kali baris pertama kepada baris pertama dan keempat. Dengan
mengalikan baris kedua dengan –1 dan kemudian menambahkan –5 kali baris kedua
kepada baris – baris ketiga dan –4 kali baris kedua kepada baris keempat. Dengan
mempertukarkan baris ketiga dan baris keempat dan kemudian mengalikan baris ketiga
dari matriks yang dihasilkan dengan 1/6 maka akan memberikan bentuk eselon baris
mbahkan – 3 kali baris ketiga kepada baris kedua dan kemudian menambahkan 2 kali
baris kedua dari matriks yang dihasilkan kepada baris pertama maka akan menghasilkan
bentuk eselon baris yang direduksi
Sistem persamaan – persamaan yang bersangkutan adalah
x
3
x
1
2

4
x
2
x
0
4
5 
x
2
x
3
4

0
1
x
6
3
x

0
x

0
x

0
x

0
x

0
x

0
,
1
2
3
4
5
6
(Persamaan terakhir, 0
diabaikan karena persamaan
tersebut akan secara otomatis dipenuhi oleh pemecahan persamaan lainnya). Dengan
memecahkannya untuk variabel – variabel utama, maka diperoleh
x1 3x24x42x5
(1.18)
x3 2x4
x6 1
3
Jika kita menetapkan nilai – nilai sebarang r , s, dan t berturut – turut untuk
x2 , x4 , dan xs , maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus – rumus
(1.19)
1
x


3
r

4
s

2
t
,x

r
,x


2
s
,x

s
,x

t
,x

1
2
3
4
5
6
3
Selain metode yang telah dikemukan metode lain yang dapat digunakan adalah metode
substitusi balik ( back substitution ). Metode ini bekerja dengan mengubah matriks yang
diperbesar ke dalam bentuk eselon baris.
Untuk jelasnya berikut diperagakan metode
subsitusi balik untuk sistem yang ada
Langkah 1. Selesaikanlah persamaan – persamaan tersebut untuk variabel – variabel
utama yaitu
x1 3x22x32x5
x3 12x43x6
x6 1
3
Langkah 2. Dimulai dengan persamaan terakhir kemudian secara bertahap menuju ke
persamaan paling atas, substitusikan berturut–turut nilai masing-masing peubah terkait
ke setiap persamaan di atasnya.
x 6= 1/3
Dengan mensubstitusikan
menghasilkan
kedalam persaman kedua maka akan
x 1 = − 3x2 2x3− 2x5
x 3 = − 2x4
x 6=
Dengan mensubstitusikan
menghasilkan
1
3
x 3= − 2x4
kedalam persamaan pertama maka akan
x 1 = − 3x2− 4x4 − 2x5
x 3 = − 2x4
x 6=
1
3
Langkah 3. Tetapkanlah nilai – nilai sebarang kepada setiap variabel yang tak utama.
Jika nilai – nilai sembarang katakanlah r , s , dan t berturut – turut untuk x 2 , x 4 , dan
x 5 , himpunan penyelesaian tersebut diberikan oleh rumus – rumus berikut
(1.20)
x 1= − 3r− 4s− 2t , x 2= r , x 3= − 2s , x 4= s , x 5= t , x 6=
1
3
Bandingkan hasil ini dengan hasil sebelumnya pada Contoh 8.
Pada kedua metode yang telah dibicarakan di atas, upaya untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear dengan mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris
dinamakan Eliminasi Gauss.
Contoh 1.7
Gunakan Eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut
x y 2z= 9
2x
4y− 3z= 1
(1.21)
3x 6y− 5z= 0
Penyelesaian.
Ini adalah sistem di dalam Contoh 1.3. Di dalam contoh tersebut kita mengubah matriks
yang diperbesar.menjadi bentuk eselon baris Sistem yang bersesuaian dengan matriks ini
adalah
x y 2z = 9
7
y− z= 1
2
z= 3
Dengan menyelesaikan sistem di atas untuk peubah-peubah utama diperoleh
x= 9− y− 2z
y= −
17
7
2
2
z
z= 3
Mensubstitusikan persamaan terakhir ke persamaan kedua diperoleh bentuk
x= 3− y
y= 2
z= 3
Mensubstitusikan persamaan terakhir dan kedua ke persamaan pertama diperoleh
x= 1
y= 2
(1.22)
z= 3
4. OPERASI MATRIKS
Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai sama ukuran
dan sama nilai entri – entrinya di baris-kolom yang bersesuaian dikedua matriks.
Contoh 1.11
Perhatikan tiga matriks berikut
2
1
2
1 
2
1
0

 

A

B

C






3
4
3
5 
3
4
0

 

Di sini A  C karena A dan C tidak mempunyai ukuran yang sama. Karena alasan
yang sama maka B  C . Juga, A  B karena tidak semua entri yang bersangkutan sama.
Definisi 1.3 (Pejumlahan Dua Matriks):Jika A dan B adalah matriks yang berukuran
sama, maka jumlah kedua matriks ( A + B ) adalah matriks baru yang diperoleh dari
menambahkan nilai-nilai entri pada baris-kolom yang bersesuaian. Matriks – matriks
yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan.
Contoh 1.8
Tinjaulah matriks – matriks
2
1
0
3

