Matematika I (SI-103)

Matematika I (SI-103)
Sistem bilangan real
Sistem Bilangan Real
Bilangan yang paling sederhana: bilangan asli
Bilangan Asli = { 1, 2, 3, …}
Ketika menghitung panjang, atau utang, butuh
bilangan yang lebih luas: bilangan bulat
Bilangan bulat = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Matematika 1 - Hanhan Husna F
2
Bilangan bulat belum cukup luas, ketika
dibutuhkan ketelitian: Bilangan rasional (q)
½ , 4/5, 2/1, …
Bilangan rasional:  m, n bilangan bulat, dapat
𝑚
ditulis menjadi , 𝑛 ≠ 0
𝑛
Matematika 1 - Hanhan Husna F
3
Sudah cukup teliti? Tidak
2
1
1
Di luar bilangan rasional ada bilangan Irasional
Contoh: 2, 3, 𝜋, dll
Matematika 1 - Hanhan Husna F
4
ℝ:Bilangan Real
ℚ:Bilangan Rasional
ℤ:Bilangan Bulat
ℕ:Bilangan Asli (natural)
ℕ⊂ℤ⊂ℚ ⊂ ℝ
Matematika 1 - Hanhan Husna F
5
Desimal
Setiap bilangan rasional dapat dibentuk menjadi
desimal. Contoh:
½ = 0,5
5/8 = 0,625
3/11 = 0,23076923076923076923076923…
Matematika 1 - Hanhan Husna F
6
Apakah bilangan irasional bisa dibuat desimal?
Bisa. Contoh:
2 = 1.414213562373095048801688…
𝜋 = 3.1415926535897932384626433…
Matematika 1 - Hanhan Husna F
7
Bilangan desimal:
Berulang
13
11
= 1,818181…
Setiap bilangan desimal yang berulang merupakan
rasional.
Tak berulang
Contoh: 2 = 1.4142135623730950488…
Artinya, desimal tak berulang pasti irasional
Matematika 1 - Hanhan Husna F
8
Bilangan Real
Rasional
(Desimal berulang)
Irasional
(Desimal tak berulang)
Matematika 1 - Hanhan Husna F
9
Kerapatan
Di antara dua bilangan real a, b, pasti ada
bilangan real yang lain.
𝑥2
a
𝑥3
𝑥1
𝑎+𝑏
2
b
Di antara dua bilangan real a, b, pasti ada tak
terhingga bilangan rasional dan irasional
Matematika 1 - Hanhan Husna F
10
Sifat-sifat Medan
Hukum Komutatif
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 dan 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥
Hukum Asosiatif
𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 dan
𝑥(𝑦𝑧) = 𝑥𝑦 𝑧
Hukum distribusi
𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
Matematika 1 - Hanhan Husna F
11
Elemen identitas
Ada dua bilangan real yang berlainan 0 dan 1
yang memenuhi 𝑥 + 0 = 𝑥 dan 𝑥 ∙ 1 = 𝑥
Invers (balikan)
𝑥 mempunyai balikan aditif (disebut negatif)
− 𝑥, yang memenuhi 𝑥 + −𝑥 = 0.
𝑥 kecuali 0 punya balikan perkalian 𝑥 −1 yang
memenuhi 𝑥 ∙ 𝑥 −1 = 1
Matematika 1 - Hanhan Husna F
12
Operasi Hitungan
Pengurangan dan pembagian didefinisikan sbb:
𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + (−𝑦)
dan
𝑥
= 𝑥 ∙ 𝑦 −1
𝑦
Matematika 1 - Hanhan Husna F
13
Urutan bilangan
Jika diketahui 𝑥 < 𝑦, maka artinya 𝑥 berada di
sebelah kiri 𝑦 pada garis bilangan real
𝑥
𝑦
Dari sini didapat
𝑥 < 𝑦 ⇔ 𝑦 − 𝑥 positif
Bagaimana jika 𝑥 ≤ 𝑦?
Matematika 1 - Hanhan Husna F
14
Sifat urutan
Trikotomi
Jika 𝑥 dan 𝑦 sebuah bilangan, maka pasti
berlaku salah satu di antara hal berikut:
𝑥 < 𝑦, atau 𝑥 = 𝑦, atau 𝑥 > 𝑦
Ketransitifan
𝑥 < 𝑦 dan 𝑦 < 𝑧 ⇒ 𝑥 < 𝑧
Matematika 1 - Hanhan Husna F
15
Penambahan
𝑥 <𝑦 ⇔𝑥+𝑧 <𝑦+𝑧
Perkalian
Jika z positif berlaku 𝑥 < 𝑦 ⇔ 𝑥𝑧 < 𝑦𝑧
Jika z negatif berlaku 𝑥 < 𝑦 ⇔ 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧
Matematika 1 - Hanhan Husna F
16
Logika
𝑃 ⇒ 𝑄 dibaca “jika p maka q”
𝑃 ⇒ 𝑄 TIDAK SAMA DENGAN 𝑄 ⇒ 𝑃
Pernyataan yg ekuivalen dengan 𝑃 ⇒ 𝑄 adalah:
~𝑄 ⇒ ~𝑃
Disebut juga kontrapositif. Dalam logika,
kontrapositif digunakan untuk pembuktian
dengan cara kontradiksi (reductio ad absurdum)
Matematika 1 - Hanhan Husna F
17
Contoh: Jumlah suatu bilangan rasional dengan
bilangan tak rasional adalah tak rasional.
Pernyataan di atas dapat ditulis:
Jika x = m/n, dengan m, n bilangan bulat, dan y
irasional, maka x + y irasional.
Matematika 1 - Hanhan Husna F
18
Gunakan kontrapositif, misalkan x + y rasional,
maka x + y = p/q dengan p dan q bil. bulat. maka
𝑝
𝑝 𝑚 𝑛𝑝 − 𝑚𝑞
𝑦 = −𝑥 = − =
𝑞
𝑞 𝑛
𝑞𝑛
Artinya y rasional, bertentangan dengan
hipotesis. Artinya pernyataan tersbut terbukti
Matematika 1 - Hanhan Husna F
19
Contoh: buktikan jika 𝑛2 genap, maka 𝑛 genap.
Kontrapositif: jika 𝑛 ganjil maka 𝑛2 ganjil
Bukti:
Jika 𝑛 ganjil maka ada 𝑘 sedemikian 𝑛 = 2𝑘 + 1
Maka:
𝑛2 = (2𝑘 + 1)2 = 4𝑘 2 + 4𝑘 + 1 = 2 2𝑘 2 + 2𝑘 + 1
Artinya 𝑛2 merupakan bilangan ganjil.
Matematika 1 - Hanhan Husna F
20
• Buktikan
•
2 merupakan bilangan irasional. (Petunjuk:
andaikan 2 bisa dibuat p/q
• Perlihatkan bahwa pembagian oleh 0 adalah
tak terdefinisi
Matematika 1 - Hanhan Husna F
21
•
•
•
•
Untuk setiap x, x^2 > 0
Untuk setiap x <0, x^2>0
Untuk setiap x ada y sedemikian sehingga y > x
Ada y sedemikian sehingga untuk setiap x, y>x
Matematika 1 - Hanhan Husna F
22