Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Linier
D0104 Riset Operasi I
Kuliah III - IV
Materi Kuliah

Sistem Persamaan Linier.
 Matriks.
Sistem Persamaan Linier
Sistem Persamaan Linier adalah
Suatu kumpulan dari dua, tiga atau lebih persamaan
dengan dua atau lebih variabel pada persamaan.
Sistem Persamaan Linier mempunyai bentuk sbb :
a11X1 + a12X2 + + a1nXn = y1
a21X1 + a22X2 + + a2nXn = y2
..................................
am1X1 + am2X2 + + amnXn = ym
SPL Dalam Bentuk Matrix
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
am1 am2 am3 . . . amn
X1
b1
X2
b2
Xn
=
bm
Contoh :
Contoh : Untuk 2 variabel
x + 5 = y or
ax + by = e
2x – 2y = 3
cx + dx = f
Dimana tidak semua a, b, c, dan d sama 0,
Grafik dari setiap persamaan pada sistem
adalah garis lurus.
Contoh :
0
1
2
1
7
1
7
5
7
3
5
2
X1
X2
X3
X4
1
=
2
3
Grafik Dari Sistem Linier
Dalam bentuk geometris, karena grafik dalam
bentuk garis lurus, dapat diperlihatkan
dalam 3 kemungkinan, seperti gambar
berikut :
y
y
y
x
x
x
(a)
(b)
(c)
Grafik Dari Sistem Linier

Untuk kasus (a) dua garis berimpit. Dikatakan
bahwa persamaan dalam sistem bergantung
(dependent).
 Untuk kasus (b) garis paralel dan tidak
berpotongan. Dikatakan bahwa persamaan dalam
sistem tidak konsisten (inconsistent.)
 Untuk kasus (c) garis berpotongan hanya pada
satu titik. Dikatakan bahwa sistem persamaan
konsisten (consistent.)
Menyelesaikan Persamaan Linier
Dengan Metoda Subtitusi
Contoh: (untuk 2 variabel)
2x + 3y = 1
3x – y = 7
Menyelesaikan persamaan kedua y = 3x – 7.
Mensubtitusikan ekspresi y pada persamaan
pertama menghasilkan 2x + 3(3x – 7) = 1
2x + 9x – 21 = 1
11x – 21 = 1
11x = 22
x=2
Menyelesaikan Persamaan Linier
Dengan Metoda Subtitusi
Mensubtitusikan x = 2 kepada salah satu persamaan
awalnya untuk mendapatkan nilai y.
2x + 3y = 1
3x - y = 7
2(2) + 3y = 1
3(2) - y = 7
3y = 1 – 4
6-y=7
y = - 3/3
-y=7-6
y=-1
y=-1
Solusi untu sistem linier adalah (2, –1).
Menyelesaikan Persamaan Linier
Dengan Metoda Eliminasi
x–y =–2
(1)
2x – 3y = – 7
(2)
Step 1 Kalikan Persamaan (1) dengan –3
–3x + 3y = 6
(1´)
Step 2 Tambahkan persamaan (1´) ke persamaan (2)
–3x + 3y
= 6
(1´)
2x + (–3y) = –7
(2)
– x = –1 atau ekuivalen, x = 1
Contoh :
Menyelesaikan Persamaan Linier
Dengan Metoda Eliminasi
Step 3 Subtitusikan nilai x = 1 kepada salah satu
persamaan awal untuk mendapatkan nilai y.
x – y = –2
2x - 3y = -7
1 – y = –2
2(1) - 3y = -7
–y = –3
2 - 3y = -7
y=3
-3y = -9
y = 3 Solusi dari persamaan linier adalah (1, 3).
Sistem Persamaan Linier
Teorema : Sistem Persamaan Linier dalam
suatu bentuk tertentu (finite) dari operasi
baris elementer dapat dijadikan sebagai
bentuk echelon (kecuali semua baris
yang dibawah mempunyai koefisien yang
nilainya nol)
Sistem Persamaan Linier ada pada bentuk
echelon (echelon form) bila urutannya
membentuk matrik atas.
Sistem Persamaan Linier
Bentuk Echelon.
Suatu matriks dikatakan berada dalam bentuk eselon,
jika : setiap baris dalam matriks, mempunyai leading
entry pada elemen ke(i,j) dimana i = j. Contoh
Leading Entry.
Elemen pertama yang bukan nol dalam suatu vektor
dinamakan leading entry.
Suatu vektor dengan semua elemen sama dengan
nol, dikatakan tidak mempunyai leading entry.
Contoh
Contoh Bentuk Eselon
-1
1
2
2
-1
1
2
2
0
2
7
12
1
0
7
12
0
0
-5
-10
0
0
-5
-10
0
1
2
2
1
0
7
12
0
0
-5
-10
Dalam bentuk matrik eselon
Kembali
Bukan matrik eselon
Contoh Leading entri
-1
1
2
2
0
2
7
12
0
0
0
0
Baris pertama mempunyai
leading entri = -1.
Baris kedua mempunyai
leading entri = 2
Baris ketiga tidak
memunyai leading entri
Berikut
Sistem Persamaan Linier
Operasi Baris Elementer: (untuk n persamaan dan m
variabel)
Ada 3 (tiga) macam operasi elementer :
– Menukar dua persamaan
– Mengalikan persamaan dengan suatu konstanta
bukan nol (non-zero).
– Penambahan suatu persamaan yang telah dikalikan
dengan suatu konstanta ke persamaan yang lain.
Jika ketiga operasi tersebut diterapkan pada
sistem linear, maka akan didapatkan sistem baru
tapi sistem baru ini tidak mengalami perubahan
solusi dari sistem yang lama.
Contoh: Operasi Baris Elementer
- X1 + X2 + 2 X3
=2
3 X1 – X2 + X3
=6
- X1 + 3X2 + 4 X3
=4
A=
-1
1
2
2
3
-1
1
6
-1
3
4
4
Jika OBE dilakukan dengan mengganti baris-2 dengan :
baris-2 + 3 * baris-1, maka matrix akan disederhanakan menjadi :
-1
1
2
2
-1
1
2
2
0
2
7
12
0
2
7
12
-1
3
4
4
0
2
2
2
Baris-3 – baris-1
Contoh: Operasi Baris Elementer
-1
1
2
2
0
2
7
12
0
2
2
2
-1
1
2
2
0
2
7
12
0
0
-5
-10
baris-3 – baris-2
-1
1
0
2
7
12
0
0
-5
-10
-1 * X1 + 1(-1) + 2(2) = 2
2 * X2 + 7(2) = 12
X3 = 2
2
2
X1 = 1
X2 = -1