4
3
5
1




1
1





C
A


1
0
2
4

2
2
0

1



B

 
2
2






4

2
7
0
3
2

4
5




Maka
2454



A
+
B
=1 2 2 3



7
0
3
5


sedanngkan A + C dan B + C tidak didefinisikan.
Definisi 1.4 (Perkalian Matriks dengan sebuah Skalar/Konstanta):
Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu skalar/konstanta, maka hasil kali
matriks dengan kalar/konstanta tersebut ( c A ) adalah sebuah matriks yang diperoleh
dengan mengalikan setiap entri dari A dengan sklar c .
Contoh 1.13
Jika A adalah matriks
 4 2
A   1 3
1 0
maka
8
4




2
Α

2
6




2
0
 


42





d
a
n 

1
A


13





1
0


Catatlah bahwa jika B adalah sembarang matriks, maka B akan menyatakan  1 B
dan jika A dan B adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka A - B didefinisikan
+
A
+
.
-B
=
-1
B
sebagai jumlah A
Contoh 1.14
Diberikan matriks-matriks A dan B sebagai berikut
2
3
4
0
2
7




A

d
a
n
B





1
2
1
1

3
5




Dari catatan di atas maka
2
7
0 


B

13
5


dan
2
3
40
2

7
2
1

3






A
B









1
2
1

1
3
5
0
5

4






atau
2
3
4
0
2
7
2

0
3

2
4

7
2
1

3








A
B












1
2
1
1
3
5
1

1
2

3
1

5
0
5

4








Definisi 1.5 (Perkalian Dua Matriks):
Pertimbangkan A dan B adalah dua buah matriks yang berukuran masing-masing
m x r dan r x n yaitu
a1r 
b1n 
a11 a12
b11 b12
a a


a2r 
b21 b22
b2n


A 21 22
B

dan








amr 
brn 


am1 am2

br1 br2

k
u
r
a
n
k
o
l
o
m
A
=
u
k
u
r
a
n
b
a
r
i
s
B
Perhatikan u
.
C
Hasil kali A dengan B (katakanlah
) yaitu AB  C adalah matriks baru yang
didefinisikan sebagai
r



C

c

a

ilb
lj
ij 
1
l

dengan
i1
,2, m
j 1
,2, n
Untuk pemahaman sederhana, misalkan ingin diketahui entri c23 dari matriks C yaitu
r
c

a
b

a
b

a
b


a
b

2
1
2
l
l
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
r
r
1
l

1
sebagai ilustrasi dengan bentuk matriks adalah sebagai berikut
a

1
1a
1
2

a
2
1a
2
2

A
B




a
m
1a
m
2

a

bb
1
r
1
1 1
2


a
bb
2
r
2
1 2
2





bb


a
r
1 r
1

m
r

c

b
1
1 c
1
2
1
n

c
b
2
1c
2
2
2
n





b

c
r
n

m
1c
m
2

c

1
n

c
2
n


C



c
2
1

Contoh 1.9
Tinjaulah matriks – matriks
4143


124




A
=
B
=
0
131




260




2752


Di sini A berukuran 2x3 dan B berukuran 3x4, maka hasil kali AB  C
berukuran
C
2x4. Pada , misalnya entir di dalam baris 1 dan kolom 3 dengan cara sebagai berikut
r

3
ca

b

a
b

a
b

a
b

1

4

2

3

4

5

3
0

1
3
1
l
l
3
1
1
1
3
1
2
2
3
1
3
3
3
l

1
Dengan cara yang sama akan diperoleh hasil sebagai mana ditunjukkan berikut ini
c11  1 4   2  0   4  2  12
c12  11   2 1   4  7  27
c14  1 4   2  3   4  5  30
c21   2  4  6  0  0  2  8
c22   2 1  6 1  0  7  4
c23   2  4  6  3  0  5  26
c24   2  3  6 1  0  2  12
Secara keseluruhan hasil AB  C dalam bentuk matriks ditulis sebagai


4
1
4
3



1
2
4


1
2
2
7
3
0
1
3
A
B
=
0

1
3
1


C






8

4
2
6
1
2
2
6
0








2
7
5
2


(yang diberi tanda bujur sangkar) merupakan hasil kali untuk entri c13 .
Definisi perkalian matriks mengharuskan banyaknya kolom dari A sama dengan
banyaknya baris dari B supaya membentuk hasil perkalian AB . Jika kondisi ini tidak
dipenuhi, maka hasil perkalian tersebut tidak didefinisikan.
Contoh 1.10
Misalkan A adalah matriks berukuran 3x4, B adalah matriks berukuran 4x7, dan C
adalah sebuah matriks 7x3. Maka AB didefinisikan sebagai matriks 3x7; CA
didefinisikan sebagai matriks 7x4; BC didefinisikan sebagai matriks 4x3. Hasil – hasil
perkalian AC , CB , dan BA semuanya tidak didefinisikan.
Perkalian matriks mempunyai sebuah pemakaian penting kepada sistem – sistem
persamaan linear. Tinjaulah suatu sistem yang terdiri dari m persamaan linear di dalam
n bilangan yang tak diketahui.
(1.23)
a 11 x 1 a 12 x 2 ⋯ a1n x n= b1
a 21 x1 a 22 x 2 ⋯ a 2n x n= b2
⋮ ⋮
⋮ ⋮
a m1 x 1 a m2 x 2 ⋯ a mn x n= b m
Karena dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika entri – entri yang
bersangkutan sama, maka kita dapat menggantikan persamaan m di dalam sistem ini
dengan sebuah persamaan matriks tunggal